4.5.2等腰三角形的判定-课件--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册4.5.2 等腰三角形的判定专项练习（全文1231字） ## 核心考点 掌握等腰三角形判定定理：**有两个角相等的三角形是等腰三角形**\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)简称“等角对等边”；区分判定定理与性质定理：性质是等边→等角\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)判定是等角→等边；能结合平行线\(\angle B\(AC、AB\)\angle C\)三角形外角\(\angle B\(AC、AB\)\angle C\)全等三角形证明角相等\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)进而判定三角形为等腰三角形；会利用判定定理求边长\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)解决简单几何证明；注意“等角对等边”只能在同一个三角形内使用。 答题要求：同一个三角形中\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)两角相等\(\Rightarrow\)对边相等；性质和判定不要混淆；证明等腰三角形\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)核心思路是证明两个内角相等；不能直接由两个三角形内的等角推出等边。 ## 一\(\angle B\(AC、AB\)\angle C\)知识梳理 1. 等腰三角形判定定理：如果一个三角形有两个角相等\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)那么这两个角所对的边也相等\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)这个三角形就是等腰三角形。简称为**等角对等边**。 几何语言：在$\triangle ABC$中\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\because\angle B=\angle C$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\therefore \(AB=AC\)$。 2. 判定方法补充：定义法\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)有两条边相等的三角形是等腰三角形。 3. 性质与判定对比 性质（等边对等角）：已知两边相等$\Rightarrow$底角相等； 判定（等角对等边）：已知两角相等$\Rightarrow$对应边相等。 4. 常见推导等角的条件：平行线内错角相等\(\angle B\(AC、AB\)\angle C\)公共角\(\angle B\(AC、AB\)\angle C\)对顶角相等\(\angle B\(AC、AB\)\angle C\)三角形外角\(\angle B\(AC、AB\)\angle C\)全等三角形对应角相等。 5. 重要提醒：“等角对等边”的前提是**同一个三角形**；证明题中\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)不能跳过证角相等\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)直接肉眼判断边相等；判定等腰三角形后\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)可继续使用等腰三角形三线合一\(\angle B\(AC、AB\)\angle C\)等边对等角性质继续推理。 ## 二\(\angle B\(AC、AB\)\angle C\)选择题（每题5分\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)共30分） 1. 在$\triangle ABC$中\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\angle B=\angle C=50^\circ$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)则下列结论正确的是（） A.$\(AB=BC\)$ B.$\(AC=BC\)$ C.$\(AB=AC\)$ D.$\angle A=50^\circ$ 2. 下列说法属于等腰三角形判定定理的是（） A.等腰三角形两底角相等 B.等腰三角形顶角平分线垂直底边 C.有两个角相等的三角形是等腰三角形 D.等腰三角形是轴对称图形 3. 如图\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)已知$AD\parallel BC$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$BD$平分$\angle ABC$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)可判定$\triangle ABD$是等腰三角形\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)依据是（） A.等边对等角 B.等角对等边 C.三线合一 D.定义法 4. 在$\triangle ABC$中\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\angle A=40^\circ$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\angle B=70^\circ$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)则$\triangle ABC$是（） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.不等边三角形 5. 下列条件\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)不能判定$\triangle ABC$为等腰三角形的是（） A.$\angle A:\angle B:\angle C=1:1:2$ B.$AB=3\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)BC=3$ C.$\angle A=50^\circ\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)\angle B=60^\circ$ D.$\angle A=\angle B$ 6. 关于“等角对等边”说法正确的是（） A.只要两个角相等\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)对应边就相等\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)不限同一个三角形 B.同一个三角形中两角相等\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)两角对边相等 C.两个三角形中对应角相等\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)则对应边相等 D.等角对等边是等腰三角形的性质 ## 三\(\angle B\(AC、AB\)\angle C\)填空题（每题6分\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)共30分） 1. 有两个角相等的三角形是等腰三角形\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)简称________。 2. 在同一个三角形中\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)等角对等边；对应的性质定理是________。 3. 在$\triangle ABC$中\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\angle A=70^\circ$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\angle C=70^\circ$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)则相等的边是________。 4. 判定等腰三角形的两种方法：定义法（两边相等）和________。 5. 若$AB\parallel CD$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$AC$平分$\angle BAD$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)则$\triangle ACD$是________三角形。 ## 四\(\angle B\(AC、AB\)\angle C\)解答题（每题10分\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)共40分） 1. 基础证明：已知在$\triangle ABC$中\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\angle B=\angle C$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)求证：$\(AB=AC\)$。 2. 计算题：在$\triangle ABC$中\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\angle A=36^\circ$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\angle B=72^\circ$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)判断$\triangle ABC$是否为等腰三角形\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)并说明理由。 3. 几何证明：已知$AD\parallel BC$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$BD$平分$\angle ABC$。求证：$\(AB=AD\)$。 4. 综合证明：如图\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)点$D$在$BC$上\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\angle ADC=\angle ADB$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\angle B=\angle C$。求证：$\(AB=AC\)$。 ## 五\(\angle B\(AC、AB\)\angle C\)参考答案与解析 选择题： 1.C；$\angle B\(\angle B\(AC、AB\)\angle C\)\angle C$对边分别是$AC\(\angle B\(AC、AB\)\angle C\)AB$；2.C；A是性质；3.B；先证两角相等\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)再等角对等边；4.B；$\angle C=70^\circ$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\angle B=\angle C$；5.C；三个角互不相等；6.B；必须同一个三角形。 填空题： 1.等角对等边；2.等边对等角；3.$\(AB=BC\)$；4.等角对等边；5.等腰。 解答题： 1.证明：过点$A$作$AD\perp BC$于$D$。在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中$\begin{cases}\angle B=\angle C\\\angle ADB=\angle ADC=90^\circ\\AD=AD\end{cases}$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\therefore\triangle ABD\cong\triangle ACD(\text{AAS})$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\therefore \(AB=AC\)$。 2.解：是等腰三角形。理由：$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=72^\circ$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\therefore\angle B=\angle C$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)根据等角对等边\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\(AB=AC\)$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)所以$\triangle ABC$是等腰三角形。 3.证明：$\because AD\parallel BC$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\therefore\angle ADB=\angle DBC$。$\because BD$平分$\angle ABC$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\therefore\angle ABD=\angle DBC$。$\therefore\angle ABD=\angle ADB$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\therefore \(AB=AD\)$（等角对等边）。 4.证明：在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中$\begin{cases}\angle B=\angle C\\\angle ADB=\angle ADC\\AD=AD\end{cases}$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\therefore\triangle ABD\cong\triangle ACD(\text{AAS})$\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)$\therefore \(AB=AC\)$。 ## 六\(\angle B\(AC、AB\)\angle C\)易错点总结 等腰三角形判定四类高频丢分点。第一\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)混淆性质与判定：看到边相等写等角对等边\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)看到角相等写等边对等角\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)定理用反。第二\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)忽略“同一个三角形”前提\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)跨两个三角形用等角对等边\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)直接判定边相等\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)这是典型错误。第三\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)不会结合平行线\(\angle B\(AC、AB\)\angle C\)角平分线转化等角\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)看不到“角平分线+平行线”模型\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)无法推出等腰三角形。第四\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)证明完成后\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)不会继续使用等腰三角形三线合一\(\angle B\(AC、AB\)\angle C\)等边对等角做后续推导。本节常和角平分线\(\angle B\(AC、AB\)\angle C\)平行线组合出模型题\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)是考试高频考点。做题固定流程：要证边相等\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)优先看是否在同一个三角形；寻找两个角相等；确认是同一个三角形后\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)使用等角对等边；区分性质与判定\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)写清依据。 （全文：1231字） 下一节：**4.5.3 等边三角形**\(AB=3\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)BC=3\)同样1231字专项练习吗？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 4.5.2等腰三角形的判定 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/26 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第4章 三角形 学习目标 1.掌握等腰三角形的判定方法；（重点） 2.会运用等腰三角形的判定定理进行相关证明和计算. 02 新知导入 回顾1：等腰三角形具有什么性质？ 等腰三角形的性质定理： 1.等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”). 2.底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”). 3.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线. 3 02 新知导入 回顾2：怎么判断一个三角形是等腰三角形？ 一般三角形 等腰三角形 两条边相等 根据等腰三角形的定义，如果一个三角形的两条边相等，那么就可判定这个三角形是等腰三角形. 4 03 新知探究 探究 任意画∠EBC,在线段BC的同侧，以C为顶点作∠FCB，使∠FCB=∠EBC，BE与CF交于点A，得到△ABC，如图所示.用圆规量一量AB和AC，它们相等吗？由此，你能发现什么? 猜想：有两个角相等的三角形是等腰三角形 可以发现AB=AC，从而△ABC是等腰三角形. 03 新知探究 思考1：要证明△ABC是等腰三角形需证明什么？（从定义出发） 已知：∠B=∠C. 求证：△ABC是等腰三角形. AB=AC 思考2：怎么证明AB=AC？ 利用全等三角形的性质 03 新知探究 思考3：图中没有全等三角形时还能利用全等三角形的性质吗？ 已知：∠B=∠C. 求证：△ABC是等腰三角形. 构造全等三角形 思考4：怎么构造全等三角形？ 作辅助线 03 新知探究 已知：∠B=∠C. 求证：△ABC是等腰三角形. 证明：过点A作AD⊥BC， 则∠ADB=∠ADC=90°. 在△ABD 和△ACD 中， ∴△ABD≌△ACD (角角边). 从而 AB = AC，因此△ABC 是等腰三角形. 03 新知探究 等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “ 等角对等边”）. 几何语言 ∵∠B=∠C. ∴△ABC是等腰三角形(等角对等边). 03 新知探究 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB，AC上的点， 例2 证明：因为AB=AC， 所以∠B=∠C（等边对等角）. 又因为DE//BC， 所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C. 因此∠ADE=∠AED. 于是△ADE为等腰三角形（等角对等边）. 且DE//BC. 求证：△ADE为等腰三角形. 1. 下列条件中，可以判定 是等腰三 角形的是( ) D A. B. C. 三角形的一个角为 D. ， 返回 举一反三 11 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分 ∠ABC交AC于D，CE平分∠ACB交BD于E，图中 等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C 举一反三 12 返回 所以∠ABD＝∠EBC＝∠ACE＝∠ECB＝36°，所以△EBC是等腰三角形．因为∠ABD＝∠A＝36°，所以△ABD是等腰三角形．因为∠CED＝∠ECB＋∠EBC＝72°，且∠CDE＝∠ABD＋∠A＝72°，所以∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝72°，所以△EDC和△BCD是等腰三角形．综上所述，共有5个等腰三角形．故选C. 举一反三 03 新知探究 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边， 例3 分析：要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C.因为∠1=∠2，所以应想办法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系. 那么这个三角形是等腰三角形. 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC. 求证：AB=AC. 03 新知探究 证明：因为AD//BC， 所以∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠2=∠C(两直线平行，内错角相等). 又因为∠1=∠2， 所以∠B=∠C. 因此AB=AC(等角对等边). 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．∠A=20°,∠B=100° B．a:b:c =1:1:2 C．∠A:∠B:∠C=1:1:2 D．∠A=∠B+∠C C 16 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2.如图，∠A=36°，∠ADB=108°，则图中共有等腰三角形（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A 17 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3.如图，△ABC中，点D在边AB上，若∠ACD=∠B+∠BCD，则下列结论正确的是（　　） A．AC=BC B．AD=CD C．AC=CD D．AD=AC D 18 新知应用 基础巩固题 1. 下列三角形中，等腰三角形的个数是( @1@ ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 B 新知应用 基础巩固题 2．下列描述的图形不一定是轴对称图形的是（  ） A．90°的角 B．含有80°，80°两角的三角形 C．含有150°，15°两角的三角形 D．含有60°角的三角形． D 3．如图，在△ABC中，ED//BC，∠ABC和∠ACB的角平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（　　）  A．3 B．4 C．5 D．6 角平分线+ 平行线 等腰三角形 B 新知应用 基础巩固题 4．如图，关于△ABC，给出下列四组条件： ①△ABC中，AB＝AC； ②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°； ③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC； ④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC． 其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 D 新知应用 基础巩固题 5 如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°.分别计算∠1，∠2的度数，并找出图中所有的等腰三角形. 解：在△ABC中， ∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠B=72°， 又∵∠DBC=36°，∴∠2=36°， ∴∠1=∠2+∠A=72°. △ABC，△ABD，△BDC是等腰三角形 3. 母题教材P136习题 如图，一艘海轮位 于灯塔的南偏东 方向的 处，它以每 小时40海里的速度向正北方向航行，2小时 后到达位于灯塔的北偏东 方向的 处， 则处与灯塔 的距离为________海里． 80 返回 举一反三 23 返回 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点E，F分别在BA，BC的延长线上，∠ABC，∠ACF与∠EAC的平分线相交于点D.以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③△ABD和△ACD都是等腰三角形．其中正确的结论有________个． 3 举一反三 24 5.如图，在中，，点在 的 延长线上，于点，交于点 ， 若，，则 的长度为____. 10 举一反三 25 05 课堂小结 等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “ 等角对等边”）. 几何语言 ∵∠B=∠C. ∴△ABC是等腰三角形(等角对等边). 谢谢观看 THANKS 【点拨】因为AB＝AC，∠A＝36°，所以△ABC是等腰三角形，且∠ABC＝∠ACB＝＝72°.又因为BD平分∠ABC，CE平分∠ACB， $