第9讲 一元一次方程及其解法 优等生讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027人教版七年级数学上册

第9讲 一元一次方程及其解法 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027人教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 掌握等式的两条性质 理解一元一次方程概念 会判断方程的解 熟练解一元一次方程 能处理新定义方程 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.等式的性质 性质1：两边同加/减同一个数，仍相等 性质2：两边同乘同一个数，或除以同一个不为0的数，仍相等 除以字母必须保证字母不为0 a^2=b^2不能推出a=b 概念辨析例题：概念辨析：ac=bc能否推出a=b？ 解析：等式性质2要求除数不为0。 ☆ 2.一元一次方程定义 只含一个未知数 未知数次数为1 整式方程 一次项系数不为0 概念辨析例题：概念辨析：+3=0是一元一次方程，=? 解析：|m|=1且m-1≠0，故m=-1。 ☆ 3.方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值 知道解代入原方程求未知常数 污染题：把解代入列新方程 整体思想：同解方程 概念辨析例题：概念辨析：x=3是3x+2a=13的解，a=? 解析：9+2a=13，a=2。 ☆ 4.解一元一次方程步骤 去分母：两边同乘最小公倍数 去括号：注意负号变号 移项：移项要变号 合并同类项、系数化为1 概念辨析例题：概念辨析：去分母时每项都要乘吗？ 解析：等式性质2两边同乘。 📋 知识总结表 要点 法则/步骤 注意事项 等式性质1 同加同减 两边同时操作 等式性质2 同乘同除 除数不为0 一元一次方程 一元一次整式 系数不为0 方程解 代入使两边相等 污染题代入求常数 去分母 乘最小公倍数 每一项都乘 移项 过等号变号 不移的项不变号 【考点1】等式的性质（第1-10题） 两边同加同减 同乘同除不为0 注意字母可能为0 1．（2025秋•武冈市期末）下列等式变形中，一定正确的是（　　） A．若xy＝1，则 B．若x2＝2x，则x＝2 C．若2a﹣b＝4，则b＝﹣2a+4 D．若，则x＝﹣2 【分析】性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【解答】解：若xy＝1，那么，则A符合题意； 若x2＝2x，那么x＝2或0，则B不符合题意； 若2a﹣b＝4，那么b＝2a﹣4，则C不符合题意； 若，那么x＝﹣18，则D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了等式的性质，正确记忆等式的性质是解题关键． 2．（2026春•张店区期末）运用等式的基本性质，下列变形正确的是（　　） A．若m＝n，则m+2＝n﹣2 B．若，则3x＝2y C．若x＝y，则 D．若x＝y，则﹣3x＝﹣3y 【分析】根据等式的基本性质，等式两边同时加、减、乘或除以同一个数（除数不为0），等式仍成立．选项A两边操作不一致； 选项B变形错误； 选项C中a可能为0； 选项D两边同乘﹣3，正确． 【解答】解：A：若m＝n，则m+2＝n+2或m﹣2＝n﹣2，但m+2＝n﹣2不成立，选项变形错误，不符合题意； B：若，两边同乘6，得2x＝3y，而非3x＝2y，选项变形错误，不符合题意； C：若x＝y，当a≠0时成立，但a可能为0，故不一定成立，选项变形错误，不符合题意； D：若x＝y，则两边同乘﹣3，得﹣3x＝﹣3y，选项变形正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是关键． 3．（2025秋•龙口市期末）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　） A．若，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b C．若a2＝b2，则a＝b D．若x＝6，则x＝﹣2 【分析】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：A、若，则a＝b，选项正确，符合题意； B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，选项错误，不符合题意； C、若a2＝b2，则a＝±b，选项错误，不符合题意； D、x＝6，则x＝﹣18，选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 4．（2025秋•新源县期末）下列根据等式的基本性质变形不正确的是（　　） A．若x＝y，则x+1＝y+1 B．若x＝2y，则x﹣3＝2y﹣3 C．若x＝y，则﹣2x＝﹣2y D．若3x＝2，则 【分析】根据等式的性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：A．若x＝y，则x+1＝y+1，故选项A正确； B．若x＝2y，则x﹣3＝2y﹣3，故选项B正确； C．若x＝y，则﹣2x＝﹣2y，故选项C正确； D．若3x＝2，则，故选项D不正确． 故选：D． 【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 5．（2024秋•召陵区期末）运用等式的性质，下列变形正确的是（　　） A．若a+c＝c﹣b，则a＝b B．若a2＝3a，则a＝3 C．若2a＝2b﹣c，则a＝b﹣c D．若，则a＝b 【分析】根据等式的基本性质解答即可． 【解答】解：A．两边同时减去c得：a＝﹣b，错误； B．两边同时减去3a得：a2﹣3a＝0，所以a＝0或3，错误； C．两边同时除以2得：a＝b，错误； D．两边同时乘以c得：a＝b． 故选：D． 【点评】本题主要考查了等式的基本性质，熟记并灵活运用等式的基本性质是解决本题的关键． 6．（2025秋•赣州期末）下列等式变形，错误的是（　　） A．若x＝y，则x+2＝y+2 B．若x＝y，则3x＝3y C．若a+1＝b+1，则a＝b D．若x＝y，则 【分析】根据等式的性质对各选项判断即可． 【解答】解：A．若x＝y，则x+2＝y+2，正确，故选项A不符合题意； B．若x＝y，则3x＝3y，正确，故选项B不符合题意； C．若a+1＝b+1，则a＝b，正确，故选项C不符合题意； D．当a＝0时，由x＝y不能推出，错误，故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 7．（2026•东台市三模）已知x＝y，下列各式不一定成立的是（　　） A．x+a＝y+a B．a﹣x＝a﹣y C．ax＝ay D． 【分析】等式两边同时加上（或减去）同一个数或式子，等式依然成立，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数或式子，等式依然成立，据此判断即可． 【解答】解：A、若x＝y，则x+a＝y+a，故此选项不符合题意； B、若x＝y，则﹣x＝﹣y，所以a﹣x＝a﹣y，故此选项不符合题意； C、若x＝y，则ax＝ay，故此选项不符合题意； D、若x＝y，则（a≠0），故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质并熟练运用． 8．（2025秋•沙坪坝区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．如果a2＝b2，那么a＝b B．如果a＝b，那么 C．如果，那么5x﹣3＝8y+4 D．如果，那么m＝n 【分析】根据等式的基本性质判断即可． 【解答】解：根据等式的基本性质逐项分析判断如下： A、若a2＝b2，则a＝±b，不一定有a＝b，故A错误，不符合题意； B、若c＝0，则无意义，等式不成立，故B错误，不符合题意； C、由两边乘20，得5（x﹣3）＝4（2y+1），即5x﹣15＝8y+4，与给定结论5x﹣3＝8y+4不符，故C错误，不符合题意； D、由且a≠0（分式有意义），两边乘a得m＝n，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了等式的基本性质，掌握等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键． 9．（2025秋•大田县期末）下列等式变形正确的是（　　） A．如果ax＝ay，那么x＝y B．如果a＝b，那么a﹣5＝5﹣b C．如果﹣5a＝﹣5b，那么a＝b D．如果a+1＝b﹣1，那么a＝b 【分析】等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等．根据等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：A．如果ax＝ay（a≠0），所以ax÷a＝ay÷a（a≠0）那么x＝y，故原说法错误，不符合题意； B．如果a＝b，那么a﹣5＝b﹣5，故原说法错误，不符合题意； C．如果﹣5a＝﹣5b，那么a＝b，说法正确，符合题意； D．如果a+1＝b﹣1，那么a＝b﹣2，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 10．（2025秋•分宜县期末）下列等式变形正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a+c＝b+c B．如果a＝b，那么a2＝2b C．如果a＝b，那么 D．如果a＝b，那么a﹣2＝b+2 【分析】根据等式的性质进行判断即可． 【解答】解：若a＝b，两边同时加上c得a+c＝b+c，则A正确，符合题意； 若a＝b，两边同时乘a得a2＝ab，则B错误，不合题意； 若a＝b，两边同除以c，需要c≠0才有，则C错误，不合题意； 若a＝b，两边同时减去2得，a﹣2＝b﹣2，则D错误，不合题意； 故选：A． 【点评】本题考查等式的基本性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【考点2】一元一次方程的定义（第11-18题） 一元一次整式 系数不为0 次数=1 11．（2026春•晋江市期中）下列是一元一次方程的是（　　） A． B．x2﹣1＝3 C．x﹣1＝y D．x﹣1＝3 【分析】根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）判断各选项． 【解答】解：选项A：，不是整式方程，不符合题意； 选项B：x2﹣1＝3，未知数次数为2，不符合题意； 选项C：x﹣1＝y，含两个未知数，不符合题意； 选项D：x﹣1＝3，只含一个未知数，且次数为1，是整式方程，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的识别，解题的关键是掌握一元一次方程的定义． 12．（2026春•晋江市期中）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．x+3＝0 B．x+y＝﹣2 C． D．x2﹣1＝0 【分析】方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程，根据定义判断即可． 【解答】解：A、属于一元一次方程，符合一元一次方程的定义，符合题意， B、含有两个未知数，不符合一元一次方程的定义，不符合题意， C、不是整式方程，不符合一元一次方程的定义，不符合题意， D、未知数的次数不是1，不符合一元一次方程的定义，不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 13．（2025秋•岳塘区期末）已知方程（m﹣1）x|m|+3＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．0或1 【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可根据未知数的系数及未知数的指数列出关于m的方程，继而求出m的值． 【解答】解：根据一元一次方程的特点可得， 解得m＝﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义以及绝对值，解题的关键是根据一元一次方程的未知数x的次数是1这个条件，此类题目应严格按照定义解答． 14．（2025秋•永兴县期末）下列选项中哪一个是一元一次方程（　　） A．x+2＝﹣6 B． C．x+5y＝20 D．x2﹣17＝25x 【分析】根据一元一次方程的定义逐项判断即可． 【解答】解：根据一元一次方程的定义逐项判断如下： A、x+2＝﹣6中有1个未知数，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，符合题意； B、中等号左边不是整式，不是一元一次方程，不符合题意； C、x+5y＝20中有2个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、x2﹣17＝25x中含有一个未知数，但未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义，即只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式． 15．（2025秋•南昌期末）已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣1+3＝0是一元一次方程，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．无法确定 【分析】根据一元一次方程的定义，x的次数必须为1且系数不为零，据此求得m的值即可． 【解答】解：∵方程（m﹣2）x|m|﹣1+3＝0是一元一次方程， ∴根据一元一次方程的定义得，|m|﹣1＝1，且m﹣2≠0， 由|m|﹣1＝1，得m＝±2， 当m＝2时，m﹣2＝0，系数为零，不符合条件； 当m＝﹣2时，m﹣2＝﹣4≠0，符合条件， 综上所述，m的值为﹣2，选项B正确，符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 16．（2025秋•临川区月考）方程（m2﹣4）x2+（m﹣2）x+7m2＝0是一元一次方程，则m的值是　﹣2　 ． 【分析】根据一元一次方程的定义，得出关于m的等式，据此进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为方程（m2﹣4）x2+（m﹣2）x+7m2＝0是一元一次方程， 所以m2﹣4＝0，且m﹣2≠0， 解得m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟知一元一次方程的定义是解题的关键． 17．（2023秋•西安期末）已知方程是关于y的一元一次方程．求m、n的值． 【分析】根据一元一次方程的定义解答即可，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程． 【解答】解：∵方程是关于y的一元一次方程， ∴2n﹣m＝0，， 解得m＝3， ∴2n﹣3＝0， 解得． ∴m＝3，． 【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义，本题属于基础题型． 18．（2025秋•平利县期末）已知A＝ax2﹣3xy+9x（a为常数），B＝﹣2x2﹣bxy+4（b为常数），且代数式M＝2A﹣3B． （1）若a＝﹣3，b＝1，化简代数式M； （2）当（a﹣1）x2+x﹣b+3+2＝0是关于x的一元一次方程时，求代数式M的值． 【分析】（1）先化简代数式M，再把a＝﹣3，b＝1代入即可； （2）依据一元一次方程的定义求出a，b的值，再根据化简后的一元一次方程求出x的值，最后将a，b，x的值一并代入M的表达式求值．． 【解答】解：（1）已知A＝ax2﹣3xy+9x（a为常数），B＝﹣2x2﹣bxy+4（b为常数），且代数式M＝2A﹣3B． ∵A＝ax2﹣3xy+9x，B＝﹣2x2﹣bxy+4， ∴M＝2A﹣3B， ＝2（ax2﹣3xy+9x）﹣3（﹣2x2﹣bxy+4）， ＝2ax2﹣6xy+18x+6x2+3bxy﹣12， ＝（2ax2+6x2）+（3bxy﹣6xy）+18x﹣12， ＝（2a+6）x2+（3b﹣6）xy+18x﹣12， ∴M＝（2a+6）x2+（3b﹣6）xy+18x﹣12． 把a＝﹣3，b＝1代入M中，得： M＝[2×（﹣3）+6]x2+（3×1﹣6）xy+18x﹣12， ＝（﹣6+6）x2﹣3xy+18x﹣12， ＝﹣3xy+18x﹣12， ∴M＝﹣3xy+18x﹣12； （2）由题意可得：a﹣1＝0且﹣b+3＝1，解得a＝1，b＝2， ∴整理（a﹣1）x2+x﹣b+3+2＝0得x+2＝0， ∴x＝﹣2． ∵将x＝﹣2，a＝1，b＝2代入（1）中M＝（2a+6）x2+（3b﹣6）xy+18x﹣12， ∴M＝（2×1+6）×（﹣2）2+（3×2﹣6）×（﹣2y）+18×（﹣2）﹣12， ＝8×4+0×（﹣2y）+（﹣36）﹣12， ＝32+0+（﹣36）﹣12， ＝﹣16， ∴M＝﹣16． 【点评】本题综合考查了代数式求值及解一元一次方程，掌握整式的混合运算法则是关键． 【考点3】一元一次方程的解（第19-22题） 解代入原方程 污染题求常数 整体思想 19．（2025秋•汉阳区期末）已知x＝3是关于x的方程3x+2a＝13的解，则a的值是（　　） A．16 B．﹣2 C．2 D．4 【分析】将x＝3代入方程3x+2a＝13，得到关于a的一元一次方程并求解即可． 【解答】解：将x＝3代入方程3x+2a＝13， 得9+2a＝13， 解得a＝2． 故选：C． 【点评】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 20．（2025秋•崆峒区校级期末）笑笑在做作业时，不小心将方程2（x+■）﹣3＝x+7中的一个常数污染了．老师告诉她方程的解是x＝4，则被污染的常数■是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．将方程的解x＝4代入原方程，通过计算即可求出被污染的常数■． 【解答】解：由条件可得2×（4+■）﹣3＝4+7， ∴2×（4+■）＝14， ∴4+■＝7， ∴■＝3， 故被污染的常数是3． 故选：C． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 21．（2025秋•潮南区期末）已知x＝3是方程2（x﹣1）﹣a＝0的解，则a的值是（　　） A． B． C．4 D．﹣4 【分析】使方程两边左右相等的未知数的值叫做方程的解． 【解答】解：将x＝3代入方程得， 2×（3﹣1）﹣a＝0， 解得：a＝4， 故选：C． 【点评】本题考查方程的解的定义．熟练掌握方程解的定义是解答本题的关键． 22．（2025秋•石家庄期末）下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示方程的解是x＝1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（　　） A． B． C． D． 【分析】设被墨水遮盖的常数是a，则把x＝1代入方程得到一个关于a的方程，即可求解． 【解答】解：设被墨水遮盖的常数是a， ∵方程的解是x＝1， ∴， 解得：， 故选：C． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．理解定义是关键． 【考点4】解一元一次方程（第23-30题） 去分母每一项都乘 去括号注意负号 移项变号 23．（2026•宣威市开学）若代数式2x﹣3与的值互为相反数，则x的值为　　 ． 【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，据此列出一元一次方程，求解方程即可得到x的值． 【解答】解：根据题意可知，， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 解得：． 【点评】本题考查了解一元一次方程，相反数，掌握解一元一次方程的步骤是关键． 24．（2025秋•广州期末）解方程时，去分母正确的是（　　） A．3（x+1）﹣x+2＝1 B．3x+1﹣x﹣2＝6 C．3（x+1）﹣（x+2）＝6 D．3（x+1）﹣（x+2）＝1 【分析】去分母时，方程两边同乘分母的最小公倍数6，据此进行计算，即可作答． 【解答】解：原方程两边同乘6得：， 即3（x+1）﹣（x+2）＝6， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握以上知识点是关键． 25．（2025秋•海淀区校级期末）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．若3x＝2x﹣1，则3x+2x＝1 B．若2﹣（x﹣1）＝5，则2﹣x﹣1＝5 C．若4x＝2，则x＝﹣2 D．若，则5（x﹣1）﹣2x＝10 【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1这些变形依据判断即可． 【解答】解：A、若3x＝2x﹣1，则3x﹣2x＝﹣1，故此选项不符合题意； B、若2﹣（x﹣1）＝5，则2﹣x+1＝5，故此选项不符合题意； C、若4x＝2，则x，故此选项不符合题意； D、若，则5（x﹣1）﹣2x＝10，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 26．（2025秋•揭东区期末）定义：若A﹣B＝m，则称A与B是关于m的关联数．例如：若A﹣B＝2，则称A与B是关于2的关联数；若2x﹣1与3x﹣5是关于4的关联数，则x的值是（　　） A．0 B．1 C．8 D．2 【分析】先根据2x﹣1与3x﹣5是关于4的关联数得出（2x﹣1）﹣（3x﹣5）＝4，再去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解答】解：∵2x﹣1与3x﹣5是关于4的关联数， ∴（2x﹣1）﹣（3x﹣5）＝4， 去括号，得2x﹣1﹣3x+5＝4， 移项，得2x﹣3x＝4+1﹣5， 合并同类项，得﹣x＝0， 系数化成1，得x＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 27．（2025秋•铁西区期末）若代数式4x+5与2x+3的值互为相反数，则x等于（　　） A． B． C．﹣1 D． 【分析】根据相反数的性质得到（4x+5）+（2x+3）＝0，解方程即可解答． 【解答】解：根据题意可知，（4x+5）+（2x+3）＝0， 解得：． 故选：A． 【点评】本题考查了代数式求值，解一元一次方程，掌握相应的运算法则是关键． 28．（2025秋•聊城期末）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．将5x﹣4＝2x+6移项，得5x+2x＝6﹣4 B．将2（x﹣3）＝﹣3（﹣x+6）去括号，得2x﹣6＝3x+18 C．将去分母，得3﹣2x+2＝1 D．方程可化为 【分析】A．将5x﹣4＝2x+6移项，然后判断即可； B．将2（x﹣3）＝﹣3（﹣x+6）去括号，然后判断即可； C．根据等式的基本性质，将去分母，然后判断即可； D．根据分数的基本性质将方程中的分子和分母化成整数，然后判断即可． 【解答】解：A．∵将5x﹣4＝2x+6移项得5x﹣2x＝6+4， ∴此选项的变形错误， 故此选项不符合题意； B．∵将2（x﹣3）＝﹣3（﹣x+6）去括号得：2x﹣6＝3x﹣18， ∴此选项的变形错误， 故此选项不符合题意； C．∵将去分母得：3﹣2x﹣2＝6， ∴此选项的变形错误， 故此选项不符合题意； D．∵方程可化为， ∴此选项的变形正确， 故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握等式的基本性质和解一元一次方程的一般步骤． 29．（2026春•栖霞市期末）用一元一次方程的知识，可把无限循环小数化为分数，如：把化为分数，设x，两边同时乘以10得：10x，10x＝1，即10x＝1+x，移项、合并同类项得：9x＝1，解得，即，把化为分数是（　　） A． B． C． D． 【分析】设x＝0.，两边都乘以100得，100x＝25.，进而得到100x＝25+x，求出x的值，再计算即可． 【解答】解：1+0.， 设x＝0.，两边都乘以100得， 100x＝25.，即100x＝25+0.， 所以100x＝25+x， 移项，合并同类项得， 99x＝25， 所以x， 即0.， ∴1． 故选：D． 【点评】本题考查一元一次方程，掌握一元一次方程的解法，理解题目所提供的计算方法是正确解答的关键． 30．（2024秋•同步）解下列方程： （1）5x﹣（3x﹣7）＝2+（3﹣2x）； （2）7y+（3y﹣5）＝y﹣2（7﹣3y）． 【分析】（1）根据解一元一次方程的方法与步骤解一元一次方程； （2）根据解一元一次方程的方法与步骤解一元一次方程． 【解答】解：（1）5x﹣（3x﹣7）＝2+（3﹣2x）， 去括号，得：5x﹣3x+7＝2+3﹣2x， 移项，得：5x﹣3x+2x＝2+3﹣7， 合并同类项，得：4x＝﹣2， 系数化为1，得：x； （2）7y+（3y﹣5）＝y﹣2（7﹣3y）， 去括号，得：7y+3y﹣5＝y﹣14+6y， 移项，得：7y+3y﹣y﹣6y＝﹣14+5， 合并同类项，得：3y＝﹣9， 系数化为1，得：y＝﹣3； 【点评】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法与步骤． 【创新及压轴题】新定义方程（第31-35题） 按定义列方程 轮换/相反/美好方程 整体换元 31．（2025秋•邛崃市校级期末）“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，如果x△（2△3）＝3，则x＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据新定义，先计算出2△3＝2×2﹣3＝1，然后代入x△（2△3）＝3列方程求解即可． 【解答】解：根据题意得，2△3＝2×2﹣3＝1， ∵x△（2△3）＝3， ∴x△1＝3， ∴2x﹣1＝3， 移项、合并同类项，得2x＝4， 将系数化为1，得x＝2． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，理解新定义，掌握解一元一次方程的方法，有理数的混合运算法则是解题的关键． 32．（2025秋•海淀区校级期末）定义一种新运算：a⊕b＝3a﹣2b，若x⊕（2x﹣1）＝5，则x的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4 【分析】先根据新运算规则将方程转化为常规一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤计算，即可求解． 【解答】解：∵x⊕（2x﹣1）＝5， ∴3x﹣2（2x﹣1）＝5， 3x﹣4x+2＝5， ﹣x+2＝5， ﹣x＝3， 解得：x＝﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，掌握解一元一次方程的步骤是关键． 33．（2024秋•开福区期末）综合与实践： 定义：我们称关于x的方程ax+b＝0与方程bx+a＝0（a、b均为不等于0的常数）互为“轮换方程”，如：方程2x+4＝0与方程4x+2＝0互为“轮换方程”． （1）判断：①3x+7＝0与7x+3＝0；②﹣6x+3＝0与3x﹣6＝0；③﹣11x﹣1＝0与x﹣11＝0；其中互为“轮换方程”的有 　①②　 ；（填写序号） （2）若关于x的方程5x+m+3＝0与方程4x+n﹣2＝0互为“轮换方程”，求mn的值； （3）若关于x的方程5x﹣p＝0与其“轮换方程”的解都是整数，p也为整数，对于多项式A＝6x2﹣2kx+8和，不论x取多少，A与B的和始终等于整数p，求常数p的值． 【分析】（1）根据“轮换方程”的定义直接可得答案； （2）根据“轮换方程”得出，求出，即可得出答案； （3）关于x的方程5x﹣p＝0与其“轮换方程”的解都是整数，p也为整数，求出p＝5或﹣5，再根据不论x取多少，A与B的和始终等于整数p，求出答案即可． 【解答】解：（1）由题可知，关于x的方程ax+b＝0与方程bx+a＝0（a、b均为不等于0的常数）称互为“轮换方程”， ①方程3x+7＝0与方程7x+3＝0互为“轮换方程”，故①正确； ②方程﹣6x+3＝0与3x﹣6＝0互为“轮换方程”，故②正确； ③方程﹣11x﹣1＝0与x﹣11＝0不互为“轮换方程”，故③错误． 故答案为：①②． （2）∵关于x的方程5x+m+3＝0与方程4x+n﹣2＝0互为“轮换方程”， ∴， 解得：， ∴mn＝17＝1． （3）关于x的方程5x﹣p＝0的“轮换方程”为：﹣px+5＝0， 由方程5x﹣p＝0得：， 由方程﹣px+5＝0得：， ∵关于x的方程5x﹣p＝0与其“轮换方程”的解都是整数，p也为整数， ∴p＝5或﹣5， ＝6x2﹣2kx+8﹣6x2+3x﹣2k ＝（3﹣2k）x+8﹣2k， ∵多项式A＝6x2﹣2kx+8和，不论x取多少，A与B的和始终等于整数p， ∴， 解得：， 综上分析可知，常数p的值为5． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解一元一次方程，整式加减运算，能够正确理解概念是解题的关键． 34．（2026春•南关区期末）【定义】如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”． 例如：方程2x＝6的解为x＝3，方程3x+9＝0的解为x＝﹣3， 所以2x＝6与3x+9＝0互为“相反方程”． 【应用】（1）若3x+m＝0与2x﹣6＝4都是关于x的方程，且它们互为“相反方程”，求m的值； （2）若2x+3＝2b与2（x﹣a）＝4都是关于x的方程，且它们互为“相反方程”，则a+b的值为　　 ． 【分析】（1）先求出方程2x﹣6＝4的解，根据“相反方程”的定义得出3x+m＝0的解，代入得到关于m的方程，解方程即可； （2）先解2x+3＝2b和2（x﹣a）＝4，根据得出两个解互为相反数，列式计算即可． 【解答】解：（1）如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“相反方程”， 解方程2x﹣6＝4，得：x＝5， 则3x+m＝0的解为x＝﹣5， 将x＝﹣5代入3x+m＝0，得：3×（﹣5）+m＝0， 解得m＝15； （2）解2x+3＝2b，得：x＝b， 解2（x﹣a）＝4，得：x＝a+2， 则a+2＝﹣（b）， 解得a+b． 故答案为：． 【点评】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，理解“相反方程”的定义是解题的关键． 35．（2024秋•望城区期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值； （2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1的解． 【分析】（1）先算出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义，求出m的值； （2）根据已知条件建立关于n的方程，再求解； （3）根据“美好方程”的定义，求出x+1＝0的解为x＝﹣2024，再求得方程x+3＝2x+k的解为x＝2025，然后将关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1变形为（y+1）+3＝2（y+1）+k，则y+1＝x＝2025，从而求解． 【解答】解：（1）∵3x+m＝0， ∴x， ∵4x﹣2＝x+10， ∴x＝4， ∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”， ∴41， ∴m＝9， 故答案为：9． （2）∵“美好方程”的两个解之和为1， ∴另一个方程的解为1﹣n， ∵两个解的差为8， ∴n﹣（1﹣n）＝8或1﹣n﹣n＝8， ∴n或n， 故答案为：或． （3）∵x+1＝0， ∴x＝﹣2024， ∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”， ∴方程x+3＝2x+k的解为：x＝1﹣（﹣2024）＝2025， ∵关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1可化为（y+1）+3＝2（y+1）+k， ∴y+1＝x＝2025， ∴y＝2024． 故答案为：y＝2024． 【点评】本题考查的是一元一次方程的解，解题的关键是利用“美好方程”的定义找出方程解的关系． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•金牛区期末）关于x的方程（m﹣3）x|m|﹣2+1＝0是一元一次方程，则m＝　﹣3　 ． 【分析】根据一元一次方程的定义，需满足未知数的次数为1且一次项系数不为0，据此列式求解即可． 【解答】解：∵关于x的方程（m﹣3）x|m|﹣2+1＝0是一元一次方程， ∴， 解得：m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是关键． 【练习 2】（2025秋•普陀区期末）由3x﹣7＝5x+12，得﹣7﹣12＝5x﹣3x，在此变形过程中方程的两边同时加上了　﹣3x﹣12　 ． 【分析】根据等式的性质解答即可． 【解答】解：3x﹣7＝5x+12， 方程两边同时减去3x，可得﹣7＝5x﹣3x+12， 方程两边再同时减去12，得﹣7﹣12＝5x﹣3x， 相当于在方程两边同时加上：﹣3x﹣12． 故答案为：﹣3x﹣12． 【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 【练习 3】（2024秋•旬阳市期末）已知关于x的一元一次方程x﹣3＝2025x+3b的解为x＝3，则关于y的一元一次方程（y﹣1）﹣3＝2025（y﹣1）+3b的解为 y＝4　 ． 【分析】利用整体思想，可得出关于（y﹣1）的一元一次方程（y﹣1）﹣3＝2025（y﹣1）+3b的解为y﹣1＝3，解之即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元一次方程x﹣3＝2025x+3b的解为x＝3， ∴关于（y﹣1）的一元一次方程（y﹣1）﹣3＝2025（y﹣1）+3b的解为y﹣1＝3， ∴y＝4， ∴关于y的一元一次方程（y﹣1）﹣3＝2025（y﹣1）+3b的解为y＝4． 故答案为：y＝4． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，解题关键是发现两个方程系数相同，利用方程同解求未知数的值． 【练习 4】（2025秋•鼓楼区校级期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”．若关于x方程x﹣1＝0与x+1＝3x+k是“美好方程”，则关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6的解是 y＝﹣2023　 ． 【分析】先求出关于x方程x﹣1＝0的解，再根据“美好方程”的定义得出方程x+1＝3x+k的解，然后把要求的方程变形为（y+2）+1＝3（y+2）+k，从而得出y+2＝﹣2021，即可求出y的值． 【解答】解：解方程x﹣1＝0得：x＝2022， ∵关于x方程x﹣1＝0与x+1＝3x+k是“美好方程”， ∴关于x的方程x+1＝3x+k的解是x＝1﹣2022＝﹣2021， ∵关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6就是， ∴y+2＝﹣2021， 解得y＝﹣2023， ∴关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6的解是y＝﹣2023， 故答案为：y＝﹣2023． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，熟知“美好方程”的定义是解题的关键． 【练习 5】（2025秋•西湖区期末）有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是　3　 ． 【分析】根据方程的解满足方程，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是， 设常数为x，由题意，得 ， 解得x＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于x的方程是解题关键． 【练习 6】（2025秋•河北校级期末）规定新运算“*”，对于任意有理数a、b都有a*b＝ab2﹣a﹣b2．例如，2*5＝2×52﹣2﹣52＝23，如果（1﹣2x）*3＝15，那么x的值为　﹣1　 ． 【分析】根据新定义的运算将原方程化为（1﹣2x）×32﹣（1﹣2x）﹣32＝15，再解这个一元一次方程即可． 【解答】解：由新定义的运算可知，（1﹣2x）*3＝15可变为（1﹣2x）×32﹣（1﹣2x）﹣32＝15， 即9﹣18x﹣1+2x﹣9＝15， 解得x＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查解一元一次方程，理解新定义运算，掌握一元一次方程的解法是正确解答的关键． 【练习 7】（2024秋•贵州期末）解方程： （1）5x﹣14＝﹣2x； （2）． 【分析】（1）先移项，再合并同类项，最后把系数化为1； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把系数化为1． 【解答】解：（1）方程移项，得5x+2x＝14， 合并同类项，得7x＝14， 系数化为1，得x＝2． （2）方程去分母，得3（x+1）﹣（x+3）＝6， 去括号，得3x+3﹣x﹣3＝6， 移项，得3x﹣x＝6+3﹣3， 合并同类项，得2x＝6， 系数化为1，得x＝3． 【点评】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【练习 8】（2026春•江津区期中）定义一种新运算“⊕”：a⊕b＝2a﹣3b，比如：1⊕（﹣3）＝2×1﹣3×（﹣3）＝11． （1）求4⊕（﹣3）的值； （2）若（3x﹣2）⊕（x+1）＝5，求x的值． （3）若关于x的方程2⊕（kx﹣1）＝﹣11的解为正整数，求整数k的值． 【分析】（1）根据定义得到4⊕（﹣3）＝2×4﹣3×（﹣3），即可得到答案； （2）根据定义得到（3x﹣2）⊕（x+1）＝2（3x﹣2）﹣3（x+1）＝5，解一元一次方程即可得到答案； （3）2⊕（kx﹣1）＝2×2﹣3×（kx﹣1）＝﹣11，根据解为正整数且k为整数即可求出答案． 【解答】解：（1）根据定义可知： 4⊕（﹣3）＝2×4﹣3×（﹣3）＝8+9＝17； （2）根据定义得： （3x﹣2）⊕（x+1）＝2（3x﹣2）﹣3（x+1）＝6x﹣4﹣3x﹣3＝3x﹣7＝5， 解得x＝4； （3）根据定义得： 2⊕（kx﹣1）＝2×2﹣3×（kx﹣1）＝4﹣3kx+3＝﹣11， ∴﹣3kx＝﹣18， ∴kx＝6， 由x为正整数，且k为整数可知， 故当k＝1时，x＝6； 当k＝2时，x＝3； 当k＝3时，x＝2； 当k＝6时，x＝1； 故整数k的值为1，2，3，6． 【点评】本题考查了一元一次方程的解、有理数的混合运算，熟练掌握以上知识点是关键． 【练习 9】（2025秋•汨罗市期末）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此求得的解为x＝4． （1）求a的值； （2）求方程正确的解． 【分析】（1）按照小明的步骤去分母，代入小明得出的错误解，可求出a的值； （2）将a的值代入原方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）按照小明的步骤去分母得：2（2x﹣1）+1＝5（x+a），将x＝4代入该方程得：2×（2×4﹣1）+1＝5×（4+a）， 解得：a＝﹣1； （2）将a＝﹣1代入原方程得：， 去分母，得2（2x﹣1）+10＝5（x﹣1） 去括号，得4x﹣2+10＝5x﹣5 移项、合并同类项，得﹣x＝﹣13 系数化为1，得x＝13． 【点评】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 等式两边必须同时操作 除以字母要保证不为0 一元一次方程系数不能为0 去分母每一项都要乘 移项必须变号 【作业 1】（2025秋•武侯区校级期末）对于非零的两个实数a、b，规定a⊕b＝ab+（a﹣b），若2⊕（x﹣1）＝3，则x的值为　2　 ． 【分析】将新定义运算转化为常规的整式运算，进而构建一元一次方程求解． 【解答】解：已知，a⊕b＝ab+（a﹣b）， 则2⊕（x﹣1）＝2（x﹣1）+[2﹣（x﹣1）]＝3， 去括号，得2x﹣2+2﹣x+1＝3， 合并同类项，得x+1＝3， 移项，得x＝3﹣1， 系数化为1，x＝2； 故答案为：2． 【点评】本题考查新定义运算与一元一次方程的求解，解题的关键是准确理解新运算规则． 【作业 2】（2025秋•宣化区期末）下列变形中，不正确的是（　　） A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b B．若，则a＝b C．若a＝b，则 D．若ac＝bc，则a＝b 【分析】等式两边同时加上或减去同一个数，或者同时乘以或除以同一个非零数，等式仍然成立．据此逐项判断即可． 【解答】解：A、等式两边加3，得a＝b，选项变形正确，不符合题意； B、等式两边乘2，得a＝b，选项变形正确，不符合题意； C、∵c2+1≥1，分母恒不为零，等式两边除以c2+1，选项变形正确，不符合题意； D、当c＝0时，ac＝bc恒成立，但a与b可能不相等，选项变形错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是关键． 【作业 3】（2025秋•洛阳期末）当x取不同值时对应的多项式4mx+3n的值如表所示，则关于x的方程4mx+3n+2＝0的解是（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4mx+3n 14 10 6 2 ﹣2 ﹣6 A．14 B．10 C．2 D．6 【分析】由表格可知，当x＝0时，4mx+3n＝6，则可得n＝2，当x＝1时，4mx+3n＝2，把n＝2代入求出m＝﹣1，最后把m＝﹣1，n＝2代入4mx+3n+2＝0，得出关于x的一元一次方程，解方程求解即可． 【解答】解：由表格可知，当x＝0时，4mx+3n＝6， ∴3n＝6， 解得：n＝2． 当x＝1时，4mx+3n＝2， ∴4m+3×2＝2， 解得：m＝﹣1， 把m＝﹣1，n＝2代入4mx+3n+2＝0，得﹣4x+3×2+2＝0， 即﹣4x+6+2＝0， 移项、合并同类项，得﹣4x＝﹣8， 将系数化为1，得x＝2． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【作业 4】（2024秋•大竹县期末）定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”． （1）请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”． （2）若关于x的方程与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的值． 【分析】（1）根据“m差解方程”的定义解答即可； （2）根据定义列出方程关于m，n的方程，再去掉绝对值，并求解． 【解答】解：（1）关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是“2差解方程”．理由： 方程2x＝5x﹣12的解是：x＝4， 方程3（y﹣1）﹣y＝1的解是：y＝2． ∵|x﹣y|＝|4﹣2|＝2， ∴这两个方程是“2差解方程”； （2）方程的解是：； 方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m的解是：． ∵关于x的方程与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”， ∴， 整理，得：， ∵m为正数， ∴或， 解得：或． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【作业 5】（2025秋•沭阳县校级月考）有一种整式处理器能将二次多项式A处理成一次多项式B，处理方法是：将二次多项式A的二次项系数与一次项系数的差（差为非零数）作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的常数项作为一次多项式B的常数项．例如：A＝x2+2x﹣3，则B＝（1﹣2）x﹣3＝﹣x﹣3．根据以上方法，解决下列问题： （1）若A＝﹣5x2﹣2x+1，则B＝　﹣3x+1　 ； （2）若A＝4x2+5（2x﹣2），求出关于x的方程B＝2的解； （3）已知关于x的二次多项式A＝2（m﹣3）x2﹣x+n+2，经过处理后得到一次多项式B＝5x+6，求m﹣n的值． 【分析】（1）根据新定义，先计算二次多项式A的二次项系数与一次项系数的差，作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的常数项作为一次多项式B的常数项，即可写出多项式B； （2）根据题意列方程﹣6x﹣10＝2，解方程，即可求解； （3）先根据定义列出多项式B，结合题意B＝5x+6，比较系数，即可求解． 【解答】解：（1）∵A＝﹣5x2﹣2x+1，二次项系数为﹣5，一次项系数为﹣2，差为（﹣5）﹣（﹣2）＝﹣3，常数项为1 ∴B＝﹣3x+1； 故答案为：﹣3x+1； （2）∵A＝4x2+5（2x﹣2）＝4x2+10x﹣10，二次项系数为4，一次项系数为10，差为4﹣10＝﹣6，常数项为﹣10， ∴B＝﹣6x﹣10， ∵B＝2， ∴﹣6x﹣10＝2， ﹣6x＝12， x＝﹣2； （3）已知关于x的二次多项式A＝2（m﹣3）x2﹣x+n+2，经过处理后得到一次多项式B＝5x+6， ∵A＝2（m﹣3）x2﹣x+n+2，二次项系数为2（m﹣3），一次项系数为﹣1，常数项为n+2， ∴B＝[2（m﹣3）﹣（﹣1）]x+（n+2）＝（2m﹣6+1）x+（n+2）＝（2m﹣5）x+（n+2）， ∵B＝5x+6， ∴2m﹣5＝5，n+2＝6， 解得：n＝4，m＝5， ∴m﹣n＝5﹣4＝1． 【点评】本题考查整式加减的应用，解一元一次方程，正确进行计算是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 一元一次方程及其解法 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027人教版七年级数学上册 📌 思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 掌握等式的两条性质 理解一元一次方程概念 会判断方程的解 熟练解一元一次方程 能处理新定义方程 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.等式的性质 性质1：两边同加/减同一个数，仍相等 性质2：两边同乘同一个数，或除以同一个不为0的数，仍相等 除以字母必须保证字母不为0 a²2=b²不能推出a=b 概念辨析例题：概念辨析：ac=bc能否推出a=b？ 解析：等式性质2要求除数不为0。 ☆ 2.一元一次方程定义 只含一个未知数 未知数次数为1 整式方程 一次项系数不为0 概念辨析例题：概念辨析：+3=0是一元一次方程，=? 解析：|m|=1且m-1≠0，故m=-1。 ☆ 3.方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值 知道解代入原方程求未知常数 污染题：把解代入列新方程 整体思想：同解方程 概念辨析例题：概念辨析：x=3是3x+2a=13的解，a=? 解析：9+2a=13，a=2。 ☆ 4.解一元一次方程步骤 去分母：两边同乘最小公倍数 去括号：注意负号变号 移项：移项要变号 合并同类项、系数化为1 概念辨析例题：概念辨析：去分母时每项都要乘吗？ 解析：等式性质2两边同乘。 📋 知识总结表 要点 法则/步骤 注意事项 等式性质1 同加同减 两边同时操作 等式性质2 同乘同除 除数不为0 一元一次方程 一元一次整式 系数不为0 方程解 代入使两边相等 污染题代入求常数 去分母 乘最小公倍数 每一项都乘 移项 过等号变号 不移的项不变号 ⚠️ 核心考点 · 典型例题精讲 【考点1】等式的性质（第1-10题） 两边同加同减 同乘同除不为0 注意字母可能为0 1．（2025秋•武冈市期末）下列等式变形中，一定正确的是（　　） A．若xy＝1，则 B．若x2＝2x，则x＝2 C．若2a﹣b＝4，则b＝﹣2a+4 D．若，则x＝﹣2 2．（2026春•张店区期末）运用等式的基本性质，下列变形正确的是（　　） A．若m＝n，则m+2＝n﹣2 B．若，则3x＝2y C．若x＝y，则 D．若x＝y，则﹣3x＝﹣3y 3．（2025秋•龙口市期末）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　） A．若，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b C．若a2＝b2，则a＝b D．若x＝6，则x＝﹣2 4．（2025秋•新源县期末）下列根据等式的基本性质变形不正确的是（　　） A．若x＝y，则x+1＝y+1 B．若x＝2y，则x﹣3＝2y﹣3 C．若x＝y，则﹣2x＝﹣2y D．若3x＝2，则 5．（2024秋•召陵区期末）运用等式的性质，下列变形正确的是（　　） A．若a+c＝c﹣b，则a＝b B．若a2＝3a，则a＝3 C．若2a＝2b﹣c，则a＝b﹣c D．若，则a＝b 6．（2025秋•赣州期末）下列等式变形，错误的是（　　） A．若x＝y，则x+2＝y+2 B．若x＝y，则3x＝3y C．若a+1＝b+1，则a＝b D．若x＝y，则 7．（2026•东台市三模）已知x＝y，下列各式不一定成立的是（　　） A．x+a＝y+a B．a﹣x＝a﹣y C．ax＝ay D． 8．（2025秋•沙坪坝区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．如果a2＝b2，那么a＝b B．如果a＝b，那么 C．如果，那么5x﹣3＝8y+4 D．如果，那么m＝n 9．（2025秋•大田县期末）下列等式变形正确的是（　　） A．如果ax＝ay，那么x＝y B．如果a＝b，那么a﹣5＝5﹣b C．如果﹣5a＝﹣5b，那么a＝b D．如果a+1＝b﹣1，那么a＝b 10．（2025秋•分宜县期末）下列等式变形正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a+c＝b+c B．如果a＝b，那么a2＝2b C．如果a＝b，那么 D．如果a＝b，那么a﹣2＝b+2 【考点2】一元一次方程的定义（第11-18题） 一元一次整式 系数不为0 次数=1 11．（2026春•晋江市期中）下列是一元一次方程的是（　　） A． B．x2﹣1＝3 C．x﹣1＝y D．x﹣1＝3 12．（2026春•晋江市期中）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．x+3＝0 B．x+y＝﹣2 C． D．x2﹣1＝0 13．（2025秋•岳塘区期末）已知方程（m﹣1）x|m|+3＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．0或1 14．（2025秋•永兴县期末）下列选项中哪一个是一元一次方程（　　） A．x+2＝﹣6 B． C．x+5y＝20 D．x2﹣17＝25x 15．（2025秋•南昌期末）已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣1+3＝0是一元一次方程，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．无法确定 16．（2025秋•临川区月考）方程（m2﹣4）x2+（m﹣2）x+7m2＝0是一元一次方程，则m的值是_______ ． 17．（2023秋•西安期末）已知方程是关于y的一元一次方程．求m、n的值． 18．（2025秋•平利县期末）已知A＝ax2﹣3xy+9x（a为常数），B＝﹣2x2﹣bxy+4（b为常数），且代数式M＝2A﹣3B． （1）若a＝﹣3，b＝1，化简代数式M； （2）当（a﹣1）x2+x﹣b+3+2＝0是关于x的一元一次方程时，求代数式M的值． 【考点3】一元一次方程的解（第19-22题） 解代入原方程 污染题求常数 整体思想 19．（2025秋•汉阳区期末）已知x＝3是关于x的方程3x+2a＝13的解，则a的值是（　　） A．16 B．﹣2 C．2 D．4 20．（2025秋•崆峒区校级期末）笑笑在做作业时，不小心将方程2（x+■）﹣3＝x+7中的一个常数污染了．老师告诉她方程的解是x＝4，则被污染的常数■是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 21．（2025秋•潮南区期末）已知x＝3是方程2（x﹣1）﹣a＝0的解，则a的值是（　　） A． B． C．4 D．﹣4 22．（2025秋•石家庄期末）下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示方程的解是x＝1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（　　） A． B． C． D． 【考点4】解一元一次方程（第23-30题） 去分母每一项都乘 去括号注意负号 移项变号 23．（2026•宣威市开学）若代数式2x﹣3与的值互为相反数，则x的值为___________________ ． 24．（2025秋•广州期末）解方程时，去分母正确的是（　　） A．3（x+1）﹣x+2＝1 B．3x+1﹣x﹣2＝6 C．3（x+1）﹣（x+2）＝6 D．3（x+1）﹣（x+2）＝1 25．（2025秋•海淀区校级期末）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．若3x＝2x﹣1，则3x+2x＝1 B．若2﹣（x﹣1）＝5，则2﹣x﹣1＝5 C．若4x＝2，则x＝﹣2 D．若，则5（x﹣1）﹣2x＝10 26．（2025秋•揭东区期末）定义：若A﹣B＝m，则称A与B是关于m的关联数．例如：若A﹣B＝2，则称A与B是关于2的关联数；若2x﹣1与3x﹣5是关于4的关联数，则x的值是（　　） A．0 B．1 C．8 D．2 27．（2025秋•铁西区期末）若代数式4x+5与2x+3的值互为相反数，则x等于（　　） A． B． C．﹣1 D． 28．（2025秋•聊城期末）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．将5x﹣4＝2x+6移项，得5x+2x＝6﹣4 B．将2（x﹣3）＝﹣3（﹣x+6）去括号，得2x﹣6＝3x+18 C．将去分母，得3﹣2x+2＝1 D．方程可化为 29．（2026春•栖霞市期末）用一元一次方程的知识，可把无限循环小数化为分数，如：把化为分数，设x，两边同时乘以10得：10x，10x＝1，即10x＝1+x，移项、合并同类项得：9x＝1，解得，即，把化为分数是（　　） A． B． C． D． 30．（2024秋•同步）解下列方程： （1）5x﹣（3x﹣7）＝2+（3﹣2x）； （2）7y+（3y﹣5）＝y﹣2（7﹣3y）． 【创新及压轴题】新定义方程（第31-35题） 按定义列方程 轮换/相反/美好方程 整体换元 31．（2025秋•邛崃市校级期末）“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，如果x△（2△3）＝3，则x＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 32．（2025秋•海淀区校级期末）定义一种新运算：a⊕b＝3a﹣2b，若x⊕（2x﹣1）＝5，则x的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4 33．（2024秋•开福区期末）综合与实践： 定义：我们称关于x的方程ax+b＝0与方程bx+a＝0（a、b均为不等于0的常数）互为“轮换方程”，如：方程2x+4＝0与方程4x+2＝0互为“轮换方程”． （1）判断：①3x+7＝0与7x+3＝0；②﹣6x+3＝0与3x﹣6＝0；③﹣11x﹣1＝0与x﹣11＝0；其中互为“轮换方程”的有 _______ ；（填写序号） （2）若关于x的方程5x+m+3＝0与方程4x+n﹣2＝0互为“轮换方程”，求mn的值； （3）若关于x的方程5x﹣p＝0与其“轮换方程”的解都是整数，p也为整数，对于多项式A＝6x2﹣2kx+8和，不论x取多少，A与B的和始终等于整数p，求常数p的值． 34．（2026春•南关区期末）【定义】如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”． 例如：方程2x＝6的解为x＝3，方程3x+9＝0的解为x＝﹣3， 所以2x＝6与3x+9＝0互为“相反方程”． 【应用】（1）若3x+m＝0与2x﹣6＝4都是关于x的方程，且它们互为“相反方程”，求m的值； （2）若2x+3＝2b与2（x﹣a）＝4都是关于x的方程，且它们互为“相反方程”，则a+b的值为___________________ ． 35．（2024秋•望城区期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值； （2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1的解． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•金牛区期末）关于x的方程（m﹣3）x|m|﹣2+1＝0是一元一次方程，则m＝_______ ． 【练习 2】（2025秋•普陀区期末）由3x﹣7＝5x+12，得﹣7﹣12＝5x﹣3x，在此变形过程中方程的两边同时加上了___________ ． 【练习 3】（2024秋•旬阳市期末）已知关于x的一元一次方程x﹣3＝2025x+3b的解为x＝3，则关于y的一元一次方程（y﹣1）﹣3＝2025（y﹣1）+3b的解为 ________ ． 【练习 4】（2025秋•鼓楼区校级期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”．若关于x方程x﹣1＝0与x+1＝3x+k是“美好方程”，则关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6的解是 ____________ ． 【练习 5】（2025秋•西湖区期末）有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是_____ ． 【练习 6】（2025秋•河北校级期末）规定新运算“*”，对于任意有理数a、b都有a*b＝ab2﹣a﹣b2．例如，2*5＝2×52﹣2﹣52＝23，如果（1﹣2x）*3＝15，那么x的值为_______ ． 【练习 7】（2024秋•贵州期末）解方程： （1）5x﹣14＝﹣2x； （2）． 【练习 8】（2026春•江津区期中）定义一种新运算“⊕”：a⊕b＝2a﹣3b，比如：1⊕（﹣3）＝2×1﹣3×（﹣3）＝11． （1）求4⊕（﹣3）的值； （2）若（3x﹣2）⊕（x+1）＝5，求x的值． （3）若关于x的方程2⊕（kx﹣1）＝﹣11的解为正整数，求整数k的值． 【练习 9】（2025秋•汨罗市期末）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此求得的解为x＝4． （1）求a的值； （2）求方程正确的解． 💯 课后巩固 【作业 1】（2025秋•武侯区校级期末）对于非零的两个实数a、b，规定a⊕b＝ab+（a﹣b），若2⊕（x﹣1）＝3，则x的值为_____ ． 【作业 2】（2025秋•宣化区期末）下列变形中，不正确的是（　　） A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b B．若，则a＝b C．若a＝b，则 D．若ac＝bc，则a＝b 【作业 3】（2025秋•洛阳期末）当x取不同值时对应的多项式4mx+3n的值如表所示，则关于x的方程4mx+3n+2＝0的解是（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4mx+3n 14 10 6 2 ﹣2 ﹣6 A．14 B．10 C．2 D．6 【作业 4】（2024秋•大竹县期末）定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”． （1）请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”． （2）若关于x的方程与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的值． 【作业 5】（2025秋•沭阳县校级月考）有一种整式处理器能将二次多项式A处理成一次多项式B，处理方法是：将二次多项式A的二次项系数与一次项系数的差（差为非零数）作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的常数项作为一次多项式B的常数项．例如：A＝x2+2x﹣3，则B＝（1﹣2）x﹣3＝﹣x﹣3．根据以上方法，解决下列问题： （1）若A＝﹣5x2﹣2x+1，则B＝__________ ； （2）若A＝4x2+5（2x﹣2），求出关于x的方程B＝2的解； （3）已知关于x的二次多项式A＝2（m﹣3）x2﹣x+n+2，经过处理后得到一次多项式B＝5x+6，求m﹣n的值． 复习建议 等式两边必须同时操作 除以字母要保证不为0 一元一次方程系数不能为0 去分母每一项都要乘 移项必须变号 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $