2026-2027学年北师大版九年级数学上册第一次月考测试卷（第1-2章：特殊平行四边形与一元二次方程）

九年级数学上学期第一次月考测试卷 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A、方程含分式，不是整式方程，不符合题意；B、展开左边得，整理得，符合一元二次方程定义；C、当时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意；D、展开左边得，整理得，是一元一次方程，不符合题意． 2．在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，是中心对称不是轴对称的图形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【解析】∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合要求；矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合要求；菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合要求；正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合要求. 故选：A． 3．将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解析】解：将化为的形式为，故，，． 4．矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角 【答案】A 【解析】∵矩形的对角线性质为互相平分且相等，菱形的对角线性质为互相垂直平分，且平分一组对角， ∴对比可得，矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等． 5．如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】菱形中，，对角线平分， ， 与地面平行， 与地面的夹角为． 6．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对原方程移项整理得∵方程有实数根，任意实数的平方都大于等于∴解得． 7．已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 【答案】A 【解析】解：，解得，，∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ，即第三边 ， ∴不符合要求，舍去，则第三边长为6，∴此三角形的周长为． 8．如图，在菱形中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点，作于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 9．若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ，又∵ ，∴ ，则，把代入得 ，∴ ，. 10．如图，点是矩形的边上一点，将沿着对折，点恰好折叠到边上的点处，若，，那么的长为（     ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】C 【解析】四边形是矩形，，， ∴，，， 根据折叠性质，得， ∴， ∴， 设，则， 根据折叠的性质，得， 根据勾股定理，得， 解得， 故， 故． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．正方形绕其中心至少旋转　 　度能与原图完全重合． 【答案】90 【解析】解：绕其中心旋转的最小重合角度为， 故答案为：90． 12．把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【解析】解： ，原方程化为一般形式为． 13．如图，在矩形中，，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为______． 【答案】 【解析】∵在矩形中，，交于点，， ∴， ∵，分别是线段，的中点， ∴是的中位线， ∴． 14．已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】 【解析】解：方程中，，，∵，是方程的两个根∴，∴． 15．如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 【答案】 【解析】在正方形中，，， ∴在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【解析】设一元二次方程的两根分别为，．根据根与系数的关系可得，．整理得．变形得．解得．将代入得．验证判别式：，符合题意． 三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解方程：． 【解析】解：． ， 或， 解得：，． 18．（6分）如图，在菱形ABCD中，AB=AD，点E，F分别在BC，CD上，且∠AEC＝∠AFC．求证：AE＝AF． 【解析】证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D， ∵∠AEC＝∠AFC，∠AEB+∠AEC＝∠AFD+∠AFC＝180°， ∴∠AEB＝∠AFD， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AF． 19．（8分）已知是方程的一个根，试求的值． 【解析】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 20．（8分）如图，已知平行四边形中，对角线、相交于点，，，、分别是线段、的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求矩形的周长． 【解析】(1)证明：在平行四边形中，，， 、分别是线段、的中点， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ， 为等边三角形， ∴， ， ∴四边形是矩形． （2）解：在中，， ∴， ∴， 设，则． ∵， ，解得（负值舍去）， ，， ∴，， ∴， ． 21．（10分）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． 【解析】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ，即， 展开整理得，解得； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ，代入得， 整理得，解得， ，，不符合题意，舍去，． 22．（10分）如图，在中，点是边上一点，过点分别作交于点交于点，连接平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，求的长． 【解析】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， 则， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴三角形是等边三角形，， 又∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴． 23．（12分）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【解析】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又，∴， 根据题意，得，解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得，整理得， ∴，∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得，解得：，； ②当时，， 由题意，得，解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 24．（12分）综合与探究 问题情境：如图1，点E是正方形内部一点，且，将绕点C逆时针旋转，得到，延长与的延长线交于点F． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）探究学习小组经过深入探究发现，若在点E运动的过程中，直线与交于点O，点O始终是线段的中点，请你借助图2帮助该学习小组证明他们的发现是正确的； 拓展延伸： （3）如图3，若该正方形的边长为4，连接，在点E运动的过程中，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【解析】(1)四边形是正方形． 理由如下：将绕点C逆时针旋转得到． ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形． 又． ∴四边形是正方形． (2)证明：如解图，过点B作，交于点M．  ∴，，， 由（1）得四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由旋转性质，， ∴， 又∵， ∴（）． ∴． 即点O是的中点； （3）解：∵正方形边长为4， ∴， 情况1：如解图，当时，连接． ∵， ∴， ∵， ∴点F与点B重合，与重合． ∴点E在上，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 情况2，当时， 由（1）得四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ 由旋转得，， ∴， 在中． ∴． 解得（负值已舍去)． 情况3-当时， ∵， ∴此种情况不存在． 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第一次月考测试卷 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，是中心对称不是轴对称的图形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3．将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角 5．如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（     ） A． B． C． D． 6．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 8．如图，在菱形中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点，作于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 10．如图，点是矩形的边上一点，将沿着对折，点恰好折叠到边上的点处，若，，那么的长为（     ） A．7 B．6 C．5 D．3 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．正方形绕其中心至少旋转　 　度能与原图完全重合． 12．把方程化为一般形式是__________． 13．如图，在矩形中，，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为______． 14．已知，是方程的两个根，则_______． 15．如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 16．已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解方程：． 18．（6分）如图，在菱形ABCD中，AB=AD，点E，F分别在BC，CD上，且∠AEC＝∠AFC．求证：AE＝AF． 19．（8分）已知是方程的一个根，试求的值． 20．（8分）如图，已知平行四边形中，对角线、相交于点，，，、分别是线段、的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求矩形的周长． 21．（10分）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． 22．（10分）如图，在中，点是边上一点，过点分别作交于点交于点，连接平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，求的长． 23．（12分）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 24．（12分）综合与探究 问题情境：如图1，点E是正方形内部一点，且，将绕点C逆时针旋转，得到，延长与的延长线交于点F． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）探究学习小组经过深入探究发现，若在点E运动的过程中，直线与交于点O，点O始终是线段的中点，请你借助图2帮助该学习小组证明他们的发现是正确的； 拓展延伸： （3）如图3，若该正方形的边长为4，连接，在点E运动的过程中，当是等腰三角形时，直接写出的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $