1.3 空间向量及其运算的坐标表示 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.3空间向量及其运算的坐标表示 知识归纳与题型总结 考点01 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 注：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 考点02 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 考向01 空间向量的坐标运算 【例1】已知，则 等于_______ 【答案】 【详解】， 所以， 所以 . 【对点1】若是一个单位正交基底，且，则（    ） A．7 B． C．3 D．28 【答案】B 【详解】由题意可得，故. 考点03 用空间向量的坐标运算解决几何问题 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 注：特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则. 考向01 空间向量模长的坐标表示 【例1】已知向量，向量满足，，则向量与的夹角为________. 【答案】/ 【分析】由的坐标求出，由已知数量积求出，代入夹角公式求解. 【详解】由已知得， 所以，， 又，所以. 考向02 空间向量平行的坐标表示 【例2】已知向量，，且，则__________． 【答案】 【分析】利用空间向量共线的坐标公式列式求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 考向03 空间向量垂直的坐标表示 【例3】已知空间向量，，且，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 又因， ， 由可得，解得. 考向04 空间向量夹角余弦的坐标表示 【例4】若，则_________． 【答案】 【详解】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 【对点1】若，，则与同方向的单位向量是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】可知，则， 所以与同方向的单位向量是. 【对点2】已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 【对点3】已知向量，向量，若，则__________． 【答案】4 【详解】，，， ，即， 解得． 【对点4】如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   一、单选题 1．一家造纸厂的厂房的外形可以近似看作如图所示的六面体模型，其中四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形．若，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】依题意，直线两两垂直，如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系, 设，由，得， 则，，， ，解得，所以. 2．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以， 则向量在向量上的投影向量为· 3．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 可得，， 则，， 所以， 所以． 4．《周髀算经》记载了“盖天说”宇宙模型，认为天地呈平行平面状．后世数学家将其抽象为：设底面为平面，天顶为平面．一束光从天顶的点射向地面的点，经地面反射后又回到天顶，其入射光线记为向量．由于地面不平整，反射光线与入射光线向量满足：反射光线的单位水平投影向量与入射光线的单位水平投影向量关于点处的南北方向（即轴方向）对称．若反射光线的模长，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】设，根据题意得出，，再根据对称性求出，最后利用数量积的坐标运算进行计算. 【详解】由题意得，，则， 设，因为，所以，得， 则， 因为，关于点处的南北方向（即轴方向）对称， 所以，，得，则， 则 5．已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 【答案】B 【详解】因为向量，，， 若，，共面，则存在唯一实数，使得， 则，解得， 所以存在唯一的正整数符合题意. 6．在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 【答案】C 【详解】由， 得. 因为四点共面，所以存在唯一实数对，使得， 所以，解得. 故的值为. 7．在三棱锥中，，，，，若该三棱锥外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用长度和定出在面上的投影坐标，再用外接球半径反解出竖坐标，最后即得. 【详解】由题意 ，取为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 令，平面为平面. 设 ，其中即点到底面的高. 因为，所以. 记，展开上式得①. 向量，向量， 则②. 将①代入②得：. 取正根：，，， 令，. 由球表面积. 底面为直角三角形，外心在中点，故球心为. 由，得. 由，展开化简得：，代入，与联立， 消去：. 舍去退化情形，取：. 设与平面所成角为，则： . 8．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求出与，利用，求出，用坐标表示出，转化为关于的一元二次方程即可求解. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，，其中，， 则，， ∵，∴，得 ∵，∴， 由空间中两点之间的距离公式， 得， 当时，，当趋近于时，趋近于， 结合二次函数的性质可得，线段的长度的取值范围为. 二、多选题 9．（多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由，可得，解得，故A正确； 对于B，由，可得， 解得，故B错误； 对于C，假设存在实数，使得，则，方程组无解， 所以不存在实数，使得，故C正确； 对于D，由，可得，解得， 所以，故D正确． 10．（多选）如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（    ） A．四棱锥的外接球表面积为 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．点到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，将动点在线段上的位置用参数表示，从而把外接球直径、向量垂直条件、及点到直线距离等几何问题全部转化为关于的代数运算，其中外接球可通过补成长方体快速求解，垂直问题化为向量点积为零，距离最值则归结为闭区间上二次函数的最值. 【详解】以为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系. 则. 动点在线段上，设，则. 选项 A：将四棱锥补成长、宽、高分别为的长方体， 其外接球即为四棱锥的外接球，外接球直径等于长方体体对角线长，， 故， 外接球表面积.故 A 正确. 选项 B：，，. 令 ， 得，故存在点使.故 B 正确. 选项 C：，， 故，. 二次函数在时取最小值， 故.故 C 错误. 选项 D：直线即轴，点到的距离为. 二次函数在时取最小值， 故.故 D 正确. 11．（多选）将一副直角三角板按图1所示的方式拼接，从中抽象出图2所示的平面四边形，其中，，，．现将沿着折起，连接，得到图3所示的三棱锥，，的中点分别为，．记二面角的平面角为，下列结论正确的是（    ） A． B．存在使得直线与所成的角为 C．当时，三棱锥的外接球表面积为 D．当时，三棱锥的体积为 【答案】ABD 【分析】通过线面垂直的性质、点在面上的投影、外接球的性质以及解三角形来对选项进行求解. 【详解】因为为的中点，，所以，又有是的中点，所以， 由，可得，又，平面， 所以平面，因为平面，所以，故A正确； 由题可知，是直线与所成的角或其补角， 由平面，可得平面平面， 则点在平面上的投影在直线上，且， 当点在平面上的投影为点时，取得，故B正确； 当时，即，又，，平面， 所以平面，建立空间直角坐标系：以为原点，为轴，为轴，为轴， 则各点坐标为：， 因为是中点，，所以， 设外接球球心为，由得， 所以球心，恰好是点，外接球半径，外接球表面积 ，故C不正确； 三棱锥 的体积 , 以 为底面，点到平面 （即平面 的距离为高 )， 高 ， 在 中，分别是 的中点，所以 ，相似比为 ， 所以 ， 体积 .D正确. 三、填空题 12．已知为非零不共面向量，若向量， 则记向量以为基底时的坐标为，若向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为______． 【答案】 【分析】利用空间向量基本定理的坐标表达式列方程求解即得. 【详解】依题意，可得，设， 则，故有，解得， 即以为基底时的坐标为. 13．在空间直角坐标系中，已知点，，，点在线段上运动，当取得最小值时，点的坐标为______，此时点到线段的中点的距离为______． 【答案】 【分析】先根据点M在线段OA上运动设出点M的坐标，再求出与的坐标，进而求得关于参数的表达式，根据二次函数性质求出最小值时参数的值，得到点M的坐标；最后求出线段BC的中点坐标，利用两点间距离公式求出点M到线段BC的中点的距离. 【详解】设点，因为点M在线段OA上运动，所以， 因为点，，， 设，则点， 所以，， 则， 当时， 取得最小值为，此时点M的坐标为． 因为点，， 所以线段BC的中点的坐标为， 所以点M到线段BC的中点的距离为. 14．如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为______ 【答案】 【分析】根据几何体的对称性，建立空间直角坐标系，通过球心到点的距离建立方程即可求解球心坐标，进而求解外接球半径. 【详解】取下底面正方形的中心为坐标原点，建立如图所示坐标系 因为几何体的下底面边长为2，几何体的高为， 因此，，，，，，，， 根据对称性，几何体的外接球球心一定在上底面中心和下底面中心的连线上，即球心一定在轴上， 设球心的坐标为，外接球半径为， 在中， 在中，， 因此，解得， 所以， 故几何体的外接球的表面积. 15．如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，把 化为坐标满足的方程，确定点 所在区域；再把 用坐标表示并配方，即可求出取值范围. 【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 由 ， 得 ，，，. 设 . 因为 在长方体内部（含边界），所以 ，，. 又 ，. 由 得 ，即 ，化简得 . 由 得 ，解得 ，故 ，. 因为 ，，所以 . 又 ，代入得 . 配方得 . 因为 ，，所以当 ， 时（此时 ，符合 ）， 取最小值 . 当 ， 或 ， 时， 取最大值 . 所以 的取值范围是 . 四、解答题 16．已知空间中三点． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用向量的模的公式计算即得； （2）利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标运算即得； （3）利用共面向量基本定理和向量坐标运算，结合题意列出方程组，求解即得. 【详解】（1）由可得， 故； （2）易得，又， 且， 则向量在向量上的投影向量为； （3）因为点在平面上，故存在，使得， 即， 又因，对照可得， 解得．故． 17．设两两不共线的空间向量，和：定义，的数量积为，满足；定义，的外积为，满足； (1)设，，证明，满足：； (2)探究向量分别和向量，的位置关系并指出的几何意义； (3)假设，，不共面，定义，，的混合积为，证明：等于以，，为同一顶点三条棱的平行六面体体积． 【答案】(1)因为，所以， 而，，，故， 证得． (2)向量分别与向量，垂直， 且的几何意义为以，为邻边的平行四边形面积. (3)设，由（2）结论可知，向量与向量，垂直且向量，不共线， 所以是向量，所成平面的一个法向量， 又因为， 其中可表示为以，为邻边的平行四边形面积， 且为该平行六面体的一个底面面积， 而是与平行六面体这一底面的法向量所成夹角的余弦值， 也就是与该底面夹角的正弦值， 所以可表示为该底面上的高， 由平行六面体的体积公式可知， 故证得等于以，和为同一顶点三条棱的平行六面体体积． 【分析】（1）利用给定的向量外积的定义求解即可. （2）利用向量外积的定义和数量积的定义得到，，再结合平行四边形的面积公式求解即可. （3）利用给定的向量混合积的定义并结合六面体的体积公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）不妨设， 所以有 ， ， 所以，，得到，，向量分别与向量，垂直． 因为向量，不共线，不妨设一平行四边形，同一起点的邻边长分别为，， 夹角为向量，的夹角，此时平行四边形的面积， 因为，所以可表示为以，为邻边的平行四边形面积， 证得的几何意义为以，为邻边的平行四边形面积． （3）略 18．已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1），，，， 又，，. 因此，，. （2），. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. （3）在上的投影向量为. 19．已知在三棱柱中，平面，，，，分别是线段，的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接，． 因为在中，是线段的中点，是线段的中点， 所以，． 又在三棱柱中，，是线段的中点， 所以，． 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面， 平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）根据三棱柱的几何性质，结合已知条件，利用线面平行判定定理证明结论； （2）根据三棱柱的几何性质，结合已知条件，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，求出对应平面的法向量，再利用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，在四边形中，是的中点，是线段的中点， 所以， 又平面，，平面， 所以，， 又， 所以，， 在中，， 所以是以为底边的等腰直角三角形， 又是线段的中点，所以． 以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 由得，令，则； 设平面的法向量为，由得， 令，则，     设二面角为，则， 结合图象可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值是． 20．已知一组空间向量，，，，，记，如果存在（），使得，那么称是该向量组的“向量”． (1)已知，，，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围． (2)四面体内接于以为球心，为半径的球，且. ①记，，，向量组，，中是否存在“向量”？若存在，指出哪个是“向量”并证明；若不存在，请说明理由． ②求四面体体积的最大值． 【答案】(1) (2)①因为四面体内接于球，所以， 因为，所以，所以 等式两边同时平方得，所以，即， 所以，且，，，在同一平面内． 如图所示，以为原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系， 则点，，所以，， 将其代入中，得， 所以 ， 由“向量”的定义，得，都是向量组，，的“向量”． ② 【分析】（1）根据题干信息求出，再代入题干关系得到不等式，解得的取值范围； （2）①由结合向量的运算可得，且，，，在同一平面内，随之将问题转化为平面向量的问题，再依次分析，，哪个满足“向量”的定义； ②由①可知过球心，平面时，四面体的体积取得最大值. 【详解】（1）因为，，， 所以，，． 又因为是向量组，，的“向量”， 所以，所以， 解得， 所以实数m的取值范围为． （2）①略 ②由①得，且，，，在同一平面内，所以在过球心的截面上， 又因为，所以， 等式两边同时平方可得， 所以，所以， 同理可得， 等式两边同时平方可得， 所以，所以， 则 当平面时，四面体的体积取得最大值， 此时. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲 1.3空间向量及其运算的坐标表示 知识归纳与题型总结 思 维 图 空间直角坐标系 空间直角坐标系 空间一点的坐标 空间中点的对称点的坐标 空间向量的坐标 空间向量及其运算的坐标表示 空间向量的坐标运算 空间向量的坐标运算 空间向量的平行、垂直 空间向量的模长的坐标计算公式 用空间向量的坐标运算解决几何问题 空间向量夹角的坐标计算公式 空间两点间的距离公式 培 优 讲 考点01空间直角坐标系 考点梳理 1.空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以 i,j,飞的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都 叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xz. ②相关概念：O叫做原点，，，飞都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐 标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、O平面，它们把空间分成八个部分. 1/11 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果 中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.OA 2.空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i,j,k为坐标向量，对空间任意一点A,对应一个向量 OA,且点A的位置由向量OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 (x,y,),使OA=xi十y十zk.在单位正交基底{i,j,下与向量OA对应的有序实数组 (x,y,)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作Ax,y,),其中x叫做点A的横坐 标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 3.空间中点的对称点的坐标 设点P(x,y,)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P(-x,y,z): (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x,y,2): (3)与点P关于y轴对称的点是P(x,y,z): (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x,y,): (5)与点P关于Oy平面对称的点是P(x,y,z): (6)与点P关于Oz平面对称的点是P6(x,y,): (7)与点P关于Oz平面对称的点是P5(-x,y,z). 注：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论 考点02空间向量的坐标运算 考点梳理 1.空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a,作OA=a由空间向量基本定理，存在唯一的 有序实数组(x,y,z),使=xi十十z水.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系O- xz中的坐标，上式可简记作a=(x,y,z). 2.空间向量的坐标运算 设a=(a,,s),b=(b,b2,b),有 向量运算 向量表示 坐标表示 2/11 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 加法 a+b a+b=(a+b,a2+b2,as+b3) 减法 a-b -b=(a1-b1,2-b2,C3-b3) 数乘 la 1a=(0☑，1a2,1),1∈R 数量积 ab ab=abab2ab3 典例引领 考向01空间向量的坐标运算 【例]已知a=(L0少6=(-2-l,c=(6,L0),则(a+b)c等于 对点提升 【对点】若，j,是一个单位正交基底，且a=8++3%,6=-i+5j-4城，则ā6= () A.7 B.-15 C.3 D.28 考点03用空间向量的坐标运算解决几何问题 考点梳理 1.空间向量的平行、垂直 关系 a=(a,,a), b= (b1,b2,b3) a1=b1 平行a∥6) a∥i(6≠可台a=A6分 a2=λb2(∈R) a3=λb3 垂直(a16) a1i台a·i=0台ab十a2b2十asbg=0(a,b均为非零向量) an=Xb1 a/(6≠0)台 a2=b2(A∈R) a3=Abs 注：特别提醒：在 中，应特别注意，只有在6=， 4=2= 6 2,b)与三个坐标平面都不平行时，才能写成1一：6s,例如，若D与坐标平面xOy平 3/11 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 a3 行，则b=0,这样就没有意义了. 2.空间向量的模长的坐标计算公式 设-a,a心，则同=v医=V++吸，即v匠++西 3.空间向量夹角的坐标计算公式 设 2 ) 6=0，b:, b),则 cos(a,6= a.6 a1b1+a262+a363 v√a+a好+a.Vb+b+b号 4.空间两点间的距离公式 设P(x1,,)，P2，边，)是空间中任意两点，则 乃P=DP=V(2-)2+(-h)2+(a2-)2 典例引领 考向01空间向量模长的坐标表示 【例1】已知向量 =(2,1-2) 向登c满足=2，(a+d)e-1,则向量a与的夹角为 考向02空间向量平行的坐标表示 【例2】已知向量 =2,l,6=4,240,且ab,则x= 考向03空间向量垂直的坐标表示 【例31已知空间向量a=(l,0,a+6=(3,3x,且2a-)(36-d=0,则实数x 等于() A.-1 B.0 C.±1 D.+2 考向04空间向量夹角余弦的坐标表示 【例1若2a-6=2-4,3d+26=,3-),则os(a,6= 4/11 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 NH 对点提升 【对点1】若0=(，1,0).6=(-1,02 ,则与a+b同方向的单位向量是() 2W5 525 A. 5’-5 0, B 5’5 0.525 )52 D.(0,1,2) =(m,n,8) 【对点2】己知空间向量 6=(-2,L4,且a16,则m+n=（） A.2 B.-1 C.1 D.-2 a=(3,-元，-2 【对点3】已知向量 ,向量 【对点幻如图，在正方体ABCD-4BGD中，点P满足DP-D西，则向量不与DB夹 角的余弦值为() D A B A B 2W30 2√30 V30 V30 A. 15 B.15 C.15 D. 20 关 能力提升 一、单选题 1.一家造纸厂的厂房的外形可以近似看作如图所示的六面体模型，其中四边形ADEH和 5/11 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 BCFG为直角梯形，A,D,C,B为直角顶点，其他四个面均为矩形.若 4B=4BG=CF=4,且Ci.BE=27,则AD=（） 3 E B A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知向量0=(1-2,2)，6=(3,0，-) 则向量d在向量ā+b上的投影向量的坐标为 () (442 A.333) 3.已知向量a+6=02,0）,a-万=2,2.-25)，则os2a,30}=() 6 6 、6 6 A.3 B.3 C.6 D.6 4.《周髀算经》记载了“盖天说”宇宙模型，认为天地呈平行平面状.后世数学家将其抽 象为：设底面为平面2=0，天顶为平面2=1.一束光从天顶的点40,01 射向地面的点 B(11,0) 经地面反射后又回到天顶，其入射光线记为向量ā=AB 由于地面不平整，反 射光线b与入射光线向量满足：反射光线的单位水平投影向量，与入射光线的单位水平 =3,则 投影向量y关于点B处的南北方向（即y轴方向）对称.若反射光线b的模长 6/11 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲 a.b= () A.-V3 B.-V2 C.1 D.0 5.已知向量a=-l.3),6=(14-2),=5,若，石，c共面，则《) A.存在无数个实数x符合题意 B.存在唯一的正整数x符合题意 C.不存在正整数x符合题意 D.不存在任何实数x符合题意 6。在空间直角坐标系0-2中， 42,02,B(2,10.C(0,4-,M(0,m-5)四点共面，则 m的值为() A.4 B.1 c.6 D.-6 7.在三棱锥A-BCD中，BD=BC=1,∠DBC=9O°DV2 2,∠BAD=45°，若该三 棱锥外接球的表面积为5π，则直线AD与平面BCD所成角的正弦值为() √6-2 V6+√2 √6+2W2 V6+3W2 A. 8 B.8 C.8 D.8 BCD-ABGD中，EB,F分 DA,BB M,N 8.在棱长为2的正方体 分别为 的中点， 分别为线 4,4B 段 上的动点（不包括端点），且满足BV1FM,则线段MW的长度的取值范围 为() a. D.[2,22 二、多选题 9.《多选)己知向量a=,-m),6=(2m-,2),则下列结论中正确的是（） A.若同-2，则m=士5 B.若a⊥b,则m=-1 7/11 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 C.不存在实数九，使得a=25 D.若a-b=-,则a+6=-1-2,2) 10.(多选)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD,PA=2, AB=1,动点M在线段PC上，则() M D A.四棱锥P-ABCD的外接球表面积为6π B.存在点M,使得AC⊥BM √30 C.MB+MD的最小值为4 2W5 D.点M到直线AB的距离的最小值为5 11.(多选)将一副直角三角板按图1所示的方式拼接，从中抽象出图2所示的平面四边 形ABCD,其中∠BAD=60°，∠ABD=90°，AB=2,BC=CD.现将△BCD沿着BD折 起，连接AC,得到图3所示的三棱锥C-ABD,AD,BD的中点分别为E,F.记二面 角C-BD-A的平面角为0，下列结论正确的是() E 图1 图2 图3 A.CE⊥BD B.存在8使得直线AB与CE所成的角为90° C.当8=90°时，三棱锥C-ABD的外接球表面积为4π 8/11 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 1 D.当0=30°时，三棱锥A-CEF的体积为4 三、填空题 12.已知a,b,c为非零不共面向量，若向量m=2+36+4, 则记向量m以位，万.心为基底 时的坐标为23,9，若向量P以a,6, 为基底时的坐标为2，-3,2），则P以 {a-2b,a+6,a+d为基底时的坐标为 13.在空间直角坐标系0-9中，已知点4(0,2)，B3-1,2)）,C(12,0）,点M在线段 OA B.MC M M BC 上运动，当 取得最小值时，点”的坐标为一，此时点“到线段的中 点的距离为 14.如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的 四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几 √5 何体的高为°，则该几何体外接球的表面积为 15.如图，在长方体 BCD-4BCD中，MB=25.D=M=之.P为长方体内部 《含边界)一点，满足GP14B,则PB-PC的取值范国是 9/11 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲出 D D B 四、解答题 16.已知空间中三点 A(-2,1,3),B(1,-2,0),C(-1,-1,5) 求AC: 2)求向量在向量 AC 上的投影向量的坐标： 3)若 P(2,-,m在平面4BC内，求m的值， 17,设两两不共线的空间向量=6，2），万=(，3)和=(，少，2）：定义0,6的 数量积为a-6=5++码，满足i-6=同cos(a,）,定义a,6的外积为 ax6=(32%-石，-)，满足x=5血（位.6。 设a=(2,3),6=(22,1,证明a,万满足：ax6=sim(a,6): 2)探究向量ā×5分别和向量a,6的位置关系并指出后x万的几何意义： 3)假设a,i,e不共面，定义a,方，c的混合积为[a6,c-(axb)c,证明：[a6,c] 等于以回，万日为同一顶点三条棱的平行六面体体积。 18.已知向量a=c,4D,6=(-2,y-,=8-之2)，且6,61e (1)求a,b,c: 10/11 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 (2)求向量ā+c与b+c所成夹角的余弦值： (3)求ā在b上的投影向量（用坐标表示）· 19.已知在三棱柱 BC-4BG中，M 平面MBC.A4=2AB=4 ∠CAB=∠CBA=45,D,E分别是线段， CC AB 的中点， -=-B (1)求证：DEI平面ABC: (2)求二面角E-AD-B的余弦值. 20.已知一组空间向量4.4,4，“，a（eN,）,记=4+a+a++a,如果 存在马，(pe红.23叫)，使得回≤5-a,那么称马是该向量组的“@向量”， 已知4=(4.0,3)4=(3Lm,4=(024),若马是向量组4,4,4的0向量”， 求实数m的取值范围. 2)四面体P-AB C内接于以0为球心，3为半径的球，且501+130丽+120C-0 0记4=01.4=0B4=0 ,向量组“，4,4中是否存在“0向量”？若存在， 指出哪个是“0向量”并证明；若不存在，请说明理由. ②求四面体P-ABC体积的最大值. 11/11