广东湛江市廉江市实验学校2025-2026学年度第一学期期中考试九年级数学试卷

廉江市实验学校2025-2026学年度第一学期期中考试 初三数学试卷 分值：120分；时间：120分钟；命题人：何泳诗；审题人：赵东海 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．2024年4月25日搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭成功发射升空，叶光富、李聪、李广苏3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度． 下列航空航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，有根为1的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 3．由二次函数y＝2（x﹣3）2＋1，可知（    ） A．其图象的开口向下 B．其图象的顶点坐标为（3，1） C．其图象的对称轴为直线x＝﹣3 D．当x＜3时，y随x的增大而增大 4．已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程可以（   ） A． B． C． D． 5．如表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（   ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A．1.09 B．1.19 C．1.29 D．1.39 6．若点和点关于原点对称，则的值为（   ） A．1 B． C．8 D． 7．如图，将线段OA绕点O顺时针方向旋转90°，则点A(－4，3)对应的坐标为 A．(－3，－4) B．(3，4) C．(4，3) D．(－4，－3) 8．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A．0，4 B．2，9 C．0 D．4 9．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点………，前n行的点数和不能是以下哪个结果（   ） A．55 B．95 C．78 D．120 10．如图，抛物线的对称轴为，现有下列结论： ①；②；③；④；⑤．正确结论的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 12．已知二次函数上有两点和，且，则 .（填“>”“<”或“=”）. 13．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值等于 ． 14．如图，绕点C旋转得到，点E在边AB上，若，则的度数是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．解方程： (1)； 17．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-2，3）、B（-6，0）、C（-1，0）．（1）经过平移，可使△ABC 的顶点A与坐标原点O重合，直接写出此时点C 的对应点C1坐标；（不必画出平移后的三角形） （2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，画出△A′B′C′,并写出点A 的对应点A′的坐标. 18．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE． （1）求证：△AEB ≌△ADC； （2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不等的实数根； (2)若方程的两个根分别为，，其中，若，求m的值． 20．已知二次函数的图像为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为______； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，请判断抛物线是否经过点，并说明理由； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 21．某商场在今年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元． (1)国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少？ (2)国庆节过后，该商场商品再次降价销售，已知售价降为每件150元时，每天可售出10件，经市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品想要获利500元，同时为了尽快将库存全部清仓，则这天该商场商品每件售价应定为多少元？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x＋3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”． （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有　 　；（只填写序号即可） ①（x﹣1）2＝9；②x2＋4x＋4＝0；③（x＋4）（x﹣2）＝0 （2）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2＋3x＋m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）同时满足a＋b＋c＝0和a﹣b＋c＝0，且与（x＋2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值． 23．为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图①是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点E到地面的距离为8米． (1)按图①所示建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y轴对称的支撑柱和，如图②所示． ①若两根支撑柱的高度均为米，求两根支撑柱之间的水平距离； ②为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁，搭建成一个矩形“脚手架”，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆的长度之和w的最大值，请你帮管理处计算一下． 廉江市实验学校2025-2026学年度第一学期期中考试 初三数学试卷参考答案 分值：120分；时间：120分钟；命题人：何泳诗；审题人：赵东海 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．2024年4月25日搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭成功发射升空，叶光富、李聪、李广苏3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度． 下列航空航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念判断即可．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C 2．下列方程中，有根为1的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程”，一元二次方程的解．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解，即可进行解答． 【详解】解：A、，是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、，未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、，是一元二次方程，当时，，故该选项不符合题意； D、，是一元二次方程，当时，，故该选项符合题意； 故选：D． 3．由二次函数y＝2（x﹣3）2＋1，可知（    ） A．其图象的开口向下 B．其图象的顶点坐标为（3，1） C．其图象的对称轴为直线x＝﹣3 D．当x＜3时，y随x的增大而增大 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】先确定顶点及对称轴，结合抛物线的开口方向逐一判断． 【详解】解：∵y=2 (x－3) 2 ＋1是抛物线的顶点式， ∴顶点坐标为(3，1)， A、∵a>0，∴图象的开口向上，故此选项错误，不合题意； B、顶点坐标为(3，1)，故此选项正确，符合题意； C、对称轴为直线x=3，故此选项错误，不合题意； D、当x>3时，y随x增大而增大，故此选项错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及函数的增减性和求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法；熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 4．已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程可以（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”、一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、由方程得：，，则此项符合题意； B、方程的根的判别式为，没有实数根，则此项不符合题意； C、由方程得：，，则此项不符合题意； D、方程的根的判别式为，没有实数根，则此项不符合题意； 故选：A． 5．如表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（   ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A．1.09 B．1.19 C．1.29 D．1.39 【答案】B 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间， ∴方程有一个根在和点之间． 故选：B． 6．若点和点关于原点对称，则的值为（   ） A．1 B． C．8 D． 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征，求代数式的值，熟练掌握关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的特征，分别列出关于的方程，求出的值即可求解． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 7．如图，将线段OA绕点O顺时针方向旋转90°，则点A(－4，3)对应的坐标为 A．(－3，－4) B．(3，4) C．(4，3) D．(－4，－3) 【答案】B 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【详解】试题分析：以点O为旋转中心，按旋转方向顺时针旋转角度90°，即可得到结果． 由题意得，点A(－4，3)对应的坐标为(3，4)，故选B. 考点：旋转的性质，点的坐标 点评：解答本题的关键是熟练掌握旋转对应边的夹角叫做旋转角. 8．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A．0，4 B．2，9 C．0 D．4 【答案】A 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象可得对称轴为直线，的一个根为，进而根据对称性求得的另一个根，即可求解． 【详解】解： 时， ∴的一个根是 ∵图象的对称轴为直线， ∴的另一个根是 故选：A． 9．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点………，前n行的点数和不能是以下哪个结果（   ） A．55 B．95 C．78 D．120 【答案】B 【知识点】图形类规律探索、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，前n行的点数之和为，再分别求出该代数式的值分别为55、95、78、120时n的值即可判断． 【详解】解：前n行的点数之和为， 若前n行的点数之和为55，则，解得或（舍），即前10行的点数之和为55，不符合题意； 若前n行的点数之和为95，则，解得，n不是整数，即不存在前n行的点数之和为95，符合题意； 若前n行的点数之和为78，则，解得或（舍），即前12行的点数之和为78，不符合题意； 若前n行的点数之和为120，则，解得或（舍），即前15行的点数之和为120，不符合题意； 故选：B． 10．如图，抛物线的对称轴为，现有下列结论： ①；②；③；④；⑤．正确结论的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查了抛物线图象和二次函数系数之间的关系，由函数图象可得，，即可判断①；根据对称轴知，然后得到可判断②；当时，从函数图象即可判断③；考虑当，时的函数值，结合图象即可判定④；当时，从函数图象可得函数值，将代入化简即可判断⑤．解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质并结合图象． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 对称轴， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故①错误； 当时，代入解析式可得：， 从函数图象可知：，即，故③错误； 当时，， 当时，，且， 根据图象可得：当时，y取到最大值， ∴，即，故④正确； 当时，从函数图象可得函数值， ∵，即，代入， 可得， ， ，即，故⑤正确； 综合可得：②④⑤正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， ， 故答案为：． 12．已知二次函数上有两点和，且，则 .（填“>”“<”或“=”）. 【答案】＜ 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】利用二次函数的性质进行判断即可. 【详解】解：∵二次函数的，对称轴为直线x=3， ∴抛物线开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大， ∵x1＜x2＜3， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数上点的坐标特征，熟练掌握其性质是解题的关键. 13．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值等于 ． 【答案】2019 【知识点】一元二次方程的解 【分析】将代入方程得出，再整体代入计算可得． 【详解】解：将代入方程，得：， 则， 所以, = = = =2019 故答案为：2019． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念及整体代入思想的运算． 14．如图，绕点C旋转得到，点E在边AB上，若，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质、根据旋转的性质求解 【分析】由全等三角形的性质可得，可求得 ，由三角形的内角和可求得 ，从而得解． 【详解】解：∵绕点C旋转得到， ∴ ， ∴， ∴ ， 即 ∵， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，旋转的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 ． 【答案】8 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、根据矩形的性质求线段长 【分析】先依据配方法确定出抛物线的最小值，依据矩形的对角线相等可得到，然后确定出AC的最小值即可. 【详解】(x-3)2+8， 抛物线的顶点坐标为． 的最小值为8． 的最小值为8． 故答案为8． 【点睛】本题主要考查的是矩形性质，配方法求二次函数的最值，求得AC的最小值是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．解方程： (1)； 【答案】(1)， 【知识点】解一元二次方程——配方法解一元二次方程 【分析】本题考查的是解一元二次方程， （1）利用配方法求解即可； 根据题目的不同结构特点，选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）， ， ， 即， ∴． ∴， ． 17．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-2，3）、B（-6，0）、C（-1，0）．（1）经过平移，可使△ABC 的顶点A与坐标原点O重合，直接写出此时点C 的对应点C1坐标；（不必画出平移后的三角形） （2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，画出△A′B′C′,并写出点A 的对应点A′的坐标. 【答案】(1) （1，－3）； (2) 如图所示见解析，△A′B′C′就是所要画的图形；A′(-3,  -2) 【知识点】平移综合题(几何变换)、画旋转图形、求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】（1）点A经过平移后与点0重合，可看作先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，从而可得出点C平移后的对应点C1的坐标． （2）根据旋转的性质分别得出A、B、C三点的对应点，然后顺次连接即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得点A可看作先向右平移2个单位，再向下平移3个单位， 故可得点C1坐标为（1，-3）； （2）所作图形如下： 如图所示，△A′B′C′就是所要画的图形；A′(-3,  -2) 【点睛】此题考查了旋转作图及平移的知识，解答第一问关键是得出点A与点O重合需要作哪些平移，第二问关键是根据旋转的性质得出各点的对应点． 18．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE． （1）求证：△AEB ≌△ADC； （2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数． 【答案】（1）见解析；（2）45° 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得，，再由旋转的性质，可得，，从而得到，再证≌即可； （2）根据题意可得为等边三角形．可得，根据三角形全等可得，然后利用两角之差即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 线段AD绕点A顺时针旋转，得到线段AE，，． ． ． 在△EAB和△DAC中， ， ≌． 解： ，， 为等边三角形． ， ≌． ． ∴∠BED=∠AEB-∠AED=105°-60°=45°， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不等的实数根； (2)若方程的两个根分别为，，其中，若，求m的值． 【答案】(1)见详解 (2)3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根的判别式． （1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出，此题得证； （2）利用求根公式即可得出、的值， 结合，即可得出关于m的一元一次方程， 解之即可得出结论． 【详解】（1）证明：对于关于x的方程， 可有， ∴该方程一定有两个不相等的实数根． （2）解方程， 可得， 又， ∴，， 又， ∴， 解得：． 20．已知二次函数的图像为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为______； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，请判断抛物线是否经过点，并说明理由； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2)不经过，说明见解析 (3) 【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）一般解析式化为顶点式，进行求解即可． （2）由题意得出平移后的函数表达式，将点横坐标2代入，求纵坐标的值并与3比较，相等则抛物线过该点． （3）先判断该函数图像开口向上，对称轴在所求自变量的范围内，可求得函数值的最小值，然后将代入解析式求解，取最大的函数值，进而得出取值范围． 【详解】（1）解：化成顶点式为 ∴顶点坐标为 故答案为：． （2）解：由题意知抛物线的解析式为 将代入解析式解得 ∴不经过点． （3）解：∵对称轴直线在中 ∴最小的函数值 将代入解析式得 将代入解析式得 ∵ ∴函数值的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数值顶点式，图像的平移，函数值的取值范围等知识．解题的关键在于正确的表示出函数解析式． 21．某商场在今年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元． (1)国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少？ (2)国庆节过后，该商场商品再次降价销售，已知售价降为每件150元时，每天可售出10件，经市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品想要获利500元，同时为了尽快将库存全部清仓，则这天该商场商品每件售价应定为多少元？ 【答案】(1)商场对商品平均每次降价的百分率为． (2)130元． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意、找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设商场对商品平均每次降价的百分率为x，再根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设这天商场在每件150元的基础上降价y元，根据“商场某天销售商品共获利500元”列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设商场对商品平均每次降价的百分率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去）． 答：商场对商品平均每次降价的百分率为． （2）解：设这天商场在每件150元的基础上降价y元， 由题意得：，解得：， ∵为了尽快销售完这批商品， ∴． （元） 答：这天商场对A商品售价为130元． 五、解答题（三）（本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x＋3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”． （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有　 　；（只填写序号即可） ①（x﹣1）2＝9；②x2＋4x＋4＝0；③（x＋4）（x﹣2）＝0 （2）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2＋3x＋m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）同时满足a＋b＋c＝0和a﹣b＋c＝0，且与（x＋2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值． 【答案】（1）①②；（2）1或；（3）±1． 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）利用题中的新定义判断即可； （2）根据题中的新定义列出有关于的方程，求出方程的解即可得到的值； （3）求得两个方程的根，根据“同伴方程”的定义即可得出的值． 【详解】解：（1）① 解得：，， ②， 解得：， ③， 解得， 所以，属于“同伴方程”的有①② 故答案是：①②； （2）一元二次方程的解为，， 当相同的根是时，则，解得； 当相同的根是时，则，解得； 综上，的值为1或； （3）关于的一元二次方程同时满足和， 关于的一元二次方程的两个根是，； 的两个根是，， 关于的一元二次方程与互为“同伴方程”， 或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，熟练掌握新定义是解题的关键． 23．为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图①是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点E到地面的距离为8米． (1)按图①所示建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y轴对称的支撑柱和，如图②所示． ①若两根支撑柱的高度均为米，求两根支撑柱之间的水平距离； ②为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁，搭建成一个矩形“脚手架”，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆的长度之和w的最大值，请你帮管理处计算一下． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)①两根支撑柱之间的水平距离为9米；②“脚手架”三根支杆的长度之和w的最大值为米． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、求二次函数的最值等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）由题意得、、，设抛物线的解析式为，将代入解析式求得a即可解答； （2）①根据题意可得，解方程即可得到，从而即可算出两根支撑柱之间的水平距离；②设N点坐标为，则，，进而得到，然后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴（米），， ∴点，点， 根据题意和图象可得，顶点E的坐标为， ∴可设抛物线的解析式为：， 把点代入解析式可得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①当时，，解得， （米）， ∴两根支撑柱之间的水平距离为9米； ②设N点坐标为，则，， ∴， ∵，， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴“脚手架”三根支杆的长度之和w的最大值为米． 第7页（/共4页） 第8页/（共34页） 知人善教 培养品质 引发成长动力 学科网（北京）股份有限公司 $