圆锥曲线：椭圆的离心率问题、椭圆的焦点三角形问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦椭圆离心率与焦点三角形两大核心考点，通过精选模拟例题及变式，系统覆盖定义应用、几何转化、参数范围等题型，强化知识逻辑与解题思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆的离心率问题|8题（4例+4变式）|涵盖直接计算、焦点弦斜率、与圆/抛物线综合求范围等|基于椭圆定义及a,b,c关系，通过几何条件转化（如斜率积、切线性质）构建方程，培养推理能力与几何直观| |椭圆的焦点三角形问题|8题（4例+4变式）|涉及周长、面积、角度、最值及多选型问题|以椭圆定义为核心，结合余弦定理、面积公式解决三角形性质问题，强化模型意识与数据分析能力|

圆锥曲线：椭圆的离心率问题、椭圆的焦点三角形问题专项训练 圆锥曲线：椭圆的离心率问题、椭圆的焦点三角形问题专项训练 考点目录 椭圆的离心率问题 椭圆的焦点三角形问题 考点一 椭圆的离心率问题 例1．（2026·辽宁锦州·二模）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 例2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，点在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的右焦点和右顶点分别为，，点在上．若直线与的斜率之积为，且，则的离心率等于________． 例4．（2026·河南周口·三模）已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______. 变式1．（2026·广东肇庆·模拟预测）设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为.若，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与交于两点（在上方），在上的射影点恰为的中点，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 变式3．（2026·山东济南·模拟预测）设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 变式4．（2026·福建福州·三模）已知椭圆：（）的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，是椭圆的左焦点，是与的公共点，若，则椭圆的离心率的取值范围为_______． 考点二 椭圆的焦点三角形问题 例1．（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 例2．（2026·山东济南·一模·多选）已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（     ） A．的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 例3．（2026·云南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 例4．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是__________. 变式1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 变式2．（24-25高三上·辽宁大连·期中·多选）已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（   ） A． B．的最大面积为 C．存在点P，使得 D．的周长最大值是 变式3．（2026·江西宜春·模拟预测·多选）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的面积为2 D．的内切圆半径为 变式4．（2026·重庆九龙坡·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上且在 轴上方. 若 的面积为 12，则直线的斜率为_____. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：椭圆的离心率问题、椭圆的焦点三角形问题专项训练 圆锥曲线：椭圆的离心率问题、椭圆的焦点三角形问题专项训练 考点目录 椭圆的离心率问题 椭圆的焦点三角形问题 考点一 椭圆的离心率问题 例1．（2026·辽宁锦州·二模）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 【答案】A 【分析】将椭圆化为标准方程，进而分类讨论椭圆焦点位置，再结合离心率求解． 【详解】原方程整理得 ， 且， 当焦点在轴上，则，，满足，即. 由离心率，得，解得，符合条件. 当焦点在轴上，则，，满足，即. 同理，解得，符合条件. 例2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，点在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点的坐标，代入椭圆方程，化简求值. 【详解】过点作于点，因为，所以为的中点， 由题可知，所以， 又，所以，， 所以，， 设，则， 所以， 因为点在椭圆上，所以， 用替换，化简得：， 即，因为， 所以. 例3．（2026·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的右焦点和右顶点分别为，，点在上．若直线与的斜率之积为，且，则的离心率等于________． 【答案】或 【分析】设右焦点为，且，再设点在椭圆上，求得，根据直线和的斜率之积为，化简得到，再由，以及椭圆的焦半径公式，化简得到，求得或，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则右顶点， 设右焦点为，则，离心率为， 设点在椭圆上，可得，则， 又由直线和的斜率分别为， 因为直线和的斜率之积为，可得， 将代入上式，可得， 整理得，即， 即，所以， 因为，由椭圆的焦半径公式，可得， 又因为，可得，即，解得或， 所以椭圆的离心率为或. 例4．（2026·河南周口·三模）已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______. 【答案】 【分析】若四边形为矩形，则四边形为正方形，可得，根据椭圆性质可得，运算求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由题意可知：，，且， 若存在点，使得四边形为矩形，此时， 且，则四边形为正方形，可得， 则，可得，且，即， 可得，可得， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 变式1．（2026·广东肇庆·模拟预测）设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为.若，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与椭圆方程求出点坐标，利用向量垂直数量积为0建立关系式，结合转化为离心率方程，即可求出离心率. 【详解】由题意得，则，直线的斜率为， 所以直线的方程为. 由得， 所以，故， 代入直线的方程得，故， 可得. 因为，所以， 得，即， 又，所以，等号两边同时除以得， 又因为，所以. 变式2．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与交于两点（在上方），在上的射影点恰为的中点，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质得到，结合已知角度判断三角形形状，然后利用椭圆对称性确定点的位置，进而得出与的关系从而求出离心率. 【详解】连接，由题意及垂直平分线的性质知，， 又，所以为等边三角形， 结合椭圆的对称性可知，为其上顶点，所以，所以． 变式3．（2026·山东济南·模拟预测）设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【分析】利用椭圆的定义表示，再结合直角三角形勾股定理建立与的关系，进而求得离心率. 【详解】设，则，， 根据椭圆定义，，， 又因为，所以在中， 即，解得，则，， 则在中，，即， 所以故离心率. 变式4．（2026·福建福州·三模）已知椭圆：（）的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，是椭圆的左焦点，是与的公共点，若，则椭圆的离心率的取值范围为_______． 【答案】 【分析】根据抛物线和椭圆的性质求出抛物线方程，利用大角对大边，结合椭圆的定义和抛物线焦半径公式构造不等式，联立椭圆与抛物线方程求出，进而解关于的不等式求出离心率的取值范围． 【详解】 椭圆右焦点与抛物线的焦点重合且的中心与的顶点重合， 则抛物线的方程为， 在中，的对边，的对边， 由可得， 由椭圆的定义可得，则，解得， 由抛物线焦半径公式：，则，则， 联立椭圆与抛物线方程可得：， 由求根公式得，由得，， 故，则，故， ， ． 考点二 椭圆的焦点三角形问题 例1．（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由椭圆定义可知，焦距， 则，离心率， 联立，解得， ， ， 椭圆上，，当时，的面积最大， 最大值为． 例2．（2026·山东济南·一模·多选）已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（     ） A．的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【分析】根据椭圆方程标准形式可判断A，根据椭圆定义可判断B，根据焦半径范围判断C，根据基本不等式可判断D即可. 【详解】由椭圆，可得， 所以，故离心率为，故A错误； 根据椭圆的定义可知的周长为，故B正确； 根据椭圆焦半径的取值范围可知，故C错误； 根据基本不等式可得， 取等号条件是，故D正确. 例3．（2026·云南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 【答案】AC 【详解】由题可知，∴，， ∴，的周长为，A选项正确； ∵，∴，∴，B选项错误； ，∴，C选项正确； ， ∴， ∴斜率，D选项错误.      例4．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是__________. 【答案】20 【分析】根据题意可知直线经过椭圆的右焦点，结合椭圆的定义即可求解. 【详解】椭圆,所以， 得，则椭圆的右焦点为， 所以直线经过椭圆的右焦点， 由椭圆的定义可知，的周长为 . 故答案为：20. 变式1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. 变式2．（24-25高三上·辽宁大连·期中·多选）已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（   ） A． B．的最大面积为 C．存在点P，使得 D．的周长最大值是 【答案】ABD 【分析】设，表示出和，利用椭圆方程化简即可判断AC；结合图形求解可判断B；利用椭圆定义将的周长转化为，结合图形求解可判断D. 【详解】对A，由题知，，则， 设，， 则，A正确； 对B，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为，B正确； 对C，， 则，C错误； 对D，由椭圆定义可知，，所以， 又， 所以， 当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确. 故选：ABD 变式3．（2026·江西宜春·模拟预测·多选）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的面积为2 D．的内切圆半径为 【答案】ACD 【分析】根据已知求出P点坐标，根据两点间距离公式分布求出，在中利用余弦定理可判定A，利用向量数量积公式可判定B，三角形面积公式可判定C，根据等面积法可判定D. 【详解】法1：由题意得，，则，． 由对称性可设（，），，，， 由，解得，又，， 所以，， 所以． 由椭圆的定义得， 在中，由余弦定理，得， 即， 解得，故A正确； ，故B错误； 的面积为，故C正确； 设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得，故D正确． 故选：ACD． 法2：设，，．易知，， 由极化恒等式，得，故B错误； 由中线长定理得，由椭圆定义得， 所以，所以， 所以，故A正确； 由，得，所以，故C正确； 设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得，故D正确． 故选：ACD． 变式4．（2026·重庆九龙坡·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上且在 轴上方. 若 的面积为 12，则直线的斜率为_____. 【答案】 【分析】通过三角形面积确定坐标，再由斜率公式即可求解 【详解】由椭圆方程 ，得 ，， 因此 ，即 ， 所以，右焦点 ， 设 ，在轴上方故 ， 的面积： ， 解得：， 将 代入椭圆方程： ， 即 故直线​的斜率： .​ 2 学科网（北京）股份有限公司 $