1.4 空间向量的应用（一）用空间向量研究直线、平面的位置关系 讲义 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.4空间向量的应用（一）用空间向量研究直线、平面的位置关系 知识归纳与题型总结 考点01 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间中直线的向量表示式 直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3．平面的法向量定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 注：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 考向01 平面法向量的概念及辨析 【例1】我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程：，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意可得出所求平面的点法式方程，化简即可. 【详解】由题意可知经过点的平面的一个法向量为， 该平面的方程为，即. 考向02 求平面的法向量 【例2】在四棱锥中，，，，，，，分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值； 【答案】(1)连接，因为为中点，所以， 又，，所以且，所以四边形为平行四边形， 又，，所以四边形为正方形，所以，， 又因为，，所以，所以， 又因为，分别为线段和的中点，所以，所以， 又，平面，所以平面. (2) 【分析】(1)通过线面垂直判断方法求解. (2)建立空间直角坐标系后通过求解法向量来求面面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）因为，，所以，所以，由(1)知， 又，平面，所以平面，又，，所以， 所以，，两两垂直，以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，则， 由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为， 所以， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 考向03 直线方向向量的概念及辨析（空间中） 【例3】直线的方向向量 如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．我们把与向量平行的非零向量称为直线的________． 【答案】方向向量 【详解】略 考向04 求直线的方向向量（空间中） 【例4】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 【对点1】（多选）在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点，，，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是（    ） A．若 B．若 C．若 D．若 【答案】ACD 【分析】利用平面法向量的意义，结合线面垂直的判定性质逐项分析判断即可. 【详解】依题意，向量是平面的法向量， 对于A，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，A正确； 对于B，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，假设， 而平面，则，而不在平面内，则平面， 平面平面，平面，则必有，当时，由， 得，由选项A知，此时不一定平行，因此不一定平行，B错误； 对于C，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，C正确； 对于D，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，而平面， 于是平面，又平面，则，D正确. 【对点2】如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． (1)证明：； (2)求D到平面MOB的距离． 【答案】(1)连接PO，BD，如图一所示， ，，∵平面平面ABCD， 平面平面，平面，平面ABCD， 平面ABCD，， 又平面PAD，平面PAD， 又平面PAD，. (2) 【分析】（1）通过面面垂直得到，继而通过平面PAD，最终完成证明 （2）建系利用向量法求解或利用等体积法求解 【详解】（1）略 （2）由（1）得,又∵O为AD的中点,， ,是正三角形，,. 法一：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图一所示的空间直角坐标系， 则 ， ， 设平面MOB的一个法向量为， 则即， 取，则，， ∴点D到平面MOB的距离， ∴点D到平面MOB的距离为. 法二：连接MD，设点D到平面MOB的距离为h， ， ，M到平面ABCD的距离为P到平面ABCD距离的， 即，，， ，∴点D到平面MOB的距离为. 【对点3】已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则__________． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系，列方程求解． 【详解】由题得，，解得． 【对点4】已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所在向量，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，利用共线向量的概念逐一计算判断选项． 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 考点02 用空间向量研究直线、平面的平行关系 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 考向01 空间向量平行的坐标表示 【例1】已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 【对点1】已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 因为，所以存在实数，使得， 故，解得，，， 所以. 考点03 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设分别是直线l1 , l2的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线l的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 考向01 空间向量垂直的坐标表示 【例1】设，向量，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量且， 所以，解得， 可得， 所以， 考向02 空间位置关系的向量证明 【例2】如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点．求证：平面； 【答案】以A为原点，以所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 已知，，是侧棱的中点， 则：， 故； ，故； ，故； 又，平面， 由线面垂直判定定理可得，平面． 【分析】以A为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量法可证，，然后由线面垂直判定定理可得平面. 【详解】略. 【对点1】已知向量，且，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，且， 所以，即． 【对点2】如图，在边长为的正方体中，点分别在，上，，求证：平面平面． 【答案】证明: 在边长为的正方体中，， 因此，， 因为且，所以四边形是平行四边形，故. 又平面，平面，所以平面. 因为且，所以四边形是平行四边形，故， 同理可知平面. 因为，且都在平面内， 所以平面平面. 【分析】结合正方体棱长与已知的，根据线面平行判定定理证明平面，同理证明平面，再结合面面平行判定定理证明即可. 【详解】略. 一、单选题 1．已知，则平面的一个法向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设平面的法向量，则 ， 因为，所以 ， 令，则，所以. 因为向量，，与不共线， 故A，C，D不符合题意； 因为，所以B符合题意. 2．四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设交于点，连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由平面，结合，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】连接，设交于点，连接， 因为四棱锥的底面是正方形，且每条侧棱的长都是底面边长的倍， 所以四棱锥为正四棱锥，可得平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，设底面边长为，则， 可得， 则， 假设在侧棱上存在一点，使得平面， 又因为平面，所以是平面的一个法向量， 设， 则， 由，可得，解得， 即当时，， 又因为平面，所以平面， 故侧棱上存在一点，使得平面，且. 3．已知四面体，，；则下列条件中是的充要条件的有（   ） ①         ②         ③ A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】B 【分析】由题设，如下图建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算可判断选项正误. 【详解】如下图，取中点为，因，，则， 又平面，，则平面. 如下图，以为原点建立空间直角坐标系，设， ，从而. 对于①，，则， 则是的充要条件； 对于②，，则 ，结合，可得， 则 不是的充要条件； 对于③， ， 从而是的充要条件. 4．如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，为直线上一动点，则下列说法正确的是（     ） A．平面 B．直线与直线一定是异面直线 C．若，则点的轨迹长度为 D．三棱锥的体积是定值 【答案】D 【分析】若平面，可得，进而可判断A；由题意可得平面平面，进而可判断B；点轨迹为以为球心，为半径的球与正方体表面的交线，计算可判断C；根据平面，可判断D. 【详解】对于A，若平面，又平面，所以， 又因为、分别为棱，的中点，所以，所以， 因为是等边三角形，所以，与矛盾， 所以不垂直于平面，故A错误； 对于B，连接， 因为、分别为棱，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 由正方体的性质可得，又，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，平面， 故直线与直线是异面直线或，故B错误； 对于C，由知点轨迹为以为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图所示， 由正方体棱长为得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为，故C错误. 对于D，因为平面，又， 所以点到平面的距离为定值，又为定值， 所以为定值，故D正确. 5．如图所示，在正方体中，分别在上，且，则（   ）    A．至多与之一垂直 B．是的公垂线 C．与相交 D．与异面 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，写出相应的点坐标，求出相应向量的坐标，利用向量法判断两条直线的位置关系即可. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 由，则， 所以， 因为，所以，又与无公共点，所以，故C，D错误； 由， 且， 所以，故A错误，B正确. 6．在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（    ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 【答案】B 【详解】由于，故，故， ， 故的竖坐标为. 7．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，满足，上有一点，上有一点，有，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，、、分别作为、、轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 由于点在侧棱上，满足，所以，解得，所以， 由于点在上，不妨设，即，解得， 同理，点在上，设，解得， 则， 由于，，则， 化简得，解得， 因此 ，所以，故B正确. 8．在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，下列说法正确的个数（    ） ①点可以是棱的中点；②点轨迹的长度为； ③点的轨迹是平行四边形；④点轨迹所围成的图形面积为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】在正方体中，以点D为坐标原点，分别以、、所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，再逐项判断，即可得出结果. 【详解】在正方体中，以点D为坐标原点，分别以、、所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 因为该正方体的棱长为1，分别为，的中点， 所以，， 所以，设，则， 因为， 所以， 即，所以， 取，当时，；当时，； 取， 连接，，，则，， 则， ， 所以，， 又，且平面，平面， 所以平面，所以当点平面时， 又点P在正方体的表面上运动，所以点P的轨迹为正三角形，③错误； 点P不可能是棱的中点，①错误； 正三角形边长为，点P轨迹的长度为，②错误； 正三角形的面积为，④正确. 二、多选题 9．（多选）如图所示，长方体，底面是边长为1的正方形，高为2，是的中点，则（   ） A． B．三棱锥的体积为 C．平面平面 D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BD 【分析】根据四棱柱的几何性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，根据向量方法证明选项A和选项C；根据三棱锥的体积的求法，求出三棱柱的体积，判断选项B的正误；根据四棱柱外接球的性质，求出外接球的半径，进而求出表面积，判断选项D正误. 【详解】如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可得， 因为是的中点，所以， 选项A：，显然不存在实数使， 所以不平行，故选项A错误； 选项B：可知， 因为平面， 所以，故选项B正确； 选项C：取平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 可知 ， 可得，即， 令，解得，即， 因为，所以两平面不垂直，故选项C错误； 选项D：三棱锥的四个顶点均为长方体的顶点，其外接球即为长方体的外接球， 长方体的体对角线长为， 所以外接球半径为，表面积，故选项D正确. 10．（多选）正方体的棱长为分别为的中点.则（    ） A．正方体体积是三棱锥体积的12倍 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．三棱锥与三棱锥的体积之比为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法及棱锥体积公式逐一判断各选项． 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 则． 因为分别为的中点， 所以． 选项A：正方体体积． 三棱锥的体积． 因为，， 所以． 正方体体积是三棱锥体积的倍，故A错误； 选项B：． 设平面的法向量为， 则，取，得． 又， 所以，即． 又平面，所以直线平面，故B正确； 选项C：由坐标可得，，． 为等腰三角形，底边上的高． 所以截面面积，故C正确； 选项D：． ， 底面在平面（即平面）上． 在平面中， （此处坐标为）， ． 点到平面的距离为， 所以． 所以体积之比为，故D正确． 11．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点（不包含端点），则（    ） A．对于任意点，都有 B．对于任意点，不存在∥平面 C．过点且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为 D．存在点，使得三棱锥体积为 【答案】ABC 【分析】根据正方体的垂直关系建立空间直角坐标系，根据坐标关系判断选项即可． 【详解】在正方体中，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 因为棱长为2，可得，，；设， 则，； 则；故对于任意点，都有，A选项正确； 因为分别是的中点，故，，； 则，； 设为平面的法向量， 则，可得，解得； 令可得，； 令，解得，不合题意， 故对于任意点，不存在∥平面，B选项正确； 在平面中作，垂足为，过点在平面中作，交于点； 因为正方体中，平面平面，且交于； 因为平面，故平面，而平面，则； 因为平面，故平面； 平面截正方体的截面为矩形； 当与重合时，即为的中点时，截面最大， 面积为，故C正确； 由， 可得，因为是线段上的动点（不包含端点），故， 综上，不存在点，使得三棱锥体积为，故D错误． 三、填空题 12．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 【答案】 【详解】因为，，且的夹角为钝角， 所以且与不共线， 由，则解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数λ的取值范围为． 13．平行六面体的底面为正方形，且，．则____________． 【答案】 【分析】设在底面内的射影为P，过P作，，连结，，，从而根据线面垂直的判定及性质得到，，从而得到P在的角平分线上，从而得到，即可得到，再以，，所在的直线分别为，，为轴建立空间直角坐标系，设，，找到所需各点的坐标，从而得到，，再根据即可求出的值，进而即可得到的值． 【详解】设在底面内的射影为P，过P作，，连结，，， 则平面，由平面，则， 又平面，则平面， 又平面，所以，同理， 又，则，则，则P在的角平分线上，所以， 设，则，，则，所以， 设，交点为O，以O为原点， 则以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，    设，，则，则， 则，，，， 所以，， 又，则， 即， 解得，（舍去）， 所以． 14．若，且两两垂直，则_____________， ___________，________． 【答案】 【详解】， ，即，解得. 15．如图，在棱长为1的正方体中，点为的中点，点是侧面上（包括边界）的动点，点是线段上的动点，给出以下结论： ①存在点，使得对任意点，都有； ②存在无数组点和点，使得； ③存在唯一的点，使得平面； ④存在点和点，使得平面平面； ⑤存在点，使得其到直线的距离为． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②④⑤ 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合向量的运算法则，以及数量积的运算，可判定①不正确，②正确，③不正确；当点与点重合时，点与点重合值，得到平面平面，即平面平面，可判定④正确；转化为异面直线和的距离，求得异面直线的距离，可判定⑤正确. 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为正方体的棱长为1， 可得， 因为为的中点，可得， 对于①，设点，其中，可得， 设，其中， 因为，所以，即，所以, 若，可得恒成立， 可得，整理得， 要使得时，恒成立， 则满足，此时方程组无解， 所以不存在点，使得对任意点，都有，所以①不正确； 对于②，若，则存在实数，使得， 因为， 可得，可得， 显然，因为，可得，解得， 所以存在无数组点和点，使得，所以②正确； 对于③，若平面，且平面，则， 因为， 可得，所以与不垂直， 所以不可能垂直平面，所以③不正确. 对于④，当点与点重合，点与点重合时，此时平面，即为平面， 在正方体中，可得平面平面， 所以平面平面，即平面平面， 所以存在点和点，使得平面平面，所以④正确； 对于⑤，因为点是线段上的动点，则点到直线的距离的最小值， 即为异面直线和的距离， 在正方体中，可得平面， 此时设 平面，则点为等边的中心，且， 取的中点为，连接，可得， 所以为异面直线和的公垂线段， 因为为等边三角形，且边长为，可得， 所以存在点，使得其到直线的距离为，所以⑤正确. 四、解答题 16．如图，在平行六面体中，向量，，两两之间的夹角均为，，，． (1)求线段的长度； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：由（1）知，，， ， 所以 ， 所以，故． 【分析】（1）由空间向量基本定理得到，通过平方结合向量数量积的运算即可求解； （2）结合（1）通过，即可求证. 【详解】（1）因为在平行六面体中， 由，， 可得：， 所以 = 因为，向量，，两两之间的夹角均为60°， 则， 所以 ， 故线段MN的长度为． （2）略 17．如图，在直三棱柱中，为的中点． (1)求证：平面； (2)若，，求证：． 【答案】(1)如图，设，连接， ∵四边形为直三棱柱的侧面， ∴四边形为平行四边形， ∴E为的中点， 又∵为的中点， ∴， 又∵平面，平面． ∴平面． (2)在中，，， 所以， 所以为直角三角形，即， 又∵平面，平面， ， 又，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴． 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理证明平面，再由线面垂直的性质定理证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 18．在长方体中，已知，以点为原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系，点是线段上靠近点的一个三等分点，点，设． (1)求证：； (2)在图中标出点的位置，连接，请用含有，，的表达式表示向量； (3)求的面积． 【答案】(1)证明：由点是线段上靠近点的一个三等分点得， 由题意得， 因此， 而，因此，即； (2) (3) 【分析】（1）利用给定的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用空间向量数量积计算得证. （2）确定点的位置，再利用空间向量的线性运算求解. （3）利用空间向量的夹角公式及三角形面积公式求解. 【详解】（1）略 （2）点的位置如图所示，则点为的中点， 连接，由题意得 ， 所以. （3）设，由（1）得， 则， 因此，， 所以的面积 19．在长方体中，，，，，．求证：平面； 【答案】方法一：如图，过点作//，交于点，则有，． 连接，则四点共面，平面即平面． 由，，可得与相似， 所以，则可得，所以． 长方体中，平面， 因为平面，所以． 又，平面，所以平面． 方法二： 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系． 则． 所以． 所以， 所以，即． 又，平面，所以平面． 【分析】方法一：几何法通过作辅助线，结合相似三角形以及长方体的垂直性质，证明垂直于平面内两条相交直线； 方法二：向量法建立空间直角坐标系，利用向量数量积为0得到线线垂直，完成证明. 【详解】略 20．如图，在四棱锥中，，，15，25. (1)求证：面； (2)求证：二面角是直二面角； (3)在平面上求点，使面. 【答案】(1)如图所示： 连接BD，取BD的中点O，连接PO，因为，， 所以的外接圆的圆心为BD的中点，即点O，也为点P在底面ABCD上的射影，则平面ABCD， 因为平面ABCD，所以，又因为，满足所以， 又，所以面； (2)以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系：则 易得，则，设，则， 因为，所以，解得，则 所以， 设平面PBC的一个法向量为则，即， 令，则，所以， 设平面PCD的一个法向量为则，即， 令，则，所以， 因为，所以，则平面平面PDC，所以二面角是直二面角； (3). 【分析】（1）连接BD，取BD的中点O，连接PO，易得平面ABCD，从而，再由得到，然后利用线面垂直的判定定理证明； （2）以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面PBC和平面PDC，利用向量法求解； （3）根据面，得到，设，由求解. 【详解】（1）如图所示： 连接BD，取BD的中点O，连接PO， 因为，， 所以的外接圆的圆心为BD的中点，即点O， 也为点P在底面ABCD上的射影，则平面ABCD， 因为平面ABCD,所以， 又因为，满足 所以，又， 所以面； （2）以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系： 则 易得，则， 设，则 ，因为， 所以，解得， 则 所以， 设平面PBC的一个法向量为 则，即 令，则， 所以， 设平面PCD的一个法向量为 则，即 令，则， 所以， 因为，所以， 则平面平面PDC，所以二面角是直二面角； （3）因为面，所以，设， 则， 因为， 所以， 解得， 则. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.4空间向量的应用（一）用空间向量研究直线、平面的位置关系 知识归纳与题型总结 考点01 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间中直线的向量表示式 直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3．平面的法向量定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 注：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 考向01 平面法向量的概念及辨析 【例1】我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程：，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（     ） A． B． C． D． 考向02 求平面的法向量 【例2】在四棱锥中，，，，，，，分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值； 考向03 直线方向向量的概念及辨析（空间中） 【例3】直线的方向向量 如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．我们把与向量平行的非零向量称为直线的________． 考向04 求直线的方向向量（空间中） 【例4】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【对点1】（多选）在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点，，，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是（    ） A．若 B．若 C．若 D．若 【对点2】如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． (1)证明：； (2)求D到平面MOB的距离． 【对点3】已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则__________． 【对点4】已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 考点02 用空间向量研究直线、平面的平行关系 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 考向01 空间向量平行的坐标表示 【例1】已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【对点1】已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 考点03 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设分别是直线l1 , l2的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线l的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 考向01 空间向量垂直的坐标表示 【例1】设，向量，且，则（ ） A． B． C． D． 考向02 空间位置关系的向量证明 【例2】如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点．求证：平面； 【对点1】已知向量，且，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【对点2】如图，在边长为的正方体中，点分别在，上，，求证：平面平面． 一、单选题 1．已知，则平面的一个法向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（    ） A． B． C． D． 3．已知四面体，，；则下列条件中是的充要条件的有（   ） ①         ②         ③ A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 4．如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，为直线上一动点，则下列说法正确的是（     ） A．平面 B．直线与直线一定是异面直线 C．若，则点的轨迹长度为 D．三棱锥的体积是定值 5．如图所示，在正方体中，分别在上，且，则（   ）    A．至多与之一垂直 B．是的公垂线 C．与相交 D．与异面 6．在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（    ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 7．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，满足，上有一点，上有一点，有，，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，下列说法正确的个数（    ） ①点可以是棱的中点；②点轨迹的长度为； ③点的轨迹是平行四边形；④点轨迹所围成的图形面积为 A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．（多选）如图所示，长方体，底面是边长为1的正方形，高为2，是的中点，则（   ） A． B．三棱锥的体积为 C．平面平面 D．三棱锥的外接球的表面积为 10．（多选）正方体的棱长为分别为的中点.则（    ） A．正方体体积是三棱锥体积的12倍 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．三棱锥与三棱锥的体积之比为 11．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点（不包含端点），则（    ） A．对于任意点，都有 B．对于任意点，不存在∥平面 C．过点且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为 D．存在点，使得三棱锥体积为 三、填空题 12．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 13．平行六面体的底面为正方形，且，．则____________． 14．若，且两两垂直，则_____________， ___________，________． 15．如图，在棱长为1的正方体中，点为的中点，点是侧面上（包括边界）的动点，点是线段上的动点，给出以下结论： ①存在点，使得对任意点，都有； ②存在无数组点和点，使得； ③存在唯一的点，使得平面； ④存在点和点，使得平面平面； ⑤存在点，使得其到直线的距离为． 其中所有正确结论的序号是______． 四、解答题 16．如图，在平行六面体中，向量，，两两之间的夹角均为，，，． (1)求线段的长度； (2)求证：． 17．如图，在直三棱柱中，为的中点． (1)求证：平面； (2)若，，求证：． 18．在长方体中，已知，以点为原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系，点是线段上靠近点的一个三等分点，点，设． (1)求证：； (2)在图中标出点的位置，连接，请用含有，，的表达式表示向量； (3)求的面积． 19．在长方体中，，，，，．求证：平面； 20．如图，在四棱锥中，，，15，25. (1)求证：面； (2)求证：二面角是直二面角； (3)在平面上求点，使面. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $