第2章 实数的初步认识 单元检测（A／B双卷）-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

八年级上册 第2章 实数的初步认识 单元检测·A／B双卷 保密★启用前 第2章 实数的初步认识 单元检测（A／B双卷） 苏科版数学八年级上册 （试卷总分：A卷120分＋B卷120分　建议用时：每卷100分钟　测试范围：第2章 实数的初步认识） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请在规定位置写清学校、姓名、班级和考号。 2．考试范围：苏科版（2024）八年级上册第2章 实数的初步认识（2.1～2.4）。 3．本卷由A卷（基础达标）与B卷（能力提升）组成，两卷分别编号，满分各120分，可分两次完成。 4．请按题号在对应区域内作答，写在区域外的答案无效。 命题说明本卷考查：算术平方根、平方根、立方根、开方解方程、非负数的性质、无理数与实数的分类、实数与数轴、无理数的估算等（A、B两卷，每卷 10 选／5 填／8 解，各 120 分） 考点清单 本卷把第2章拆成十三个考点，表中左栏是考点，中、右两栏是它在A卷、B卷中对应的题号。A卷的题多是直接开方、估算与取近似值，B卷加进了含参数的估算、负数的小数部分、规律探究和数轴上的相向运动；讲评时按行统计错题，哪一行错得多，就回到2.1～2.4相应小节补练。 本章考点 A卷题号 B卷题号 算术平方根 1，16，19，20 2，5，6，19 平方根 2，22 16 立方根 3，12，18，22，23 1，6，12，20 开方解方程 8，17 17 非负数的性质 9 9 无理数与实数的分类 4 3 实数与数轴 6，14，19，21 5，8，18，19，23 无理数的估算 7，10，15，19，21 7，11，14，18 实数的大小比较 11 7，11，14 实数的运算 14，15，18 8，21 近似值 5，11，13，23 4，13，20，21 实际应用 20，23 6，20 规律探究与综合 — 10，15，22，23 本章知识要点速览 下表把本章十条核心结论按“内容—用法”排好。建议先遮住右栏，看着左栏的名称回忆结论和常见题型，再揭开核对；回忆不完整的条目用彩笔圈出，考前重点再看。 序号 知识要点 掌握要求 1 算术平方根 若正数x满足x²＝a，则x叫作a的算术平方根，记作；0的算术平方根是0；（a≥0）本身也是非负数 2 平方根 若x²＝a，则x叫作a的平方根；正数有两个平方根±，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 3 立方根 若x³＝a，则x叫作a的立方根，记作∛a；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 4 开方与乘方 开平方与平方、开立方与立方互为逆运算：＝a（a≥0），(∛a)³＝a；解x²＝a、x³＝b型方程用开方 5 非负数 a²≥0，|a|≥0，≥0（a≥0）；几个非负数的和为0，则每个都为0 6 无理数与实数 无限不循环小数叫作无理数；有理数和无理数统称实数；开不尽方的数、含π的数是常见的无理数 7 实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应；数轴上右边的点表示的数大；用正方形的边长可在数轴上作出 8 估算与比较 用相邻的完全平方数（完全立方数）夹出（∛a）的范围；负数比较大小，绝对值大的反而小 9 实数的运算 相反数、绝对值、倒数的意义和运算律、运算顺序在实数范围内仍然适用 10 近似值 按要求四舍五入取近似值；近似值末尾的0表示精确程度，不能省略；精确到0.1的近似值a对应a－0.05≤x＜a＋0.05 11 含参数的估算 把参数的可能取值分段讨论，排除偏大、偏小的情形，再代入验证剩下的取值是否符合原不等式 12 由代数式有意义确定字母 多个根式同时有意义时，各自的非负性条件要联立求交集，往往能唯一确定字母的值 13 规律探究 先把已给的等式改写成与序号有关的式子，找到一般规律后代入所求的项，并验证其中一个具体等式 A 卷　基础达标（满分120分） 评卷人 得分 A卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）如图，小明想给家门口一块面积为0.64m²的正方形地垫四周缝上花边，先要知道地垫一条边有多长，这条边长是(____)。 A．0.32m B．0.16m C．0.8m D．0.08m 2．（本题3分）平方后等于2.89的数有两个，把它们合起来写，是(____)。 A．±1.7 B．1.7 C．－1.7 D．±0.17 3．（本题3分）如图，冷饮店冻好了一块体积为3.375立方分米的正方体冰块，要挑选能装下它的保温箱，得先知道冰块的棱长，棱长为(____)。 A．1.125dm B．1.5dm C．15dm D．0.15dm 4．（本题3分）老师在黑板上写了六个数：，π－3，∛9，，0.121212…（小数点后“12”不断重复出现），2.303003000…（每两个3之间依次多一个0）。请同学们数一数，这六个数里无理数共有(____)个。 A．4 B．2 C．5 D．3 5．（本题3分）用计算器求得＝5.385164…，把它精确到0.01，结果是(____)。 A．5.39 B．5.38 C．5.4 D．5.385 6．（本题3分）如图，数轴上的点P表示实数－3，点P到原点的距离是(____)。 A．－3 B．3－ C．3＋ D．2 7．（本题3分）若整数a满足a＜－3＜a＋1，则a的值是(____)。 A．7 B．5 C．4 D．10 8．（本题3分）使等式4(x＋1)²＝9成立的x的所有值是(____)。 A．0.5 B．2或－4 C．1.25或－3.25 D．0.5或－2.5 9．（本题3分）两个实数a，b使得(a－b＋2)²与的和不大于0，那么ab的算术平方根是(____)。 A．3 B． C．± D．2 10．（本题3分）若正整数n满足：的整数部分是4，并且∛n的整数部分是2，则这样的n一共有(____)个。 A．9 B．8 C．10 D．19 评卷人 得分 A卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）在数轴上，表示的点在表示－π的点的________侧（填“左”或“右”）。 12．（本题3分）某数的算术平方根等于27，求出这个数后再开立方，结果是________。 13．（本题3分）工人用千分尺量得一根钢丝的直径为0.8597mm，把这个读数精确到百分位，约为________mm。 14．（本题3分）如图，数轴上的点P表示实数a，且a＝，则|a－3|＋|2－a|＝________。 15．（本题3分）把写成“整数部分＋小数部分”，记小数部分为m，那么代数式m(m＋8)的值等于________。 评卷人 得分 A卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）用开方的定义求值： (1)； (2)∛(-2.744)。 17．（本题9分）按要求解方程（结果写成整数或小数）： (1)2x²－3.38＝0； (2)2(x＋3)³＝－250。 18．（本题9分）先分别求出每个开方的值，再按运算顺序计算（结果含根号的保留根号）： (1)∛(-0.512)+－－2|； (2)|2－＋∛(-27)×。 19．（本题9分）如图，网格中每个小正方形的边长与数轴的单位长度相同，网格的底边就是数轴，点A在数轴上且对应的数是1。 (1)在方格纸中画出一个以A为顶点、面积为10的正方形ABCD（顶点都在格点上），并写出它的边长； (2)用圆规在数轴上截取AE＝AB（点E在点A的左边），求点E对应的数； (3)点E离哪个整数对应的点最近？写出这个整数。 20．（本题9分）如图，学校新建的一间正方形舞蹈房，地面面积为12.96m²，计划用144块大小相同的正方形瓷砖恰好铺满（瓷砖间的缝隙忽略不计）。 (1)求舞蹈房地面的边长； (2)求每块瓷砖的边长； (3)如果改用边长为0.45m的正方形瓷砖铺满地面，一共需要多少块？ 21．（本题10分）如图，在数轴上，点M对应的数是2，点N对应的数是。 (1)计算M，N两点之间的距离； (2)在点M的右侧取一点K，使K到M的距离与MN相等，求K对应的数； (3)写出K对应的数的整数部分和小数部分。 22．（本题10分）已知a满足4a＋1＝9。 (1)已知正数m的一个平方根是3a＋1，求m的值； (2)设b＝(a－5)³，求m＋b的值，并估计它的算术平方根落在哪两个相邻整数之间； (3)已知x²与m相等，y的立方根与a相等，求x＋y所有可能的值。 23．（本题13分）如图，社区有一块面积为57.76m²的正方形空地，计划在空地正中间修一个面积为21.16m²的正方形花池（花池的边与空地的边平行），花池四周余下的部分铺成宽度相同的步道。 (1)求空地和花池的边长； (2)求步道的宽度； (3)铺步道每平方米的费用是85元，求铺步道的总费用； (4)花池中央要放一个正方体石墩，它的体积是0.343m³，求石墩的棱长和它的底面积。 B 卷　能力提升（满分120分） 评卷人 得分 B卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）y³＋0.008＝0中，未知数y等于(____)。 A．0.2 B．－0.02 C．－2 D．－0.2 2．（本题3分）一个数加上1以后，它的算术平方根是1.5，这个数是(____)。 A．0.5 B．2.25 C．1.25 D．3.25 3．（本题3分）下列各数中，既是无理数又在2与3之间的是(____)。 A． B． C． D． 4．（本题3分）用刻度尺测量一根木棒的长度x（单位：m），按四舍五入精确到0.1后记为3.6，则x的值可能是(____)。 A．3.55 B．3.65 C．3.5 D．3.7 5．（本题3分）如图，正方形MNPQ的面积为3，顶点M在数轴上，表示的数是2，边MN在数轴上且点N在点M的右侧。用圆规在数轴上点M的左边截取MR＝MQ，那么点R对应的数是(____)。 A．2＋ B．－2 C．2－ D．－1 6．（本题3分）如图，一个正方体包装盒的表面积是2.16m²，不计盒壁厚度，这个包装盒的容积（单位：m³）是(____)。 A．0.216 B．0.36 C．0.6 D．0.046656 7．（本题3分）设整数k使不等式k＜＜k＋1成立，那么k等于(____)。 A．4 B．10 C．－3 D．3 8．（本题3分）如图，实数a在数轴上对应点P的位置已标出，那么式子|a＋1|－|2－a|的值是(____)。 A．2a－1 B．－3 C．1－2a D．3 9．（本题3分）若代数式+＋5有意义，则x²－4x的值是(____)。 A．－3 B．21 C．3 D．－6 10．（本题3分）观察下列各式：＝1，＝3，＝6，……按此规律，的值为(____)。 A．20 B．400 C．231 D．210 评卷人 得分 B卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）比小的最大整数与比∛47大的最小整数的和是________。 12．（本题3分）如图，一个正方体木块的体积扩大为原来的8倍后，棱长变为1.4dm，则原来的棱长是________dm。 13．（本题3分）一台电子秤称得一袋大米的质量为5.9967kg，把这个读数精确到0.01kg，应记作________kg。 14．（本题3分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.7]＝2，[－2.7]＝－3。那么＋＝________。 15．（本题3分）∛0.3≈0.6694，∛3≈1.442，∛30≈3.107。利用这组数据，写出∛(-300000)的近似值：________。 评卷人 得分 B卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）按要求计算： (1)求0.0361的平方根； (2)求－15.625的立方根。 17．（本题9分）下面两个等式中都含有未知数x，分别求出x： (1)49(x－5)²＝9； (2)4(2x＋1)³＋108＝0。 18．（本题9分）如图，数轴上的点E，F分别表示3＋和3－。一个数减去不超过它的最大整数，所得的差叫作这个数的小数部分。设3＋的小数部分为a，3－的小数部分为b。 (1)求a和b； (2)求a＋b的值。 19．（本题9分）如图，在一条数轴的上方画着边长为1个单位长度的正方形网格，点O是数轴的原点。 (1)以O为一个顶点，在网格中作一个四个顶点都落在格点上、面积等于17的正方形OGHK，写出这个正方形的边长； (2)以O为圆心、OG的长为半径画弧，与数轴分别交于点P（在原点右侧）和点Q（在原点左侧），写出点P，Q对应的数； (3)求线段PQ的长，并判断这个长度在哪两个正整数之间。 20．（本题9分）如图，某工地要浇筑一个正方体混凝土基座，所需混凝土的体积为20m³。 (1)不借助计算器，确定棱长的整数部分是几米； (2)借助计算器算出棱长，并保留两位小数（单位：m）； (3)基座的上表面要铺防滑垫，按(2)中的棱长计算，防滑垫约需多少平方米？（保留一位小数） 21．（本题10分）计算： (1)-∛(-2.197)； (2)(－5)²×÷∛(-125)； (3)＋π－∛4（借助计算器，最后结果保留两位小数）。 22．（本题10分）观察下列各式： ＝11，＝20，＝31，…… (1)仿照上面的式子，直接写出的结果； (2)用含n的式子表示（n为正整数），并验证； (3)计算。 23．（本题13分）如图，数轴上点A对应的数是，点B对应的数是3。甲、乙两辆玩具小车分别停在点A，B处，同一时刻出发相向而行，速度都是每秒1个单位长度；行驶t秒（t＞0）后，甲车到达点P，乙车到达点Q。 (1)求A，B两点间的距离； (2)两车出发多少秒时相遇？相遇的位置对应什么数？ (3)两车之间的距离第一次、第二次等于1个单位长度时，分别是出发后多少秒？ (4)取≈1.732，把(3)中较早的那个时刻精确到0.01秒。 附：A卷命题双向细目表 A卷覆盖苏科版2.1平方根、2.2立方根、2.3实数、2.4近似值四节：开平方与开立方、开方解方程、识别无理数、在数轴上作出表示1－的点、估算与取近似值各有专题，第23题以社区空地改造收尾，把算术平方根、立方根与面积造价放在一起算。其中开方求值、识别无理数、取近似值这类基础题11道，估算、数轴作图、开方解方程这类中档题7道，综合求值与实际应用这类较难题5道；以地垫、冰块、瓷砖、社区空地为背景的应用题共5道。 题号 题型 分值 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 算术平方根的意义（正方形地垫） 基础 抽象能力 2 选择题 3 平方根的意义（正负两个） 基础 抽象能力 3 选择题 3 立方根的意义（正方体冰块） 基础 运算能力 4 选择题 3 无理数的识别 基础 抽象能力 5 选择题 3 按要求取近似值 基础 应用意识 6 选择题 3 实数的绝对值与数轴上的距离 基础 几何直观 7 选择题 3 含根式代数式的估算 中档 运算能力 8 选择题 3 用开平方解方程 中档 运算能力 9 选择题 3 非负数的和不大于零 难 推理能力 10 选择题 3 由整数部分确定被开方数的范围 难 运算能力 11 填空题 3 负实数的大小比较 基础 推理能力 12 填空题 3 由算术平方根求数再开立方 基础 运算能力 13 填空题 3 四舍五入取近似值（钢丝直径） 基础 应用意识 14 填空题 3 含绝对值的实数化简 中档 运算能力 15 填空题 3 无理数的小数部分 难 运算能力 16 解答题 6 求算术平方根与立方根 基础 抽象能力 17 解答题 9 开平方、开立方解方程 基础 运算能力 18 解答题 9 实数的混合运算 中档 运算能力 19 解答题 9 在数轴上作出表示无理数的点（作图） 中档 几何直观 20 解答题 9 算术平方根的实际应用（瓷砖铺设） 中档 模型观念 21 解答题 10 数轴上两点间的距离与点的位置 中档 几何直观 22 解答题 10 平方根与立方根的综合求值 难 抽象能力 23 解答题 13 平方根与立方根的综合应用（社区空地改造） 难 模型观念 附：B卷命题双向细目表 B卷考点与A卷一一对应，但中档、较难题每道都多一层思考：负数的小数部分按定义怎样求、含参数的估算怎样逐段排除、两个根式同时有意义怎样确定字母、立方根的小数点怎样随被开方数移动、间隔为2的四个整数之积加16为何是完全平方数；第23题让两辆小车在数轴上相向而行，分相遇前后两种情况求时刻。B卷的难度分布同样是基础11道、中档7道、较难5道，但思考步数明显多于A卷；包装盒、木棒测量、混凝土基座等实际情境共5道。 题号 题型 分值 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 负数的立方根 基础 运算能力 2 选择题 3 由算术平方根求被开方数 基础 抽象能力 3 选择题 3 无理数的概念与范围 基础 抽象能力 4 选择题 3 近似值对应的准确值范围 基础 应用意识 5 选择题 3 用正方形的边长在数轴上找点 基础 几何直观 6 选择题 3 由表面积求正方体的体积（包装盒） 基础 模型观念 7 选择题 3 含参数的无理数估算 中档 运算能力 8 选择题 3 由数轴上点的位置化简绝对值 中档 运算能力 9 选择题 3 由代数式有意义确定字母的值（定义域夹逼） 难 推理能力 10 选择题 3 算术平方根中的规律探究 难 推理能力 11 填空题 3 平方根与立方根的估算 基础 运算能力 12 填空题 3 体积倍数与棱长倍数 基础 运算能力 13 填空题 3 近似值末尾0的保留 基础 应用意识 14 填空题 3 新定义取整与无理数估算 中档 运算能力 15 填空题 3 立方根小数点移动规律 难 推理能力 16 解答题 6 求平方根与立方根 基础 抽象能力 17 解答题 9 开平方与开立方解方程 基础 运算能力 18 解答题 9 负无理数的小数部分 中档 运算能力 19 解答题 9 在数轴上作出表示±的点（作图） 中档 几何直观 20 解答题 9 立方根的估算与近似值（混凝土基座） 中档 模型观念 21 解答题 10 实数的运算与近似计算 中档 运算能力 22 解答题 10 算术平方根的规律探究（间隔为2的四个整数之积） 难 推理能力 23 解答题 13 数轴上的动点与分类讨论 难 推理能力 　参考答案与解析 　客观题答案速查 A卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D A B C D A卷题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 B A 左 9 0.86 1 5 B卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B A C A D B B卷题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 A D 10 0.7 6.00 －1 －66.94 　A卷　一、选择题 1．【答案】C 【解析】【分析】正方形的面积等于边长的平方，边长是面积的算术平方根。 【详解】设边长为x m，则x²＝0.64，x是0.64的算术平方根， 因为0.8²＝0.64，所以x＝＝0.8，地垫的边长是0.8m。 所以选C。 A项把面积除以2当成了边长，按此错法真算得0.32m；B项把面积除以4当成了边长（与周长混淆），按此错法真算得0.16m；D项开平方时小数点位置错，按0.0064开平方，按此错法真算得0.08m。 【方法点拨】已知正方形面积求边长，就是求面积的算术平方根：找一个非负数，它的平方等于面积。 2．【答案】A 【解析】【分析】平方等于2.89的数就是2.89的平方根，正数的平方根有两个。 【详解】因为1.7²＝2.89，(－1.7)²＝2.89， 所以平方等于2.89的数是±＝±1.7。 所以选A。 B项只写了正的平方根，漏掉了负的，按此错法真算得1.7；C项只写了负的平方根，漏掉了正的，按此错法真算得－1.7；D项开平方时小数点移错一位，按0.0289开平方，按此错法真算得±0.17。 【方法点拨】“平方等于a的数”就是a的平方根，正数有两个平方根，写成±的形式。 3．【答案】B 【解析】【分析】正方体的体积等于棱长的立方，棱长是体积的立方根。 【详解】设棱长为a dm，体积3.375立方分米即3.375d m³，则a³＝3.375， 因为1.5³＝1.5×1.5×1.5＝3.375，所以a＝∛3.375＝1.5，棱长是1.5dm。 所以选B。 A项把开立方误当成除以3，按此错法真算得1.125dm；C项忽略了小数点，按3375开立方，按此错法真算得15dm；D项开立方时小数点位置错，按0.003375开立方，按此错法真算得0.15dm。 【方法点拨】已知正方体体积求棱长，就是求体积的立方根；小数开立方时，被开方数的小数位数是立方根的3倍。 4．【答案】D 【解析】【分析】先把能开方的数算出来，再按“无限不循环小数是无理数”逐个判断。 【详解】＝0.5，是分数，0.121212…是无限循环小数，它们都是有理数； π－3，∛9，2.303003000…都是无限不循环小数，是无理数，共3个。 所以选D。 A项把带根号的数都当成无理数，多算了，按此错法真算得4；B项以为π－3是两个数相减的结果、属于有理数，漏掉了它，按此错法真算得2；C项把和无限循环小数0.121212…都当成了无理数，按此错法真算得5。 【方法点拨】判断无理数要看化简后的结果：能开尽方的根号数、分数、循环小数都是有理数，含π的数和开不尽方的数是无理数。 5．【答案】A 【解析】【分析】精确到0.01就是保留到百分位，看千分位上的数字四舍五入。 【详解】精确到0.01，看千分位上的数字5，5≥5，要向百分位进1， 所以≈5.39（验证：5.385×5.385≈28.998＜29，5.395×5.395≈29.106＞29）。 所以选A。 B项直接截去千分位及以后的数字，没有四舍五入，按此错法真算得5.38；C项精确到了0.1，按此错法真算得5.4；D项精确到了0.001，按此错法真算得5.385。 【方法点拨】精确到哪一位，就看它的下一位数字四舍五入，结果保留到这一位。 6．【答案】B 【解析】【分析】点到原点的距离等于这个点表示的数的绝对值；先判断－3的正负。 【详解】因为2＜＜3，所以－3＜0，点P在原点左侧， 点P到原点的距离＝－3|＝3－。 所以选B。 A项把距离直接写成了点P表示的数，没有取绝对值，按此错法真算得－3；C项取绝对值时把－3改成了＋3，按此错法真算得3＋；D项把看成了5，按此错法真算得2。 【方法点拨】点到原点的距离等于它表示的数的绝对值；含根号的数先估值判断正负，再去绝对值。 7．【答案】C 【解析】【分析】先夹出在哪两个相邻整数之间，再把不等式各部分同时减去3。 【详解】因为49＜53＜64，所以7＜＜8， 各部分都减去3，得4＜－3＜5，所以a＝4。 所以选C。 A项只估计了的整数部分，忘了减3，按此错法真算得7；B项取成了较大的那个整数a＋1，按此错法真算得5；D项把－3当成＋3，估计了＋3，按此错法真算得10。 【方法点拨】估算a±时，先用两个相邻的完全平方数夹出，再把不等式的各部分同时加减。 【易错提醒】先估，再整体减3；a是较小的那个整数。 8．【答案】D 【解析】【分析】先把(x＋1)²化成“平方＝常数”的形式，再开平方，正负两个值都要取。 【详解】两边同除以4，得(x＋1)²＝， 所以x＋1＝或x＋1＝， 解得x＝0.5或x＝－2.5。 所以选D。 A项开平方时只取了正值，按此错法真算得0.5；B项没有先两边除以4，直接由(x＋1)²＝9开平方，按此错法真算得2或－4；C项把(x＋1)²＝误开成x＋1＝±，按此错法真算得1.25或－3.25。 【方法点拨】形如a(x＋b)²＝c的方程，先化成(x＋b)²＝，再开平方得到两个一次方程。 【易错提醒】先除以4再开平方；开平方时正、负两个平方根都要写，不能只取正的。 9．【答案】B 【解析】【分析】平方与算术平方根都是非负数，两个非负数的和不大于0，只能都等于0。 【详解】因为(a－b＋2)²≥0，≥0，两个非负数的和不大于0，所以它们都等于0， 即a－b＋2＝0，2a＋b－5＝0，两式相加得3a－3＝0，a＝1，b＝3， ab＝3，3的算术平方根是。 所以选B。 A项求出ab＝3后忘了开平方，按此错法真算得3；C项把算术平方根当成平方根，多写了负的，按此错法真算得±；D项求成了a＋b的算术平方根，按此错法真算得2。 【方法点拨】平方、算术平方根、绝对值都是非负数；几个非负数的和等于0或不大于0时，每一个都等于0。 【易错提醒】“≤0”的两个非负数只能都是0；最后求的是算术平方根，只取正值。 10．【答案】A 【解析】【分析】“整数部分是4”就是4≤＜5，两边平方得n的范围；立方根同理，再取公共部分。 【详解】的整数部分是4，即4≤＜5，所以16≤n＜25； ∛n的整数部分是2，即2≤∛n＜3，所以8≤n＜27； 两个条件同时满足，得16≤n≤24，共24－16＋1＝9个。 所以选A。 B项把n＝16漏掉了，按此错法真算得8；C项把n＝25也算进去了，按此错法真算得10；D项只用了立方根的条件，8≤n＜27共19个，按此错法真算得19。 【方法点拨】“的整数部分是k”等价于k≤＜k＋1，两边平方得k²≤n＜(k＋1)²；多个条件取公共部分。 【易错提醒】n＝16时恰好是4，整数部分是4，要算上；n＝25时整数部分是5，不能算。 　A卷　二、填空题 11．【答案】左 【解析】【分析】先比较它们的绝对值与π，两个负数比较，绝对值大的反而小。 【详解】≈3.162，π≈3.142，所以＞π， 两个负数比较，绝对值大的反而小，所以＜－π， 数轴上较小的数对应的点在左边，所以表示的点在表示－π的点的左侧。 所以答案为左。 【方法点拨】比较两个负实数，先比较它们的绝对值（可用近似值或平方比较），绝对值大的反而小。 12．【答案】9 【解析】【分析】先由算术平方根求出这个数，再求它的立方根。 【详解】这个数是27×27＝729， 因为9×9×9＝729，所以729的立方根是9。 所以答案为9。 【方法点拨】算术平方根与平方互为逆运算：已知算术平方根，平方就得到原数，再按要求开立方。 13．【答案】0.86 【解析】【分析】精确到百分位，看千分位上的数字四舍五入。 【详解】千分位上的数字是9，9≥5，向百分位进1， 所以0.8597≈0.86（0.855≤0.8597＜0.865）。 所以答案为0.86。 【方法点拨】实际测量的读数常要取近似值，精确到百分位就看千分位上的数字。 14．【答案】1 【解析】【分析】先由a的范围判断两个绝对值里面的式子的正负，再去掉绝对值符号。 【详解】因为2＜＜3，所以a－3＜0，2－a＜0， |a－3|＋|2－a|＝(3－a)＋(a－2)＝1。 所以答案为1。 【方法点拨】去绝对值前先判断里面式子的正负：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。 【易错提醒】负数的绝对值是它的相反数：|a－3|＝3－a，|2－a|＝a－2。 15．【答案】5 【解析】【分析】先估出的整数部分，用“小数部分＝这个数－整数部分”表示m，再整体计算。 【详解】因为16＜21＜25，所以4＜＜5，的整数部分是4， m＝－4，m＋8＝＋4， m(m＋8)＝－4)＋4)＝－4²＝21－16＝5。 更精确地，因为4.5²＝20.25＜21，4.6²＝21.16＞21，所以4.5＜＜4.6，进一步确认m在0与1之间； 这种“先粗后细”的夹逼方法可以不断重复：只要把每次的两个近似值再取一次平均，就能把的范围夹得更窄； 例如再取4.55作平均，4.55²＝20.7025＜21，说明还要比4.55大，取值范围可以进一步缩小到4.55与4.6之间。 所以答案为5。 【方法点拨】一个正无理数的小数部分＝它本身－它的整数部分，用含根号的式子表示；求值时常整体代入。 【易错提醒】的小数部分是－4，不是0.58之类的近似数；相乘时用＝21。 　A卷　三、解答题 16．【答案】（1）；（2）－1.4 【解析】【分析】求算术平方根找“哪个非负数的平方等于它”，求立方根找“哪个数的立方等于它”。 【详解】(1)因为＝， 所以＝。　……3分 (2)因为(－1.4)³＝－2.744， 所以∛(-2.744)＝－1.4。　……3分 【检验】把代回平方，确实等于，与题干一致； 把－1.4代回立方，(－1.4)³确实等于－2.744，与题干一致； 【方法点拨】求算术平方根、立方根都用“逆运算”：找平方（立方）等于被开方数的数，再按符号要求取值。 【评分说明】(1)写出平方关系1分，结果2分；(2)写出立方关系1分，结果2分。 17．【答案】（1）x＝1.3或x＝－1.3；（2）x＝－8 【解析】【分析】先把方程化成“x²＝a”或“(x＋3)³＝b”的形式，再开平方或开立方。 【详解】(1)移项得2x²＝3.38，两边同除以2，得x²＝1.69， 所以x＝1.3或x＝－1.3。　……4分 (2)两边同除以2，得(x＋3)³＝－125， 所以x＋3＝－5，x＝－8。　……5分 【检验】把x＝1.3代入2x²－3.38，得2×1.69－3.38＝0，成立； 把x＝－1.3代入同一个式子，得2×1.69－3.38＝0，同样成立，说明两个解都对； 把x＝－8代入2(x＋3)³，得2×(－5)³＝－250，与原方程右边一致，成立； 【方法点拨】解方程时先把平方项或立方项化成“单独一项＝常数”，开平方得两个解，开立方得一个解。 【评分说明】(1)化成x²＝1.69 2分，两个解各1分；(2)化成(x＋3)³＝－125 2分，开立方2分，求出x 1分。 18．【答案】（1）0.7＋；（2）－3 【解析】【分析】先分别算出每个开方的结果和绝对值，再按“先乘方开方、再乘除、后加减”的顺序计算。 【详解】(1)∛(-0.512)＝－0.8，＝3.5， 因为＜2，所以－2|＝2－， 原式＝－0.8＋3.5－(2－＝0.7＋。　……5分 (2)因为＞2，所以|2－＝－2， 原式＝－2＋(－3)× ＝－2－1＝－3。　……4分 【检验】0.7＋的值在2.1与2.12之间（0.7＋1.41＝2.11），与直接计算的结果吻合； －3的值在－0.4与－0.3之间（≈2.65，2.65－3＝－0.35），与(2)的结果吻合； 【方法点拨】实数运算与有理数一样：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；含绝对值的先判断正负。 【评分说明】(1)三个部分各算对1分，去括号合并2分；(2)去绝对值1分，开方1分，结果2分。 【易错提醒】－2|＝2－；去括号时－(2－＝－2＋，符号别弄错。 19．【答案】（1）作法见解析（所作图形略），边长为；（2）1－；（3）－2 【解析】【作法】①从点A出发，向右3格、向上1格得格点B；从B向左1格、向上3格得格点C；从C向左3格、向下1格得格点D；顺次连接A，B，C，D，得正方形ABCD；②以A为圆心、AB的长为半径画弧，交数轴于点A左侧的点E。 【分析】面积为10的正方形边长是；在方格纸中用“横3格、竖1格”的斜线段作边，它的长的平方正好是10（用割补法求面积）。 【详解】(1)如作法所画，正方形ABCD外面的大正方形边长为4，面积为16，四个角上的直角三角形面积都是½×3×1＝1.5， 正方形ABCD的面积＝16－4×1.5＝10，所以边长AB＝。　……4分 (2)AE＝AB＝，点E在点A左侧，所以点E表示的数是1－。　……3分 (3)因为3.1²＝9.61，3.2²＝10.24，9.61＜10＜10.24，所以3.1＜＜3.2， －2.2＜1－＜－2.1，所以点E离整数－2对应的点最近。　……2分 【方法点拨】要在数轴上找，就在方格纸中画面积为n的格点正方形，它的边长是，再用圆规把这个长度移到数轴上。 【评分说明】(1)画图正确2分，割补求面积并得边长2分；(2)3分；(3)夹逼到0.1 1分，结论1分。 【易错提醒】点E在点A左侧，表示的数是1－，不是；估算时先估再整体变形。 20．【答案】（1）3.6m；（2）0.3m；（3）64块 【解析】【分析】地面和瓷砖都是正方形，边长都是各自面积的算术平方根；先求每块瓷砖的面积。 【详解】(1)设地面边长为a m，则a²＝12.96，因为3.6²＝12.96， 所以a＝3.6，地面边长为3.6m。　……3分 (2)每块瓷砖的面积为12.96÷144＝0.09（m²）， 因为0.3²＝0.09，所以每块瓷砖的边长为0.3m。　……3分 (3)每条边需要3.6÷0.45＝8（块），一共需要8×8＝64（块）。 答：一共需要64块。　……3分 【方法点拨】铺设问题中，大正方形的面积÷块数＝每块面积，边长都用算术平方根求；也可以用“每边块数”相乘。 【评分说明】(1)列式1分，结果2分；(2)求出每块面积1分，求出边长2分；(3)每边块数2分，总块数及作答1分。 【易错提醒】每块瓷砖的边长是0.09的算术平方根0.3，不是0.09÷4。 21．【答案】（1）2＋；（2）4＋；（3）整数部分为6，小数部分为－2 【解析】【分析】数轴上两点间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数；向右移动用加法。 【详解】(1)点M在点N的右侧，MN＝2－＝2＋。　……3分 (2)点K表示的数是2＋(2＋＝4＋。　……3分 (3)因为4＜7＜9，所以2＜＜3， 6＜4＋＜7，整数部分为6， 小数部分为(4＋－6＝－2。　……4分 【拓展】若将点K向左平移3个单位长度到达点K'，直接写出点K'对应的数：K'＝(4＋－3＝1＋； 点K'在点N（表示）的右侧，K'与N之间的距离为(1＋－＝1＋＋＝1＋； 因为2＜＜3，所以4＜＜6，从而5＜1＋＜7，这段距离在5与7之间； 可见平移和求距离都要先把点对应的数写成含根号的式子，再按“右减左”列式； 数轴上“向左平移d个单位”对应“减去d”，“向右平移d个单位”对应“加上d”，方向一旦搞反，符号就会全部出错； 这条规则对含根号的数同样适用，不会因为数不是整数而失效。 【方法点拨】数轴上两点间的距离＝右边的点表示的数－左边的点表示的数；从一点向右移动d个单位用加法。 【评分说明】(1)列式2分，结果1分；(2)列式2分，结果1分；(3)估算2分，整数部分1分，小数部分1分。 【易错提醒】距离用“右减左”；小数部分＝这个数－整数部分，结果是－2，不是0.65。 22．【答案】a＝2；（1）m＝49；（2）m＋b＝22，算术平方根在4与5之间；（3）15或1 【解析】【分析】先解方程求出a，再由“已知一个数的平方根求这个数”“由立方根求这个数”翻译出m、b；估计算术平方根用相邻的完全平方数夹逼。 【详解】(1)由4a＋1＝9得4a＝8，a＝2，所以3a＋1＝7， 因为7是正数m的一个平方根，所以m＝7²＝49。　……4分 (2)b的立方根是a－5＝－3，所以b＝(－3)³＝－27， m＋b＝49＋(－27)＝22；因为16＜22＜25，所以m＋b的算术平方根在4与5之间。　……3分 (3)由x²＝49得x＝7或x＝－7，由∛y＝2得y＝8， 当x＝7时，x＋y＝15；当x＝－7时，x＋y＝1。　……3分 【拓展】直接写出xy的所有可能值：7×8＝56或－7×8＝－56； 这两个值互为相反数，因为x的两个取值7与－7互为相反数，而y的值固定为8； 一般地，若x²＝m（m＞0）、y为定值，则xy的两个可能值也一定互为相反数； 这与(3)中x＋y的两个值15、1不是相反数形成对比——加法运算不保持这种对称性，乘法运算才保持； 做综合题时不妨多问一句“还能求什么”，往往能发现这类隐藏的规律。 【方法点拨】先由已知等式求出字母的值；已知一个数的一个平方根，把它平方就得到这个数；由立方根求原数用立方；x²＝m（m＞0）时x有两个值，要分别计算。 【评分说明】由4a＋1＝9解出a 1分；(1)求出m 3分；(2)求出m＋b 1分，估计范围2分；(3)求出x，y 1分，两种情况各1分。 【易错提醒】4a＋1＝9是求a的方程，不能直接令a＝3；m是7的平方，x²＝49时x有两个值，x＋y也有两个值。 23．【答案】（1）空地边长7.6m，花池边长4.6m；（2）1.5m；（3）3111元；（4）棱长0.7m，底面积0.49m² 【解析】【分析】正方形边长是面积的算术平方根，正方体棱长是体积的立方根；步道宽度等于两个边长之差的一半。 【详解】(1)设空地边长为a m，a²＝57.76，因为7.6²＝57.76，所以a＝7.6； 设花池边长为b m，b²＝21.16，因为4.6²＝21.16，所以b＝4.6。　……4分 (2)步道宽度为(7.6－4.6)÷2＝1.5（m）。　……2分 (3)步道面积为57.76－21.16＝36.6（m²）， 总费用为36.6×85＝3111（元）。　……4分 (4)设石墩棱长为c m，c³＝0.343，因为0.7³＝0.343，所以c＝0.7； 底面积为0.7²＝0.49（m²）。 答：铺步道的总费用为3111元，石墩棱长为0.7m，底面积为0.49m²。　……3分 【拓展】若石墩改用棱长扩大为原来2倍的正方体，直接写出它的体积：0.7×2＝1.4（m），1.4³＝2.744（m³）； 棱长扩大到原来2倍，体积就扩大到原来2³＝8倍，0.343×8＝2.744，与直接计算一致； 这与B卷“体积倍数与棱长倍数”的规律是同一个道理：棱长扩大k倍，体积扩大k³倍； 反过来，如果只知道体积扩大的倍数，也能倒推棱长扩大的倍数——只要把体积的倍数开立方即可； 这道题把算术平方根、立方根和实际应用综合在一起，是A卷压轴题的典型考法。 【方法点拨】实际问题中，正方形边长用算术平方根求，正方体棱长用立方根求；组合图形的面积用“大减小”。 【评分说明】(1)两个边长各2分；(2)2分；(3)步道面积2分，费用2分；(4)棱长2分，底面积及作答1分。 【易错提醒】步道宽度是两边长之差再除以2，因为花池两侧各有一条步道。 　B卷　一、选择题 1．【答案】D 【解析】【分析】移项得y³＝－0.008，y就是－0.008的立方根，负数的立方根是负数。 【详解】移项得y³＝－0.008，因为(－0.2)³＝－0.008， 所以y＝∛(-0.008)＝－0.2。 所以选D。 A项忽略了负号，按此错法真算得0.2；B项开立方时小数点位置错，按－0.000008开立方，按此错法真算得－0.02；C项忽略了小数点，按－8开立方，按此错法真算得－2。 【方法点拨】任何数都有唯一的立方根：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 2．【答案】C 【解析】【分析】由算术平方根的定义，被开方数等于算术平方根的平方。 【详解】由算术平方根的定义，x＋1＝1.5²＝2.25， 所以x＝2.25－1＝1.25。 所以选C。 A项没有平方，把x＋1＝1.5解成x＝0.5，按此错法真算得0.5；B项求出x＋1＝2.25后忘了减1，按此错法真算得2.25；D项移项时符号错，算成2.25＋1，按此错法真算得3.25。 【方法点拨】＝b（b≥0）等价于A＝b²；由此可以把含根号的方程化成一般的方程来解。 3．【答案】B 【解析】【分析】逐个看两点：是不是无限不循环小数；数值是否大于2且小于3。 【详解】是分数，是有理数；＜＝2；是负数； 因为4＜6＜9，所以2＜＜3，且是无理数。 所以选B。 A项只看大小在2与3之间，没注意它是有理数，按此错法真算得；C项只看被开方数2.5在2与3之间，按此错法真算得；D项忽略了符号，在－3与－2之间，按此错法真算得。 【方法点拨】判断一个数是否在两个整数之间，可以比较它们的平方（或立方）；判断是否无理数，要看化简后的结果。 4．【答案】A 【解析】【分析】精确到0.1得3.6的数，百分位四舍五入后是3.6，范围是3.55≤x＜3.65。 【详解】精确到0.1后为3.6，说明3.55≤x＜3.65， 四个数中只有3.55在这个范围内（3.65四舍五入后是3.7）。 所以选A。 B项把上限3.65也算进了范围，按此错法真算得3.65；C项误以为x与3.6最多相差0.1，取了3.6－0.1，按此错法真算得3.5；D项误以为x与3.6最多相差0.1，取了3.6＋0.1，按此错法真算得3.7。 【方法点拨】精确到0.1得到a的数x满足a－0.05≤x＜a＋0.05，左端能取到，右端取不到。 5．【答案】C 【解析】【分析】正方形的边长是面积的算术平方根；MR等于边长，点R在M左侧用减法。 【详解】正方形MNPQ的面积为3，所以边长MQ＝， MR＝MQ＝，点R在点M左侧，所以点R表示的数是2－。 这里用圆规把“边长”这段长度从点M移到数轴上，是在数轴上表示无理数的常用作图办法； 如果改为向右截取，点对应的数就是2＋。 所以选C。 A项把点R找到了点M的右侧，按此错法真算得2＋；B项把“2减边长”写反成“边长减2”，按此错法真算得－2；D项把面积3当成了边长，按此错法真算得－1。 【方法点拨】以数轴上一点为圆心、正方形边长为半径画弧，弧与数轴的交点到圆心的距离等于边长；左侧用减、右侧用加。 6．【答案】A 【解析】【分析】表面积÷6得一个面的面积，开平方得棱长，再立方得体积。 【详解】正方体有6个面积相等的正方形面，每个面的面积为2.16÷6＝0.36（m²）， 棱长为＝0.6（m），容积为0.6³＝0.216（m³）。 所以选A。 B项只求出了一个面的面积，按此错法真算得0.36；C项只求出了棱长，按此错法真算得0.6；D项求出一个面的面积后忘了开平方，直接立方，按此错法真算得0.046656。 【方法点拨】正方体问题常在表面积、一个面的面积、棱长、体积之间转化：÷6，开平方，再立方。 7．【答案】D 【解析】【分析】被夹在相邻整数k与k＋1之间，从k的大小入手分情况排除，再验证。 【详解】当k≥4时，k²≥4k＝k＋3k≥k＋12＞k＋7，所以＜k，不合题意； 当k＋1≤0时，≥0＞k＋1，不合题意；当0≤k≤2时，(k＋1)²≤k＋7（例如k＝2时9≤9），所以≥k＋1，也不合题意； 当k＝3时，满足9＜10＜16，即3＜＜4，符合题意。所以k＝3。 整个过程用“排除法＋验证”：先排除偏大的k、再排除偏小的k，最后代回检验剩下的k； 这种“分段讨论＋代回验证”的办法，在含参数的不等式问题里很常用，能避免漏掉或多算可能的取值。 所以选D。 A项把k＋1当成了所求的数，按此错法真算得4；B项求成了被开方数k＋7的值，按此错法真算得10；C项由k²＝9取了负值，按此错法真算得－3。 【方法点拨】含参数的估算先按参数大小分类排除，再代入检验；也可以两边平方转化为整数的比较。 【易错提醒】k只能是较小的那个整数；得到k＝3后要代回验证3＜＜4。 8．【答案】B 【解析】【分析】由图读出a的范围，判断a＋1与2－a的正负，再去掉绝对值符号。 【详解】由图知－2＜a＜－1，所以a＋1＜0，2－a＞0， |a＋1|－|2－a|＝－(a＋1)－(2－a)＝－a－1－2＋a＝－3。 检验：取a＝－1.5，|－1.5＋1|－|2＋1.5|＝0.5－3.5＝－3，结果一致。 所以选B。 A项没有判断正负，直接去掉了绝对值符号，按此错法真算得2a－1；C项两个绝对值都改变了符号，按此错法真算得1－2a；D项把|a＋1|去成a＋1，把|2－a|去成a－2，按此错法真算得3。 【方法点拨】先从数轴读出字母的取值范围，再逐个判断绝对值里式子的正负，最后合并同类项。 【易错提醒】a＋1＜0，|a＋1|＝－a－1；2－a＞0，|2－a|＝2－a，两式相减a正好消去。 9．【答案】A 【解析】【分析】两个根号下的式子都不能为负数，要同时满足x－3≥0与3－x≥0，才能确定x的值。 【详解】要使有意义，需x－3≥0，即x≥3；要使有意义，需3－x≥0，即x≤3， 同时满足x≥3与x≤3，得x＝3，代入x²－4x＝3²－4×3＝－3。 这类题不是解方程，而是从“根号下不能为负”这一条件出发，用两个不等式的交集锁定x的值； 如果题目只有一个根号（比如只有），就只能得到x≥3这一个不等式，无法唯一确定x的值，这正是“两个根号同时出现”的关键作用。 所以选A。 B项符号弄错，把x²－4x算成x²＋4x，按此错法真算得21；C项看成4x－x²，运算顺序颠倒，按此错法真算得3；D项把x²误看成2x，按此错法真算得－6。 【方法点拨】多个根式同时有意义时，各自的非负性条件要同时满足；把这些不等式联立，往往能夹逼出唯一的字母取值。 【易错提醒】两个根号的条件要同时满足，不是取并集；x＝3是唯一解，不是x≥3的所有数。 10．【答案】D 【解析】【分析】把右边的1，3，6写成从1开始的连续整数之和，找出与左边最后一个底数的关系。 【详解】1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3， 规律：＝1＋2＋…＋n， 所以所求的值为1＋2＋…＋20＝(1＋20)×20÷2＝210（验证：1³+2³＋…＋20³＝44100，210×210＝44100）。 所以选D。 A项误以为结果等于最后一个底数，按此错法真算得20；B项误以为结果等于最后一个底数的平方，按此错法真算得400；C项多加了一项，算成1＋2＋…＋21，按此错法真算得231。 【方法点拨】规律题先把右边的结果改写成与序号有关的式子，找到一般规律后再代入所求的项。 【易错提醒】右边是1＋2＋…＋n，不是n，也不是n²；加到20为止。 　B卷　二、填空题 11．【答案】10 【解析】【分析】分别夹出与∛47在哪两个相邻整数之间。 【详解】因为36＜47＜49，所以6＜＜7，比小的最大整数是6； 因为27＜47＜64，所以3＜∛47＜4，比∛47大的最小整数是4； 它们的和是6＋4＝10。 更精确地，因为6.8²＝46.24＜47，6.9²＝47.61＞47，所以6.8＜＜6.9；又因为3.6³＝46.656＜47，3.7³＝50.653＞47，所以3.6＜∛47＜3.7； 由此可知≈6.8～6.9，∛47≈3.6～3.7，两者都比“比它小的最大整数”“比它大的最小整数”更接近真实值，估算越精细，误差越小； 这道题最终要求的“最大整数”“最小整数”并不需要这么精细的估算，但精细估算能帮助我们确认粗略估算没有算错方向。 所以答案为10。 【方法点拨】用相邻的完全平方数、完全立方数分别夹出与∛a，再按题意取整数。 12．【答案】0.7 【解析】【分析】体积是原来的8倍，棱长就是原来的∛8＝2倍。 【详解】设原来的棱长为a dm，扩大后体积为8a³＝(2a)³， 所以扩大后的棱长是2a，2a＝1.4，a＝0.7。 所以答案为0.7。 【方法点拨】正方体的体积变为原来的k倍，棱长变为原来的∛k倍；面积变为k倍时，边长变为倍。 13．【答案】6.00 【解析】【分析】精确到0.01，看千分位上的数字四舍五入；进位后末尾的0要保留。 【详解】精确到0.01，看千分位上的6，6≥5，向百分位进1， 百分位9加1后逐位进位，得6.00（5.995≤5.9967＜6.005），末尾的两个0表示精确到百分位，不能省略。 所以答案为6.00。 【方法点拨】近似值末尾的0表示精确程度，不能随意去掉：精确到0.01的结果要保留两位小数。 14．【答案】－1 【解析】【分析】先估出在哪两个相邻整数之间，再分别找不超过、的最大整数。 【详解】因为16＜23＜25，所以4＜＜5，＝4； －5＜＜－4，不超过的最大整数是－5，＝－5； 所以＋＝4＋(－5)＝－1。 所以答案为－1。 【方法点拨】新定义题先读懂例子；[x]是不超过x的最大整数，负数要向左找，所以比小。 【易错提醒】是－5，不是－4；负数“不超过”要往左边找整数。 15．【答案】－66.94 【解析】【分析】被开方数的小数点每移动三位，立方根的小数点就向同方向移动一位；再看符号。 【详解】被开方数的小数点每向右移动三位，立方根的小数点就向右移动一位， 300000是把0.3的小数点向右移动六位得到的，所以∛300000≈0.6694×100＝66.94， 又因为负数的立方根是负数，所以∛(-300000)≈－66.94。 所以答案为－66.94。 【方法点拨】被开方数的小数点每移动三位，立方根的小数点向同一方向移动一位；负数的立方根是负数。 【易错提醒】300000对应0.3（移动六位、立方根移两位），不是对应3或30。 　B卷　三、解答题 16．【答案】（1）±0.19；（2）－2.5 【解析】【分析】正数的平方根有两个且互为相反数；负数的立方根是负数。 【详解】(1)因为0.19²＝0.0361，(－0.19)²＝0.0361， 所以0.0361的平方根是±＝±0.19。　……3分 (2)因为(－2.5)³＝－15.625， 所以－15.625的立方根是∛(-15.625)＝－2.5。　……3分 【检验】0.19²与(－0.19)²都代回等于0.0361，与题干吻合； (－2.5)³代回等于－15.625，与题干吻合； 【方法点拨】平方根要写“±”两个值，立方根只有一个值；小数开方时注意小数点的位置。 【评分说明】(1)写出平方关系1分，结果2分；(2)写出立方关系1分，结果2分。 17．【答案】（1）x＝或x＝；（2）x＝－2 【解析】【分析】先把含x的平方式或立方式单独放在等号一边、系数化为1，再开平方或开立方。 【详解】(1)两边同除以49，得(x－5)²＝， 所以x－5＝或x－5＝， 解得x＝或x＝。　……4分 (2)移项得4(2x＋1)³＝－108，两边同除以4，得(2x＋1)³＝－27， 所以2x＋1＝－3，2x＝－4，x＝－2。　……5分 【检验】把x＝代入49(x－5)²，得49×＝9，成立； 把x＝代入同一个式子，得49×＝9，同样成立； 把x＝－2代入4(2x＋1)³＋108，得4×(－3)³＋108＝0，成立； 【方法点拨】先移项、再把系数化为1，得到“平方式＝常数”或“立方式＝常数”；开平方得两个一次方程，开立方只得一个。 【评分说明】(1)化成(x－5)²＝ 2分，两个解各1分；(2)移项并化成(2x＋1)³＝－27 2分，开立方2分，求出x 1分。 18．【答案】（1）a＝－3，b＝4－；（2）1 【解析】【分析】先估，得出两个数各在哪两个相邻整数之间；负数的“不超过它的最大整数”在它的左边。 【详解】(1)因为9＜11＜16，所以3＜＜4， 6＜3＋＜7，a＝3＋－6＝－3； －1＜3－＜0，b＝3－－(－1)＝4－。　……5分 (2)a＋b＝－3)＋(4－＝1。　……4分 【检验】a＋b与无关、恒等于1，说明结果与的具体近似值无关，只由“不超过它的最大整数”的定义决定； 换一个角度看，(3＋＋(3－＝6，而两个数各自的整数部分之和为6＋(－1)＝5，6－5＝1，与a＋b的结果一致； 这提示我们：两个互为“对称”的无理数（一正一负、绝对值相同的偏移量），它们的小数部分之和往往是整数； 这个结论可以推广到任意形如c＋、c－（c为整数、n不是完全平方数）的一对数上； 【方法点拨】按定义“小数部分＝这个数－不超过它的最大整数”，负数的小数部分也在0与1之间。 【评分说明】(1)估算 1分，求出a 2分，求出b 2分；(2)列式2分，结果2分。 【易错提醒】3－是负数，不超过它的最大整数是－1，不是0；所以b＝4－。 19．【答案】（1）作法见解析（所作图形略），边长为；（2）点P对应，点Q对应；（3）PQ＝，在8与9之间 【解析】【作法】①从点O出发，向右4格、向上1格得格点G；从G向左1格、向上4格得格点H；从H向左4格、向下1格得格点K；顺次连接O，G，H，K，得正方形OGHK；②以O为圆心、OG的长为半径画弧，交数轴正半轴于点P，交数轴负半轴于点Q。 【分析】面积为17的正方形边长是；在方格纸中用“横4格、竖1格”的斜线段作边，用割补法可算出它围成的正方形面积是17。 【详解】(1)正方形OGHK外面的大正方形边长为5，面积为25，四个角上的直角三角形面积都是½×4×1＝2， 正方形OGHK的面积＝25－4×2＝17，边长OG＝。　……4分 (2)OP＝OQ＝OG＝，点P在原点右侧，表示；点Q在原点左侧，表示。　……2分 (3)PQ＝OP－OQ＝－＝＋＝（乘法分配律）， 因为4＜＜5，所以8＜＜10； 又因为4.1²＝16.81＜17＜17.64＝4.2²，所以4.1＜＜4.2，8.2＜＜8.4，所以PQ的长在8与9之间。　……3分 【方法点拨】格点正方形的面积可以用“外框正方形减去四个直角三角形”求出，它的边长就是面积的算术平方根。 【评分说明】(1)画图正确2分，割补求面积并得边长2分；(2)写出两点对应的数2分；(3)求出PQ的长1分，两次夹逼得出结论2分。 【易错提醒】PQ的长是OP与OQ之差，等于＋，不是；要用4.1、4.2再夹一次才能确定是哪两个整数。 20．【答案】（1）2m；（2）约2.71m；（3）约7.3m² 【解析】【分析】棱长是体积的立方根：先用相邻整数的立方夹出范围，再用计算器求近似值。 【详解】(1)设棱长为a m，则a³＝20，因为2³＝8，3³＝27，8＜20＜27， 所以2＜a＜3，棱长的整数部分是2m。　……3分 (2)用计算器求得∛20≈2.7144，因为2.705×2.705×2.705≈19.79＜20，2.715×2.715×2.715≈20.01＞20，保留两位小数得a≈2.71m。　……3分 (3)防滑垫面积约为2.71²＝7.3441≈7.3（m²）。 答：防滑垫的面积约为7.3m²。　……3分 【方法点拨】工程估算先用相邻整数的立方夹出范围，再用计算器求近似值；后续计算按新的精确度要求取值。 【评分说明】(1)夹逼2分，结论1分；(2)计算器结果1分，取近似2分；(3)列式1分，结果及作答2分。 【易错提醒】上表面是正方形，面积是棱长的平方，不是立方；两次取近似要按各自的要求。 21．【答案】（1）2；（2）－1；（3）4.00 【解析】【分析】先分别求出每个开方的值，再按运算顺序计算；近似计算中间多保留一位，最后再四舍五入。 【详解】(1)＝0.7，∛(-2.197)＝－1.3， 原式＝0.7－(－1.3)＝2。　……3分 (2)原式＝25×0.2÷(－5) ＝5÷(－5)＝－1。　……3分 (3)≈2.4495，π≈3.1416，∛4≈1.5874， 原式≈2.4495＋3.1416－1.5874＝4.0037，因为3.995≤4.0037＜4.005，所以原式≈4.00。　……4分 【拓展】若把(2)中的－125换成－1000，直接写出(－5)²×÷∛(-1000)的值：25×0.2÷(－10)＝－0.5； 被开方数由－125变为－1000，立方根由－5变为－10，其余两个因数不变，所以结果由－1变为－0.5； 被开方数扩大到原来的8倍，立方根扩大到原来的2倍，所以不必每次都从头计算； 原式的值等于5÷(立方根)，立方根从－5变到－10（扩大2倍），商就从－1变到－0.5（缩小为原来的一半）； 这提示我们：分母扩大若干倍，商就缩小相同的倍数，是除法运算的基本性质在开方式子里的体现。 【方法点拨】实数运算中，开得尽的先开方；开不尽的按要求用计算器取近似值，中间结果多保留一位小数。 【评分说明】(1)开方各1分，结果1分；(2)开方1分，结果2分；(3)三个近似值2分，结果2分。 【易错提醒】＝0.7是正数；结果精确到0.01要写成4.00，末尾的0不能省。 22．【答案】（1）620；（2）n²＋6n＋4，验证见解析；（3）1931 【解析】【分析】把11，20，31写成与左边第一个因数n有关的式子：n²＋6n＋4；验证时把间隔为6的首尾两个因数、间隔为2的中间两个因数分别相乘。 【详解】(1)11＝1²＋6×1＋4，20＝2²＋6×2＋4，31＝3²＋6×3＋4， 所以＝22²＋6×22＋4＝620。　……3分 (2)＝n²＋6n＋4。 验证：n(n＋6)＝n²＋6n，(n＋2)(n＋4)＝n²＋6n＋8， 设m＝n²＋6n，则被开方数＝m(m＋8)＋16＝m²＋8m＋16＝(m＋4)²， 因为n是正整数，m＋4＞0，所以原式＝m＋4＝n²＋6n＋4。　……4分 (3)取n＝41，原式＝41²＋6×41＋4＝1681＋246＋4＝1931。　……3分 【验证】验证第5个等式：＝5²＋6×5＋4＝59（5×7×9×11＝3465，3465＋16＝3481＝59²）； 按(2)中的一般结论，n＝5时m＝n²＋6n＝25＋30＝55，m＋4＝59，与直接计算一致； 【方法点拨】把间隔为2的四个数首尾相乘、中间相乘，两积相差8，整体设元后能配成完全平方。 【评分说明】(1)3分；(2)写出式子1分，验证过程3分；(3)代入1分，结果2分。 【易错提醒】被开方数是完全平方数(n²＋6n＋4)²，它的算术平方根取正的n²＋6n＋4。 23．【答案】（1）3＋；（2）出发秒时相遇，相遇位置对应；（3）第一次在出发秒时，第二次在出发秒时；（4）约1.87秒 【解析】【分析】用含t的式子表示P，Q两点对应的数，两点间的距离等于两数之差的绝对值；相距1可能在相遇前，也可能在相遇后。 【详解】(1)AB＝3－＝3＋。　……2分 (2)t秒时，点P表示t－，点Q表示3－t， 相遇时t－＝3－t，2t＝3＋，t＝， 相遇点表示的数为3－＝。　……4分 (3)PQ＝|(3－t)－(t－＝|3＋－2t|＝1， ①相遇前：3＋－2t＝1，t＝； ②相遇后：2t－(3＋＝1，t＝； 所以第一次在出发秒时，第二次在出发秒时。　……5分 (4)t＝≈(2＋1.732)÷2＝1.866≈1.87（秒）。　……2分 【另解】相遇后的另一种列式：相遇后两车反向远离，相距的距离＝2(t－t相遇)，其中t相遇＝； 令2(t－＝1，解得t＝，与(3)中第二次相距1个单位长度的时刻一致； 这种列式把“相遇后每秒共同拉开2个单位长度”当作一个整体速度，比逐点表示P，Q再作差更直接； 同理，相遇前的“合拢速度”也是2个单位长度每秒，可以用同样的思路列出这一时刻； 两种列式殊途同归，选择哪一种取决于题目问的是“相遇前”还是“相遇后”，也取决于哪种未知数更容易设； 动点问题的核心始终是“用含t的式子表示各点位置，再把距离条件翻译成方程”，具体列式方式可以灵活选择； 本题还可以追问：t取何值时，甲车恰好到达原点？由t－＝0得t＝，这时甲车走过的路程恰好等于A到原点的距离； 因为0＜＜（即甲车到原点的时刻在相遇之前），所以这一时刻是合理的，说明动点问题里“回到原点”“到达某个特殊点”都可以用同样的“列方程求t”办法解决。 【方法点拨】动点问题先用含t的式子表示各点所表示的数，距离用两数之差的绝对值表示，再按相遇前、相遇后分类。 【评分说明】(1)2分；(2)表示两点2分，求出t 1分，相遇点1分；(3)列出距离式1分，两种情况各2分；(4)2分。 【易错提醒】相距1有相遇前、相遇后两种情况，漏掉一种扣分；甲车t秒后对应的数是t－。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级上册 第2章 实数的初步认识 单元检测·A／B双卷 保密★启用前 第2章 实数的初步认识 单元检测（A／B双卷） 苏科版数学八年级上册 （试卷总分：A卷120分＋B卷120分　建议用时：每卷100分钟　测试范围：第2章 实数的初步认识） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请在规定位置写清学校、姓名、班级和考号。 2．考试范围：苏科版（2024）八年级上册第2章 实数的初步认识（2.1～2.4）。 3．本卷由A卷（基础达标）与B卷（能力提升）组成，两卷分别编号，满分各120分，可分两次完成。 4．请按题号在对应区域内作答，写在区域外的答案无效。 命题说明本卷考查：算术平方根、平方根、立方根、开方解方程、非负数的性质、无理数与实数的分类、实数与数轴、无理数的估算等（A、B两卷，每卷 10 选／5 填／8 解，各 120 分） 考点清单 本卷把第2章拆成十三个考点，表中左栏是考点，中、右两栏是它在A卷、B卷中对应的题号。A卷的题多是直接开方、估算与取近似值，B卷加进了含参数的估算、负数的小数部分、规律探究和数轴上的相向运动；讲评时按行统计错题，哪一行错得多，就回到2.1～2.4相应小节补练。 本章考点 A卷题号 B卷题号 算术平方根 1，16，19，20 2，5，6，19 平方根 2，22 16 立方根 3，12，18，22，23 1，6，12，20 开方解方程 8，17 17 非负数的性质 9 9 无理数与实数的分类 4 3 实数与数轴 6，14，19，21 5，8，18，19，23 无理数的估算 7，10，15，19，21 7，11，14，18 实数的大小比较 11 7，11，14 实数的运算 14，15，18 8，21 近似值 5，11，13，23 4，13，20，21 实际应用 20，23 6，20 规律探究与综合 — 10，15，22，23 本章知识要点速览 下表把本章十条核心结论按“内容—用法”排好。建议先遮住右栏，看着左栏的名称回忆结论和常见题型，再揭开核对；回忆不完整的条目用彩笔圈出，考前重点再看。 序号 知识要点 掌握要求 1 算术平方根 若正数x满足x²＝a，则x叫作a的算术平方根，记作；0的算术平方根是0；（a≥0）本身也是非负数 2 平方根 若x²＝a，则x叫作a的平方根；正数有两个平方根±，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 3 立方根 若x³＝a，则x叫作a的立方根，记作∛a；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 4 开方与乘方 开平方与平方、开立方与立方互为逆运算：＝a（a≥0），(∛a)³＝a；解x²＝a、x³＝b型方程用开方 5 非负数 a²≥0，|a|≥0，≥0（a≥0）；几个非负数的和为0，则每个都为0 6 无理数与实数 无限不循环小数叫作无理数；有理数和无理数统称实数；开不尽方的数、含π的数是常见的无理数 7 实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应；数轴上右边的点表示的数大；用正方形的边长可在数轴上作出 8 估算与比较 用相邻的完全平方数（完全立方数）夹出（∛a）的范围；负数比较大小，绝对值大的反而小 9 实数的运算 相反数、绝对值、倒数的意义和运算律、运算顺序在实数范围内仍然适用 10 近似值 按要求四舍五入取近似值；近似值末尾的0表示精确程度，不能省略；精确到0.1的近似值a对应a－0.05≤x＜a＋0.05 11 含参数的估算 把参数的可能取值分段讨论，排除偏大、偏小的情形，再代入验证剩下的取值是否符合原不等式 12 由代数式有意义确定字母 多个根式同时有意义时，各自的非负性条件要联立求交集，往往能唯一确定字母的值 13 规律探究 先把已给的等式改写成与序号有关的式子，找到一般规律后代入所求的项，并验证其中一个具体等式 A 卷　基础达标（满分120分） 评卷人 得分 A卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）如图，小明想给家门口一块面积为0.64m²的正方形地垫四周缝上花边，先要知道地垫一条边有多长，这条边长是(____)。 A．0.32m B．0.16m C．0.8m D．0.08m 2．（本题3分）平方后等于2.89的数有两个，把它们合起来写，是(____)。 A．±1.7 B．1.7 C．－1.7 D．±0.17 3．（本题3分）如图，冷饮店冻好了一块体积为3.375立方分米的正方体冰块，要挑选能装下它的保温箱，得先知道冰块的棱长，棱长为(____)。 A．1.125dm B．1.5dm C．15dm D．0.15dm 4．（本题3分）老师在黑板上写了六个数：，π－3，∛9，，0.121212…（小数点后“12”不断重复出现），2.303003000…（每两个3之间依次多一个0）。请同学们数一数，这六个数里无理数共有(____)个。 A．4 B．2 C．5 D．3 5．（本题3分）用计算器求得＝5.385164…，把它精确到0.01，结果是(____)。 A．5.39 B．5.38 C．5.4 D．5.385 6．（本题3分）如图，数轴上的点P表示实数－3，点P到原点的距离是(____)。 A．－3 B．3－ C．3＋ D．2 7．（本题3分）若整数a满足a＜－3＜a＋1，则a的值是(____)。 A．7 B．5 C．4 D．10 8．（本题3分）使等式4(x＋1)²＝9成立的x的所有值是(____)。 A．0.5 B．2或－4 C．1.25或－3.25 D．0.5或－2.5 9．（本题3分）两个实数a，b使得(a－b＋2)²与的和不大于0，那么ab的算术平方根是(____)。 A．3 B． C．± D．2 10．（本题3分）若正整数n满足：的整数部分是4，并且∛n的整数部分是2，则这样的n一共有(____)个。 A．9 B．8 C．10 D．19 评卷人 得分 A卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）在数轴上，表示的点在表示－π的点的________侧（填“左”或“右”）。 12．（本题3分）某数的算术平方根等于27，求出这个数后再开立方，结果是________。 13．（本题3分）工人用千分尺量得一根钢丝的直径为0.8597mm，把这个读数精确到百分位，约为________mm。 14．（本题3分）如图，数轴上的点P表示实数a，且a＝，则|a－3|＋|2－a|＝________。 15．（本题3分）把写成“整数部分＋小数部分”，记小数部分为m，那么代数式m(m＋8)的值等于________。 评卷人 得分 A卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）用开方的定义求值： (1)； (2)∛(-2.744)。 17．（本题9分）按要求解方程（结果写成整数或小数）： (1)2x²－3.38＝0； (2)2(x＋3)³＝－250。 18．（本题9分）先分别求出每个开方的值，再按运算顺序计算（结果含根号的保留根号）： (1)∛(-0.512)+－－2|； (2)|2－＋∛(-27)×。 19．（本题9分）如图，网格中每个小正方形的边长与数轴的单位长度相同，网格的底边就是数轴，点A在数轴上且对应的数是1。 (1)在方格纸中画出一个以A为顶点、面积为10的正方形ABCD（顶点都在格点上），并写出它的边长； (2)用圆规在数轴上截取AE＝AB（点E在点A的左边），求点E对应的数； (3)点E离哪个整数对应的点最近？写出这个整数。 20．（本题9分）如图，学校新建的一间正方形舞蹈房，地面面积为12.96m²，计划用144块大小相同的正方形瓷砖恰好铺满（瓷砖间的缝隙忽略不计）。 (1)求舞蹈房地面的边长； (2)求每块瓷砖的边长； (3)如果改用边长为0.45m的正方形瓷砖铺满地面，一共需要多少块？ 21．（本题10分）如图，在数轴上，点M对应的数是2，点N对应的数是。 (1)计算M，N两点之间的距离； (2)在点M的右侧取一点K，使K到M的距离与MN相等，求K对应的数； (3)写出K对应的数的整数部分和小数部分。 22．（本题10分）已知a满足4a＋1＝9。 (1)已知正数m的一个平方根是3a＋1，求m的值； (2)设b＝(a－5)³，求m＋b的值，并估计它的算术平方根落在哪两个相邻整数之间； (3)已知x²与m相等，y的立方根与a相等，求x＋y所有可能的值。 23．（本题13分）如图，社区有一块面积为57.76m²的正方形空地，计划在空地正中间修一个面积为21.16m²的正方形花池（花池的边与空地的边平行），花池四周余下的部分铺成宽度相同的步道。 (1)求空地和花池的边长； (2)求步道的宽度； (3)铺步道每平方米的费用是85元，求铺步道的总费用； (4)花池中央要放一个正方体石墩，它的体积是0.343m³，求石墩的棱长和它的底面积。 B 卷　能力提升（满分120分） 评卷人 得分 B卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）y³＋0.008＝0中，未知数y等于(____)。 A．0.2 B．－0.02 C．－2 D．－0.2 2．（本题3分）一个数加上1以后，它的算术平方根是1.5，这个数是(____)。 A．0.5 B．2.25 C．1.25 D．3.25 3．（本题3分）下列各数中，既是无理数又在2与3之间的是(____)。 A． B． C． D． 4．（本题3分）用刻度尺测量一根木棒的长度x（单位：m），按四舍五入精确到0.1后记为3.6，则x的值可能是(____)。 A．3.55 B．3.65 C．3.5 D．3.7 5．（本题3分）如图，正方形MNPQ的面积为3，顶点M在数轴上，表示的数是2，边MN在数轴上且点N在点M的右侧。用圆规在数轴上点M的左边截取MR＝MQ，那么点R对应的数是(____)。 A．2＋ B．－2 C．2－ D．－1 6．（本题3分）如图，一个正方体包装盒的表面积是2.16m²，不计盒壁厚度，这个包装盒的容积（单位：m³）是(____)。 A．0.216 B．0.36 C．0.6 D．0.046656 7．（本题3分）设整数k使不等式k＜＜k＋1成立，那么k等于(____)。 A．4 B．10 C．－3 D．3 8．（本题3分）如图，实数a在数轴上对应点P的位置已标出，那么式子|a＋1|－|2－a|的值是(____)。 A．2a－1 B．－3 C．1－2a D．3 9．（本题3分）若代数式+＋5有意义，则x²－4x的值是(____)。 A．－3 B．21 C．3 D．－6 10．（本题3分）观察下列各式：＝1，＝3，＝6，……按此规律，的值为(____)。 A．20 B．400 C．231 D．210 评卷人 得分 B卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）比小的最大整数与比∛47大的最小整数的和是________。 12．（本题3分）如图，一个正方体木块的体积扩大为原来的8倍后，棱长变为1.4dm，则原来的棱长是________dm。 13．（本题3分）一台电子秤称得一袋大米的质量为5.9967kg，把这个读数精确到0.01kg，应记作________kg。 14．（本题3分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.7]＝2，[－2.7]＝－3。那么＋＝________。 15．（本题3分）∛0.3≈0.6694，∛3≈1.442，∛30≈3.107。利用这组数据，写出∛(-300000)的近似值：________。 评卷人 得分 B卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）按要求计算： (1)求0.0361的平方根； (2)求－15.625的立方根。 17．（本题9分）下面两个等式中都含有未知数x，分别求出x： (1)49(x－5)²＝9； (2)4(2x＋1)³＋108＝0。 18．（本题9分）如图，数轴上的点E，F分别表示3＋和3－。一个数减去不超过它的最大整数，所得的差叫作这个数的小数部分。设3＋的小数部分为a，3－的小数部分为b。 (1)求a和b； (2)求a＋b的值。 19．（本题9分）如图，在一条数轴的上方画着边长为1个单位长度的正方形网格，点O是数轴的原点。 (1)以O为一个顶点，在网格中作一个四个顶点都落在格点上、面积等于17的正方形OGHK，写出这个正方形的边长； (2)以O为圆心、OG的长为半径画弧，与数轴分别交于点P（在原点右侧）和点Q（在原点左侧），写出点P，Q对应的数； (3)求线段PQ的长，并判断这个长度在哪两个正整数之间。 20．（本题9分）如图，某工地要浇筑一个正方体混凝土基座，所需混凝土的体积为20m³。 (1)不借助计算器，确定棱长的整数部分是几米； (2)借助计算器算出棱长，并保留两位小数（单位：m）； (3)基座的上表面要铺防滑垫，按(2)中的棱长计算，防滑垫约需多少平方米？（保留一位小数） 21．（本题10分）计算： (1)-∛(-2.197)； (2)(－5)²×÷∛(-125)； (3)＋π－∛4（借助计算器，最后结果保留两位小数）。 22．（本题10分）观察下列各式： ＝11，＝20，＝31，…… (1)仿照上面的式子，直接写出的结果； (2)用含n的式子表示（n为正整数），并验证； (3)计算。 23．（本题13分）如图，数轴上点A对应的数是，点B对应的数是3。甲、乙两辆玩具小车分别停在点A，B处，同一时刻出发相向而行，速度都是每秒1个单位长度；行驶t秒（t＞0）后，甲车到达点P，乙车到达点Q。 (1)求A，B两点间的距离； (2)两车出发多少秒时相遇？相遇的位置对应什么数？ (3)两车之间的距离第一次、第二次等于1个单位长度时，分别是出发后多少秒？ (4)取≈1.732，把(3)中较早的那个时刻精确到0.01秒。 附：A卷命题双向细目表 A卷覆盖苏科版2.1平方根、2.2立方根、2.3实数、2.4近似值四节：开平方与开立方、开方解方程、识别无理数、在数轴上作出表示1－的点、估算与取近似值各有专题，第23题以社区空地改造收尾，把算术平方根、立方根与面积造价放在一起算。其中开方求值、识别无理数、取近似值这类基础题11道，估算、数轴作图、开方解方程这类中档题7道，综合求值与实际应用这类较难题5道；以地垫、冰块、瓷砖、社区空地为背景的应用题共5道。 题号 题型 分值 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 算术平方根的意义（正方形地垫） 基础 抽象能力 2 选择题 3 平方根的意义（正负两个） 基础 抽象能力 3 选择题 3 立方根的意义（正方体冰块） 基础 运算能力 4 选择题 3 无理数的识别 基础 抽象能力 5 选择题 3 按要求取近似值 基础 应用意识 6 选择题 3 实数的绝对值与数轴上的距离 基础 几何直观 7 选择题 3 含根式代数式的估算 中档 运算能力 8 选择题 3 用开平方解方程 中档 运算能力 9 选择题 3 非负数的和不大于零 难 推理能力 10 选择题 3 由整数部分确定被开方数的范围 难 运算能力 11 填空题 3 负实数的大小比较 基础 推理能力 12 填空题 3 由算术平方根求数再开立方 基础 运算能力 13 填空题 3 四舍五入取近似值（钢丝直径） 基础 应用意识 14 填空题 3 含绝对值的实数化简 中档 运算能力 15 填空题 3 无理数的小数部分 难 运算能力 16 解答题 6 求算术平方根与立方根 基础 抽象能力 17 解答题 9 开平方、开立方解方程 基础 运算能力 18 解答题 9 实数的混合运算 中档 运算能力 19 解答题 9 在数轴上作出表示无理数的点（作图） 中档 几何直观 20 解答题 9 算术平方根的实际应用（瓷砖铺设） 中档 模型观念 21 解答题 10 数轴上两点间的距离与点的位置 中档 几何直观 22 解答题 10 平方根与立方根的综合求值 难 抽象能力 23 解答题 13 平方根与立方根的综合应用（社区空地改造） 难 模型观念 附：B卷命题双向细目表 B卷考点与A卷一一对应，但中档、较难题每道都多一层思考：负数的小数部分按定义怎样求、含参数的估算怎样逐段排除、两个根式同时有意义怎样确定字母、立方根的小数点怎样随被开方数移动、间隔为2的四个整数之积加16为何是完全平方数；第23题让两辆小车在数轴上相向而行，分相遇前后两种情况求时刻。B卷的难度分布同样是基础11道、中档7道、较难5道，但思考步数明显多于A卷；包装盒、木棒测量、混凝土基座等实际情境共5道。 题号 题型 分值 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 负数的立方根 基础 运算能力 2 选择题 3 由算术平方根求被开方数 基础 抽象能力 3 选择题 3 无理数的概念与范围 基础 抽象能力 4 选择题 3 近似值对应的准确值范围 基础 应用意识 5 选择题 3 用正方形的边长在数轴上找点 基础 几何直观 6 选择题 3 由表面积求正方体的体积（包装盒） 基础 模型观念 7 选择题 3 含参数的无理数估算 中档 运算能力 8 选择题 3 由数轴上点的位置化简绝对值 中档 运算能力 9 选择题 3 由代数式有意义确定字母的值（定义域夹逼） 难 推理能力 10 选择题 3 算术平方根中的规律探究 难 推理能力 11 填空题 3 平方根与立方根的估算 基础 运算能力 12 填空题 3 体积倍数与棱长倍数 基础 运算能力 13 填空题 3 近似值末尾0的保留 基础 应用意识 14 填空题 3 新定义取整与无理数估算 中档 运算能力 15 填空题 3 立方根小数点移动规律 难 推理能力 16 解答题 6 求平方根与立方根 基础 抽象能力 17 解答题 9 开平方与开立方解方程 基础 运算能力 18 解答题 9 负无理数的小数部分 中档 运算能力 19 解答题 9 在数轴上作出表示±的点（作图） 中档 几何直观 20 解答题 9 立方根的估算与近似值（混凝土基座） 中档 模型观念 21 解答题 10 实数的运算与近似计算 中档 运算能力 22 解答题 10 算术平方根的规律探究（间隔为2的四个整数之积） 难 推理能力 23 解答题 13 数轴上的动点与分类讨论 难 推理能力 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $