椭圆中三角形（四边形）面积问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

椭圆中三角形（四边形）面积问题 1．已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点的坐标为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，且直线的斜率为，求的面积． 2．已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程． 3．已知椭圆C：的右焦点为，离心率为，O为坐标原点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点，过F作PF的垂线交椭圆于A，B两点．求面积的最大值． 4．已知椭圆的长半轴长为2，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，求的面积的最大值及此时直线的方程． 5．已知椭圆的中心在原点，离心率为，右焦点为. (1)求的标准方程； (2)若直线与交于，两点，，是上位于直线两侧的两点，直线的斜率为，且，关于原点对称，求四边形面积的最大值. 6．如图所示，椭圆，左右焦点分别记作、，过、分别作直线，交椭圆于、，且． (1)当直线的斜率时，求直线的斜率； (2)求四边形面积的最大值． 7．设椭圆的左、右焦点分别为，，左右顶点分别为，，已知椭圆过点，且长轴长为6． (1)求椭圆的标准方程； (2)点是椭圆上一点（不与顶点重合），直线交轴于点，且满足，若，求直线的方程． 8．已知椭圆：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，面积的最大值为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线和圆：相切，交椭圆于另一点，为坐标原点，线段，分别和圆交于，两点.若，的面积分别记为，，求的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义求得后即可求得椭圆的标准方程； （2）由题意求得直线方程，直线与椭圆联立方程根据弦长公式求得，再利用点到直线的距离公式及三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）由已知可得，化简可得， ， 则椭圆方程为； （2）设，， 由已知可得直线，即， 联立直线与椭圆，消去可得， 则，， 则， 又点到直线的距离， 所以； 2．(1) (2)． 【分析】（1）由题意推理可得，利用点在椭圆上，代入消元后可得，结合即可求得离心率； （2）设、，由直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出弦长和点 到直线的距离，由三角形面积列出方程，求出参数值即得椭圆方程. 【详解】（1）因椭圆上、下顶点的坐标分别为、， 依题意，整理得（*）， 因点在椭圆上，则，即， 代入（*），化简得： ，又，所以， 则椭圆的离心率； （2）    如图，设、，由（1）已得， 则由，消去并整理得， 此时，解得， 由韦达定理得，， 所以， 又原点到直线的距离， 所以的面积，解得， 故椭圆的方程为． 3．(1)； (2). 【分析】（1）由题可得，利用离心率可得，即求； （2）由题可得直线方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理法可得，进而可得，再利用基本不等式即得. 【详解】（1）由右焦点为，可得，又离心率为， ∴，， ∴椭圆C的标准方程为. （2）由题可知， ∴， 故直线AB为，即， 由，可得， 设，则 ， ∴， ∴面积为， 令， ∴，当且仅当，即时取等号， ∴面积的最大值为. 4．(1) (2)的面积的最大值为1，直线的方程为或 【分析】（1）先由长半轴、焦距直接得到和，再利用椭圆的性质算出，最后代入标准方程得到椭圆的方程； （2）先设过的直线方程，再和椭圆联立得到一元二次方程，利用弦长公式表示出，进而写出面积表达式，最后借助基本不等式求出面积最大值，回代求出对应直线方程． 【详解】（1）已知椭圆的长半轴长为2，即． 又已知焦距为，即， 所以． 根据椭圆的性质， 可得 所以， 故椭圆的方程为． （2）依题意，直线的斜率必然存在，设该直线的斜率为， 则直线的方程为， 设，， 联立方程：，整理得． 因为直线与椭圆交于两个点，所以，即，，， 到直线的距离， 根据弦长公式， 可得， 所以． 设，则，即， 所以，当且仅当时等号成立． 当时，，解得， 所以直线的方程为或， 因此的面积的最大值为1，此时直线的方程为或． 5．(1) (2)24 【分析】（1）根据题目中的右焦点，确定椭圆焦点在轴，可设椭圆的方程为，再根据已知题意求出，，，进而求出椭圆的标准方程； （2）求四边形面积的最大值，因为，所以只需求出和的面积，因为底都是， 高分别为，两点到直线的距离和，不妨设在直线的上方，求出的取值范围及与的关系，所以，根据的取值范围，最终得到面积的最大值. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 由题意得，，解得， 所以椭圆的方程为. （2） 因为，关于原点对称，且直线的斜率为，所以直线的方程为， 因为，是上两点，所以联立 ，解得或， 取，则，， 因为直线与交于，两点， 为了便于讨论，不妨设在直线的上方，所以， 即，且， 则在直线的下方，所以，即 又因为点到直线的距离，点到直线的距离， 所以四边形面积 ， 因为， 所以当时，四边形面积的最大值为. 6．(1) (2) 【分析】（1）设 ，分别将坐标代入椭圆中，得出两等式，相减得出 ，写出的表达式，化简得出结果，然后代入计算. （2）设直线 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，求出 ，算出的表达式，而 ，代入，用基本不等式求出最大值，再得出四边形面积的最大值. 【详解】（1）设，，根据对称性，有. 因为，都在椭圆上，所以，. 两式相减得，. 所以为定值. 所以时，. （2）当的倾斜角为时，与重合，舍去. 当的倾斜角不为0时，由对称性得四边形为平行四边形，. 设直线的方程为，代入. 得. 显然，，. 所以 设，所以，. 所以. 当且仅当即时等号成立，所以. 所以平行四边形面积的最大值为. 7．(1)； (2)或 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可求解； （2）设直线的方程为，联立方程组，分别求得和，根据，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：因为椭圆过点，且长轴长为， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：由（1）知：椭圆的方程为， 如图所示，设， 由题意知，直线的斜率不等于，可设直线的方程为， 令，可得，即， 联立方程组，整理得，解得， 又由，则，可得， 因为，可得，可得， 又由同号，可得，即，解得，即， 所以直线的方程为或. 8．(1)； (2). 【分析】（1）借助待定系数法利用离心率及三角形的面积的已知条件即可求得椭圆的标准方程； （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据圆与直线相切可得圆心到直线距离等于半径得，设，，联立消元得.结合韦达定理，.利用三角形面积计算比值的取值范围． 【详解】（1）根据题意，可知，. 又，，. 椭圆的标准方程为； （2）若直线的斜率不存在，则其方程为. 由对称性，不妨设，此时，， 可得； 若直线的斜率存在，则设其方程为. 由已知可得，则. 设，，联立 得. ，. ， . 把，代入， 整理得， 把代入，整理得. 设，则. 设，则. 综上所述，的取值范围是. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $