4.5 角的比较与补（余）角 课时作业 2026-2027学年沪科版数学 七年级上册

沪科版数学七年级上册　　4.5 角的比较与补（余）角 4.5 角的比较与补（余）角 沪科版 · 七年级上册 · 第4章 几何图形初步 · 课时作业 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 用时：______分钟 一、学习目标 1．会用度量法和叠合法比较两个角的大小，能进行角的和、差、倍、分的计算。 2．理解角的平分线的概念，能利用角平分线进行角度计算。 3．理解余角和补角的概念，掌握“同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等”的性质，并能用它进行简单的推理和计算。 4．在角的计算中进一步体会方程思想、分类讨论思想和由特殊到一般的思想。 二、知识梳理 知识点1　角的大小比较 比较两个角大小的方法有两种： （1）度量法：用量角器分别量出两个角的度数，度数大的角较大； （2）叠合法：把一个角移到另一个角上，使它们的顶点重合，一条边重合，另一条边落在重合边的同侧，看另一条边的位置。 用叠合法比较∠AOB 与∠CDE：使顶点 O 与 D 重合，边 OA 与 DC 重合，OB，DE 落在 OA 的同侧，若 OB 与 DE 重合，则∠AOB=∠CDE；若 OB 落在∠CDE 的内部，则∠AOB<∠CDE；若 OB 落在∠CDE 的外部，则∠AOB>∠CDE。 知识点2　角的和与差 如图，射线 OC 在∠AOB 的内部，则∠AOB=∠AOC+∠COB，∠AOC=∠AOB-∠COB，∠COB=∠AOB-∠AOC。 ∠AOB=∠AOC+∠COB 知识点3　角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 如图，若 OC 是∠AOB 的平分线，则∠1=∠2=∠AOB，∠AOB=2∠1=2∠2。 OC 平分∠AOB 类似地，从角的顶点引出的两条射线把这个角分成三个相等的角，这两条射线叫做这个角的三等分线。 【易错提醒】由“∠AOC=∠BOC”能得出 OC 平分∠AOB 吗？只有当射线 OC 在∠AOB 的内部时才能得出。 知识点4　余角和补角 如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角； 如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。 互余与互补 若∠α是锐角，则∠α的余角是 90°-∠α，∠α的补角是 180°-∠α，并且补角比余角大 90°。 【易错提醒】（1）互余、互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置无关；（2）必须是两个角，三个角的和为 90°或 180°不能叫互余或互补；（3）锐角有余角也有补角，直角只有补角，钝角没有余角只有补角。 知识点5　余角和补角的性质 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 几何语言：因为∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°（已知），所以∠2=∠3（同角的余角相等）。 因为∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3（已知），所以∠2=∠4（等角的补角相等）。 知识点6　角的计算常用方法 （1）方程思想：涉及余角、补角的倍数关系时，设这个角为 x°，用含 x 的式子表示余角 (90-x)°、补角 (180-x)°，列方程求解； （2）整体思想：两条角平分线所成的角，常整体表示为两个角的和（或差）的一半； （3）分类讨论：没有图形、射线位置不确定时，要考虑射线在角的内部和外部两种情况。 三、典例精析 例1　如图，OC 是∠AOB 的平分线，OD 是∠AOC 的平分线，∠AOB=80°，求∠COD 和∠BOD 的度数。 解　因为 OC 平分∠AOB，所以∠AOC=∠BOC=∠AOB=40°。 因为 OD 平分∠AOC，所以∠COD=∠AOC=20°。 所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+20°=60°。 例2　一个角的补角比它的余角的 3 倍少 20°，求这个角的度数。 分析　设这个角为 x°，则它的余角为 (90-x)°，补角为 (180-x)°。 解　设这个角为 x°，根据题意，得 180-x=3(90-x)-20， 解得 x=35。 答：这个角的度数为 35°。 例3　如图，∠AOB=∠COD=90°。 （1）∠AOC 与∠BOD 相等吗？为什么？ （2）∠AOD 与∠BOC 有什么数量关系？若∠AOD=140°，求∠BOC 的度数。 解　（1）相等。因为∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，所以∠AOC=∠BOD（同角的余角相等）。 （2）∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°，即∠AOD 与∠BOC 互补。 当∠AOD=140°时，∠BOC=180°-140°=40°。 例4　小明在 A 处观测到 B 处在北偏东 36°方向，他从 A 处走到 B 处后，观测到 C 处在南偏东 54°方向，求∠ABC 的度数。 分析　在 B 处看 A 处，方向是南偏西 36°，所以 BA 与正南方向成 36°，BC 与正南方向成 54°。 解　∠ABC=36°+54°=90°。 【易错提醒】本题中 36°与 54°互余。在方位角问题中，常要在每个观测点画出“十”字方向线，利用余角、补角进行转化。 易错辨析 辨析　“∠1+∠2+∠3=180°，所以∠1，∠2，∠3 互为补角。”这种说法对吗？ 剖析　不对。互补是两个角之间的关系，三个角的和等于 180°，不能说它们互为补角。同样，“∠1 与∠2 互余”也不要求这两个角有公共边或公共顶点。 四、课时作业 （一）基础巩固 一、选择题 1．已知∠α=35°，则∠α的余角是（　　） A．55° B．145° C．65° D．35° 2．如图，OC 平分∠AOB，下列结论中不正确的是（　　） A．∠AOC=∠BOC B．∠AOB=2∠AOC C．∠BOC=∠AOB D．∠AOC+∠BOC=2∠AOB 3．一个角的补角是 130°，则这个角的余角是（　　） A．40° B．50° C．60° D．140° 4．下列说法中，正确的是（　　） A．一个锐角的补角一定是钝角 B．互补的两个角中一定有一个是锐角，一个是钝角 C．一个角的补角一定大于这个角 D．若∠1+∠2+∠3=180°，则∠1，∠2，∠3 互补 5．如图，点 O 在直线 AB 上，∠COD=90°，∠AOC=35°，则∠BOD 的度数是（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 6．如图，点 O 在直线 AB 上，若∠AOC=∠BOD，则∠AOD 与∠BOC 的大小关系是（　　） A．∠AOD>∠BOC B．∠AOD=∠BOC C．∠AOD<∠BOC D．无法确定 7．如图，将∠AOB 与∠COD 的顶点重合、边 OA 与 OC 重合，边 OB 落在∠COD 的内部，则（　　） A．∠AOB>∠COD B．∠AOB=∠COD C．∠AOB<∠COD D．无法确定 8．已知∠1 与∠2 互余，∠2 与∠3 互补，∠1=63°，则∠3 的度数是（　　） A．27° B．63° C．117° D．153° 二、填空题 9．58°28′的余角是______，补角是______。 10．若∠A 与∠B 互补，且∠A 比∠B 大 40°，则∠A=______°，∠B=______°。 11．如图，∠AOB=120°，OC 平分∠AOB，∠BOD=2∠AOD，则∠COD=______°。 12．一个角的余角等于它的补角的 ，则这个角是______°。 13．如图，将两块三角板的直角顶点 O 重合，若∠AOD=130°，则∠BOC=______°，∠AOC=______°。 14．已知∠α=25°30′，则∠α的补角的一半是______。 三、解答题 15．如图，点 O 在直线 AB 上，OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC，∠BOC=70°。 （1）求∠DOE 的度数； （2）写出图中与∠COE 互余的角。 16．（1）一个角的补角与它的余角的度数之和是 200°，求这个角的度数； （2）两个角互补，且较大的角比较小的角的 3 倍多 20°，求这两个角的度数。 17．如图，点 O 在直线 AB 上，∠AOC=50°，OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC。 （1）求∠BOE 和∠DOE 的度数； （2）写出∠AOD 的补角。 18．如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC，求∠MON 的度数。 （二）能力提升 19．如图，∠AOB=120°，射线 OP 在∠AOB 的内部，OM 平分∠AOP，ON 平分∠BOP。 （1）若∠AOP=30°，求∠MON 的度数； （2）若∠AOP=α（0°<α<120°），∠MON 的度数会变化吗？请说明理由。 20．如图，将两块三角板的直角顶点 O 重合在一起（∠AOB=∠COD=90°）。 （1）∠AOC 与∠BOD 相等吗？请说明理由； （2）求∠AOD+∠BOC 的度数； （3）若∠AOD=4∠BOC，求∠BOC 的度数。 21．如图，把一张长方形纸条的两端沿 EF，EG 向下折叠，使点 A，B 落在同一点 A′（B′）处，EA′ 与 EB′ 重合。 （1）求∠FEG 的度数； （2）若∠1=50°，求∠3 的度数。 22．已知∠α与∠β互补，且∠α的 比∠β大 15°，求∠α，∠β的度数及∠β的余角。 （三）拓展探究 23．【由特殊到一般】已知∠AOB=α，射线 OC 与射线 OA，OB 在同一平面内（∠AOC，∠BOC，∠AOB 都小于平角），∠BOC=β，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC。 （1）当射线 OC 在∠AOB 的外部时（如第 18 题图），求∠MON（用含α的式子表示）； （2）当射线 OC 在∠AOB 的内部时（β<α），∠MON 是多少？ （3）你发现了什么结论？ 24．【探究余角与补角】设∠α为锐角。 （1）∠α的补角与余角的差是多少度？ （2）若∠α的补角是它的余角的 4 倍，求∠α； （3）是否存在一个锐角，它的补角恰好是它的余角的 2 倍？说明理由。 （四）综合训练 25．在灯塔 O 处观测到：轮船 A 在灯塔的北偏西 25°方向，轮船 B 在灯塔的东南方向。 （1）画出表示轮船 A，B 方向的射线 OA，OB，并求∠AOB 的度数； （2）若轮船 C 在∠AOB 的平分线上，求轮船 C 相对于灯塔 O 的方向。 26．已知∠α=48°36′，∠β的余角是∠α的补角的 ，求∠β的度数。 27．如图，点 O 在直线 AB 上，射线 OC，OD 把平角∠AOB 三等分。 （1）求∠AOC，∠AOD 的度数； （2）写出图中所有与∠AOC 互补的角； （3）若 OE 平分∠COD，求∠AOE 和∠BOE 的度数，并判断 OE 是否平分∠AOB。 【课堂小结】　余角、补角的性质是：______________________________________________________ 求两条角平分线所成的角时，可以用的思想方法是：__________________________________________ 五、答案及解析 （一）基础巩固 1．A 解析：90°-35°=55°。 2．D 解析：∠AOC+∠BOC=∠AOB，而不是 2∠AOB。 3．A 解析：这个角是 180°-130°=50°，它的余角是 90°-50°=40°。 4．A 解析：锐角α的补角 180°-α>90°，是钝角，A 正确；两个直角也互补，B 错；钝角的补角比它小，C 错；互补是两个角的关系，D 错。 5．C 解析：∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=180°-35°-90°=55°。 6．B 解析：∠AOD=180°-∠BOD，∠BOC=180°-∠AOC，而∠AOC=∠BOD，所以∠AOD=∠BOC（等角的补角相等）。 7．C 解析：边 OB 落在∠COD 的内部，说明∠AOB<∠COD。 8．D 解析：∠2=90°-63°=27°，∠3=180°-27°=153°。 9．31°32′；121°32′ 解析：90°-58°28′=89°60′-58°28′=31°32′；180°-58°28′=121°32′。 10．110；70 解析：设∠B=x°，则 x+(x+40)=180，x=70，∠A=110°。 11．20 解析：∠AOC=60°；设∠AOD=x°，则∠BOD=2x°，3x=120，x=40，所以∠COD=∠AOC-∠AOD=60°-40°=20°。 12．45 解析：设这个角为 x°，则 90-x=(180-x)，解得 x=45。 13．50；40 解析：∠AOD+∠BOC=180°，所以∠BOC=50°；∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-50°=40°。 14．77°15′ 解析：∠α的补角为 180°-25°30′=154°30′，它的一半为 77°15′。 15．解：（1）因为∠BOC=70°，所以∠AOC=180°-70°=110°。 因为 OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC，所以∠DOC=∠AOC=55°，∠COE=∠BOC=35°。 所以∠DOE=∠DOC+∠COE=55°+35°=90°。 （2）与∠COE 互余的角是∠DOC 和∠AOD。 【易错提醒】整体思想：∠DOE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=×180°=90°，与∠BOC 的大小无关。 16．解：（1）设这个角为 x°，则 (180-x)+(90-x)=200，解得 x=35。所以这个角为 35°。 （2）设较小的角为 y°，则较大的角为 (3y+20)°，y+3y+20=180，解得 y=40，3y+20=140。 所以这两个角分别为 40°和 140°。 17．解：（1）∠BOC=180°-∠AOC=130°，因为 OE 平分∠BOC，所以∠BOE=∠COE=65°。 因为 OD 平分∠AOC，所以∠COD=25°，∠DOE=∠COD+∠COE=25°+65°=90°。 （2）∠AOD 的补角是∠BOD。（∠AOD+∠BOD=180°） 18．解：∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°。 因为 OM 平分∠AOC，所以∠MOC=∠AOC=60°； 因为 ON 平分∠BOC，所以∠NOC=∠BOC=15°。 所以∠MON=∠MOC-∠NOC=60°-15°=45°。 （二）能力提升 19．解：（1）∠BOP=120°-30°=90°，∠MOP=×30°=15°，∠NOP=×90°=45°，∠MON=15°+45°=60°。 （2）不变。∠MON=∠MOP+∠NOP=∠AOP+∠BOP=∠AOB=60°。 20．解：（1）相等。因为∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，所以∠AOC=∠BOD（同角的余角相等）。 （2）∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°。 （3）设∠BOC=x°，则∠AOD=4x°，由（2）得 x+4x=180，x=36。所以∠BOC=36°。 21．解：（1）由折叠可知∠1=∠2，∠3=∠4。 因为∠1+∠2+∠3+∠4=180°，所以 2∠2+2∠3=180°，∠2+∠3=90°，即∠FEG=90°。 （2）∠2=∠1=50°，∠3=90°-∠2=40°。 22．解：设∠α=x°，则∠β=(180-x)°，由题意得 x-(180-x)=15， x=195，x=117。所以∠α=117°，∠β=63°，∠β的余角为 90°-63°=27°。 （三）拓展探究 23．解：（1）∠AOC=α+β，∠MOC=(α+β)，∠NOC=β， ∠MON=∠MOC-∠NOC=(α+β)-β=α。 （2）∠AOC=α-β，∠MOC=(α-β)，∠NOC=β，∠MON=∠MOC+∠NOC=(α-β)+β=α。 （3）无论射线 OC 在∠AOB 的内部还是外部，∠AOC 与∠BOC 的平分线所成的角都等于∠AOB 的一半。（与 4.3 节中“两条线段中点间的距离”的结论类似） 24．解：（1）(180°-∠α)-(90°-∠α)=90°。 （2）设∠α=x°，则 180-x=4(90-x)，解得 x=60，所以∠α=60°。 （3）不存在。若 180-x=2(90-x)，则 180-x=180-2x，解得 x=0，不是锐角，所以不存在。 25．解：（1）画图如下（OC 为∠AOB 的平分线）： OA 与正北方向成 25°（偏西），OB 与正南方向成 45°（偏东）。∠AOB=25°+90°+45°=160°。 （2）∠AOC=∠AOB=80°，OC 与正北方向的夹角为 80°-25°=55°（偏东），所以轮船 C 在灯塔 O 的北偏东 55°方向。 26．解：∠α的补角为 180°-48°36′=131°24′，它的 为 43°48′。 所以∠β=90°-43°48′=46°12′。 27．解：（1）∠AOC=∠COD=∠DOB=×180°=60°，∠AOD=∠AOC+∠COD=120°。 （2）与∠AOC 互补的角有∠AOD 和∠BOC（都是 120°）。 （3）∠COE=∠COD=30°，∠AOE=∠AOC+∠COE=60°+30°=90°，∠BOE=∠BOD+∠DOE=60°+30°=90°。 因为∠AOE=∠BOE，所以 OE 平分∠AOB。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $