26.4 实际问题与二次函数 小节整合练2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.4 实际问题与二次函数 小节整合练2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．若饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 2．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了 ． 其中，正确结论的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 3．金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 4．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 6．某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 7．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是．有下列结论： ①飞机着陆后滑行时间t的取值范围是； ②飞机着陆后滑行40m才能完全停下来； ③飞机着陆后到完全停下这段时间的最后10s滑行了450m． 其中，正确结论的个数有（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为 （   ） A． B． C． D． 9．如图（单位：cm），等腰直角以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合，当运动时间为xs时，与正方形重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（　　）    A．   B．   C．   D．   10．一种玻璃水杯的截面如图①所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图②若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．用长为的铝合金制成如图所示形状的矩形窗框，当_______m时窗户的透光面积最大（铝合金条遮光部分忽略不计）． 12．从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是______． 13．某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是_____．（不写定义域） 14．某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明标准房价格在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到________元时，客房的日营业收入最大． 15．如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 三、解答题 16．如图，在四边形中，，于点，，，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发，沿折线 方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当函数时的值．（结果保留一位小数，误差不超过） 17．如图是一座抛物线形石拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面． (1)如图平面直角坐标系中，求该抛物线的解析式； (2)在（1）条件下，点在图象上，求的值． 18．校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是，求该同学此次投掷实心球的成绩？ 19．如图，某公司要在办公楼前的广场修建一个圆形的喷水池，在池中心竖直安装一根水管，并且在距离池中心地面高的水管处安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为4m时达到最高，高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，其中 是水柱距喷水头的水平距离， 是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的解析式； (2)求水柱落地处与池中心的水平距离．（结果保留两位小数，参考数据：）． 20．某商家销售一种糕点，每盒进价为元．在销售过程中发现，周销量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价（元） … … 周销量（盒） … … (1)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ (2)若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B C D A C C D 1．【答案】D 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据题意表示出垂直于墙饲养室的宽的长度，通过长和宽的实际意义列不等式组求出的范围，再求出矩形面积即可． 本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出饲养室的宽的长度是解题关键． 【详解】解：饲养室长为，则宽为， 由题意， 解得， 则占地面积． 故选：D． 2．【答案】C 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上， 将代入中，得， 解得， 故抛物线的解析式为， 故①错误； 当水面宽度为时，即，把代入得： ． 原来水面宽时，则水面下降的高度为， 所以②正确． 当水面下降时，即，把代入得： ，则，解得，此时水面宽度为， 原来水面宽，水面宽度增加了， 所以③正确． 综上，正确结论②③，共2个， 故选：C． 3．【答案】B 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题需根据每斤盈利的变化量、销量的变化量，结合“总盈利=每斤盈利×销量”的基本关系推导函数关系式． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每斤降1元多售5斤，降x元， ∴每天销量为斤， ∵总盈利=每斤盈利×每天销量， ∴， 故选：B． 4．【答案】B 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义．此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米， 故选：． 5．【答案】C 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 6．【答案】D 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查了二次函数的应用，设每个月增长的百分率都是，根据题意列出函数表达式即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：设每个月增长的百分率都是，依题意得：， 故选：． 7．【答案】A 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质；由题意可得，然后依此判断①②③即可． 【详解】解：∵，，开口向下， ∴当时，飞机着陆后滑行的最大距离为， ∴飞机着陆后滑行时间t的取值范围是，故①错误； 飞机着陆后滑行才能完全停下来，故②错误； 飞机前10秒滑行的距离为， ∴飞机着陆后到完全停下这段时间的最后10秒滑行了；故③错误； 综上所述：正确结论的个数有0个； 故选A． 8．【答案】C 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据正方体有6个正方形面列式即可得解． 【详解】解：∵正方体有6个表面， ∴y=6x2， ∴y与x关系式为y=6x2， 故选：C 【点睛】本题是对函数关系式的考查，明确正方体有6个正方形面是解题的关键． 9．【答案】C 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】分别求出时与时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可 【详解】解：如图，当时，    重叠部分为三角形，面积， 如图，当时，    重叠部分为梯形，面积， ∴图象为两段二次函数图象，第一段开口向上，第二段开口向下，函数的最大值为50， 纵观各选项，只有C选项符合． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，判断出重叠部分的形状并求出相应的函数关系式是解题的关键． 10．【答案】D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，求一次函数解析式，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．先以的中点为原点建立平面直角坐标系，然后求解轮廓线、所在抛物线的解析式，再求解直线的解析式，最后求解抛物线与直线的交点的坐标即可． 【详解】解：建立如图所示坐标系，作轴于点E， 各点坐标为：，，，， 设， 把点C坐标代入解析式得：， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， 即， 解得（舍去），， ∴， ∴． 故选：D． 11．【答案】2 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】设AB=xm，则 ，根据矩形的面积公式，可得到关于x的函数关系式，然后根据二次函数的性质判断面积的最大值，即可求解． 【详解】解：设AB=xm，则 ， 则窗框的透光面积为 ， ∴当x=2时，窗框的透光面积最大， 即AB=2m时，窗框的透光面积最大． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，列出函数关系式是解题的关键． 12．【答案】45 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用知识点，解题的关键是将二次函数解析式化为顶点式来求最值． 已知小球高度与运动时间的关系式为二次函数，通过将其化为顶点式，根据二次函数性质求出最大值． 【详解】对于二次函数，先对其进行配方： 因为二次项系数，所以该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值， 当时，取得最大值45，又因为3在这个取值范围内， 所以小球运动中的最大高度是45m． 故答案为：45． 13．【答案】 【知识点】函数解析式、增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了平均增长率的问题．根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 14．【答案】150 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，通过建立日营业收入与房价提高量之间的二次函数关系，利用二次函数的性质求最大值，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：设房价提高个10元，则房价为元，日均入住数为间．设日营业收入为， 由题意可得：． 由于二次项系数，函数图象开口向下， 所以在对称轴处取得最大值． 此时房价为元，且150在元范围内． 故答案为：150． 15．【答案】6 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 【详解】解： ，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 16．【答案】(1) (2)图见解析；性质：函数值的最大值为8（答案不唯一）； (3)或． 【知识点】一次函数与几何综合、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，画函数图象，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）分两种情况求解，①当，点在上，点在上，②当，点在上，由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （2）根据函数解析式列表描点连线画图，再写出一条性质即可； （3）根据（2）中的函数图象直接作答即可 【详解】（1）解：，， ， ①当，点在上，点在上， 此时，， ； ②当，点在上，点在上， 此时， ， 综上可知，关于的函数关系式为； （2）解：列表如下： 0 1 2 4 0 3 4 0 4 5 6 0 4 8 描点连线如下： 性质：函数值的最大值为8； （3）解：由函数图象可知，当函数时或． 17．【答案】(1) (2) 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查求二次函数的应用； （1）由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把代入求出的值即可； （2）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设该抛物线的解析式是，由图象知，在抛物线上， ∴， 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：∵点在图象上， ∴， 解得：． 18．【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题． 根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可． 【详解】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离， ∴令，则， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴该同学此次投掷实心球的成绩为． 19．【答案】(1) (2)水柱落地处与池中心的水平距离为米 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际运用，解题的关键是掌握二次函数顶点式，函数的性质． （1）设抛物线的解析式为：，把顶点代入，再把，代入，即可； （2）根据（1）中得函数解析式，当时，求出的值，即可． 【详解】（1）设抛物线的解析式为：， ∵顶点坐标为：， ∴， ∵点， ∴， 解得：， ∴函数的解析式为：． （2）由（1）得，函数解析式为：， ∴当时，， 解得：，（舍）， ∴， 答：水柱落地处与池中心的水平距离为：米． 20．【答案】(1)当销售单价定为元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为元 (2)元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用． (1)设关于的函数表达式为，用待定系数法求出一次函数的解析式；设销售利润为元，根据利润销量单件利润，可得关于的函数关系式，根据二次函数的性质可以求出最大利润； (2)根据，求出每周利润的取值范围，即可得到每周至少可获得的利润． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 当时，， 当时，， 可得：， 解得： 关于的函数表达式为； 设销售利润为元， 由题意可得：， 整理得：， ， 有最大值， 当时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元； （2）解：由(1)可知每周出售这种糕点所获利润， 又， 当时，所获利润最小为元； 当时，所获利润最大为元， 销售单价需满足，则每周至少可获得元的利润． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $