江苏省苏州市2026-2027学年高二上学期数学第1次月考模拟卷2

苏州市2026-2027学年高二上学期数学第1次月考模拟卷2 一、单选题 1.设为等差数列的前项和，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设等差数列的公差，∵，且， ∴， 解得. 则， 故选：C. 2.已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵数列是等差数列，且， ∴，可得，则. ∵数列是等比数列，∴，又由题意， ∴，∴， ∴， ∴. 故选：D． 3.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得， 所以， . 故选：C. 4.已知是等比数列的前项和，，则公比（ ） A. B. C. 3或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由可得， 则，化简可得，解得或， 故选：D. 5.已知为数列的前项积，若，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为为数列的前项积，所以可得， 因为，所以， 即，所以， 又，得，所以， 故是以3为首项，2为公差的等差数列； ， 故选：A 6.已知数列为等比数列，，公比.若是的前项积，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意，， 则， 又，所以或时，取得最大值. 故选：A. 7.等差数列的前n项和为，公差为，，，当取最小值时，n的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 108 【答案】B 【解析】 【详解】由等差数列的公差为，可得，即， 根据裂项公式可知， 则， 由，代入可得，因为，解得或（舍）； 所以等差数列的首项为3，公差为，则， 则， 设函数，根据对勾函数可知， 在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值； 因为，当时，， 当时，， 可知，所以当时取最小值. 故选：B. 8.已知，，，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为数列是正奇数数列，对于数列，当为奇数时，设，则，为奇数；当为偶数时，设，则，为偶数，所以， ， 所以， 故选：D． 二、多选题 9.设是公比为正数的等比数列的前n项和，若，，则（     ） A. B. C. 为等差数列 D. 为常数 【答案】ACD 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， 所以，则， 又因为，则，， . ，故A选项正确； ，故B选项错误； ，所以为等差数列，故C选项正确； ，故D选项正确； 故选：ACD. 10.已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，且存在两项，，使得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】解：设等比数列的公比为，且 因为，即 化简得： 解得：或（舍去） 对A，因为，所以，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，因为，即，化简得：，又 解得，当，时，，故C错误； 对D，由C知，，故D正确. 故选：BD. 11.在数列中，若对于任意，都有，则（ ） A. 当或时，数列为常数列 B. 当时，数列为递减数列，且 C. 当时，数列为递增数列 D. 当时，数列为单调数列 【答案】ABC 【解析】 【详解】解：对于A选项，由得， 所以，当时，，是常数列； 当时，是常数列，故A选项正确； 对于B选项，， 因为， 所以，当时，，即， 同理可得，， 所以，即， 所以数列为递减数列，且，故B选项正确； 对于C选项，当时，由得，即 由得， 所以，， 同理可得， 所以，即， 所以，数列为递增数列，故C选项正确； 对于D选项，当时，由，即， 由得，符号不确定， 所以符号不确定， 所以，当时，数列的单调性无法确定，故错误. 故选：ABC 3、 填空题 12.已知数列是递增的等比数列，若，则__________. 【答案】512 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， 由可得，把代入方程整理得 或(舍去). 所以. 故答案为：512 13.已知在数列中，，，则数列的通项公式为______． 【答案】 【解析】 【详解】若中有一个为0， 则得：， 此时有，由，则， 令带入中， 得出， 解得：与矛盾，所以， 由得：， 即， 所以， ， ， ， ， 将上面式子累加得：， 即 所以， 所以， 故答案为：. 14.已知数列各项都是正数，且，若是递增数列，则的取值范围是________，若，且，则整数_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】因为数列各项都是正数，且，即， 解得，由于，所以， 由于数列是递增数列，则， 可得，化简可得，解得， 由得的取值范围是； 因为 等式两边取倒数可得，所以， 当时，， 所以 ， 因为，所以， 由上分析可知，所以， 因此整数. 故答案为：；. 4、 解答题 15.已知数列满足：，，． （1）求证：成等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【小问1详解】 由题意，， 令，即， 则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即可证明数列为等比数列. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 则 . 16.记为等比数列的前项和.已知，. （1）求的通项公式； （2）求，并判断，，是否成等差数列. 【答案】（1） （2）；，，成等差数列 【解析】 【小问1详解】 设数列的首项为，公比为， 因，， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，，所以， 所以，， 所以 ， 即，所以，，成等差数列. 17.已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列．. （1）求数列通项公式； （2）若对任意 都有成立，求正整数的值. 【答案】（1） （2）或4， 【解析】 【小问1详解】 设的公差为，则， ， 故的通项公式为． 设，则为等比数列． ，， 设的公比为，则，故． 则，即． ． 故的通项公式为． 【小问2详解】 由题意，应为数列的最大项． 由． 当时，，，即； 当时，，即； 当时，，，即 综上所述，数列中的最大项为和． 故存在或4，使，都有成立． 18.人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，. （1）求，的值； （2）已知数列满足. ①求的前项和； ②记数列的前项和为，若对任意，均有不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）①；② 【解析】 【小问1详解】 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以， 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以. 【小问2详解】 ①所有不超过正整数的正整数有个， 其中与不互素的正整数有，，，，，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即， 所以， 所以 两式相减得 所以； ②由①可知，所以 ， 所以由 得 恒成立， 令 ，则 ， 所以可得 ； 当 时，即， 所以的最大值为， 故. 19.若对于任意的，为数列中小于的项的个数，则称数列是的“生成数列”. （1）分别写出数列1，0，3，4及，，2，的“生成数列”的前4项； （2）若数列满足，且的“生成数列”为，求； （3）若为等比数列，且，公比，的“生成数列”为，的“生成数列”为，求. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由生成数列的定义可知：数列1，0，3，4的“生成数列”的前4项是1，2，2，3； 数列，，2，的“生成数列”的前4项是0，2，4，4； 【小问2详解】 为2，4，6，8，， 则中小于1的项的个数，小于2的项的个数， 小于3的项的个数，小于4的项的个数， 小于5的项的个数，小于6的项的个数，， 在中，当n为奇数时，设，， 则小于的偶数有个，所以 在中，当n为偶数时，设，， 则小于2k的偶数有个，所以， 所以； 【小问3详解】 因为为等比数列，且，公比，所以 下面我们来证明： 因为表示中小于k的项的个数，表示中小于的项的个数， 所以易得，即， 设，由，，可得，， 又因为，所以，所以 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市2026-2027学年高二上学期数学第1次月考模拟卷2 一、单选题 1.设为等差数列的前项和，若，且，则（ ） A. B. C. D. 2.已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（ ） A. B. C. D. 3.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 4.已知是等比数列的前项和，，则公比（ ） A. B. C. 3或 D. 或 5.已知为数列的前项积，若，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 6.已知数列为等比数列，，公比.若是的前项积，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 7.等差数列的前n项和为，公差为，，，当取最小值时，n的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 108 8.已知，，，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9.设是公比为正数的等比数列的前n项和，若，，则（     ） A. B. C. 为等差数列 D. 为常数 10.已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，且存在两项，，使得，则（ ） A. B. C. D. 11.在数列中，若对于任意，都有，则（ ） A. 当或时，数列为常数列 B. 当时，数列为递减数列，且 C. 当时，数列为递增数列 D. 当时，数列为单调数列 三、填空题 12.已知数列是递增的等比数列，若，则__________. 13.已知在数列中，，，则数列的通项公式为______． 14.已知数列各项都是正数，且，若是递增数列，则的取值范围是________，若，且，则整数______. 四、解答题 15.已知数列满足：，，． （1）求证：成等比数列； （2）求数列的前项和． 16.记为等比数列的前项和.已知，. （1）求的通项公式； （2）求，并判断，，是否成等差数列. 17.已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列． （1）求数列通项公式； （2）若对任意 都有成立，求正整数的值. 18.人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，. （1）求，的值； （2）已知数列满足. ①求的前项和； ②记数列的前项和为，若对任意，均有不等式恒成立，求实数的取值范围. 19.若对于任意的，为数列中小于的项的个数，则称数列是的“生成数列”. （1）分别写出数列1，0，3，4及，，2，的“生成数列”的前4项； （2）若数列满足，且的“生成数列”为，求； （3）若为等比数列，且，公比，的“生成数列”为，的“生成数列”为，求. 学科网（北京）股份有限公司 $