5.1.1直角三角形的性质和判定-课件--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册5.1.1 直角三角形的性质和判定专项练习（全文1231字） ## 核心考点 掌握直角三角形定义；直角三角形两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；掌握直角三角形判定：有两个角互余的三角形是直角三角形；会利用性质进行角度计算、线段长度求解；能结合等腰三角形、全等三角形进行几何证明；分清性质与判定的逻辑关系。 答题要求：直角三角形两锐角之和为$90^\circ$；斜边上中线这条性质只针对直角三角形斜边中线；判定：三角形两角互余$\Rightarrow$直角三角形；看清图形\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)区分斜边与直角边。 ## 一、知识梳理 1. 定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。直角符号：$\text{Rt}\triangle$。 2. 性质1：直角三角形的两个锐角互余。 几何语言：$\because \text{Rt}\triangle ABC\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)\angle C=90^\circ$\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)$\therefore \angle A+\angle B=90^\circ$。 3. 性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言：$\because \text{Rt}\triangle ABC\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)\angle C=90^\circ$\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)$D$是$AB$中点\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\anBC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)$\therefore\triangle ABC$是直角三角形。 4.证明：延长$CD$到$E$\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)使$\(DE=CD\)$\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)连接$BE$。$\because AD=BD\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)\angle ADC=\angle BDE\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)\(CD=\)DE$\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)$\therefore\triangle ADC\cong\triangle BDE(\text{SAS})$。$\therefore AC=BE\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)\angle A=\angle DBE$\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)$\therefore AC\parallel BE$。$\therefore\angle ACB+\angle CBE=180^\circ$。$\because\angle ACB=90^\circ$\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)$\therefore\angle CBE=90^\circ$。$\therefore\angle ACB=\angle CBE$。又$AC=BE\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)BC=CB$\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)$\therefore\triangle ACB\cong\triangle EBC(\text{SAS})$\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)$\therefore AB=CE$。$\because CE=2CD$\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)$\therefore AB=2CD$\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)即$\(CD=\)\dfrac12AB$。$\because AD=BD=\dfrac12AB$\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)$\therefore \(CD=\)AD=BD$。 ## 六、易错点总结 直角三角形的性质和判定四类高频丢分点。第一\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)乱用斜边中线性质\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)普通三角形也套用“中线等于对边一半”\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)忽略前提必须是直角三角形、且是斜边中线。第二\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)混淆互余、互补概念\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)两个锐角相加是$90^\circ$叫互余。第三\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)分不清直角三角形的直角边和斜边\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)斜边是直角对的最长边。第四\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)综合证明题\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)看到斜边中点不会第一时间想到斜边中线\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)不能快速得到等腰三角形。本节是直角三角形板块基础\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)后续勾股定理会频繁结合此知识点出题。做题固定流程：看到直角三角形\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)标记两锐角互余；看到斜边中点\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)立刻想到斜边中线等于斜边一半；判定直角三角形\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)优先证明两角互余。 （全文：1231字） 下一节：**5.1.2 直角三角形全等的判定（HL）**\(\because \text{Rt}\triangle ABC\(\angle A=42^\circ\(\angle A=30^\circ\(\therefore AC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angle A=\angle DBE\)\angle B=60^\circ\)\angle B=48^\circ\)\angle C=90^\circ\)同样1231字专项练习吗？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 5.1.1直角三角形的性质和判定 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/26 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第5章 直角三角形 学习目标 1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点） 2.掌握直角三角形的判定及推论.（难点） 3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算. 02 新知导入 有一个角是直角的三角形是直角三角形。 回顾 什么是直角三角形吗？ 直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如，直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC“. 在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边. 3 03 新知探究 说一说 在Rt△ABC中，若∠C = 90°，则∠A + ∠B = ？ 解：如图，在Rt△ABC中， 因为∠C = 90°， 由三角形内角和定理可得：∠A + ∠B = 90°. 思考：我们把两个角相加等于90°称为什么？ 4 03 新知探究 直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余. 几何语言 ∵ ∠C=90°， ∴ ∠A+∠B= 90°. 03 新知探究 议一议 （1）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是什么？ （2） 该逆命题是真命题吗？ （1）“直角三角形的两个锐角互余”的逆题为“有两个角互余的三角形是直角三角形” 6 03 新知探究 解：该逆命题是真命题. 理由如下： 如图，在△ABC中， 因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=90°， 所以∠C=180°∠A+∠B=180° 90°= 90°. 因此，△ABC是直角三角形. 故有两个角互余的三角形是直角三角形. 7 03 新知探究 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 几何语言 ∵ ∠A+∠B= 90°， ∴△ABC是直角三角形. 03 新知探究 证明一个三角形是直角三角形除了用直角三角形的定义和上面的判定方法外，还有以下方法： （1）在一个三角形中，两个内角之和等于第三个内角； （2）在三角形中，两个内角的差等于第三个内角. 03 新知探究 画一画 任务一：用三角板画一个Rt△ABC，取线段AB的中点 D，连接 DC. 任务二：用直尺分别测量斜边AB的长度以及斜边AB的中线DC的长度. 任务三：以点 D 为圆心，DB 为半径画圆弧. 你有什么发现？ DC与AB之间有怎样的数量关系？ 10 03 新知探究 已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线. 求证：DC=DB=AB. 证明：如图，过点D作DE//BC，DF//AC，分别交AC，BC于点E，F， 于是∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB=90°， ∠FDC = ∠ECD，∠DFB = ∠ACB = 90°. 03 新知探究 在△ADE与△DBF中， 所以△ADE ≌ △DBF（角角边），从而DE = BF. ① 在△DFC与△CED中， 所以△DFC ≌ △CED（角角边），从而CF = DE. ② 03 新知探究 由①式和②式得，CF = BF. 因此，直线DF是线段BC的垂直平分线. 根据线段垂直平分线的性质定理得，DC = DB. 因此DC=DB=AB. 1. 如图，已知直 线，直线与直线， 分别交于点 ，，交直线于点 .若 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 14 返回 2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B－3∠A＝10°，则∠B＝________. 70° 举一反三 15 03 新知探究 直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言 ∵ CD是斜边AB上的中线， ∴ CD=AB. 03 新知探究 提示 (1)此性质的前提是在直角三角形中，对一般三角形不适用三一角角 (2)此性质可以用来说明线段的倍分关系. (3)直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个面积相等的等腰三角形. 03 新知探究 如图，已知CD是△ABC的边AB上的中线，且CD=AB. 求证：△ABC是直角三角形. 例1 证明:因为CD=AB=AD=BD， 所以∠1=∠A，∠2=∠B. 因为∠A+∠B+∠ACB=180°， ∠ACB=∠1+∠2， 所以∠A+∠B+∠1+∠2=180°， 从而2(∠A+∠B)=180°. 因此∠A+∠B=90°. 所以△ABC是直角三角形. 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.在△ABC中，∠A=90°∠B，则此三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2.已知在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=5cm，则斜边AB的长为（　　） A．5 　　B．6 　　C．8 　　D．10 B D 19 04 课堂练习 3.如图，AB//CD，过点D作DE⊥AC于点E．若∠D=50°，则∠A的度数为（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° B 20 新知应用 基础巩固题 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边上的中线CD=2.5，则斜边AB的长是 . 1.在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，则∠B的度数为(　　)    A．35°     B．55°     C．65°     D．145° 3.在△ABC中，已知∠A＝70°，∠B＝20°，那么这个三角形是(　　)    A．锐角三角形     B．直角三角形    C．钝角三角形     D．无法确定 5 B B 直角三角形的两个锐角互余 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 有两个角互余的三角形是直角三角形 新知应用 基础巩固题 4.如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，BE与DE的大小关系是(　　)    A．DE＞BE     B．DE＝BE    C．DE＜BE     D．不能确定 B 5.如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别 是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若 ∠A=50°，则∠BPC的度数是（ ）. A.100° B.120° C.130° D.150° C 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形的两个锐角互余 新知应用 基础巩固题 6、△ABC中，∠C：∠B：∠A＝1：1：2，则它的三个 内角分别是∠C＝　 ，∠B＝　 ，∠A＝　 ， 它是一个　　 　三角形。 450 450 900 等腰直角 7. 在△ABC中， ∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________. AE,BE ∠ACE 55° 3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC. (1)如图①，已知∠C＝50°，BE平分 ∠ABC，求∠BED的度数； 【解】因为在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝50°， 所以∠ABC＝90°－50°＝40°. 因为BE平分∠ABC，所以∠DBE＝20°， 因为AD⊥BC，所以∠ADB＝90°， 所以∠BED＝90°－20°＝70°. 举一反三 (2)如图②，DF⊥AC，DG⊥AB，请直接写出与∠C相等的角(不包括∠C)． 【解】与∠C相等的角有∠GDB，∠ADF，∠GAD. 返回 举一反三 返回 B 举一反三 26 5.如图，在中， , 平分,且 ,求证： 是直角三角形. 【证明】因为 ,所以 . 因为平分,所以 . 又因为,所以 , 所以 ,所以 是直角三角形. 返回 举一反三 27 6. 如图，一根长为 的 木棍斜靠在与地面垂直的墙 上， 设木棍中点为，若木棍 端沿墙下滑， 且 端沿地面向右滑行.在此滑动过程中， 点到点 的距离( ) B A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 返回 举一反三 28 7. 如图，在中， 于点， 于点 ，点是的中点，连接， ，设 ， ，则( ) D A. B. C. D. 举一反三 29 05 课堂小结 直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 谢谢观看 THANKS 4．已知△ABC的三个角分别是∠A，∠B，∠C，下列式子中： ①∠A＝∠B－∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3； ③90°－∠B＝∠C；④∠A＋∠B＝∠C； ⑤∠A＝2∠B＝3∠C， 不能判断△ABC是直角三角形的有(　　) A．1个　 B．2个 C．3个 D．4个 $