江西省临川第一中学2027届高三上学期素质评价（一） 数学试题

2027届高三素质评价（一） 科 目：数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题 时，将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。 3.本试题卷共8页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 姓 名 准考证号 祝 你 考 试 顺 利 ! 机密★启用前 2027届高三素质评价（一） 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．设复数满足（为虚数单位），则 A． B． C． D． 3．下列函数中最小正周期等于的是 A． B． C． D． 4．若函数为奇函数，则 A． B．1 C． D． 5．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 A．24 B．18 C． D． 6．已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为 A． B． C． D． 7．某中学举办生物知识竞赛，设置10道题目，比赛规则如下：每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分．已知甲答对每道题目的概率均为，甲需要答满10道题，且每道题答对与否相互独立．设随机变量表示甲最后的得分，则 A． B． C． D． 8．已知函数，若存在正实数，，使得，，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，则下列不等式一定成立的有 A． B． C． D． 10．已知等差数列的前项和为，前项积为.若，，则 A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．记双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线交于两点，则下列说法中正确的有 A．双曲线的离心率是 B．若，则的周长为 C．存在四条不同直线使得 D．线段的中点坐标可能是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 13．的展开式中的系数为________． 14．已知，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多．商家销售商品，既要满足顾客需要，又要为商家创造效益，是一种相互依存的合作关系．为较好地达到这个目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格．某商店以每件2元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到下表的统计数据： 售价x（元/件） 3 4 5 6 7 日销量y（件） 69 57 54 40 30 (1)由上表数据知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； (2)试问商家将每件售价定为多少元时，可使其获得的日利润最大？（结果保留整数） 附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．参考数据：． 16．（15分）设函数（，，）且为奇函数． (1) 若，求的解析式； (2) 在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 17．（15分）记的内角A、B、C 的对边分别为、、，，、为边上的点． (1) 若为的角平分线，，，求的面积； (2) 若为锐角三角形，为边上的中线，，求的取值范围． 18．（17分）已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q. （i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； （ii）当最小时，求点T的坐标. 19．（17分）设函数，其中为参数． (1)当时，求的单调区间． (2)求的取值范围，使得对所有实数成立． (3)设，其中为（2）中范围的右端点，记为的两个正实数解，为（2）中定义的正实数（满足）．证明：． （注：） 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三素质评价（一) 数学 1.A 根据交集的运算求解 因为A={-2<x≤1}，B={-3,-1,0,1,2},所以A∩B={-1,0,1}. 故选：A 2.B a4d)号3H- 1 3.B 根据正弦型函数、正弦函数、正切函数的性质，结合同角的三角函数关系判断即可. 对于A,最小正周期T=2π-元 42 对于B,正切函数y=tanr的周期是元，y=tanr将y=tanx在x轴下方的图象翻折到x轴上方， 周期不变.故最小正周期T=π 对于C,y=sinx+cos2x=1,是常函数，无最小正周期. 对于D,因为f(-x)=sind=sinx=f(x),所以y=sin为偶函数，图象关于y轴对称，不是周期函数 4.D 先求出函数∫(x)的定义域，根据奇函数的定义域关于原点对称求出4的值，再根据奇函数的定义验证函数 f(x)是奇函数即可 f)(2x-可的定义城为x且吗，因为函数f倒为奇西数，所以定义歧关于原点对称， e*-ex 故-a=分即a=月 所以f(x)= e-e2(e-ex） (-)(2x-1 4-1,的定义城为，(2》行关于原点对称。 又f-x)=2e-e =-f(x): 4x2-1 故函数了()为奇函数所以a号 5.D 建立直角坐标系，读出向量的坐标，再利用坐标运算求数量积. 以三个向量的公共起点为原点建立如图所示的直角坐标系， 答案第1页（共10页） 则a=（-1,-2),b=(-2,1),c=(2,2), 则c-a=(3,4),b+2a=(-4,-3), 则(-a)(6+2)=3×(4H4×(3上-24 a 故选：D 6.C 由正弦定理和椭圆定义可得 a sinl5°+sin75, 求出答案 设P=m,P=n,E引=2c. 在△PF乃中，由三角形内角和得∠PE=180°-15°-75°=90°. sin15 sin75=sin90=2c,m=2esin15,n=2csin75 由正弦定理得儿 2c 由椭圆定义得m+n=2a,即2a=2c(sin15°+sin75）,所以C= a sinl5°+sin75° 其中siml5°=sim(45°-30')=$im45cos30°-cos45sin30=6-V2 4 sin75=sin()=sin 45 cos30co45sin 30 4 椭圆离心率e=S,得e=,4=6 a 2W6-3, 7.D 利用二项分布的期望与方差公式以及性质分析计算即可， 设甲答对的题数为随机变量Y, 由腿意可知r服以以-10p号的=项分布，则r-B0引， 2 所以)=理10号4D)=p0-p叭=101》号 因为每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分， 所以甲最后的得分X=10Y+(10-)×(-5)=15Y-50, 所以E(X)=E(15Y-50)=15E(Y)-50=15×4-50=10, D(x)=D157-50)=15D(y)=225×12=540. 答案第2页（共10页） 8.D 将问题转化为两个函数图象公共点问题，令2-x+1=2r+1,得a-2+1,令gx)=2血x+1,求导， 根据导数判断函数的性质，得出直线y=α与函数g(x)的图象有两个交点时a的取值范围， 若存在正实数5，，使得f(-x)+f(伍)=0，f(-5)+f()=0, 则函数y=ar2-x+1(x>0)与y=2xnx+1(x>0)的图象有两个公共点. 所以ax2-x+1=2nr+1,即ax=2lhx+1在x>0时有两个不同的解. 又a-2+1.令g(y)=2x+1,问题转化为求直线y=Q与函数g(x)的图象有两个交点时a的取值范围。 -2nr,令g(x)=0,得1-2血r=0,解得x=、 当0<x<V时，g(x)>0,g(x)单调递增；当x>√e时，g'(x)<0,g(x)单调递减. 因此g(9在r=VE处取得最大值，所以g(x)m=g(G)=2e立. 当x→0时，8（→-0：当x→+0时，8(e)→0，所以0<a<2e 9.AC 对于A,由题意得C_C-bc-ac=c(仍-) a b ab ab 因为a>b>c>0,所以ab>0,b-a<0, 所u台后0，测后分放A正确： 对于B,若a=3b=2c=1,则白-2b+c-3, a3’。+一4’此时<上，故B错误： aa+c 对于C,因为a>b>c>0,所以a>b2>0, 白A可知后行所以口-分公台校C正， a 对于D,若a=3b=2,c=1,则小++d4 +)+9=6 >10,a+b+c=6<10, a b c 3 2 6 此时心+S+C>a+b+c,放D错误 a b c 10.CD 由等差数列通项公式基本量的计算可判断A,由A结合二次函数可判断B,由通项公式可判断C,D. 设{a}的公差为d,由4o=4+3d,a4=-3,4=3得d=2,a.=-3+2(n-7)=2n-17,A错误： 因为%=m(2n-17)=2r-17m,对称轴为：1= 41 所以n=4时，1g,取得最小值-36，B错误： 由4=2n-17知，41,42，，4都小于0,4,40，，都大于0， 所以S的最小值为S,C正确： 答案第3页（共10页） 由4n=21-17知，41=-15,4=-13,43=-11,44=-9,4=-7,46=-5,41=-3,43=-1都小于0， 4,40,…,都大于0， Tn中，T,,T,T,都小于0，其他的都大于0，显然T最小，D正确 故选：CD 11.ABD 根据双曲线方程可确定a,b,c的取值，根据离心率定义、双曲线的定义可求得AB正确；分别讨论直线I斜 率不存在和斜率存在的情况，通过与双曲线方程联立，利用弦长公式和中点坐标公式，结合韦达定理可求 得k可能的取值，进而得到CD正误， 对于A,由双曲线方程知：a=2,b=√5，则c=√a+b=3, -日弓A正确 双曲线E的离心率e=C=3 对于B,:A=2A,AE引-A=A=2a=4, .△AF的周长为A+AF+耳=4+8+2c=12+6=18,B正确： 对于C,当1斜率不存在时，即1：x=-3时，4B=2b-5; 当1斜率存在时，设：y=k(x+3),A(:,),B(:,乃)， 由5420得：5-4k)x-24kx-360-20=0, 由 5-4’5=-36k2+20 5-4≠0且△=805+5)>0，则5+5=，24 5-4k2 AB=1+k2.V+x2-4x,= 20(1+k2 5-4k2 25,解得：2=。，即=士2 8 4 A3方程为：y=士(x+3): 4 综上所述：存在三条不同的直线1使得AB=5,C错误： 对于D,当直线1斜率不存在时，线段AB中点为(-3，O) 当直线1斜率存在时，由C知，若线段AB中点为(1，⑤)， 52,+=K飞+5+⑥0=25，解将：本V5 24k2 则x+x2= 4 :当1方程为y=5(+)时，线段8的中点坐标为v5,D正确 12.[-1,3) 应用换元法，令t=x+1,根据∫(x+1)的定义域为-2,2)，有t-1∈[-2,2)，即可求f(x)的定义域. 答案第4页（共10页） 对于f(x+1),令t=x+1→x=t-1∈[-2,2)，则t∈[-1,3)， 所以f(t),即f(x)的定义域为[-1,3) 故答案为：[-1,3) 13.10 由二项式定理知，(2-x)的展开式中x4的项为C42(-x)=10x4,即对应系数为10. 14.西-15 1515 本题核心是角的配凑，将a+2B拆成(+)+B,a拆成(+)-B,利用两角和差正弦公式展开化简， 得到tan(a+F)与tanB的关系式： 再用正切和角公式，把tana表示成关于t=tanB的函数，结合B范围确定t<0,换元后用基本不等式求函 数最小值 sina=sin(a+B)-B=sin(a+B)cosB-cos(a+B)sinB; sin(a+28)=sin (a+B)+B=sin(a+B)cosB+cos(a+B)sin B; 代入4sina=sim(a+2B)可得：4sin(a+B)cosB-cos(a+B)sinB]=sin(a+B)cosB+cos(a+B)sinB, 整理得：3sin(a+B)cosB=5cos(a+B)sinB. 验证c0saoB40:若mB-0,则A=号或经.但A(及小故cosB40: 2 若cos(a+)=0,则sin(a+B)=士l,代入上式左边为0，右边为±5sinB≠0，矛盾，故cos(ax+)≠0. 所以co(a+cosB≠0.两边同时除以osa+例cosP得tm(a+P）-号amP. π】 设i=tamB,Be2B在第二象限，t<0. 入上式：ma+B),正切和角公式：tam(Q+P)在儡名所2+ 5 =t, 1-tan at 3 整理得：3(tana+t)=5t(1-ttan a),3tano+3t=5t-5t2tana, 2t 所以有tana&= -2u 5+3t<0,令W=-1,所以u>0,则taa=3+5m,因为3+5≥25u,所以 2u 1 3+5ni5 所以ana:-西 15 15.(1)=-9.5x+97.5 (2)6元 1)由表知，月(3+4+5+6+7)-5，-(69+57+4+40+3050， 5 答案第5页（共10页） 2k-y=10,又b=日 (x-x0y-列-95 9.5, 乐-对 10 所以a=歹-b=50+9.5x5=97.5, 所以y关于x的经验回归方程为=-9.5x+97.5; (2)设商家的日利润为z元， 则==y(x-2)=(-9.5x+97.5)(x-2)=-9.5x2+116.5x-195, 该三次函数的对称轴方程为x=192∈(6,65)， 所以当售价定为每件6元时，商家可获得的日利润最大. 16.(1)f(x)=2-2 a4 11 (1)根据函数的奇偶性列方程，先求得k,然后结合f(1)的值求得a,从而求得∫(x)的解析式. (2)利用换元法，结合函数的单调性求得(x)的最小值，进而求得1的取值范围. (1)因为函数f(x)=a+ka(a>0且a≠1)是R上的奇函数，则f(-x)+f(x)=0, 即f(-x)+f(x)=a+ha+a+kax=(1+k)a+a）=0, .k+1=0,可得k=-1,即f(x)=a*-ax, 面f四-得a-a-号解得a=}舍)或a=2. f(x)=2-2x (2)由(1)得f(x)=2-2, h(x)=a2"+a2x-f(x)≥在xe[1,+w)上恒成立， 可转化为：h(x)=2+22x-(2-2)2,在x∈[1，+)上恒成立. h(x)=22+22x-(2-2）上(2-2--22， 令t=2*-2,则1=2-2在x∈[+∞)上为增函数，所以t=2-2≥ 2 0-2- 所以当：=时，g)=f-1+2取得最小值呈 所以入的取值范围为-0,4 11 答案第6页（共10页） 17.)55+V255 20 a (1)利用角平分线将三角形面积分割为两个小三角形面积之和，建立b+c与bc的关系，再结合余弦定理 建立方程组消去b+c,解出bc后直接代入面积公式即可： (2)利用中线向量公式将AE表示为b,c的函数，结合余弦定理和正弦定理消去b,C,转化为关于角B的三 角函数：再由锐角三角形条件确定角B的范围，从而得到AB的取值范围. (1)因为AD是∠A的角平分线，所以∠BAD=∠CAD=A 2 因为S.ae=S.am+SAcm,所以)besind=bAD:sim2+cAD-sin 2 22 2 因为A-营4D=5, 所以csim=5bsin亚+y5csin马，化简得b+c=5bc. 32 62 6 2 又因为a=0,由会弦定理符64心c所以o:c派 5 5 12 所以 2 5,解得hc=1485 所以aMBC的面积为S=bcsin4=W5+2s5 20 (2)由余弦定理，得cosA= B+c2-d_b2+c2-3,即B+d2=bc+3 2bc 2bc-2 因为AE为BC边的中线，所以2AE=AB+AC. 所以4AE=B+AC+2AB.4C-b2+c2+bc=2bc+3. a b 由正弦定理，得sinA sinB sinC 2 所以b=2sinB,c=2sinC. 所以4AE=2bc+3=8 sinBsinC+3=8 sinBsin (2π-B+3=8sinB 3 3 2 a8+号s]+3 4inBcosB+4sinB+3=23sin2B+4.1-cos2B3 2 23sin2B-2c0s2B+5=4 sin2 因为△ABC为锐角三角形，C=2π-B, 3 所以 解得<B< 6 2 0< 2_B< 2 答案第7页（共10页） 所以2B-亚∈T,5n 6（6'6 所以2-m25--5c91 6 所以4AE2∈(7,9]， 即AE∈ √73 22 18.(1) (2)(1)设P0的方程为x=y-2,代入椭圆方程得：（m2+3)y2-4y-2=0. 设PO的中点为M(5,6),则%=2m 6 m2+36≤ 2+3 又T℉的方程为y-0=-m(x+2),则x=-3得y=m, 所以kaw=兰=-八=kor,即OT过P9的中点，即OT平分线段PQ (i)T(-3,±1) (1)由题意c=2,又a=√3b,2=b2+c2,由此可求出a,b的值，从而求得椭圆的方程 （2)椭圆方程化为x2+3y2=6.设PQ的方程为x=y-2,代入椭圆方程得：(m2+3)y2-4y-2=0.(i) 设Pg的中点为M(,为)，求出koM,kr,只要koM=kr,即证得OT平分线段P2.(ii)可用m表示出 PQ,TF可得： |TF_m2+3 1 |Pg2√6√m2+1 化简得： 26 3再根据取等号的条 件，可得T的坐标 (1)c=2,又a=3b→b2-2,a2=6, x =1 62 (2)椭圆方程化为x2+3y2=6. (i)略 (i)|Pg=V1+m2× V16m2+8(m2+3）26(m2+1） m2+3 2+3 又TF=V1+,所以 TF m2+3 (m2+1)+21 21 Pg26Vm2+12V6Vm2+12W6 m2+1厂2v5 25 3 当m=±1时取等号，此时T的坐标为T(-3,+1) 19.(1)单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞) (2) 答案第8页（共10页） a的范围是(0，a],其中4，=e,c 2,5>0是方程tamh二2的唯一正实数解 (3) 由(2)得，，3为lna=g(x)的两根，且0<5<<x, 设h(x)=g(x)-g(2x-x),0<x<, 则H(x)=g'(x)+g'(2x-x), H(x)=h'(x),G(x)=g'(x), (x)=G'(x)-G(2x-x),G'(x)=1-tanh2x+- 2 由tanh在(0，+∞)恒正且单调递增，号在(0，+∞)单调递减， 可得G(x)在(0，+∞)单调递减， 由于0<x<x则x<2x0-x, 所以G(x)>G(2x-x),H'(x)>0, 所以H(x)单调递增，h(x)单调递增， 则H(x)<H()=2g'(x)=0, 所以h(x)单调递减，h(x)>h()=0, 则h(x)=g(x)-g(2x-)>0, 而g(x)=g(x)=na,则g(x)-g(2x-x)>0, 由于>，2-x1>,g(x)在(，+0)单调递增， 所以6>26-，即x2->-x得证. (1)求导利用基本不等式判断导数符号： (2)先根据偶函数缩小讨论范围，再分参来解恒成立问题，为了方便求导可以同时取对数，结合零点存 在定理，利用隐零点来说明； (3)极值点偏移问题，可以构造差函数来解： (1)当a=1时，f(x)=e*+e-x2,f'(x)=e-ex-2x, 设F(x)=e-e-2x,则F'(x)=e+e-2, 根据基本不等式e+ex≥2√ee=2（当且仅当e*=ex，即x=0时取等号)， 所以F'(x)=e+e-2≥0，F(x)在R上单调递增，f'(x)在R上单调递增， 答案第9页（共10页） f"(0)=0, 所以当<0时，f(x)<0,当x>0时，f'(x)>0, 所以∫(x)的单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞). (2)由于f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数，且f(0)=2>0成立， 侧只需要对于0，f①)=c+ax之0恒成立，即a5e恒成边 又由于a>0>0:则职需ha≤h恒成立 设e网=h生e-nee2r,0 则g)c-e-2-tamr-2, etex x 由于tanh=e-e e十。=1之在(0，+o)单调递增，←2在(0，+∞)单调递增，所以g(0在(0，+0)单调递 e2+1 增， Fe+e-l<0,84)=e-3e 8'(2)=e2e2 2(ce>0, 所以存在唯一∈(2,4)，使得g'()=0, 当x∈(0，)时，g'(x)<0,g()单调递减， 当x∈(，+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 无，由于c-e”2 极小值g()=me+e eo+ex x 化简可得g()=ne-c 2.5 则nasg）,ase若-e6 20 设a=e-e 2x0 一，则a≤4时，f(x)20对所有实数x成立， 综上：a的范用是Q4小.英中4””，飞≥0是方程5-2的唯一正实数解 2 (3)略 答案第10页（共10页）