第1章一元二次方程分层作业-2026-2027学年苏科版 数学九年级上册

第1章一元二次方程分层作业-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024） 基础达标 一、单选题 1．下列关于的方程，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程，配方后所得方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的解是（     ） A． B． C． D． 4．关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．若方程是一元二次方程，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．某小区2024年绿化面积为，计划2026年绿化面积达到，设年均增长率为，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．已知一元二次方程的两根为，则的值为（     ） A．2 B． C．8 D． 8．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 9．请写出一个两实数根之积为6的一元二次方程__________． 10．若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为______． 11．三（六）班的同学毕业时每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张，则三（六）班的人数是______． 12．如图，在一块长为25米、宽为20米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为_____． 13．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，其中为实数． （1）若，则__________； （2）若，则的取值范围是__________． 14．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程，则没有实根；③若方程两根为，，则；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的有______． 三、解答题 15．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 16．某商场服装专柜在销售中发现，某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量．经过调查发现，每件童装降价4元，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装降价多少元？ 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 18．新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 19．某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 思维达标 20．阅读材料，解答问题 材料一：已知实数，，满足，，则可将，看作一元二次方程的两个不等实数根． 材料二：已知，求的值， 某同学解答思路如下： 由可得， 所以． (1)直接应用：已知实数，满足，，求的值； (2)间接运用： ①若，且，则（   ） A．    B．    C．    D． ②已知实数，满足，．且，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1章一元二次方程分层作业-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D B B C B 1．B 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A选项方程为，含两个未知数，不符合题意； B选项方程为，只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程，符合题意； C选项方程为，不是整式方程，不符合题意； D选项方程为，最高次数为1，不符合题意． 2．A 【详解】解：， 移项得， 两边加，得， 即. 3．C 【详解】解：， ， ∴ 或， ∴． 4．D 【分析】根据一元二次方程根的情况，列出不等式计算即可． 【详解】解：∵ 关于的方程有两个实数根， ∴ ，即， 解得． 5．B 【分析】根据一元二次方程的定义，需同时满足未知数最高次数为2、二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，且， 由得，即， 由得， ∴． 6．B 【详解】解：已知年均增长率为， ∵2024年绿化面积为， ∴2025年绿化面积为， ∴2026年绿化面积为， ∵2026年绿化面积需达到， ∴列方程得. 7．C 【分析】先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ． 8．B 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 9．（答案不唯一） 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，构造符合要求的方程即可． 【详解】解：对于一元二次方程，设两实数根为， 由根与系数的关系得， 由题意得，因此 ，且方程要有两个实数根，需满足， 令，，取，计算得 ，符合要求， 因此符合题意的方程可以为（答案不唯一）． 10． 【分析】本题可先将方程的解代入一元二次方程，求出含、的代数式的值，再通过整体代入法求出目标代数式的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程（）的一个解， ∴， ∴， ∴． 11．40 【分析】设三（六）班有人，根据全班共送了1560张，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设三（六）班有人，由题意，， 解得或（舍去）； 答：三（六）班有人. 12． 【分析】本题考查了一元二次方程与图形面积的计算，理解图示面积的计算是关键，根据题意，草坪的长为米，宽为米，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，草坪的长为米，宽为米， ∴， 故答案为： ． 13． 1 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式进行求解即可； （2）将原方程化为，进一步解得，，然后根据求解即可． 【详解】解：（1）， ， 解得； （2）关于的一元二次方程， 可化为，即， 解得或， ， ，故， ， 解得． 14．①③④ 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的判别式与根的个数的关系，熟练掌握一元二次方程的判别式与根的个数的关系是解题的关键．对于每个说法，利用一元二次方程根的定义、判别式的性质以及根与系数的关系依次进行判断：说法①：将代入方程得求解即可；说法②：由题意可求得判别式，即可判断；说法③：根据根与系数的关系，，，可求得；说法④：将变形得，可求出． 【详解】解：说法①：若是方程的根，则代入方程得，即，故正确； 说法②：若，则判别式中，，且，故，方程有两个不相等的实根，因此说法错误； 说法③：设方程两根为、，根据根与系数的关系，，，则，故正确； 说法④：若是方程的根，则，变形得，两边平方得，故正确； 故答案为：①③④． 15．(1) (2)， (3) (4) (5) 【详解】（1）解： 或 ∴； （2）解： 或 ∴，； （3）解： 或 ∴； （4）解： 或 ∴； （5）解： 或 ∴． 16．每件童装降价元 【分析】本题利用总盈利=每件盈利×平均每天销售量的数量关系列一元二次方程求解，根据题目扩大销售量的要求，选取符合题意的解即可． 【详解】解：设每件童装降价元．由题意可知，每降价元，平均每天可多售出件， 因此降价元后，每件盈利为元，平均每天销售量为件， 根据总盈利为元，列方程得： 整理方程得 因式分解得 解得， ∵要求扩大销售量，降价越多销售量越大， ∴ 答：每件童装降价元． 17．(1)证明： ∵ = ∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根． (2)整数k的所有可能的值为，，，，，. 【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论； （2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值. 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴或， ∴，或，， 当，时， ∵k与都为整数， ∴为整数，则或或或， 当，时， ， ∵k与都为整数， ∴为整数，则或． ∴整数k的所有可能的值为，，，，，. 18．(1) (2) 【分析】（1）先根据新定义将方程化成一般式，再根据根的判别式列不等式求解即可； （2）先将原方程化成再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程整理为：，即，     ∵此方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 的取值范围为． （2）解：当时，方程整理为：，即， ， ， ， ． 19．(1)，；； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． 20．(1)7 (2)①A；② 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，由此即可得到答案； （2）①将方程变为，从而得出是一元二次方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，即可得出答案； ②根据题意可得是一元二次方程的两个不相等的实数根，则，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵实数，满足，， ∴实数，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）①解：方程两边同除以得： ， ∵， ∴是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 即，故A正确； ②∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，，即， ∴是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $