精品解析：吉林省四平市某校2025-2026学年九年级下学期5月中考模拟数学试卷

梨树二中九年级模拟测试 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列食品标识中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则该几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是矩形的对角线的中点．若，则线段的长为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 6. 如图，四边形的顶点在上，点在的延长线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：__________． 8. 如图，这是嘉嘉和家人自驾游的导航线路，导航提供的路线为，但显示两地的直线距离却是．能解释这一现象最合理的数学知识是______． 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，若，则的长是__________． 10. 历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．宋哥窑八方杯的杯口呈八方形（即正八边形），将其抽象为如图所示的正八边形，连接、，则的度数为________°． 11. 在如图所示的扇形中，C为上一点，连接交于点P，，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留根号和）． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 甲，乙两人玩卡牌游戏，甲从牌面数字为2，3，4的三张牌中随机取出一张牌，乙从牌面数字为5，6两张牌中随机取出一张牌．用画树状图或列表的方法求甲、乙两人抽出牌上的数字之和为奇数的概率． 14. 某小型工厂有12个工人，生产大齿轮和小齿轮，平均每天每人可生产大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮和3个小齿轮可以配成一套，则需要多少工人生产大齿轮多少工人生产小齿轮，可使每天生产的大小齿轮刚好配套． 15. 如图，，，．求证：． 16. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（只保留作图痕迹） （1）在图1中作锐角，使点在格点上； （2）在图2中的线段上作点，使最短； （3）在图3中的线段上画出点，使的值最小． 17. 《典籍里的中国》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，节目通过时空对话的创新形式，讲述典籍在五千年历史长河中的源起、流转．某校开展了“典籍知识闯关赛”，赛后学校随机抽取了部分学生的比赛成绩进行统计，并按照成绩从低到高分成：A．，B．，C．，D．，E．五个等级，绘制了如图所示不完整的统计图： 其中等级的分数由低到高分别为：70，70，72，72，74，74，74，75，76，76，77，79． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次活动共抽取了________名学生的成绩，并补全频数分布直方图； （2）本次被抽取的所有成绩的中位数为______分，组扇形所对应圆心角的度数是______°； （3）若此次竞赛进入复赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按，，的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由． 18. 综合与实践 【活动主题】为支持美丽乡村建设，班级同学前往村开展综合实践活动，帮助村民测算新建公路的长度． 【问题背景】如图，村到公路的乡村小路为，为进一步方便通行，现准备新建一条公路，连接村和公路（所在的直线为）． 【工具准备】皮尺、测角仪、测平仪、计算器等． 【测量过程】测得，且点在同一平面上． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：． 【问题解决】请你根据以上数据信息，求新建公路的长． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4cm，过点D作DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC于点F．动点P从点A出发以1cm/s的速度向终点D运动，过点P作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N．设点P运动时间为x （s），△AMN与四边形AEDF重叠部分面积为y（cm2）． （1）AE＝　 　cm，AF＝　 　cm； （2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）若线段MN中点为O，当点O落在∠ACB平分线上时，直接写出x的值． 20. 已知一量筒装一定量水后放置在太阳下面，随着液体的蒸发，其液面高度会随着放置时间产生一定的变化．数学小组将一个带刻度的圆柱形量筒装入一定量水后放在太阳下面，通过观察放置时间的变化，记录量筒中水的液面高度，得到了如下几组数据． 放置时间 液面高度 （1）如图，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并依次连接起来．在量筒中的水完全蒸发之前，水的液面高度（单位：）与在太阳下放置的时间（单位：）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是___________函数关系；（请选填“一次”，“二次”或“反比例”） （2）根据以上判断，求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围； （3）在实验条件相同且不受其他因素影响的情况下，若在中午将另一装有等量水的量筒放置在太阳下面，中间有一段时间将其移至阴凉处并加盖（假设此时液面无下降），重新移至太阳下面并去盖后，直到时液面高度下降了一半，求量筒在阴凉处放置了多长时间． 21. 综合与探究 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）【模型初探】如图1，在等腰直角中，，过点C作直线，于点D，于点E，求证：； （2）【深入探究】如图2，在中，．分别以和为直角边作等腰和等腰，连接交延长线交于点E．求的值； （3）【拓展延伸】如图3，点D是内一点，连接，若，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）顶点的坐标为，点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，将此抛物线上两点之间的部分（包括两点）记为图象． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点重合时，求的值； （3）当顶点在图象上时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式； （4）矩形的顶点分别为，当图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梨树二中九年级模拟测试 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列食品标识中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； 2. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程二次项系数不为0的要求，即可求解． 【详解】∵ 方程是关于的一元二次方程． ∴ 二次项系数不能为，即 ． 解得 ． 3. 如图是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则该几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定俯视图的列数，明确主视图的列数与俯视图的列数一致．对俯视图的每一列，取该列所有位置中小正方体个数的最大值，作为主视图对应列的小正方形层数．根据得到的每一列层数，对应匹配选项中的主视图． 【详解】解：主视图是从几何体正前方观察得到的视图，根据俯视图的规则：俯视图的横向列数对应主视图的横向列数，每一列的小正方形最大数字就是主视图对应列的小正方体层数： 俯视图从左到右共3列： 最左列的小正方体最大数量是1，因此主视图最左列有1层小正方形； 中间列的小正方体最大数量是3，因此主视图中间列有3层小正方形； 最右列的小正方体最大数量是2，因此主视图最右列有2层小正方形； 符合这个特征的只有选项D． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别解出两个一元一次不等式的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后依据数轴表示规则(空心圆圈表示不包含该点，实心圆点表示包含该点，大于向右延伸，小于向左延伸)判断正确选项． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∴原不等式组的解集为． 在数轴上表示该解集时，在1的位置画空心圆圈并向右延伸，在2的位置画实心圆点并向左延伸，两者的公共部分就是，对应选项C． 5. 如图，是矩形的对角线的中点．若，则线段的长为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，因为是矩形的对角线的中点，所以，利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，是矩形的对角线的中点， ∴，， 在中，，， ∴， ∴． 6. 如图，四边形的顶点在上，点在的延长线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在优弧上取点D，连接，得，即得的度数． 【详解】解：在优弧上取点D，连接， ∵，且， ∴ ， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 8. 如图，这是嘉嘉和家人自驾游的导航线路，导航提供的路线为，但显示两地的直线距离却是．能解释这一现象最合理的数学知识是______． 【答案】两点之间，线段最短 【解析】 【分析】根据“两点之间，线段最短”即可求解． 【详解】解：能解释这一现象最合理的数学知识是两点之间，线段最短． 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，若，则的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的尺规作图方法，判断是的角平分线，结合的关系，得到为直角．在中，因为已知和的长度，所以用勾股定理计算的长度．进而推导的长度． 【详解】解：由作图知，是的角平分线． ∵， ∴． 在， 由勾股定理得：， ∴． 10. 历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．宋哥窑八方杯的杯口呈八方形（即正八边形），将其抽象为如图所示的正八边形，连接、，则的度数为________°． 【答案】45 【解析】 【分析】根据正多边形的性质，正八边形内接于圆，利用圆周角定理，通过计算每条弧所对的圆周角的度数进行计算即可． 【详解】解：∵正八边形是圆内接正八边形，圆周被8个顶点分成8条相等的弧， ∴每条弧所对的圆心角的度数为， ∴每条弧所对的圆周角的度数为， ∵是两条弧所对的圆周角， ∴． 11. 在如图所示的扇形中，C为上一点，连接交于点P，，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留根号和）． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出，然后解直角三角形求出，然后利用阴影部分的面积求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 13. 甲，乙两人玩卡牌游戏，甲从牌面数字为2，3，4的三张牌中随机取出一张牌，乙从牌面数字为5，6两张牌中随机取出一张牌．用画树状图或列表的方法求甲、乙两人抽出牌上的数字之和为奇数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】列表可得出所有等可能的结果即可得出甲、乙两人抽出牌上的数字之和为奇数的结果，再利用概率公式可得答案． 【详解】解：列表如下： 5 6 2 3 4 由表格可得，共有6种等可能的结果，其中甲、乙两人抽出牌上的数字之和为奇数的结果有3种， 甲、乙两人抽出牌上的数字之和为奇数的概率为． 14. 某小型工厂有12个工人，生产大齿轮和小齿轮，平均每天每人可生产大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮和3个小齿轮可以配成一套，则需要多少工人生产大齿轮多少工人生产小齿轮，可使每天生产的大小齿轮刚好配套． 【答案】需要4个工人生产大齿轮，8个工人生产小齿轮 【解析】 【分析】根据配套比例，大齿轮数量与小齿轮数量应满足的比例，因此大齿轮数的3倍等于小齿轮数的2倍，据此列出方程即可． 【详解】解：设生产大齿轮的工人数为个，则生产小齿轮的工人数为个， 则可得， 解得， 个， 答：需要4个工人生产大齿轮，8个工人生产小齿轮． 15. 如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证，再根据“”证明即可． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ． 16. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（只保留作图痕迹） （1）在图1中作锐角，使点在格点上； （2）在图2中的线段上作点，使最短； （3）在图3中的线段上画出点，使的值最小． 【答案】（1） 解：如图1中，即为所求（答案不唯一）， （2） 解∶ 如图2中，线段即为所求， （3） 解：如图3中，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据锐角三角形的定义画出图形（答案不唯一）； （2）取格点，连接，延长交一点，线段即为所求； （3）作点关于的对称点，连接交一点，连接，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 《典籍里的中国》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，节目通过时空对话的创新形式，讲述典籍在五千年历史长河中的源起、流转．某校开展了“典籍知识闯关赛”，赛后学校随机抽取了部分学生的比赛成绩进行统计，并按照成绩从低到高分成：A．，B．，C．，D．，E．五个等级，绘制了如图所示不完整的统计图： 其中等级的分数由低到高分别为：70，70，72，72，74，74，74，75，76，76，77，79． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次活动共抽取了________名学生的成绩，并补全频数分布直方图； （2）本次被抽取的所有成绩的中位数为______分，组扇形所对应圆心角的度数是______°； （3）若此次竞赛进入复赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按，，的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由． 【答案】（1）50，见解析 （2）78，108 （3）小敏能参加决赛，见解析 【解析】 【分析】（1）用E组人数除以E组所占的百分比即可求得抽取学生数，再求出B等级人数，最后补全条形统计图即可； （2）根据中位数的定义可求得中位数，用D组所占的比例乘以即可求得D组扇形所对应圆心角的度数； （3）按照规则计算最后得分即可解答． 【小问1详解】 解：此次活动共抽取学生数为：名； ∴B等级的人数为：名， 补全频数直方图如下， ． 【小问2详解】 解：∵抽取学生数为50人， ∴中位数为数据从小到大排列后的第25和26位数的平均数，即C等级最后两位数的平均数， ∴中位数为， ∴D组扇形所对应圆心角的度数是． 【小问3详解】 解：小敏最后得分：， 小敏能参加决赛． 18. 综合与实践 【活动主题】为支持美丽乡村建设，班级同学前往村开展综合实践活动，帮助村民测算新建公路的长度． 【问题背景】如图，村到公路的乡村小路为，为进一步方便通行，现准备新建一条公路，连接村和公路（所在的直线为）． 【工具准备】皮尺、测角仪、测平仪、计算器等． 【测量过程】测得，且点在同一平面上． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：． 【问题解决】请你根据以上数据信息，求新建公路的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数找边和角的关系．过点作于点，过作于点则构造了、和矩形，进而利用三角函数计算线段的长即可求得答案． 【详解】 解：如图，过点作于点，过作于点 四边形为矩形， ， 在中，， ， 答：新建公路的长约为． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4cm，过点D作DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC于点F．动点P从点A出发以1cm/s的速度向终点D运动，过点P作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N．设点P运动时间为x （s），△AMN与四边形AEDF重叠部分面积为y（cm2）． （1）AE＝　 　cm，AF＝　 　cm； （2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）若线段MN中点为O，当点O落在∠ACB平分线上时，直接写出x的值． 【答案】（1）2；2；（2）y=；（3）2 【解析】 【分析】（1）由锐角三角函数的定义及已知条件可以算得AE和AF的长度； （2）过点E作EG⊥AD于点G，过点F作FH⊥AD于点H，则可得AG=1cm，AH=3cm，由图知题目分三种情况讨论即可得到答案； （3）过点O作OH⊥BC于点H，OG⊥AC于点G，OK⊥AB于点K，连接OA，OB，则通过解三角形和三角形面积的多种求法可以得到OH=2，所以x=AP=AD-PD=AD-OH=2． 【详解】解：（1）∵∠B＝30°，AD⊥BC于D， ∴∠BAD＝60° ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAD＝30°， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴∠AED＝∠AFD＝90°， ∵AD＝4cm， ∴AE＝AD•cos60°＝2cm， AF＝AD•cos30°＝2cm， 故答案为：2；2； （2）过点E作EG⊥AD于点G，过点F作FH⊥AD于点H，如图1， ∴EG＝AE•cos30°＝cm，AG=AE•=1cm, AH＝AF•cos30°＝3cm， 当0≤x≤1时，如图1，则AP＝xcm， ∵MN∥BC， ∴∠AMN＝∠B＝30°， ∴AM＝2AP＝2x， ∴AN＝AM•tan30°＝2x•（cm）， ∴y＝， 即y＝（0≤x≤1）； 当1＜x≤3时，如图2，则 ME＝AM﹣AE＝2x﹣2（cm）， ∴EH＝ME•tan∠EMH＝（cm）， ∴， ∴y＝， 即y＝（1＜x≤3）； 当3＜x≤4时，如图3， ∴AN＝（cm）， ∵MN∥BC， ∴∠ANG＝∠C＝60°， ∵NF＝AN﹣AF＝（cm）， ∴FG＝FN•tan60°＝2x﹣6（cm）， ∴， ∴y＝S△AMN﹣S△EMH﹣S△FNG＝， 即y＝（3＜x≤4）； 综上，y＝； （3）过点O作OH⊥BC于点H，OG⊥AC于点G，OK⊥AB于点K，连接OA，OB，如图4， ∵OC平分∠ACB， ∴OH＝OG， ∵MN∥BC， ∴∠AMN＝∠ABC＝30°，∠ANM＝∠ACB＝60°， ∴OK＝OM•sin30°＝OM， OG＝ON•sin60°＝ON， ∵OM＝ON， ∴OG=， ∵AC＝AB•tan30°＝，BC＝2AC＝， ∵， ∴8×＝8OK+， ∴OK＝， ∴PD=OH=， ∴AP＝2， ∴x＝2． 【点睛】本题考查三角形的动点问题，熟练掌握特殊角的三角函数值、三角函数的定义、解直角三角形的常用方法、以直角三角形的三边为边长的三角形面积计算等方法是解题关键． 20. 已知一量筒装一定量水后放置在太阳下面，随着液体的蒸发，其液面高度会随着放置时间产生一定的变化．数学小组将一个带刻度的圆柱形量筒装入一定量水后放在太阳下面，通过观察放置时间的变化，记录量筒中水的液面高度，得到了如下几组数据． 放置时间 液面高度 （1）如图，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并依次连接起来．在量筒中的水完全蒸发之前，水的液面高度（单位：）与在太阳下放置的时间（单位：）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是___________函数关系；（请选填“一次”，“二次”或“反比例”） （2）根据以上判断，求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围； （3）在实验条件相同且不受其他因素影响的情况下，若在中午将另一装有等量水的量筒放置在太阳下面，中间有一段时间将其移至阴凉处并加盖（假设此时液面无下降），重新移至太阳下面并去盖后，直到时液面高度下降了一半，求量筒在阴凉处放置了多长时间． 【答案】（1）图见解析；一次 （2）关于的函数表达式为 （3）量筒在阴凉处放置了 【解析】 【分析】（1）描出表中数据对应的点，并依次连接起来即可，根据图象判断对应的函数关系； （2）利用待定系数法求出函数表达式，结合实际意义求出的取值范围； （3）先计算出时的液面高度，结合（2）的关系式求出在太阳下面的放置的时间，结合时间间隔，求出阴凉处放置的时间． 【小问1详解】 解：图象如图所示： 由图可知，与可能是一次函数关系； 【小问2详解】 解：设关于的函数表达式为， 将点，代入，得， 解得， ∴关于的函数表达式为， ∵，， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可知，量筒的初始液面高度为， ∵液面高度下降一半， ∴时，， 令，解得， 从到经过了， ∴量筒在阴凉处放置的时间为． 答：量筒在阴凉处放置了． 21. 综合与探究 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）【模型初探】如图1，在等腰直角中，，过点C作直线，于点D，于点E，求证：； （2）【深入探究】如图2，在中，．分别以和为直角边作等腰和等腰，连接交延长线交于点E．求的值； （3）【拓展延伸】如图3，点D是内一点，连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：于点于点， ， ， ； ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，则，再由线段和差证明即可； （2）过点作的延长线于点，连接，证明，则，可证明四边形是平行四边形，则，那么，即可求解； （3）过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，先解求出，，，证明，结合锐角三角函数求出，，最后对运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作的延长线于点，连接． ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ； 【小问3详解】 解：过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，如图， ， ，， ， 于点于点， ， ， ， ， ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）顶点的坐标为，点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，将此抛物线上两点之间的部分（包括两点）记为图象． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点重合时，求的值； （3）当顶点在图象上时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式； （4）矩形的顶点分别为，当图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据顶点为可得解析式为，即可求解； （2）根据点与点重合，可求出，即可求解； （3）根据二次函数图象的性质可得图象的最低点的纵坐标为，然后分两种情况：当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧时；当点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧时，即可求解； （4）分四种情况讨论，结合题意，画出符合要求图形，进行求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线顶点的坐标为， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：点与点重合， ， 解得； 【小问3详解】 解：抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 顶点在图象上， 图象的最低点的纵坐标为， 当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧时，此时且，即， ， 图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即， ； 当点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧时，此时且，即， ， 图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即， ； 综上所述，与之间的函数关系式为； 【小问4详解】 解：抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 由题意得，矩形的纵坐标范围是， 令抛物线，得 解得，， 当点在点的左侧时，点P在点Q的左侧时， ， 解得， 如下图： ∵图象在矩形内部的部分随增大而减小， ∴矩形内部只能有左侧递减段，不能包含的部分， ∴ 解得， ∴； 当点在点的左侧时，点P在点Q的右侧时， ， 此不等式组无解，故舍去； 当点在点的右侧时，点P在点Q的左侧时， ， 此不等式组无解，故舍去； 当点在点的右侧时，点P在点Q的右侧时， ， 解得， 如下图： ∵图象在矩形内部的部分随增大而减小， ∴点P的横坐标不超过3，即， ∴； 综上所述，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $