精品解析：广东湛江市赤坎区金沙湾学校2025-2026学年第一学期九年级（数学）核心素养发展调研试卷

2025-2026学年第一学期九年级（数学）核心素养发展调研 （时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列汉字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．爱不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．我不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．中是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； D．华既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 内错角相等 B. 成语“水中捞月”所描述的事件 C. 明天一定是晴天 D. 对顶角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，据此判断． 【详解】解：A、内错角有可能相等，也有可能不相等，故为随机事件，故不符合题意； B、成语“水中捞月”所描述的事件，为不可能事件，故不符合题意； C、明天不一定是晴天，有可能是阴天，故为随机事件，故不符合题意； D、对顶角相等，为必然事件，故符合题意． 故选：D． 3. 已知是方程的一个实数根，则m的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，由题意，将已知根代入方程求解 m即可. 【详解】解：∵是方程 的根， ∴ ， 即 ， ∴， ∴； 故选C. 4. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算，牢记圆锥的侧面积公式是解答本题的关键．如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的侧面积等于． 【详解】解：这个圆锥的侧面积． 故选：A． 5. 某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行了质量抽检，结果如下表： 抽取的毛绒玩具数量n 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数m 47 96 191 476 951 1425 1902 优等品的频率 0.940 0.960 0.9550 0.952 0.951 0.95 0.951 由表可知，从这批玩具中任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率是（精确到0.01）（ ） A. 0.94 B. 0.95 C. 0.96 D. 0.97 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据频率的集中趋势估计概率是解题的关键．根据频率估计概率的原理，从表格数据可知，优等品的频率在0.95附近波动即可得答案． 【详解】解：表格中优等品的频率大概在左右浮动， 从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是， 故选B． 6. 育才中学九（1）班学生毕业时，老师要求每位同学向班上其他同学写一条毕业祝福语，全班共送出祝福语2070条，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；每个学生要向其他个学生共赠送祝福语条，则名学生共赠祝福语为条，由题意即可列出方程． 【详解】解：∵每个学生要向其他个学生共赠送祝福语条， ∴名学生共赠祝福语为条， 由题意得：； 故选：D． 7. 把抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象的平移规律，熟练掌握二次函数的图象的平移规律是解题的关键．根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的表达式为． 故选：B． 8. 如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ） A. 60° B. 45° C. 35° D. 30° 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理即可求解． 【详解】如图，连结OC， ∵， ∴∠BDC=∠AOB=×60°=30° 故选：D 【点睛】本题考查了圆周角定理定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 9. 二次函数的部分对应值如下表： 则关于二次函数下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴为 B. 图象关于轴对称的抛物线为 C. 当时，随着的增大而减小 D. 当时，的取值范围为： 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的对称轴，增减性，结合表中数据进行判断． 【详解】解：A、∵和时的函数值都是7， ∴抛物线的对称轴为直线，故错误，不合题意； B、由表可知：在中，当时，， 在中，当时，， ∴图象关于轴对称的抛物线不是，故错误，不合题意； C、由图表数据可知，当时，随着的增大而增大， 故当时，随着的增大而增大，故错误，不合题意； D、∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，函数值最小，且为， 当和时，函数值相等，且为， 当和时，函数值相等，且为， ∴当时，的取值范围为：，故正确，符合题意； 故选：D． 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴是．下列结论中正确的是（ ） A. B. 方程的一个根在1与2之间 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下， ∴， 又抛物线与的正半轴相交， ∴， ∴，故A错误，不符合题意； ∵抛物线与轴的交点在和之间，且对称轴为， ∴根据对称性可得抛物线与轴的交点在0和1之间， ∴方程的一个根在0与1之间，故B错误； ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴，故C错误； ∵方程的一个根在0与1之间， ∴当时，， 又，即， ∴，故D正确， 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点B的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标和纵坐标都互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的横坐标为，纵坐标为， 因此点的坐标为． 故答案为：． 12. 线段，在以为直径的外有一点，则的长的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查点与圆的位置关系，正解理解点与圆的三种位置关系是解题的关键． 通过直径得到该圆的半径为，根据点在以为直径的外，即可得到的长的取值范围． 【详解】解：∵线段，在以为直径的外有一点， ∴，即， 故答案为：． 13. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的定义求参数，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，方程是关于的一元二次方程， ∴，解得或 ， 当时，二次项系数，不符合一元二次方程的条件， 当时，二次项系数，符合一元二次方程的条件， ∴a的值为2． 故答案为：2． 14. 如图，圆锥的底面半径为1cm，高SO等于2cm，则侧面展开图扇形的圆心角为_____°． 【答案】120° 【解析】 【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据弧长公式计算即可． 【详解】设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为n°， ∵圆锥的底面半径r为1，高h为2 ∴圆锥的母线长为：=3 则=2π1 解得，n=120， 故答案为120° 15. 光圈是相机镜头中一个可调节的开口，通过6片形状和大小相同叶片的闭合情况来影响中间正六边形的面积，达到控制进光量和景深的作用．如图，右图是一组不同通光量下叶片闭合情况的示意图，图中若的延长线恰好过点，圆的半径为，则叶片所占区域（阴影部分）的面积是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，如图，连接，作于．解直角三角形求出正六边形的半径即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作于． 由题意， ∴是等边三角形， ∴， 设,则, 在中，则有， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用提公因式法因式分解，解方程即可； （2）利用公式法，解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ，． 17. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上．在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形） （1）画出将向左平移8个单位长度得到的，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，为所求作三角形；； （2）如图，为所求作三角形； 【解析】 【分析】本题考查了作图−旋转变换和平移变换． （1）利用点平移的坐标特征描出点、、，再顺次连接，然后根据点的位置写出其坐标即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点、，再顺次连接，然后根据点的位置写出其坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 小明和小颖做游戏，游戏规则是：在一个不透明的布袋内装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后随机摸出一个后不放回，再随机摸出一个球． （1）若随机从布袋中摸出一个球，摸到的球是白球的概率是________； （2）若规定：当两次摸出的球的颜色一样时，小明胜；颜色不一样时，小颖胜，你认为这个规定对双方公平吗？请通过画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】（1） （2）不公平 理由如下： 根据题意画出树状图如下： 如图，共有20种等可能的结果，其中两次摸出的球的颜色一样的结果有8种，颜色不一样的结果有12种， ∴P（小明胜），P（小颖胜）， ∵， ∴这个规定对双方不公平． 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表的方法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据概率公式进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，画树状图，得共有20种等可能的结果，其中两次摸出的球的颜色一样的结果有8种，颜色不一样的结果有12种，再列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵在一个不透明的布袋内装有2个黑球和3个白球， ∴随机从布袋中摸出一个球，摸到的球是白球的概率是 【小问2详解】 略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2），方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）． （1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 20. 如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点C，交于点，且点是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是圆的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则得，由弧相等得，得，得，即可证明； （2）由（1）得，从而求得，由勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了切线的判定，相等的弧对的圆周角相等，含30度角直角三角形的性质，勾股定理等知识． 21. 阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为 ①， 解这个方程得：，． 当时，．∴；当时，，∴ 以原方程有四个根：，，，． 这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）用换元法解方程： （2）三边是，，，若两直角边，满足，斜边，求的面积． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）设，直接代入得关于y的方程，然后进行计算，即可得到结果； （2）设，解方程，得出，进而根据完全平方公式以及勾股定理求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：设，原方程可变形为：， ∴因式分解为：， ∴或， ∴或， 对于方程， 解得：，， 对于方程， 移项得：， ∵， ∴上述方程无解， ∴原方程的解为：，． 【小问2详解】 设， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：； ∵斜边， ∴，则 ∴ ∴ 又， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了一元二次方程、勾股定理．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 综合与探究 问题情境： 在中，，为的中点．将以点为中心逆时针方向旋转，点B，C的对应点分别为点，，与的交点为．猜想证明： （1）如图1，当时，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究 （2）如图2，当点恰好落在边上时， ①猜想线段，的数量关系，并说明理由； ②若，，请直接写出线段的长度． 【答案】 （1）（1）解：四边形是菱形．理由如下： ∵， ∴， 根据旋转性质得，， ∴， ∵，为的中点． ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． （2）①解：，理由如下： 连接， ∵，为的中点． ∴，，， ∵以点为中心逆时针方向旋转，点恰好落在边上， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）根据，得到，根据旋转性质得，，继而得到，根据等腰三角形的性质得到，，得到得证，根据菱形的判定证明即可． （2）①连接，先证明，再证明即可．②过点D作于点M，利用等腰三角形的性质，勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：过点D作于点M， ∵， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 23. 如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB． （1）求∠AOB的度数； （2）如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM， ①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标； ②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围． 【答案】（1）45° （2）①（4，0）或（8，4）；② 【解析】 【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，得到点B的坐标，作BH⊥OA于H，则OH＝BH＝4，即可得到∠AOB的度数； （2）①先求出A点坐标．作OB的垂直平分线交⊙A于、两点，由AH＝4=OH＝BH，得到坐标为（4，0）．连接，由，，得到坐标为（8，4）； ②延长OB至点D，使BD＝OB，则点D坐标为（8，－8），连接MD，根据三角形中位线的性质得到，当MD过点A时，MD长度达到最大值，当点M在点E处时，MD有最小值，由此解决问题． 【小问1详解】 ∵，点B为抛物线顶点， ∴点B的坐标为（4，－4）． 作BH⊥OA于H，则OH＝BH＝4， ∴∠AOB＝45°． 【小问2详解】 ①，解得，， ∴ A点坐标为（8，0）． 作OB的垂直平分线交⊙A于、两点， ∵⊙A半径为4，AH＝4， ∴点H在⊙A上，此时OH＝BH， ∴点H与点重合， ∴坐标为（4，0）． 连接， ∵，， ∴，则坐标为（8，4）， 综上，点M的坐标为（4，0）或（8，4）． ②延长OB至点D，使BD＝OB，则点D坐标为（8，－8）， 连接MD， ∵点N为OM中点， ∴ ． 如图，当MD过点A时，MD长度达到最大值， 当点M在点E处时，MD有最小值， ∵点A、D横坐标相同， ∴此时MD⊥x轴， ∴MD＝8＋4＝12，DE＝8－4＝4， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了抛物线与圆的综合知识，抛物线解析式化为顶点式，求抛物线与坐标轴的交点，圆的半径相等的性质，直径是圆中最长的弦，以及等腰三角形三线合一的性质，综合掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级（数学）核心素养发展调研 （时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列汉字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 内错角相等 B. 成语“水中捞月”所描述的事件 C. 明天一定是晴天 D. 对顶角相等 3. 已知是方程的一个实数根，则m的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行了质量抽检，结果如下表： 抽取的毛绒玩具数量n 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数m 47 96 191 476 951 1425 1902 优等品的频率 0.940 0.960 0.9550 0.952 0.951 0.95 0.951 由表可知，从这批玩具中任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率是（精确到0.01）（ ） A. 0.94 B. 0.95 C. 0.96 D. 0.97 6. 育才中学九（1）班学生毕业时，老师要求每位同学向班上其他同学写一条毕业祝福语，全班共送出祝福语2070条，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，则可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 把抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ） A. 60° B. 45° C. 35° D. 30° 9. 二次函数的部分对应值如下表： 则关于二次函数下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴为 B. 图象关于轴对称的抛物线为 C. 当时，随着的增大而减小 D. 当时，的取值范围为： 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴是．下列结论中正确的是（ ） A. B. 方程的一个根在1与2之间 C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点B的坐标是____________． 12. 线段，在以为直径的外有一点，则的长的取值范围为______． 13. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为_______． 14. 如图，圆锥的底面半径为1cm，高SO等于2cm，则侧面展开图扇形的圆心角为_____°． 15. 光圈是相机镜头中一个可调节的开口，通过6片形状和大小相同叶片的闭合情况来影响中间正六边形的面积，达到控制进光量和景深的作用．如图，右图是一组不同通光量下叶片闭合情况的示意图，图中若的延长线恰好过点，圆的半径为，则叶片所占区域（阴影部分）的面积是___________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上．在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形） （1）画出将向左平移8个单位长度得到的，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 18. 小明和小颖做游戏，游戏规则是：在一个不透明的布袋内装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后随机摸出一个后不放回，再随机摸出一个球． （1）若随机从布袋中摸出一个球，摸到的球是白球的概率是________； （2）若规定：当两次摸出的球的颜色一样时，小明胜；颜色不一样时，小颖胜，你认为这个规定对双方公平吗？请通过画树状图或列表的方法说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 20. 如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点C，交于点，且点是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 21. 阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为 ①， 解这个方程得：，． 当时，．∴；当时，，∴ 以原方程有四个根：，，，． 这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）用换元法解方程： （2）三边是，，，若两直角边，满足，斜边，求的面积． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 综合与探究 问题情境： 在中，，为的中点．将以点为中心逆时针方向旋转，点B，C的对应点分别为点，，与的交点为．猜想证明： （1）如图1，当时，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究 （2）如图2，当点恰好落在边上时， ①猜想线段，的数量关系，并说明理由； ②若，，请直接写出线段的长度． 23. 如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB． （1）求∠AOB的度数； （2）如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM， ①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标； ②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $