第12章 《边边角模型与构造手拉手模型》讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

边边角模型与 构造手拉手模型 模块一：反8字模型 知识梳理 常见的“反8字”垂直模型： “反8字”垂直模型是一个导角模型，利用互余关系导角要熟练掌握 例题精讲 【例1】反8字模型 (1)(2023荔湾实验学校期中)如图，在△ABC中，∠BAC=45,F是△ABC的高BD和AE的 交点，若AF=10cm,CE=6cm,则△ABF的面积为 回 F B C (2)如图，在等腰RIAABC中，∠ACB=90°，点D是AC上一点，过点A作BD的垂线交 BD的延长线于点E,交BC的延长线于F,且BD=2AE. ①若BF=7,AC=5,求的长是多少. ②求证：BD平分∠ABC. 0 21 【例2】反8字模型拓展 如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点P是直线AC上的动点（不和A、C重合）， CD⊥B 于点D ,交直线MB于点 P AC AP=AO (1)当点在边上时，求证： (2)若点P在AC的延长线上时，(I)的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请直接 写出正确结论. Q D p B C 3 【例3】反8字模型构造 (2025白云区期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90,CD平分∠ACB,BE⊥CD 与线段CD的延长线交于点E. (I)证明：∠ACD=∠EBD (2)试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论 A E D B 4 模块二：边边角模型 知识梳理 1.构成 两个三角形，分别为钝角三角形和锐角三角形，满足下列四个条件中的三个可以推出剩下 一个，即“知三推一”. ①第一组等边： ②第二组等边： ③第一组等边的对角相等； ④第二组等边的对角互补. 2.方法： 先找到相邻的等角（或补角的邻补角）和等边，然后可用两种方法： ①作第三边上的高，构造AAS全等： ②作相等线段，构造SAS全等. ×例题精讲 【引例】(I)如图，△ABC和△DEF分别为钝角三角形和锐角三角形，且BC=EF, AB=DE,∠A=∠D.求证：∠C+∠F=180° (2)如图，△ABC和△DEF分别为钝角三角形和锐角三角形，且BC=EF,AB=DE ∠C+∠F=180°.求证：∠A=∠D 5 【例4】边边角模型 如图，△ABC,∠B=∠ACB,D在线段AB上，E在AC延长线上，且BD=CE.连接 DE交底边BC于F.求证：FD=FE. B F 6 【例5】边边角模型与运动问题 如图，aAB 是边长为6的等边三角形，P是1C边上一动点，由向C运动与4、C不 C 重合)，O是CB延长线上一动点，与点？同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动2 O CB B CB 与B不重合.过P作PE1AB于E,连接PO交48于D . 在运动过程中线段ED 的长度 是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长度：如果发生改变，请说明理由 A ◇ D C ←一9 B 7 【例6】广义边边角模型 如图，∠A=60°，∠DBC=∠ECB=30°，BD与CE交于点O,求证：BE=CD 8 模块三：构造手拉手模型 圈知识梳理 1.等边三角形构造 ①连接PP',②出现等边三角形： A(A) A p C(A C(B) B(B A(C A(B B(B2 CC A(A B(A) B(C) 2.等腰直角三角形构造 ①连接PP',②出现等腰直角三角形 A(C) C(A) 9 ☒例题精讲 【例7】构造等腰直角三角形手拉手 (1)在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，点D为射线BC上一动点，连接AD,以AD为直 角边作等腰直角△ADF,且∠DAF=90°.如图1，当点D在线段BC上时，CF=BD且 CF⊥BD 请问：当点D在线段BC的延长线上且在AD左侧作等腰直角△ADF时，CF与BD有怎样 的数量和位置关系？请在图2中作图并证明， (2)如图3，若AB≠AC,∠BAC≠90°，∠BCA=45°.点D在线段BC上运动，试探究CF 与BC的位置关系. 图1 图2 图3 10 【例8】构造等边三角形手拉手模型 (2025番禺期末)已知△ABC为等边三角形，P为直线BC上方一点（不与A、B、C三点重 合)，连接PA、PB、PC,∠BPC=60°，且线段CP与AB交于点D时， (I)如左图，若点D为4B的中点，求证：PA=PC: 2 CP-BP (②)如右图，若点D为边AB上任意一点，作AE⊥CP,垂足为E,试求PE的值。 A A D D D B C B 巅峰突破 【突破】构造手拉手模型 在等边△ABC中： (L)如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°，求证：PA=PB+PC. (2)如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°，求证：PA+PD+PC>BD 12 课后自测 【练习1】如图所示的△ABC中，∠ABC=45°，高AE与高BD交于点M,BE=4, EM=3.则△ABC的面积是 【练习2】如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.则AF和CD 的数量关系是 B D 【练习3】如图，在等腰△ABC中，延长AC到E,使CE=BD,DE交BC于F.求证： DF=FE, 3 【练习4】RtABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E为△ABC外一点，且∠CEA=45°. 求证：AE⊥BE. 14 【练习5】如图，△ABC是等边三角形，∠ADC=120°，求证：BD=AD+CD 5 答案版 模块一：反8字模型 国知识梳理 常见的“反8字”垂直模型： “反8字”垂直模型是一个导角模型，利用互余关系导角要熟练掌握。 ☒例题精讲 【例1】反8字模型 (1)(2023荔湾实验学校期中)如图，在△ABC中，∠BAC=45,F是△ABC的高BD和AE的 交点，若AF=10cm,CE=6cm,则△ABF的面积为 D (2)如图，在等腰R1aABC中，∠ACB=90°，点D是AC上一点，过点A作BD的垂线交 BD的延长线于点E,交BC的延长线于F，且BD=2AE. ①若BF=7,AC=5,求的长是多少. ②求证：BD平分∠ABC. 16 B 【答案】(1)解：∠BAC=45,∠ADB=90°， .∠ABD=45,∠C+∠CBD=90°， .AD=BD ,F是△ABC的高BD和AE的交点， .∠AEB=90,即AE⊥BE, .∠DAF+∠C=90°， .∠DAF=∠CBD 又，∠ADF=∠BDC=90, △ADF≌△BDC(ASA) ∴.BC=AF=10cm .'CE=6cm, .BE=BC-CE=10-6=4cm. .S.wF-x10x4=20cm 故答案为：20， (2)解：①，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90, .AC=BC=5. .BF=7,BF=BC+CF, .CF=BF-BC=7-5=2, .CF的长为2， g ②.∠ACB=90°， .∠ACF=180°-∠ACB=90, .∠ACF=∠BCD=90°， ,AE⊥BE, .∠AEB=90°， .∠EAD+∠ADE=90°， 又：∠BDC+∠DBC=90,∠ADE=∠BDC, .∠CAF=∠CBD, ∠CAF=∠CBD AC=BC ACr和 在 中， ABCD ∠ACF=∠BCD △ACF≌ABCD(ASA) .AF =BD, BD=2AE, .AF=2AE,即点E为AF的中点，AE=EF, AE⊥BE, .BE垂直平分AF, 由轴对称性质可得：BA=BF, ,∴.△BAF是等腰三角形，BE是底边AF上的高， 根据等腰三角形“三线合一”， .BE平分∠ABF,即BD平分∠ABC, 【例2】反8字模型拓展 如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点P是直线AC上的动点（不和A、C重合）， 18 CD⊥B 于点D,交直线B D 于点 AC AP=A0 (1)当点在边心上时，求证： (2)若点P在AC的延长线上时，(I)的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请直接 写出正确结论. 0 y D d 【答案】解：(I)CD⊥BP, ∠BAC=∠BDQ=90 :Q+∠08D=90Q+∠4AC0=90 0BD=∠AC0,且4B=AC,∠BC=201c=90 △ABP≌△ACQ(ASA) AP=40: (2)成立，理由如下：如图， B D :CD⊥BP, 9 ∠BAC=∠BDQ=90 ∠Q+∠QBD=90°∠Q+∠ACQ=90° 0D=∠4c0,且4B=4C,B1C=∠01c=0 △ABP≌△ACQ(AS4)AP=AQ 【例3】反8字模型构造 (2025白云区期未)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD, 与线段CD的延长线交于点E. (I)证明：∠ACD=∠EBD: (2)试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论. A E D 【答案】(I):BE⊥CD .∠BEC=90, ∴.∠EDB+∠EBD=90, :∠BAC=90, ∴.∠ADC+∠ACD=90, .∠EDB=∠ADC, .∠ACD=∠EBD: 1 Q)证明：BE=2CD， 20 如图，延长BE、CA交于点F, ,∠BAC=90, .∠DAC=∠BAF=90°， ∠BAF=∠CAD AB=AC 在 BAF CAD中 和 ∠ACD=∠EBD .△BAF≌aCAD, .BF=CD ,AB=AC,∠BAC=90°， .∠ABC=∠ACB=45, ,CD平分∠ACB, .∠BCE=∠FCE=22.5°， BE⊥CD ∴.∠CEB=∠CEF=90 「∠CEB=∠CEF CE=CE E和 在 CEF 中， ∠BCE=∠FCE' .△CEB≌aCEF, .BE =EF, BE+EF BF, 2 21 分 B C 22 模块二：边边角模型 知识梳理 1.构成 两个三角形，分别为钝角三角形和锐角三角形，满足下列四个条件中的三个可以推出剩下 一个，即“知三推一”. ①第一组等边： ②第二组等边： ③第一组等边的对角相等； ④第二组等边的对角互补. 2.方法： 先找到相邻的等角（或补角的邻补角）和等边，然后可用两种方法： ①作第三边上的高，构造AAS全等： ②作相等线段，构造SAS全等. ☒例题精讲 【引例】(I)如图，△ABC和△DEF分别为钝角三角形和锐角三角形，且BC=EF, AB=DE,∠A=∠D.求证：∠C+∠F=180° (2)如图，△ABC和△DEF分别为钝角三角形和锐角三角形，且BC=EF,AB=DE ∠C+∠F=180°.求证：∠A=∠D 【答案】(I)在AC延长线上取一点G,使得AG=DF,连接BG, 23 B E G 送DH AG=DF ∠A=∠D 在 ,与 中 △ABG△DEF AB=DE △ABG≌ADEF(SAS) .BG=EF,∠G=∠F, BC=EF, :BG=BC,△BCG为等腰三角形，∠G=∠BCG, :∠BCG+∠ACB=180°， .∠G+∠ACB=180, 又∠G=∠F, ,∠ACB+∠F=180,即∠C+∠F=180°， (2)在AC延长线上取一点G,使得CG=DF,连接BG, B G :∠ACB+∠F=180,∠ACB+∠BCG=180°， .LBCG=∠F, CG=DF ∠BCG=∠F 在 BCG△EFD 中， BC=EF 24 △BCG≌△EFD(SAS) .BG=DE,∠G=∠D, .AB=DE,.BG=AB, .△ABG为等腰三角形，∠G=∠A, ∠G=∠D, ∴.∠A=∠D. 【例4】边边角模型 如图，△ABC,∠B=∠ACB.D在线段AB上，E在AC延长线上，且BD=CE.连接 DE交底边BC于F.求证：FD=FE. D 【答案】过点D作DGAC,交BC,于点G, D B G E ..DGlIAC, .∠DGB=∠ACB, 25 ,∠B=∠ACB, .∠B=∠DGB .'BD=DG, BD=CE, .'DG=CE, .DGIIAC, .∠GDF=∠E,LDGF=∠ECF, ∠GDF=∠E DG=CE DGF和 在 ECF中， ∠DGF=∠ECF· △DGF≌△ECF(ASA) .FD=FE. 【例5】边边角模型与运动问题 如图， △AB 边上一动点，由1向C运动与4、C不 AC 是边长为6的等边三角形，P是 不 O CB 重合).是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动( B CB 与B不重合).过P作PE1B于E,连 PO交AB于D.在运动过程中线段ED 的长度 是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长度：如果发生改变，请说明理由 B QQF⊥AB AB=PO 【答案】过点作 ,由己知得： 26 △APE≌△BQF(AAS)PE=QF △PED≌△QFD(AAS) “E=DF·总上可得：0E=B=3,是定位 E 【例6】广义边边角模型 如图，∠A=60°，∠DBC=∠ECB=30°，BD与CE交于点O,求证：BE=CD 【答案】，∠DBC=∠ECB=30°， ..OB=OC, :∠DBC=∠ECB=30°， .∠B0C=180°-30°-30=120°， ∴.∠EOB=∠DOC=60, ∠A=60, ∴.∠A=∠EOB, ∠BEO+∠ABD=180'-∠A-∠ACE+∠ABD,可得∠BEO+∠CD0=180°， 2 在OD上取一点F,使OF=OE,连接CF, OE=OF ∠BOE=∠COF BEo和 在 CF0中， OB=OC △BEO≌ACFO(SAS) ∴.BE=CF,LBEO=∠CFO, ,∠BEO+∠CDO=180°，∠CFO+∠CFD=180°， .∠CDO=∠CFD, .'.CF=CD, .BE=CF, .'BE=CD E 28 模块三：构造手拉手模型 圈知识梳理 1.等边三角形构造 ①连接PP',②出现等边三角形： A(A) A p C(A C(B) B(B A(C A(B B(B? CC A(A B(A) B(C) 2.等腰直角三角形构造 ①连接PP',②出现等腰直角三角形 A(C) C(A) 29 ☒例题精讲 【例7】构造等腰直角三角形手拉手 ()在等腰直角△ABC中，∠BAC=9O°，点D为射线BC上一动点，连接AD,以AD为直 角边作等腰直角△ADF,且∠DAF=90°.如图1，当点D在线段BC上时，CF=BD且 CF⊥BD 请问：当点D在线段BC的延长线上且在AD左侧作等腰直角△ADF时，CF与BD有怎样 的数量和位置关系？请在图2中作图并证明. (2)如图3，若AB≠AC,∠BAC≠90°，∠BCA=45°.点D在线段BC上运动，试探究CF 与BC的位置关系. 图1 图2 图3 【答案】(I)结论：CF=BD,CF⊥BD, 在图2中，在AD左侧作等腰RIADF,∠DAF=90°，连接CF, >D 证明：，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， .'AB=AC, 30 :△ADF为等腰直角三角形，∠DAF=90°， .AD=AF, ,∠BAC=∠DAF=90°， .∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD,即∠BAD=∠CAF, AB=AC ∠BAD=∠CAF 在 BAD CaF中， 和 AD=AF △BAD≌ACAF(SAS) .BD=CF,∠B=∠ACF, ,△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90, ∴.∠B=∠ACB=45°， .∠ACF=45, .∠BCF=∠ACB+∠ACF=45+45=90°， .CF⊥BD: (2)结论：CF⊥BC 证明：过点A作AM⊥AC,交CB的延长线于点M, ,AM⊥AC, .∠MAC=90°， .∠BCA=45°， ∴.△AMC为等腰直角三角形， .AM=AC,∠M=45°， :△ADF是等腰直角三角形，∠DAF=90°， 3 .AD=AF, :∠MAC=∠DAF=90°， .∠MAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC,即∠MAD=∠CAF, AM=AC ∠MAD=∠CAF hD和 在 CAr中，AD=AF △MAD≌ACAF(SAS) .∠M=∠ACF=45, .∠ACB=45°， .∠BCF=∠ACB+∠ACF=45+45=90, .CF⊥BC, D 【例8】构造等边三角形手拉手模型 (2025番禺期末)已知△ABC为等边三角形，P为直线BC上方一点（不与A、B、C三点重 合)，连接PA、PB、PC,∠BPC=60°，且线段CP与AB交于点D时， (I)如左图，若点D为4B的中点，求证：PA=PC: 2 CP-BP (②)如右图，若点D为边4B上任意一点，作AE1CP,垂足为E,试求PE的值. 32 y E B C B 【答案】解：(I)证明：△ABC为等边三角形， .∠ACB=60,AC=BC, ,D为AB中点， &ACP=∠ACB=30.CDLAB CD⊥AB,D为AB中点， .'AP=BP, ∴.∠APC=∠BPC=60°， .∠PAC=180°-∠APC-∠ACP=90， ,在RtAACP中，∠ACP=30°， AP-PC: (2)如图，在CP上截取CQ=BP,连接A0, ,△ABC为等边三角形， .AB=AC,，∠BAC=60°， .∠PDB=∠CDA, .180°-∠BPC-∠PDB=180°-∠BAC-∠ADC, 即∠ABP=∠ACQ」 33 AB=AC ∠ABP=∠ACQ …在 1Bp和a4Co中， BP=CO △AFG≌ACFE(ASA) .AP=40, :AE⊥CP, .PO=2PE CP-BP_CP-C≌_P'=2 :.PE PE PE A E Q B C 34 巅峰突破 【突破】构造手拉手模型 在等边△ABC中： (I)如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°，求证：PA=PB+PC. (2)如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°，求证：PA+PD+PC>BD 【答案】解：(I)证明：延长BP到D,使PD=CP,连接CD, :∠BPC=120, .∠CPD=180°-∠BPC=60°， 又：PD=CP, .△PCD是等边三角形， .CP=CD,∠PCD=60, :△ABC是等边三角形， .AC=BC,∠ACB=60, .∠ACB+∠BCP=∠PCD+∠BCP,即∠ACP=∠BCD, AC=BC ∠ACP=∠BCD Cn和BcD中，1C-CD 在 35 △ACP≌△BCD(SAS) .PA=BD, BD=PB+PD,PD=CP, .BD=PB+PC, .'PA=PB+PC, (2)证明：延长DP到M,使AP=PM,连接AM、MB, .∠APD=120, .∠APM=180°-∠APD=60°， 又，AP=PM, ∴.△AMP是等边三角形， AM=AP,∠PAM=60°， ,△ABC是等边三角形， .AB=AC,∠BAC=60, ,∠BAC=∠PAM=60, :.∠BAC-∠PAB=∠PAM-∠PAB,即∠BAM=∠CAP, AM=AP ∠BAM=∠CAP 在 和 AMB AB=AC △AMB≌△APC(SAS) .MB=PC, MD MP+PD,MP=AP, ∴，MD=PA+PD, 在△MBD中，MB+MD>BD, 代入MB=PC,MD=PA+PD, ∴.PC+PA+PD>BD,即PA+PD+PC>BD 36 0 37 课后自测 【练习1】如图所示的△ABC中，∠ABC=45°，高AE与高BD交于点M,BE=4, EM=3,则△ABC的面积是 【答案】解：，AE、BD是△ABC的高， ∴.∠AEC=∠BEM=90°，∠BDC=90°， ∠ABC=45°，∠AEB=90°， ∴，△ABE为等腰直角三角形， ∴.AE=BE=4, ∠C+∠CME=90°，∠BME+∠CME=90°， ∴.∠C=∠BME, ∠AEC=∠BEM ∠C=∠BME AEc 在 中， △BEM AE=BE △AEC≌ABEM(AAS) .CE=EM=3, .BC=BE+CE=4+3=7, 5.cCxx14. 1 2 答案：14 【练习2】如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.则AF和CD 38 的数量关系是 B D 【答案】解：：AB=AC,AD⊥BC, BD=CD,BC=2CD(等腰三角形三线合一)， ,CE⊥AB, .∠AEC=∠BEC=90, .∠EAF+∠AFE=90°， AD⊥BC, .∠FCD+∠CFD=90°， 又，∠AFE=∠CFD, .∠EAF=∠BCE, 「∠EAF=∠ECB AE=CE 在 CEB中， 和 AAEF ∠AEF=∠CEB' △AEF≌ACEB(ASA) .AF =BC, BC=2CD. .'AF=2CD 答案：AF=2CD 【练习3】如图，在等腰△ABC中，延长AC到E,使CE=BD,DE交BC于F.求证： DF=FE 39 【答案】证明：过点D作DGIAE,交BC于点G, DGIIAE, .∠DGB=∠ACB ,△ABC是等腰三角形，AB=AC, .∠B=∠ACB, .∠B=∠DGB .BD=DG. 又，CE=BD, .'DG=CE. DGIIAE, .∠GDF=LE,LDGF=∠ECF, ∠GDF=∠E DG=CE 在GDF和 CE中， ∠DGF=∠ECF· △GDF≌ACEF(ASA) .DF=FE. 【练习4】RIABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E为△ABC外一点，且∠CEA=45° 40 求证：AE⊥BE. 【答案】过点C作CF⊥CE,交EA的延长线于点F, :CF⊥CE, ∴.∠FCE=90, 又.∠CEA=45°， “.aCEF是等腰直角三角形， .CF=CE,∠AFC=45, ,∠ACB=90°，∠FCE=90, ∴.∠FCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE,即∠FCA=∠ECB, CF=CE ∠FCA=∠ECB C4r和 在 CBE中， AC=BC △CAF≌aCBE(SAS) .∠AFC=∠BEC=45°， ∠CEA=45°， ∴.∠BEF=∠BEC+∠CEA=45+45°=90°， .AE⊥BE. 4 C 【练习5】如图，△ABC是等边三角形，∠ADC=120°，求证：BD=AD+CD 【答案】延长AD到E,使得DE=DC,连接CE, .∠ADC=120, .∠CDE=180°-∠ADC=60°， 又：DE=DC, ∴.aCDE是等边三角形， ∴.CD=CE,∠DCE=60, ,△ABC是等边三角形， .AC=BC,∠ACB=60, .∠ACB=∠DCE, :.∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE, BC=AC ∠BCD=∠ACE 在 BCD和AMCE中，CD=CE △BCD≌AACE(SAS) :BD=AE, .AE=AD+DE,DE =CD, .'AE=AD+CD, 42 .'BD=AD+CD E 43