专题26.4 实际问题与二次函数『重点难点同步培优讲义』（导图知识卡片+知识梳理+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

专题26.4 实际问题与二次函数『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【人教版数学新教材•九年级上册（原卷版）】 同学你好，本套讲义针对2026年人教版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 用二次函数解决实际问题的一般步骤 2 题型讲练 3 题型一 图形问题（实际问题与二次函数) 3 题型二 图形运动问题（实际问题与二次函数） 4 题型三 拱桥问题（实际问题与二次函数) 5 题型四 销售问题（实际问题与二次函数） 6 题型五 投球问题（实际问题与二次函数） 8 题型六 喷水问题（实际问题与二次函数） 9 题型七 增长率问题（实际问题与二次函数） 10 题型八 其他问题（实际问题与二次函数） 11 中考真题演练 13 难度分层训练 16 【基础夯实】 16 【培优拔高】 20 用二次函数解决实际问题的一般步骤 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 题型一 图形问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，用一根金属型材制作一个“日”字形窗户的框架，这根金属型材总长为，不考虑金属型材的宽度及制造中的接口损耗，当分别为多少米时，窗户的面积最大？最大面积是多少？ 【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，用长为的材料做一个上部为半圆、下部为矩形的窗框．底部宽（单位：m）为多少时，窗户的透光面积（单位：）最大（结果保留小数点后一位）？ 【变式训练2】（2026·山东泰安·三模）如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 题型二 图形运动问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】如图，在四边形中，，，点P，Q同时出发，点P从点B出发以的速度向点A运动，到点A停止，点Q以的速度沿A→D→C运动，到点C停止，设点P的运动时间为，的面积为， (1)求的长： (2)求S关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 【变式训练1】如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【变式训练2】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在中，，，，点D是边上一动点（不与A、B重合），沿着运动，过点D作交于点E，作交于点F，设，的长为x，能反映y与x之间函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 题型三 拱桥问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，桥梁上两条钢缆的形状可以近似看成两条相同的抛物线，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，y轴左侧的一条抛物线可以用表示． (1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ (2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）一座抛物线形拱桥如图所 示，当拱顶离水面时，水面宽，在突降暴雨致水位上升后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示．这艘船宽，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 【变式训练2】某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段护栏需要间距加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部（如图），求其中防护栏支柱的长度． 题型四 销售问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【变式训练1】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）现在，租赁汽车已成为外出旅行时的一种重要的交通方式．某租赁公司拥有辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共元．当每辆车的日租金为元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加元，未租出的车将增加辆．设该租赁公司每日租出辆，其日收益为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ (3)试说明该租赁公司的日收益能否为元？ 【变式训练2】（26-27九年级上·河南郑州·开学考试）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 成本核算 (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立 (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，则每件A品的利润为_______元，A品的销量为_________件，每件B品的利润为______元，B品的销量为______件，求总利润关于A品涨价后的售价的函数解析式． 方案设计 (3)若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案． 题型五 投球问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某球员在罚球线处投篮，球从点A处出手，恰好经过篮圈中心B．已知球出手的位置A到地面的距离为，到篮圈中心B的水平距离为，篮圈中心B到地面的距离为．建立如图所示的平面直角坐标系后，这位球员所投球的运动路线是抛物线．求这条抛物线的表达式和球运动的最大高度． 【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为．小球的飞行高度能否达到？如果能，需要多长时间？ 【变式训练2】（26-27九年级上·北京·期中）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内： （填“是”，“否”）． 题型六 喷水问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）某高为的喷水管竖直向上喷水，水在空中的高度h（单位：m）与水离开水管后在空中的时间t（单位：s）的关系近似为． (1)水离开喷水管后，经过多久能落回到起始高度？ (2)喷出的水在空中的最大高度是多少？ 【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为．一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动________的距离才能击中昆虫． 【变式训练2】（2026·甘肃武威·中考真题）如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 题型七 增长率问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）某市为打造“绿色城市”，积极投入资金实施园林绿化工程．已知去年投入资金1500万元，计划从今年起，连续三年每年投入资金比上一年增加相同的百分率x．写出明年将投入的资金量y（单位：万元）关于每年增加的百分率x的函数解析式． 【变式训练1】某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【变式训练2】向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 题型八 其他问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆．已知起跳点E与着陆坡上的计分参照点K的垂直距离为，水平距离为．按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线．该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度是多少？着陆时他能越过K点吗？ 【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）点燃某种烟花后，其升空高度（单位：m）关于时间（单位：s）的函数可近似表示为（）．若这种烟花在点燃升空后到最高处引爆，烟花点燃多久后引爆？烟花升空的最大高度是多少？ 【变式训练2】（2026·河南驻马店·三模）转枝是果树栽培中的核心技术之一，目的是调整枝条生长方向、抑制顶端优势、促进花芽分化、平衡树势．某果农在进行枝条牵引定形时，将枝条弯成抛物线形状作为支撑骨架（如图1），以垂直于地面的果树主干为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系如图2所示．枝条上的点，，在抛物线形骨架上，点到主干的水平距离为，点在枝条抛物线形骨架的外端处，主干的高度为，已知抛物线形枝条的最高点到的水平距离为，离地面的高度为． (1)设抛物线形枝条上某处离地面的高度为，该处到主干的水平距离为，求与之间的函数解析式． (2)若枝条外端到主干的水平距离（即枝条牵引深度）为，求点离地面的高度． (3)为保证枝条弯枝之后不至于断枝（当的长度超过时枝条会被折断），需测量安全监测距离（为枝条上某点到牵引绳的铅锤距离）．已知点，间的距离为，试判断该枝条会不会被折断，并说明理由． 【真题演练1】（2026·江苏南通·中考真题）综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 【真题演练2】（2026·江苏宿迁·中考真题）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【真题演练3】（2026·黑龙江大庆·中考真题）某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【真题演练4】（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【真题演练5】（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 【基础夯实】 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 2．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是（     ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·山西大同·阶段检测）小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若，，则杯子的高的长为 _____． 5．（2026·山西朔州·模拟预测）某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 6．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为米，足球场的面积为平方米，则关于的函数关系式（结果保留）为______． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长应为多少？ 8．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，大桥的缆索具有抛物线形状，两端的索塔均与桥面垂直，且在桥面以上部分高度相同，即．主桥长为，缆索最低处的吊杆长为，桥面上与点M相距处的吊杆长为．请建立适当的平面直角坐标系，求索塔在桥面以上部分的高度． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图（单位：），等腰直角三角形在正方形的左侧，点在一条直线上．现将由如图所示的位置开始，以的速度沿直线从左向右运动（正方形保持不动），直到边与边重合．设运动时，与正方形重叠部分的面积为． (1)写出与之间的关系式． (2)当，时，的值分别是多少？ (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，运动了多长时间？ 【培优拔高】 1．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（   ） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 3．（2026·江苏镇江·中考真题）如图1，在矩形纸片中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，，，．沿，各剪去一个角，剩余部分为六边形纸片，用4张和它大小、形状完全相同的六边形纸片可不重叠、无缝隙地拼成一幅美丽图案，其示意图如图2所示．图1中的六边形的面积的最小值为（     ） A．42.5 B．36 C．33 D．27.5 4．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）大庆市中考掷实心球（男生）成绩及得分对照表如下表（满分分，球重）． 成绩（米） 及以下 及以上 得分 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师结合录像对小明投掷实心球的运动轨迹进行技术分析，得到下图，发现实心球在行进过程中高度与水平距离之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩得分是__________ 分． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 6．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）为了参加市科技节展览，同学们制作了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架，在如图所示的设计图中，若抛物线的函数解析式为，正方形的边长和正方形的边长之比为，则正方形的边长是______． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）下表呈现了某竖直上抛物体运动的高度h（单位：m）与运动的时间t（单位：s）之间关系的部分数据： 1 5 10 15 20 25 155 635 1010 1135 1010 635 (1)根据上表，以时间t为横轴、高度h为纵轴建立平面直角坐标系，并描出上述各点． (2)根据第（1）题平面直角坐标系中各点的变化趋势，试确定h关于t的函数类型，并求这一函数的表达式． (3)该物体运动的最大高度是多少？你是根据哪种表示方式求解的？ 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）一个小球被从地面向上弹出，它的高度（单位：）可以用公式来表示，其中（单位：）表示小球被弹出后经过的时间． (1)画出函数的图象． (2)小球被弹出后时的高度是多少？时呢？ (3)方程和方程的根的实际意义分别是什么？请结合图象说明． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）射水鱼以陆生昆虫为食．它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中以内的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水鱼射出的水珠运动的高度y（单位：）与向前运动的水平距离x（单位：）之间的关系可以近似地表示为．根据这一关系回答下列问题： (1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物，那么当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步上升？当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步下降？水珠运动的最大高度是多少？ (2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离、高度处，那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？ 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状可视为一条抛物线．如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1米，并且相距4米，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小冬拿绳子的手的坐标是，身高米的小丽站在绳子的正下方，且距y轴1米时，绳子刚好经过她的头顶．若身高米的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m米，为确保绳子超过他的头顶，求m的取值范围． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 专题26.4实际问题与二次函数『重点难点同步培优讲义』 (知识梳理+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共49题) 【人教版数学新教材•九年级上册（原卷版）】 山进义简介」 同学你好，本套讲义针对2026年人教版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲 义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度 分层练等五大部分！题日新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最 新题日，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习， 章节巩固，期中期木强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ ■山且录导航 1g8g8g。。 思维导图… 2 知识梳理.. 2 用二次函数解决实际问题的一般步骤.. 题型讲练…………… 题型一图形问题（实际问题与二次函数）.. ..3 题型二图形运动问题（实际问题与二次函数) 题型三拱桥问题（实际问题与二次函数)....· 5 题型四销售问题（实际问题与二次函数） 题型五投球问题（实际问题与二次函数） ……8 题型六喷水问题（实际问题与二次函数） …9 题型七增长率问题（实际问题与二次函数） 10 题型八其他问题（实际问题与二次函数） 11 中考真题演练… 13 难度分层训练 16 【基础夯实】 16 【培优拔高】 20 第1页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 恩维导凰 人教版九年级上册第26章《二次函数》 第4节实际问题与二次函数 解决生活中的问题！及可 用数学 一、二次函数的实际应用模型 知识点梳理思维导图 五、二次函数的实际应用归纳 1,设函数关系式：根摄题意，设出二次函数的表达式 ●求最大值：当a<0时，抛物线有最高点，顶点纵坐标即为最大值。 -般形式为：y=ax2+bx+c(a≠0) ②求最小值：当α>0时，抛物线有最纸点，顶点纵坐标即为最小值， 2.解决聚： ③利用图像：根授实际问题的约束条件（如x的取值范围）， (1)审题：分析题意，找出已知量和自变量： 包 实际问题与 金通夷数园廉寻找最值。 (2)建梗：根招实际问题建立二次函数模型： (3)求解：解方程或利用函数图像、性康求最值 ⑨注意单位：注意题目中的单位骏桌，确保结果的实际意义。 (4)检验：结合实际意义，验证结果的合理性。 二次函数 ☆常用公式 顶点坐标：（(-嘉，如。) 二、二次函数在面积问题中的应用 1.题型特点：常沙及矩形、三角形、圆等几何图形的面积 目 对称轴：x=一2 与二次函数的关系。 六、知识拓展 2.常用公式： 四、二次函数的实际应用半例 1,二次函数与实际生活的联系非常广泛，如：抛物线形状的 (1)矩形面积：S=x(20-2x)=-2x2+20 1,例：某水池的横鬟面为抛物线形，且水深为8m 桥深、陵泉、随蓮等。 (2)三角形面积：S=方bh 如围，如何求水的最大宽瘦 2.解决实际问题时，常需要结合几何图形的形状和面积公式。 (3)图的面积：S=πx2 3. 可以通过数形结合的方法，直观地分桥问题 yim 女二次函数提型 让生活更美好！ 20-2x 10m 围26.4-2 图26.4-3 七、易错点拨) 图26.4-4 三、二次函数在几何图形中的应用 ①忽略自变量的取值范园，导结果不合理 解：设抛物线解析式为y=ax2。 1.常见问题：如求围墙、拱门、桥架、醚道、运动场等的 最大面积、最小要用、最优方案等。 由题意知：当x=10时，y=0,代入得 ②不能正确建立二次函数关系式（如漏掉常数顶或符号错误）。 ③计算顶点坐标时，公式记错（应为x=一 2.关键点：建立坐标系，设出变量，表示出二次函数关系式， 0=10a+8,解得：a=一2方 ④只求出数学上的最值，未考虑实际意义（如长度、面积必须为正）， 利用二次函数的性振求最值。 所以y=-25+8. ⑤在解方程时，漏解或增解（如开口向下的抛物线只取上面的部分）. 令y=0,解得：x=±10， ★公特别提腿 因此，水的最大宽度为20m。 解决实际问题一定要结合题意，检验结果是香符合实际 不能只看数学结果。 知识梳理 用二次函数解决实际问题的一般步骤 1)审：仔细审题，理清题意： 2)设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当 的未知数： 3)列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式： 4)解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题： 5)检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果 顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论. 第2页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 山题型进练 题型一图形问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，用一根金属型材制作一个“日”字形窗户的框架 ABCD,这根金属型材总长为6m,不考虑金属型材的宽度及制造中的接口损耗，当AB,AD分别为多少米时， 窗户的面积最大？最大面积是多少？ 【变式训练1】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，用长为6m的材料做一个上部为半圆、下部为 矩形的窗框.底部宽x(单位：m)为多少时，窗户的透光面积S(单位：m2)最大（结果保留小数点后一位）？ 【变式训练2(2026山东泰安·三模)如图，某酒店后面有一块梯形空地ABCD,其中AB=40m,CD=200m, ∠C=∠D=45°，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场EFGH,其余部分铺设 为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边GH和空地的最长边CD重合，E、F分别在边AD、BC上，设EH= xm,矩形停车场EFGH的面积为Sm2, G (1)用含x的式子表示EF的长为_m; 第3页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 (2)EH的长x的取值范围是_： (3)求修建的矩形停车场EFGH的面积S的最大值. 题型二图形运动问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠C=90°，AB=6cm,BC=4cm,CD=3cm,点P,Q同 时出发，点P从点B出发以1cms的速度向点A运动，到点A停止，点Q以cm/s的速度沿DC运动， 到点C停止，设点P的运动时间为t(s),△PBQ的面积为S(cm), D 备用图 (1)求AD的长： (2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围. 【变式训练1】如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=4cm,点Q从点A开始沿AB边向 点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当P运动到C时，两点停 止运动.设运动时间为t秒 P A→0 B 第4页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 (1)填空：BQ=_,PB=-· (用含t的代数式表示)： (2)如果RQ分别从A、B两点出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ (3)在(1)中，△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由. (4)点PQ运动几秒后，△PBQ的面积最大？最大值为多少？ 【变式训练2】（2026·安徽安庆·模拟预测)如图，在△ABC中，AC=4,BC=3,AB=5,点D是边AB 上一动点（不与A、B重合），沿着A→B运动，过点D作DE‖BC交AC于点E,作DF∥AC交BC于点R,设EF2=y, AD的长为x,能反映y与x之间函数关系的图象是() E B.O 题型三拱桥问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图所示，桥梁上两条钢缆的形状可以近似看成两条相 同的抛物线，而且左、右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的平面直角坐标系，y轴左侧的一条抛物线可 以用y=02+品x+10表示. ◆y/m 10 桥面 -505 x/m (1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ (2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 第5页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练1】(26-27九年级上·全国·课后作业)一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时， 水面宽10m,在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图 所示.这艘船宽4m,物资项部为长方形，且物资顶部距水面2m.这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 4m 1m 10m 【变式训练2】某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不 锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，求其中防护栏支柱A1B1的长度， B B B B 0.5 A A AA40.4 题型四销售问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】(26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测)某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该 品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个. (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基 础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每 个多少元？ 第6页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练1】(25-26九年级上·陕西安康·阶段检测)现在，租赁汽车己成为外出旅行时的一种重要的 交通方式.某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元.当每辆车的日租金为500 元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆.设该租赁公司每日租出x辆， 其日收益为y元. (1)求y与x之间的函数关系式： (②)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ (3)试说明该租赁公司的日收益能否为4500元？ 【变式训练2】(26-27九年级上·河南郑州·开学考试)某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营 销”的项目式学习活动. 市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品)·收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等， 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16 元/件. 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件. 成本核算 (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本. 模型建立 (2)设销售A品和B品的总利润为w元，A品涨价后的售价为元/件，则每件A品的利润为元，A品 的销量为 件，每件B品的利润为元，B品的销量为_一件，求总利润w关于A品涨价后 的售价m的函数解析式， 方案设计 (3)若30≤m≤40，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案. 第7页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 题型五投球问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，某球员在罚球线处投篮，球从点A处出手，恰好 经过篮圈中心B.已知球出手的位置A到地面的距离为2.25m,到篮圈中心B的水平距离为4m,篮圈中心 B到地面的距离为3.05m.建立如图所示的平面直角坐标系后，这位球员所投球的运动路线是抛物线y= ax2+c(-3≤x≤1).求这条抛物线的表达式和球运动的最大高度， Ay/m x/m 【变式训练1】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的 方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的 关系近似为2=20t-5t2,小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？ 【变式训练2】(26-27九年级上·北京·期中)乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动， 小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角 坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y(单位：cm) 与水平距离x(单位：cm)近似满足函数关系式y=a(x-无)+k(a<0). 第8页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/cm 40 80 120 160 竖直高度y/cm 20 35 40 35 20 y个 40 20 20406080100120140160180200元 -20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=α(x一 E)2+k(a<0): (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y(单 位：cm)与水平距离x(单位：cm)近似满足函数关系式y=-0.005(x-70)2+36,请你判断小聪第二次 发球时，乒乓球是否落在球桌内：一（填“是”，“否”）， 题型六喷水问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)某高为1m的喷水管竖直向上喷水，水在空中的高度h (单位：m)与水离开水管后在空中的时间t(单位：s)的关系近似为=-5t2+12t+1. (1)水离开喷水管后，经过多久能落回到起始高度？ (2)喷出的水在空中的最大高度是多少？ 第9页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练1】(26-27九年级上·全国·课后作业)大自然中有一种神奇的鱼一一射水鱼，它能以极快的 速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形.如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立 平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为ydm,与射水鱼的水平距离为xdm,y与x的函数表达式为y=a(x一 2)2+k,水柱的最大高度为6dm,一只昆虫位于点A(3,)处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点0 出发，需要水平向右游动 dm的距离才能击中昆虫. VA 【变式训练2】(2026·甘肃武威·中考真题)如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流 击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力），图2是一次捕 食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度y(c)与水平距离 x(cm)近似满足函数关系y=-2+4x(x≥0.若这只昆虫在点P(20,50),则这次射出的水流 击中昆虫.（填“能”或“不能”） y/cm x/cm 图1 图2 题型七增长率问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)某市为打造“绿色城市”，积极投入资金实施园林绿化 工程.已知去年投入资金1500万元，计划从今年起，连续三年每年投入资金比上一年增加相同的百分率x.写 出明年将投入的资金量y(单位：万元)关于每年增加的百分率x的函数解析式 第10页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练1】某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件. (1)第二、三天该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求 第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件. ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的10%交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若 剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【变式训练2】向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元. 墙 养鸡场 (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率： (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形养鸡场（如图)，墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度. 题型八其他问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳 飞出，在着陆坡着陆.已知起跳点E与着陆坡上的计分参照点K的垂直距离为45m,水平距离为83m.按 如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线)=一品？+x+ 45.该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度是多少？着陆时他能越过K点吗？ 第11页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 Ay/m % 30 20 10 K x/m 20 40 60 80 →停止区 【变式训练1】(26-27九年级上·全国·课后作业)点燃某种烟花后，其升空高度（单位：m)关于时 间t(单位：s)的函数可近似表示为=39t-5t2(t≥0)·若这种烟花在点燃升空后到最高处引爆，烟 花点燃多久后引爆？烟花升空的最大高度是多少？ 【变式训练2】(2026·河南驻马店·三模)转枝是果树栽培中的核心技术之一，目的是调整枝条生长方向、 抑制顶端优势、促进花芽分化、平衡树势.某果农在进行枝条牵引定形时，将枝条弯成抛物线形状作为支 撑骨架（如图1），以垂直于地面的果树主干0D为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系如图2所示.枝 条上的点B,M,D在抛物线形骨架上，点B到主干OD的水平距离为4m,点P在枝条抛物线形骨架的外端处， 主干OD的高度为3m,已知抛物线形枝条的最高点到OD的水平距离为2m,离地面的高度为3.5m AV/m x/m 图1 图2 (1)设抛物线形枝条上某处离地面的高度为y(m),该处到主干OD的水平距离为x(m),求y与x之间的函数解 第12页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 析式 (2)若枝条外端P到主干0D的水平距离（即枝条牵引深度）为4.6m,求点P离地面的高度. (3)为保证枝条弯枝之后不至于断枝（当MN的长度超过1.3m时枝条会被折断），需测量安全监测距离MN (MN为枝条上某点到牵引绳AB的铅锤距离)，己知点D,A间的距离为1m,试判断该枝条会不会被折断， 并说明理由. 山中考真题演练 【真题演练1】(2026·江苏南通·中考真题)综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常 水位时，大孔水面宽度为20m,项点距水面8m,小孔顶点距水面5m. 【建立模型】 10 10 8m 20m 图1 图2 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数 表达式 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点1m时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度.（结果保留根号） 第13页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【真题演练2】(2026·江苏宿迁·中考真题)投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分.如 图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度y(m)与距投掷点的水平距离x(m)之间的函数表达式为y=ax2+x+ 2(a<0). y/m x/m (1)当投掷的距离为8m时，求a的值； (2)当5<x<6时，铅球处于下落状态，求a的取值范围： (3)当2≤x≤4时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为0.4m,求a的值. 【真题演练3】(2026·黑龙江大庆·中考真题)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，在确保每箱 苹果的售价不低于40元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于55元，经市场调查发现，平均每 天销售量y（箱)与每箱苹果的售价x(元)之间的函数关系如图所示. y/箱 105 90 4550 材元 (1)求平均每天销售量y(箱)与每箱苹果的售价x(元)之间的函数关系式；并写出x的取值范围； (2)求平均每天的销售利润w(元)与每箱苹果的售价x(元)之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价 为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 第14页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【真题演练4】(2026·江苏无锡·中考真题)综合与实践一一丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶 心，则获得游戏奖励 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动， 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作 用)· 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为1.5m,出手点与地面目标靶靶心的水平距离为10m.沙包在距离出 手点的水平距离为3m时达到最高点，最高点距离地面2m.请通过计算说明沙包能否正好命中靶心. 10m (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面1m. 小红出手高度仍为1.5m,出手点与靶心的水平距离仍为10m.小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的 水平距离为4时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心.求沙包达到最高点时距离地面多少米 第15页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【真题演练5】(2026·山东·中考真题)“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现 故事场景（如图1），甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽 略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）· 地面 B 图1 图2 (1)如图2，甲站在地面的0点处，从距离地面m高的A点踢出花枪，A点与0点的水平距离0B是二m,花枪 飞行到与0点水平距离3m的C处达到最高，高度为3m. ①设花枪离地面的高度为y(m),到O点的水平距离为x(m).请建立平面直角坐标系，并求y关于x的函数表 达式： ②花枪下落过程中，乙在与0点水平距离dm处接花枪，能接到的高度最大为号m,最小为m,求d的取值 范围。 (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪.己知花枪飞行高度(m)与时间t(s)之 间的关系式是五=-5t+7t+号(t>0),丙在距花枪落地点5m处沿直线运动到花枪落地点.求丙的平 均速度. 山难度分层训练 【基础夯实】 1.(26-27九年级上·全国·单元复习)水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h(米)与时 间t(秒)之间的函数关系式为=4t-t2.当水火箭达到最高点时，其运动时间为( A.1秒 B.2秒 C.3秒 D.4秒 2.(2026·陕西·中考真题)某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出 第16页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 的水流可以看成抛物线的一部分.按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的 高度y(cm)与水平距离x(cm)的关系可以表示为y=-0.1x2+6x,则这条鱼此次射出的水流的最大高度是 A.9cm B.30cm C.90cm D.360 cm 3.(25-26九年级上·陕西安康·阶段检测)如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心0竖直安装一根水 管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，高 度为5m,水柱落地处离池中心距离为6m,则水管的长度0A是( ) 5 A 6 A.m B.5m C.m 0点 4.(22-23九年级上·山西大同·阶段检测)小明以二次函数y=2x2-4x+8的图象为灵感为“2017北 京·房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若AB=4,DE=3,则杯子的高CE的长为 B D 5.(2026·山西朔州·模拟预测)某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百 分比称为“可食用率”，为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可 食用率y与加工时间x(单位：分钟)满足函数表达式y=-0.2x2+1.5x-2,为了让爆米花的可食用率达到 最高，最佳加工时间为 分钟. 第17页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 6.(26-27九年级上·上海金山·阶段检测)如图是400米跑道示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边 是全等的半圆，设直道AB的长为x米，足球场的面积为S平方米，则S关于x的函数关系式（结果保留π）为 7.(26-27九年级上·全国·课后作业)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的 顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m处达到最高，高度为3m,水柱 落地处离池中心3.6m,水管的长应为多少？ 8.(2026·广东清远·三模)某公园雕塑0A的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形.测得雕 塑0A的高度为2m,当喷出的水柱与0A的水平距离为4m时，达到最大高度3.6m.以点O为原点，0A所在 直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）， B (1)求水柱所在抛物线的函数表达式： (2)求水柱落地点与雕塑OA的水平距离. 第18页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 9.(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，大桥的缆索具有抛物线形状，两端的索塔均与桥面垂直， 且在桥面以上部分高度相同，即AB=CD.主桥AC长为600m,缆索最低处的吊杆MN长为3m,桥面上与 点M相距100m处的吊杆PQ长为13m.请建立适当的平面直角坐标系，求索塔在桥面以上部分的高度， N M 10.(26-27九年级上·全国·课后作业)如图（单位：m),等腰直角三角形ABC在正方形CDEF的左侧， 点B,C,F在一条直线上.现将△ABC由如图所示的位置开始，以2m/s的速度沿直线BF从左向右运动（正方 形CDEF保持不动)，直到边AB与边CD重合.设运动xs时，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为ym2. A D E 10 10 B 10 C 10 F (1)写出y与x之间的关系式. (2)当x=2,3.5时，y的值分别是多少？ (③)当重叠部分的面积是正方形CDEF面积的一半时，△ABC运动了多长时间？ 第19页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【培优拔高】 1.(26-27九年级上·北京西城·阶段检测)水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度（米） 与时间t(秒)之间的函数关系式为=4t-t2.当水火箭达到最高点时，其运动时间为( ) A.秒 B.秒 C.2秒 D.4秒 2.(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，已知正方形ABCD的边长是1，正方形EFGH的顶点分别在AB, BC,CD,AD上.设正方形EFGH的面积是S,AE的长是x则下列说法正确的是() G B A.当x=时，S有最小值 B.当x=时，S有最大值 C.S随x的增大而减小 D.S随x的增大而增大 3.(2026·江苏镇江·中考真题)如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10,点E,F,G,H分别 在边AB,BC,CD,AD上，AE=CG,BF=DH,BF=3AE.沿EF,GH各剪去一个角，剩余部分为六边形 纸片AEFCGH,用4张和它大小、形状完全相同的六边形纸片可不重叠、无缝隙地拼成一幅美丽图案，其示 意图如图2所示.图1中的六边形AEFCGH的面积的最小值为( ) A H 图1 图2 A.42.5 B.36 C.33 D.27.5 4.（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试)大庆市中考掷实心球（男生）成绩及得分对照表如下表（满 分10分，球重2kg)· 成绩（米） 7.68及以下 7.69-7.85 7.86-8.02 8.03-8.19 8.20及以上 得分 6 9 10 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师结合录像对小明投掷实心球的运动轨迹进行 技术分析，得到下图，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=一《-2)2+2， 第20页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 由此可知小明此次投掷的成绩得分是 分 5.(26-27九年级上·全国·课后作业)廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示.已 知抛物线的函数表达式为y=-0x2+10,为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为8米的C,D 1 两处安装警示灯，则警示灯D离水面AB的距离为米. VA B 6.(26-27九年级上·上海金山·阶段检测)为了参加市科技节展览，同学们制作了一个截面为抛物线形 的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架，在如图所示的设计图中，若抛物线的函数解析式为y=一x2+c, 正方形ABCD的边长和正方形EFGH的边长之比为5：1，则正方形MNPQ的边长是 G 7.(26-27九年级上·全国·课后作业)下表呈现了某竖直上抛物体运动的高度h(单位：m)与运动的时 间t(单位：s)之间关系的部分数据： t/s 1 5 10 15 20 25 h/m 155 635 1010 1135 1010 635 (1)根据上表，以时间t为横轴、 高度h为纵轴建立平面直角坐标系，并描出上述各点. (2)根据第(1)题平面直角坐标系中各点的变化趋势，试确定h关于t的函数类型，并求这一函数的表达 式 (3)该物体运动的最大高度是多少？你是根据哪种表示方式求解的？ 第21页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 8.(26-27九年级上·全国·课后作业)一个小球被从地面向上弹出，它的高度（单位：m)可以用公 式=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(单位：s)表示小球被弹出后经过的时间. (1)画出函数=-4.9t2+19.6t的图象， (2)小球被弹出后1s时的高度是多少？2s时呢？ (3)方程-4.9t2+19.6t=0和方程-4.9t2+19.6t=14.7的根的实际意义分别是什么？请结合图象说明. 9.(26-27九年级上·全国·课后作业)射水鱼以陆生昆虫为食.它在捕食时，能从口中射出一股水流， 准确击中2m以内的昆虫.如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如 图)，在一次捕食时，射水鱼射出的水珠运动的高度y(单位：cm)与向前运动的水平距离x(单位：cm) 之间的关系可以近似地表示为y=一0.1x2+4x.根据这一关系回答下列问题： 昆虫 射水鱼 (1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物，那么当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐 步上升？当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步下降？水珠运动的最大高度是多 少？ (2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离20cm、高度50cm处，那么这次射出的水流能否击中这 只昆虫？ 第22页共23页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 10.(26-27九年级上·全国·课后作业)跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状 可视为一条抛物线.如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，己知两人拿绳子的手离地面的高度 都为1米，并且相距4米，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中 小冬拿绳子的手的坐标是(0,1)，身高1.60米的小丽站在绳子的正下方，且距y轴1米时，绳子刚好经过她 的头顶.若身高1.75米的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m米，为确保绳子超过他的头顶，求m的 取值范围， /米 1234 x/米 第23页共23页nullnull 专题26.4 实际问题与二次函数『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【人教版数学新教材•九年级上册（解析版）】 同学你好，本套讲义针对2026年人教版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 用二次函数解决实际问题的一般步骤 2 题型讲练 3 题型一 图形问题（实际问题与二次函数) 3 题型二 图形运动问题（实际问题与二次函数） 5 题型三 拱桥问题（实际问题与二次函数) 10 题型四 销售问题（实际问题与二次函数） 13 题型五 投球问题（实际问题与二次函数） 16 题型六 喷水问题（实际问题与二次函数） 19 题型七 增长率问题（实际问题与二次函数） 22 题型八 其他问题（实际问题与二次函数） 24 中考真题演练 27 难度分层训练 36 【基础夯实】 36 【培优拔高】 43 用二次函数解决实际问题的一般步骤 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 题型一 图形问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，用一根金属型材制作一个“日”字形窗户的框架，这根金属型材总长为，不考虑金属型材的宽度及制造中的接口损耗，当分别为多少米时，窗户的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】当，时，窗户的面积最大，且最大面积是 【思路引导】设，则，窗户的面积为，根据长方形面积公式列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质进行求解即可． 【规范解答】解：设，则，窗户的面积为，根据题意得： ， ∵， ∴当时，y有最大值，且最大值为， 即当，时，窗户的面积最大，且最大面积是． 【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，用长为的材料做一个上部为半圆、下部为矩形的窗框．底部宽（单位：m）为多少时，窗户的透光面积（单位：）最大（结果保留小数点后一位）？ 【答案】当底部宽约为m时，窗户透光面积最大 【思路引导】先根据窗框总长度列出矩形的高，再写出透光面积关于的二次函数，利用二次函数顶点求最大值． 【规范解答】解：设底部宽为m，则上部半圆的直径为，半圆的弧长． 设矩形竖直方向的高为，窗框材料总长： ， 解出：， ， 透光面积矩形面积半圆面积， 矩形面积：，半圆面积：， ， 这是开口向下的二次函数，其中，． 当时，取得最大值： 即， 答：当底部宽约为m时，窗户透光面积最大． 【变式训练2】（2026·山东泰安·三模）如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)该矩形停车场的最大面积为 【思路引导】（1）容易判断与都是等腰直角三角形，则，结合矩形的性质可得； （2）结合图形容易判断，解不等式即可； （3）利用矩形面积公式可得关于的二次函数，再结合二次函数的性质求出面积的最大值． 【规范解答】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由图可知，, ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下， ∴当时，取得最大值． 答：该矩形停车场的最大面积为． 题型二 图形运动问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】如图，在四边形中，，，点P，Q同时出发，点P从点B出发以的速度向点A运动，到点A停止，点Q以的速度沿A→D→C运动，到点C停止，设点P的运动时间为，的面积为， (1)求的长： (2)求S关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）如图1，作辅助线，构建梯形的高线，根据勾股定理可得的长； （2）分两种情况：①当时，在上，在上；②当时，在上，在上；根据三角形面积公式可得求出． 【规范解答】（1）解：如图1，过点D作，垂足为E． ． ∵，， ． ． ∴四边形为矩形． ，， ∴． 在中，． （2）解：当和重合时，；当和重合时，；当和重合时，； ①如图，当时．在上，在上，此时，，过点Q作于， ． 又， ． ， ． 解得． ． ②如图2，当时，在上，在上，过点Q作．此时， ． ∴四边形为矩形． ． ． 综上所述：． 【变式训练1】如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)；； (2)1秒后 (3)解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于； (4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【思路引导】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 【规范解答】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：∵，，， ∴的面积， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于； （3）略 （4）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【变式训练2】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在中，，，，点D是边上一动点（不与A、B重合），沿着运动，过点D作交于点E，作交于点F，设，的长为x，能反映y与x之间函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】连接，过点作于点，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，设，则，，根据勾股定理得到，证明四边形是矩形，得到，可知． 【规范解答】解：如图，连接，过点作于点， 在中，，，， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形， ， ． 题型三 拱桥问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，桥梁上两条钢缆的形状可以近似看成两条相同的抛物线，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，y轴左侧的一条抛物线可以用表示． (1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ (2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 【答案】(1)钢缆的最低点到桥面的距离是； (2)两条钢缆最低点之间的距离是． 【思路引导】（1）把左侧抛物线化成顶点式，求得抛物线顶点（最低点）坐标即可求解； （2）求得右面的一条抛物线的顶点坐标为，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴顶点坐标为， ∴钢缆的最低点到桥面的距离是； （2）解：∵左面的一条抛物线可以用表示， ∴左面的一条抛物线的顶点坐标为， ∵左、右两条抛物线关于轴对称， ∴右面的一条抛物线的顶点坐标为， ， ∴两条钢缆最低点之间的距离是． 【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）一座抛物线形拱桥如图所 示，当拱顶离水面时，水面宽，在突降暴雨致水位上升后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示．这艘船宽，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 【答案】这艘船能从这座拱桥下通过 【思路引导】以拱顶为原点，以经过拱顶的铅垂线为轴，建立平面直角坐标系，设该抛物线解析式为，结合题意，利用待定系数法解得该抛物线解析式，进一步分析这艘船是否能从这座拱桥下通过即可． 【规范解答】解：如下图，以拱顶为原点，以经过拱顶的铅垂线为轴，建立平面直角坐标系， 根据题意，可得， 设该抛物线解析式为，将点代入， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， 当水位上升后，水面所在直线为， ∵船宽， ∴当船在拱桥正中心行驶时，船边缘的横坐标为， 当时，可得， 此时拱桥高出水面的高度为米， ∵物资顶部距水面，且， ∴这艘船能从这座拱桥下通过． 【变式训练2】某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段护栏需要间距加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部（如图），求其中防护栏支柱的长度． 【答案】防护栏支柱的长度为． 【思路引导】建立平面直角坐标系，由待定系数法求得抛物线的解析式，再将点的横坐标代入解析式，即可得出点的纵坐标，则可得出答案． 【规范解答】解：以防护栏的最高点为原点，以的中垂线为轴，建立如图所示坐标系，由题意可知：点坐标为， 设抛物线的解析式为：，将点坐标代入得： ， 抛物线的解析式为：， 由题意可得点的横坐标为， 点的纵坐标为：， ， 防护栏支柱的长度为． 题型四 销售问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1)该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． (2)该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 【思路引导】（1）设平均月增长率为未知数，根据4月销量与6月销量的数量关系列一元二次方程求解． （2）以售价为自变量，月销售利润为因变量，结合销量与售价的变化关系构建二次函数，利用二次函数的性质求最大值对应的售价． 【规范解答】（1）解：设该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，根据题意， 得， 整理得， 解得，， ∵月增长率为正数， ∴不符合题意，舍去． 答：该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为每个元，月销售利润为元．单个头盔的利润为元． ∵售价每上涨2元，月销售量减少1个，当售价为400元时月销量为60个， ∴月销售量为个， ， 解不等式组得， 根据题意，得 ． ∵， ∴抛物线开口向下，当时，取得最大值．将，代入，得， ∵， ∴该售价符合实际销售的取值范围． 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 【变式训练1】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）现在，租赁汽车已成为外出旅行时的一种重要的交通方式．某租赁公司拥有辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共元．当每辆车的日租金为元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加元，未租出的车将增加辆．设该租赁公司每日租出辆，其日收益为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ (3)试说明该租赁公司的日收益能否为元？ 【答案】(1)（且为整数） (2)每日租出辆时，租赁公司日收益最大，最大收益为元 (3)根据题意，当租赁公司的日收益为元时， ， 解得，， 为非负整数， 或均不符合题意， 租赁公司的日收益不能为元． 【思路引导】（1）根据日租金收入每辆车的日租金日租出车辆的数量，日收益日租金收入平均每日的各项支出，据此可求函数关系式； （2）根据 二次函数的性质进行求解即可； （3）令租赁公司的日收益为元，列方程求解，并由为正整数，可得答案． 【规范解答】（1）解：根据题意得：． 即与之间的函数关系式为（且为整数）； （2）解：在中，，， 当时，取最大值，最大值是， 每日租出辆时，租赁公司日收益最大，最大收益为元． 【变式训练2】（26-27九年级上·河南郑州·开学考试）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 成本核算 (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立 (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，则每件A品的利润为_______元，A品的销量为_________件，每件B品的利润为______元，B品的销量为______件，求总利润关于A品涨价后的售价的函数解析式． 方案设计 (3)若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】(1)制作一件A品的成本为元，制作一件B品的成本为元． (2)每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件；总利润关于的函数解析式为（）． (3)当制作并销售A品件、B品件时，总利润最大． 【思路引导】（1）设制作一件A品的成本为元，则制作一件B品的成本为元，根据用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等列方程并解方程即可得到答案； （2）设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，根据题意列出代数式和函数解析式即可； （3）根据二次函数的性质进行解答即可． 【规范解答】（1）解：设制作一件A品的成本为元，则制作一件B品的成本为元， 解得 经检验是分式方程的解且符合题意， ， 答：制作一件A品的成本为元，制作一件B品的成本为元． （2）解：每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件； 总利润关于的函数解析式为（）． （3）解： ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 此时A品的销量为件，B品的销量为件． 题型五 投球问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某球员在罚球线处投篮，球从点A处出手，恰好经过篮圈中心B．已知球出手的位置A到地面的距离为，到篮圈中心B的水平距离为，篮圈中心B到地面的距离为．建立如图所示的平面直角坐标系后，这位球员所投球的运动路线是抛物线．求这条抛物线的表达式和球运动的最大高度． 【答案】，最大高度为． 【思路引导】先根据图像信息确定A、B两点坐标，代入抛物线得到二元一次方程组，求解出，得到抛物线表达式；该抛物线顶点在轴，时值就是最大高度． 【规范解答】解：由图得：，即， ∵抛物线过， ， ∴， 解得， ∴抛物线表达式：， ， ∴抛物线顶点在处，，即最大高度为． 【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为．小球的飞行高度能否达到？如果能，需要多长时间？ 【答案】小球的飞行高度能达到，需要的时间是 理由如下：当时，代入函数关系得：， 整理得， 解得， ∴当时，小球的飞行高度达到． 【思路引导】把代入函数关系式可得方程，解方程即可得到结论． 【规范解答】略 【变式训练2】（26-27九年级上·北京·期中）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内： （填“是”，“否”）． 【答案】(1)40， (2)是 【思路引导】（1）依据题意，由抛物线经过点和，故抛物线的对称轴为直线，由表可知当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度即为最大值，则可设抛物线为，然后代入，求出a，进而可以得解； （2）根据第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，令，求得水平距离；然后令，求得第二次的水平距离，两次比较即可得结论． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度为最大值，最大值为40； ∴设抛物线为， ∵抛物线经过， ∴ 解得， ∴函数关系式为； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， 由题意得，令 解得，（舍去）， ∵， ∴小聪第二次发球时，乒乓球是落在球桌内． 题型六 喷水问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）某高为的喷水管竖直向上喷水，水在空中的高度h（单位：m）与水离开水管后在空中的时间t（单位：s）的关系近似为． (1)水离开喷水管后，经过多久能落回到起始高度？ (2)喷出的水在空中的最大高度是多少？ 【答案】(1) 水离开喷水管后经过落回到起始高度 (2) 喷出的水在空中的最大高度为 【思路引导】（1）令，解一元二次方程，舍去初始时刻的解得到结果； （2）将二次函数解析式配方为顶点式，结合开口方向求最大值； 【规范解答】（1）解：由题意，水的起始高度为，落回起始高度时， 代入，得， 解得，， ∵为水刚离开喷水管的初始时刻，不符合题意，舍去， ∴， 答：水离开喷水管后经过能落回到起始高度； （2）解： ， ∵， ∴当时，取得最大值， 答：喷出的水在空中的最大高度是． 【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为．一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动________的距离才能击中昆虫． 【答案】或 【思路引导】首先确定原始抛物线的解析式为，设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫，得到平移后的抛物线解析式为，把代入解析式求解即可． 【规范解答】解：根据题意，得y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为， 故抛物线的解析式为， 由抛物线经过原点， ， 解得， 故抛物线的解析式为． 当时，， 故点不在抛物线上， 设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫， 故平移后的抛物线解析式为， 把代入解析式，得， 整理，得， 或， 解得或， 故需要水平向右游动或的距离才能击中昆虫． 【变式训练2】（2026·甘肃武威·中考真题）如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【思路引导】要判断水流能否击中昆虫，只需验证点是否在抛物线上，即将代入函数解析式计算y的值，并与昆虫的高度进行比较． 【规范解答】解：当时，， ∵，即当水平距离为时，水流的高度为，低于昆虫所在的高度， ∴不在抛物线上， ∴这次射出的水流不能击中昆虫． 题型七 增长率问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）某市为打造“绿色城市”，积极投入资金实施园林绿化工程．已知去年投入资金1500万元，计划从今年起，连续三年每年投入资金比上一年增加相同的百分率x．写出明年将投入的资金量y（单位：万元）关于每年增加的百分率x的函数解析式． 【答案】 【规范解答】解：∵去年一年投入资金1500万元，连续三年每年投入资金比上一年增加相同的百分率x， ∴明年将投入的资金量． 【变式训练1】某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【思路引导】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【规范解答】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【考点剖析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【变式训练2】向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 【答案】(1)； (2)40米． 【思路引导】（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程，即可求解； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出方程即可求解． 【规范解答】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意可得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：李明这两年纯收入的年平均增长率为； （2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，根据题意可得 ， 解得，，（不合题意，舍去） 答：养鸡场与墙平行的一边的长度为40米． 【考点剖析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程． 题型八 其他问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆．已知起跳点E与着陆坡上的计分参照点K的垂直距离为，水平距离为．按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线．该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度是多少？着陆时他能越过K点吗？ 【答案】该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度是，着陆时他能越过K点． 【思路引导】首先将表达式配方成顶点式，然后根据二次函数的性质求出该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度，然后将代入表达式求解比较即可． 【规范解答】解：∵，， ∴当时，y有最大值50， ∴该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度是； 根据题意得，， 当时，， ∴着陆时他能越过K点． 【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）点燃某种烟花后，其升空高度（单位：m）关于时间（单位：s）的函数可近似表示为（）．若这种烟花在点燃升空后到最高处引爆，烟花点燃多久后引爆？烟花升空的最大高度是多少？ 【答案】烟花点燃后引爆，烟花升空的最大高度是 【思路引导】函数是开口向下的二次函数，顶点位置即为最高点，利用二次函数顶点公式求出顶点横坐标（引爆时间）与纵坐标（最大高度）． 【规范解答】解：， 依据顶点式可知顶点坐标为， ∴烟花点燃后引爆，烟花升空的最大高度是． 【变式训练2】（2026·河南驻马店·三模）转枝是果树栽培中的核心技术之一，目的是调整枝条生长方向、抑制顶端优势、促进花芽分化、平衡树势．某果农在进行枝条牵引定形时，将枝条弯成抛物线形状作为支撑骨架（如图1），以垂直于地面的果树主干为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系如图2所示．枝条上的点，，在抛物线形骨架上，点到主干的水平距离为，点在枝条抛物线形骨架的外端处，主干的高度为，已知抛物线形枝条的最高点到的水平距离为，离地面的高度为． (1)设抛物线形枝条上某处离地面的高度为，该处到主干的水平距离为，求与之间的函数解析式． (2)若枝条外端到主干的水平距离（即枝条牵引深度）为，求点离地面的高度． (3)为保证枝条弯枝之后不至于断枝（当的长度超过时枝条会被折断），需测量安全监测距离（为枝条上某点到牵引绳的铅锤距离）．已知点，间的距离为，试判断该枝条会不会被折断，并说明理由． 【答案】(1) (2)点离地面的高度为 (3)该枝条不会被折断，理由如下： ∵，， ∴， ∵点到主干的水平距离为， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， 这是一个开口向下的二次函数，顶点在处， 代入得：的最大值为， ∵， ∴该枝条不会被折断． 【思路引导】（1）根据题意得抛物线顶点的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求的解析式，求出点P的纵坐标，即可判断． （3）运用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，则，求出的最大值即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 由题意得，点在抛物线上，代入得：， 解得：， 所以，抛物线的解析式为，即：； （2）解：∵枝条外端到主干的水平距离（即枝条牵引深度）为， ∴， ∴ ， ∴点离地面的高度为； 【真题演练1】（2026·江苏南通·中考真题）综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）由题意，设抛物线的解析式为，抛物线过，代入即可求得解析式； （2）因为小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点时，即时，代入抛物线解析式求出的值，进而即可求解题目． 【规范解答】（1）解：由题意，设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴解析式为 （2）解：∵小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点， （米）， ∴当时， ， 解得， ． 答：此时大孔的水面宽度． 【真题演练2】（2026·江苏宿迁·中考真题）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】（1）根据可知当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，然后将点代入二次函数解析式即可求出a的值． （2）由题意可知抛物线对称轴直线在的左侧，且当时，，然后列出不等式组求解即可． （3）根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间，然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合已知条件列出方程求解并进行取舍即可得出答案. 【规范解答】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得： ， 解得． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴直线为， ∵当时，铅球处于下落状态， ∴抛物线的对称轴直线，且当时，， 解得：． （3）解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况： （1）当对称轴时，即，当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， （2）当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） （3）当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得(舍去)或． 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得(舍)或（舍）． 综上：或． 【真题演练3】（2026·黑龙江大庆·中考真题）某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【答案】(1)函数关系式为，的取值范围是． (2)函数关系式为，当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润，最大利润为元． 【思路引导】（1）根据图像，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间是一次函数关系，设函数解析式代入已知点求解即可，售价需满足不低于进价元，且不高于物价部门规定的元； （2）根据平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），将有关代数式代入公式中，可以得到平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式为开口向下的二次函数，结合的取值范围和二次函数的对称轴即可确定的最大值． 【规范解答】（1）解：由图像可知，与是一次函数关系， 设函数解析式为， 已知图像上两点和， 代入解析式中可得 ， 解得， 函数关系式为． 根据题目条件，售价需不低于每箱进价元，且不高于物价部门规定的元， 的取值范围是． （2）根据利润的计算公式：平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），即． 将（1）中得到的代入利润公式，整理得， ， 这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为． 的取值范围是， 该区间在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，（元）， 当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润元． 【真题演练4】（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【思路引导】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【规范解答】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 【真题演练5】（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 【答案】(1)如图，建立平面直角坐标系． 函数表达式为； ②的取值范围为 (2)丙的平均速度为米/秒 【思路引导】（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解； ②当时，，由题意得，，即可求解； （2）当时，，求得，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得，，设函数表达式为：， 把代入，得， 解得， ∴函数表达式为：． ②当时，， 由题意得，， 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为； 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为或； 由题意得，， 综上所述，的取值范围为． （2）解：当时，， 解得，（舍去）， ∴丙的平均速度为（米/秒）． 【基础夯实】 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【思路引导】根据关系式可知抛物线开口向下，再求出对称轴即可． 【规范解答】解：，， ∴当时，水火箭达到最高点． 2．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【规范解答】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】设抛物线解析式为，将与代入解析式，求得a的值，再令，求得y的值，即可得出答案． 【规范解答】解：设抛物线解析式为， 由题意知，抛物线顶点坐标为，与x轴的一个交点坐标为， ， 解得， ， 当时，， 水管的长度是． 4．（22-23九年级上·山西大同·阶段检测）小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若，，则杯子的高的长为 _____． 【答案】 11 【思路引导】首先由求出D点的坐标为，然后根据，可知B点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度． 【规范解答】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 5．（2026·山西朔州·模拟预测）某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 【答案】3.75 【思路引导】根据二次函数的最值问题进行求解即可． 【规范解答】解：∵，且， ∴当时，y取得最大值， ∴最佳加工时间为3.75分钟． 6．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为米，足球场的面积为平方米，则关于的函数关系式（结果保留）为______． 【答案】 【思路引导】根据跑道周长公式表示出矩形的宽，再利用矩形面积公式列出函数关系式； 【规范解答】解：设矩形的宽为米， 跑道周长为米，由两条直道和两个半圆组成，两个半圆合为一个圆，直道的长为米， ， ， 足球场是矩形， ， ， ． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长应为多少？ 【答案】 水管的长应为 【思路引导】建立平面直角坐标系，根据抛物线顶点坐标设顶点式解析式，代入落地点坐标求出系数，计算时的函数值即为水管长度． 【规范解答】解：以池中心为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系 由题意得，抛物线的顶点坐标为，且过点 设抛物线的解析式为（） 将代入解析式，得 解得 ∴抛物线的解析式为（） 当时， 答：水管的长应为． 8．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【规范解答】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，大桥的缆索具有抛物线形状，两端的索塔均与桥面垂直，且在桥面以上部分高度相同，即．主桥长为，缆索最低处的吊杆长为，桥面上与点M相距处的吊杆长为．请建立适当的平面直角坐标系，求索塔在桥面以上部分的高度． 【答案】 【思路引导】根据题意，建立平面直角坐标系，得到N，Q点坐标，求出抛物线解析式，利用C点坐标，求出长即可． 【规范解答】解：以M点为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系， 根据题意可知，，，， 设抛物线解析式为， 点，在抛物线上， 解得 抛物线解析式为， ，， ， 当时，， ， 答：索塔在桥面以上部分的高度为． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图（单位：），等腰直角三角形在正方形的左侧，点在一条直线上．现将由如图所示的位置开始，以的速度沿直线从左向右运动（正方形保持不动），直到边与边重合．设运动时，与正方形重叠部分的面积为． (1)写出与之间的关系式． (2)当，时，的值分别是多少？ (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，运动了多长时间？ 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）设运动时，运动到，设与交于点，根据题意，得到，根据等腰直角三角形的面积公式，求得关系式即可． （2）利用解析式，求对应的函数值即可． （3）先计算正方形的面积，再确定其一半的值，令函数值等于此值，求自变量的值即可． 【规范解答】（1）解：设运动时，运动到，设与交于点，根据题意，得到， 由等腰直角三角形， ， ， 正方形， ， ， ， ， 此时运动的最大时间为：， 故与之间的关系式为：． （2）解：， 当时，； 当时，． （3）解：根据题意，得正方形面积的一半为：， 当时，， 解得或； 由于时间不能为负数， 故舍去， 故， 故当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，运动了． 【培优拔高】 1．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】C 【思路引导】将高度函数整理为二次函数一般式，结合开口方向，通过对称轴公式计算最高点对应时间. 【规范解答】解：， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，顶点处取得最大值. 将，代入，得. 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（   ） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 【答案】A 【思路引导】根据全等三角形的判定定理得到，根据全等三角形的性质得到，利用勾股定理，在中，，所以，再利用二次函数求最值即可． 【规范解答】解：四边形为正方形，四边形也是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， 面积，， ， 当时，S有最小值. 3．（2026·江苏镇江·中考真题）如图1，在矩形纸片中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，，，．沿，各剪去一个角，剩余部分为六边形纸片，用4张和它大小、形状完全相同的六边形纸片可不重叠、无缝隙地拼成一幅美丽图案，其示意图如图2所示．图1中的六边形的面积的最小值为（     ） A．42.5 B．36 C．33 D．27.5 【答案】C 【思路引导】设，用含的代数式表示六边形面积，利用二次函数性质求最小值. 【规范解答】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ； ， 同理； ∴ 六边形的面积 ； 点在边上， ， 即， 解得； ，且二次项系数， 当时，取得最小值 33. 4．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）大庆市中考掷实心球（男生）成绩及得分对照表如下表（满分分，球重）． 成绩（米） 及以下 及以上 得分 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师结合录像对小明投掷实心球的运动轨迹进行技术分析，得到下图，发现实心球在行进过程中高度与水平距离之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩得分是__________ 分． 【答案】 【思路引导】将代入抛物线解析式，求出正根后与表格对比，即可求出得分． 【规范解答】解：将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）， ∵， ∴小明此次投掷的成绩得分为分． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 【答案】 【思路引导】抛物线对称轴为轴，由，水平距离为8米，可得点横坐标，代入解析式即可求出点纵坐标，即所求距离． 【规范解答】解：抛物线关于轴对称，，在抛物线上同一高度且水平距离为米， 点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 警示灯离水面的距离为米． 6．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）为了参加市科技节展览，同学们制作了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架，在如图所示的设计图中，若抛物线的函数解析式为，正方形的边长和正方形的边长之比为，则正方形的边长是______． 【答案】 【思路引导】由题目已知条件正方形的边长和正方形的边长之比为，求出正方形MNPQ的边长． 【规范解答】解：设点B的纵坐标为， 四边形是正方形， ． 各点坐标都关于y轴对称， 点B横坐标为． 点B坐标为． ∵正方形的边长和正方形的边长之比为， ． 各点坐标都关于y轴对称， 点F横坐标为．点F纵坐标为． 点F坐标为． 抛物线的函数解析式为， 把点B坐标，点F坐标代入函数解析式，得 且， 解得， 抛物线的解析式为， 点F坐标为． 设正方形的边长为t，则N点坐标为． 将其代入， 整理，得， 解之，得，负根舍去． 所以，正方形的边长为． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）下表呈现了某竖直上抛物体运动的高度h（单位：m）与运动的时间t（单位：s）之间关系的部分数据： 1 5 10 15 20 25 155 635 1010 1135 1010 635 (1)根据上表，以时间t为横轴、高度h为纵轴建立平面直角坐标系，并描出上述各点． (2)根据第（1）题平面直角坐标系中各点的变化趋势，试确定h关于t的函数类型，并求这一函数的表达式． (3)该物体运动的最大高度是多少？你是根据哪种表示方式求解的？ 【答案】(1 (2)函数类型为二次函数，函数表达式为； (3)该物体运动的最大高度是，根据顶点式求解． 【思路引导】（1）①建立平面直角坐标系：横轴为t轴（单位：s），纵轴为h轴（单位：m），原点为，根据数据范围合理设置单位长度（如横轴每格代表，纵轴每格代表）；②依次描出点、、、、、. （2）利用待定系数法求出函数关系式，再求出自变量取值范围； （3）将二次函数化为顶点式作答． 【规范解答】（1）略 （2）解：根据平面直角坐标系中各点的变化趋势，确定h关于t的函数类型是二次函数， 设二次函数关系式为， 将点、和代入得： ，解得：， ， 当时，， 解得：，， 函数表达式为； （3）解： ， 函数图象开口向下，有最大值，顶点坐标为， 该物体运动的最大高度是． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）一个小球被从地面向上弹出，它的高度（单位：）可以用公式来表示，其中（单位：）表示小球被弹出后经过的时间． (1)画出函数的图象． (2)小球被弹出后时的高度是多少？时呢？ (3)方程和方程的根的实际意义分别是什么？请结合图象说明． 【答案】(1)函数的图象如下图所示， (2)小球被弹出后时的高度为，时的高度为 (3)方程的根为和，实际意义：表示小球被弹出的时刻，表示小球落回地面的时刻；对应图象与轴两个交点的横坐标；方程的根为和，实际意义：表示小球上升过程中高度为的时刻，表示小球下落过程中高度为的时刻；对应图象与直线两个交点的横坐标． 【思路引导】（1）根据函数的图象是开口向下的抛物线在范围内的部分，绘制函数图象即可． （2）代入，即可得到对应的高度值； （3）解得和的两根，结合小球的运动过程和函数图象，得到实际意义． 【规范解答】（1）解：建立平面直角坐标系，横轴为时间（单位：），纵轴为高度（单位：），描出关键点：、、、、，用平滑曲线依次连接上述点， ∵， ∴当时，即，解得：，， ∴取部分的函数图象即可； （2）解：把代入，得：， 把代入，得：， ∴小球被弹出后时的高度为，时的高度为； （3）解：∵解方程，解得：和， 对应函数图象中抛物线和轴的交点坐标，对应的， ∴表示的实际意义：表示小球被弹出的时刻，表示小球落回地面的时刻；对应函数图象与轴两个交点的横坐标； ∵解方程，解得：和， 对应函数图象中抛物线和直线的交点坐标， ∴表示的实际意义：表示小球上升过程中高度为的时刻，表示小球下落过程中高度为的时刻；对应图象与直线两个交点的横坐标． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）射水鱼以陆生昆虫为食．它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中以内的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水鱼射出的水珠运动的高度y（单位：）与向前运动的水平距离x（单位：）之间的关系可以近似地表示为．根据这一关系回答下列问题： (1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物，那么当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步上升？当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步下降？水珠运动的最大高度是多少？ (2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离、高度处，那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？ 【答案】(1)当时，它运动的高度逐步上升；当时，它运动的高度逐步下降；水珠运动的最大高度是； (2)这次射出的水流不能击中这只昆虫 【思路引导】（1）根据函数解析式可得对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向下，进而可得在对称轴的左侧，即时，随的增大而增大，在对称轴的右侧即时，随的增大而减小，即可求解； （2）将代入得出，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，，过原点， 在对称轴的左侧，即时，随的增大而增大，在对称轴的右侧即时，随的增大而减小， ∴当时，它运动的高度逐步上升；当时，它运动的高度逐步下降；水珠运动的最大高度是； （2）解：当时，， ∴这次射出的水流不能击中这只昆虫． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状可视为一条抛物线．如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1米，并且相距4米，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小冬拿绳子的手的坐标是，身高米的小丽站在绳子的正下方，且距y轴1米时，绳子刚好经过她的头顶．若身高米的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m米，为确保绳子超过他的头顶，求m的取值范围． 【答案】 【思路引导】依据题意，设解析式为，再由小丽头顶的坐标，且过，求出a，k，最后令，求出x，进而表示出m的范围． 【规范解答】解：由题意，可知对称轴是：直线， 设抛物线的解析式为， 又由小丽头顶的坐标，且过， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴m的取值范围为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $