26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，系统梳理一般式化为顶点式的方法，明确顶点坐标、对称轴、开口方向、最值、增减性及与坐标轴交点等核心知识点，构建从知识梳理到典例精析再到分层训练的完整学习支架。 该资料以课标为导向，通过配方转化、图象分析等典例培养数学眼光（几何直观）和数学思维（推理意识、运算能力），分层训练覆盖不同难度，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固提升，有效查漏补缺。

初中数学（RJ）九年级上册 26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】会把配方化为顶点式，准确写出顶点坐标,。掌握开口方向、对称轴、顶点、最值与增减性；能由图象读出对称轴、顶点、最值、开口方向、与坐标轴交点。 二、知识梳理 知识点 1 　二次函数的图象与性质 1.一般式化为顶点式：；对称轴，顶点（，）。 2.开口方向：开口向上有最小值；开口向下有最大值。 3.最值公式：；当时为最小值，时为最大值。 4.与轴交点：判别式Δ=；Δ>0两交点、Δ=0顶点在轴、Δ<0不相交。与轴交点：(0,)。 三、典例精析 题型 1 　把一般式化成顶点式 ★ 点拨　紧扣一般式中顶点式中 的关系 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【详解】解：. ∴ 该二次函数的对称轴是直线. 2．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：把化为顶点式：， ∵， ∴图象开口向上，A错误； 该函数的对称轴为直线，B错误； ∵开口向上，顶点坐标为， ∴函数的最小值为，C错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 题型 2 　二次函数一般式的最值问题　 ★ 点拨　代入公式，在顶点处取最值 1．（25-26九年级上·江苏南通·期末）将二次函数化为的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了把化成顶点式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，进而选出正确选项． 【详解】解：， 故选：B． 2．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）抛物线的最大值是_____． 【答案】 【分析】根据二次项系数，得到抛物线开口向下，并有最大值，根据抛物线顶点坐标公式得到顶点坐标的纵坐标值即为所求． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 最大值为． 题型 3 　二次函数一般式的系数关系　 ★ 点拨　结合开口方向，对称轴等，通过系数进行判断 1．（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵图像开口向上 ∴ （A 正确）； ∵对称轴在右侧， ∴， ∴ （B 错）； ∵与 轴交于正半轴 ∴ （C 错）； ∵ 时， ， ∴（D 错）． 2．（25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 题型 4 　二次函数与一次函数结合 ★ 点拨　根据二次函数的系数和一次函数系数的正负，结合与坐标轴交点进行判断 1．（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a的符号确定抛物线开口方向及直线增减性，根据b的符号确定直线与y轴交点位置，结合进行判断． 【详解】解：A、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、四象限知且，则，与已知矛盾； B、由抛物线开口向上知，由直线过第一、三、四象限知且，则，与已知矛盾； C、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、三象限知，a的符号矛盾； D、由抛物线开口向下知 ，由直线过第二、三、四象限知且 ，则，符合题意． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分类讨论，当时，当时，结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【详解】解：当时，则， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 二次函数的图像开口向上； 当时，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 二次函数图象开口向下； 综上所述，D选项符合题意． 题型 5 　待定系数法求二次函数解析式 ★ 点拨　根据给出点，设合适的解析式，代入求值 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）当时，抛物线有最小值为，且抛物线与轴交于点．求这条抛物线的解析式． 【答案】 【分析】由已知条件可设出顶点式，再把已知点的坐标代入，求出待定系数，进而求得解析式． 【详解】解：抛物线在时最小值为， 设抛物线的顶点式为 抛物线过点， 解得， ∴这条抛物线的解析式为，即． 2．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1)；(2)点不在此抛物线上 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出当时的值，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴此抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在此抛物线上． 题型 6 　二次函数图象综合 ★ 点拨　由顶点看最值，面积问题结合平面直角坐标系利用三角形面积公式 1．（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． (1)用配方法将其化为 的形式； (2)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)当 时，求函数的最大值和最小值． 【答案】(1)；(2)开口向上，对称轴， 顶点坐标；(3)最大值，最小值 【详解】（1）； （2），所以开口向上，对称轴， 顶点坐标， （3）开口向上，对称轴，， 当时，最小值为； 当时，最大值为8； 综上，当 时，函数最大值 ，最小值． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）将A和B两点坐标代入抛物线的解析式，求得b，c，从而得出结果； （2）运用配方法求出顶点的坐标，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点， ∴，解得：， 所以，抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点P的坐标为， ∵， ∴， ∴． 4、 分层训练 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】观察抛物线开口方向、对称轴位置及与轴交点位置. 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 综上，，. 2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）如果二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过（    ）    A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限， ∴， ∴ 则一次函数图像经过第一、二、三象限 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东滨州·阶段检测）若二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是_____． ①图象与轴的交点为，；②；③；④；⑤当时，随的增大而减小 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一判断即可，熟练掌握知识点及运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴另一个交点为，故①不符合题意， ∵， ∴， ∴，故②符合题意； ∵抛物线开口方向向下， ∴， ∴，故③符合题意； 当时，根据图象可知，，故④符合题意； 当时，根据图象可知，随的增大而减小，故⑤不符合题意； 故答案为：②③④． 4．（25-26八年级下·北京·期末）点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】< 【分析】先求出二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可得到与的大小关系． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， ，， 点到对称轴的距离更大， ． 5．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知函数，当时，有最大值5，最小值1，则m的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法．先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，y有最小值1，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴当时，y有最小值为1， 把代入表达式，得，解得：， ∵当时，有最大值5，最小值1， ∴， 故答案为：． 6．（2022·河南郑州·模拟预测）已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为． (1)求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 【答案】(1)，；(2)顶点坐标为，当时，函数最大值为，最小值为 【分析】（1）利用待定系数法求出，，的值，即可得到二次函数的解析式； （2）把二次函数的解析式整理成顶点坐标式即可得到抛物线的顶点坐标，根据解析式画出抛物线，由函数图象可知当时，函数的最大值即为抛物线顶点的纵坐标，当时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：将，，代入， 可得：，解得：， ； （2）解：， 抛物线顶点坐标为，抛物线开口向下， 当时，函数最大值为， 当时，有最小值，最小值为， ． 7．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数（a，c是常数，）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)当时，随的增大而减小，求的范围； (3)已知点，都在二次函数的图象上，若，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线；(2)的取值范围是；(3)的取值范围是或 【分析】（1）根据对称轴公式即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解； （3）根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线； （2）解：∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，即时递减， 题目要求时，y随x增大而减小， ∴的取值范围是； （3）解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点为， ∴关于对称轴的对称点为， 点，都在二次函数的图象上，且， 当在左侧时， ∵在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∴； 当在右侧时， ∵关于对称轴的对称点为，在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴； 综上可知，或． 8．（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求的面积； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）把点代入，求出的值，得出抛物线解析式，配方即可求出抛物线顶点坐标； （2）根据（1）中所求解析式，求出、坐标，即可求出的面积； （3）连接，交对称轴于，连接，根据二次函数的对称性得出，可得当、、三点在同一条直线上时，取最小值，利用待定系数法求出直线的解析式，根据顶点坐标可得对称轴为直线，把代入的解析式即可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于， ∴，解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：如图，连接，， 由（1）可知，抛物线的解析式为， ∴当时，，当时，， 解得，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：如图，连接，交对称轴于，连接， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， ∴当、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得, ∴直线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴点坐标为． 9．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 【答案】(1)，；(2)经过第二、三、四象限 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确根据二次函数图象判断出a、b的符号是解题的关键． （1）由抛物线开口向下可知，抛物线的对称轴在y轴右侧，即，得． （2）根据（1）中结论，，得直线中，，，它即可得答案． 【详解】（1）解：抛物线的开口方向向下， ． ， ． （2）经过第二、三、四象限， 理由：， ， 由图可知， ， ， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限． 10．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在点P，横坐标为,， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立：整理得： 抛物线与直线有交点时，，解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程，解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立，整理得：，解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 11．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求抛物线的最大值和最小值． 【答案】(1)抛物线的解析式为；(2)当时，抛物线的最大值为，最小值为 【分析】（1）抛物线的平移法则：左加右减，上加下减； （2）由二次函数的性质可得在上，随着的增大而减小，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴在上，随着的增大而减小， 当时，取得最大值，为， 当时，取得最小值，为； 故当时，抛物线的最大值为，最小值为． 12．（21-22九年级下·云南曲靖·期中）如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，，过点P作轴交于H，先求得直线的表达式为，设，则，，可得，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式是； （2）解：如图，连接，，过点P作轴交于H， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解 得， ∴直线的表达式为， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大，此时， ∴当面积最大时，点的坐标为． 13．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）分别求出，，设：，将，代入求解即可； （2）设，，求出的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：令，，解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入，解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 14．（2026·江苏徐州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点．过点作轴于点． (1)当时，求点和点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求点的纵坐标的最小值． 【答案】(1)；；(2)；(3)的最小值为 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标； （2）根据，点在抛物线上，求出点的坐标，求出二次函数的解析式，点在抛物线上且在轴上，即，求出点的坐标；则，根据三角形的面积公式，即可； （3）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点， ∴点，； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴， ∴． （3）解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：，在取值范围内； ∴当时，有最小值，最小值为：． 15．（2022·青海玉树·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）利用待定系数法求出答案即可； （2）把抛物线化为顶点式，根据平移规律进行解答即可； （3）求出直线的解析式为，设，则，则线段的长度，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解： ∴将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的解析式为； （3）当时，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ，解得 ∴直线的解析式为， 设，则， 则线段的长度， ∵ ∴当时，线段的长度的最大值为． 16．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)利用配方法写出二次函数的顶点坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在， 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键． （1）根据抛物线经过点，对称轴是直线列出方程组，解方程组求出、的值即可； （2）利用配方法，把抛物线解析式转化为顶点式即可； （3）因为点与点关于对称，根据轴对称的性质，连接与直线交于点，则点即为所求，求出直线与直线的交点即可． 【详解】（1）解：由题意得，，解得，， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 所以顶点坐标为； （3）解：存在， 点与点关于直线对称， 连接与直线交于点，则点即为所求， 根据抛物线的对称性可知，点的坐标为， 与轴的交点为， 设直线的解析式为：， ，解得，，， 直线的解析式为：， 则直线与直线的交点坐标为： 点的坐标为． 17．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为；；(2)点的坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后配成顶点式即可； （）由是等腰直角三角形，则有，设点的坐标为，则点，则，，得出，然后解方程即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴相交于点和点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵； ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为； （2）解：如图，∵轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点在抛物线上， ∴设点的坐标为，则点， ∴，， ∴， ∴或， 即或， 当时，解得或（舍去）， 此时； 当时，解得或（舍去）， 此时， 综上，点的坐标为或． 18．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 【答案】(1)；(2)， 【分析】（1）根据顶点坐标即可得到抛物线的解析式； （2）根据（1）所求求出点的坐标，再由对称性得到点的坐标，结合平行四边形的性质求解面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 顶点为， ∴对称轴为直线， 轴，交该抛物线于点和点， 关于直线对称， ， ， ∴． 19．（2026·陕西西安·三模）如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，或和 【分析】（1）首先求出，然后利用求出，然后利用待定系数法求解； （2）首先求出抛物线的对称轴为直线，设，然后分三种情况讨论，分别根据平行四边形的性质和中点坐标公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ， ， ， ， 把，代入得，，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ①当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； ②当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； ③当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； 综上，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，或和． 20．（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)求； (3)求对称轴方程； (4)在对称轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】(1)，；(2)；(3)；(4)存在． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，平行四边形的判定，掌握二次函数的图象和性质，分类讨论是解题的关键． （）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值； （）根据三角形的面积公式，可得答案； （）根据，可得函数图象的对称轴； （）分类讨论：点在顶点的上方，P点在顶点的下方，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案． 【详解】（1）解：当时，，即点坐标是 ， 当时，，解得，即点坐标是， ∴，； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：的对称轴是直线； （4）解：对称轴上存在一点，使以为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 当点坐标是时，，，四边形是平行四边形； 当点坐标是时，，，四边形是平行四边形； 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）九年级上册 26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 学生版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】会把配方化为顶点式，准确写出顶点坐标,。掌握开口方向、对称轴、顶点、最值与增减性；能由图象读出对称轴、顶点、最值、开口方向、与坐标轴交点。 二、知识梳理 知识点 1 　二次函数的图象与性质 1.一般式化为顶点式：；对称轴，顶点（，）。 2.开口方向：开口向上有最小值；开口向下有最大值。 3.最值公式：；当时为最小值，时为最大值。 4.与轴交点：判别式Δ=；Δ>0两交点、Δ=0顶点在轴、Δ<0不相交。与轴交点：(0,)。 三、典例精析 题型 1 　把一般式化成顶点式 ★ 点拨　紧扣一般式中顶点式中 的关系 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【详解】解：. ∴ 该二次函数的对称轴是直线. 2．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：把化为顶点式：， ∵， ∴图象开口向上，A错误； 该函数的对称轴为直线，B错误； ∵开口向上，顶点坐标为， ∴函数的最小值为，C错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 题型 2 　二次函数一般式的最值问题　 ★ 点拨　代入公式，在顶点处取最值 1．（25-26九年级上·江苏南通·期末）将二次函数化为的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了把化成顶点式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，进而选出正确选项． 【详解】解：， 故选：B． 2．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）抛物线的最大值是_____． 【答案】 【分析】根据二次项系数，得到抛物线开口向下，并有最大值，根据抛物线顶点坐标公式得到顶点坐标的纵坐标值即为所求． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 最大值为． 题型 3 　二次函数一般式的系数关系　 ★ 点拨　结合开口方向，对称轴等，通过系数进行判断 1．（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵图像开口向上 ∴ （A 正确）； ∵对称轴在右侧， ∴， ∴ （B 错）； ∵与 轴交于正半轴 ∴ （C 错）； ∵ 时， ， ∴（D 错）． 2．（25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 题型 4 　二次函数与一次函数结合 ★ 点拨　根据二次函数的系数和一次函数系数的正负，结合与坐标轴交点进行判断 1．（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a的符号确定抛物线开口方向及直线增减性，根据b的符号确定直线与y轴交点位置，结合进行判断． 【详解】解：A、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、四象限知且，则，与已知矛盾； B、由抛物线开口向上知，由直线过第一、三、四象限知且，则，与已知矛盾； C、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、三象限知，a的符号矛盾； D、由抛物线开口向下知 ，由直线过第二、三、四象限知且 ，则，符合题意． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分类讨论，当时，当时，结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【详解】解：当时，则， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 二次函数的图像开口向上； 当时，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 二次函数图象开口向下； 综上所述，D选项符合题意． 题型 5 　待定系数法求二次函数解析式 ★ 点拨　根据给出点，设合适的解析式，代入求值 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）当时，抛物线有最小值为，且抛物线与轴交于点．求这条抛物线的解析式． 【答案】 【分析】由已知条件可设出顶点式，再把已知点的坐标代入，求出待定系数，进而求得解析式． 【详解】解：抛物线在时最小值为， 设抛物线的顶点式为 抛物线过点， 解得， ∴这条抛物线的解析式为，即． 2．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1)；(2)点不在此抛物线上 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出当时的值，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴此抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在此抛物线上． 题型 6 　二次函数图象综合 ★ 点拨　由顶点看最值，面积问题结合平面直角坐标系利用三角形面积公式 1．（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． (1)用配方法将其化为 的形式； (2)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)当 时，求函数的最大值和最小值． 【答案】(1)；(2)开口向上，对称轴， 顶点坐标；(3)最大值，最小值 【详解】（1）； （2），所以开口向上，对称轴， 顶点坐标， （3）开口向上，对称轴，， 当时，最小值为； 当时，最大值为8； 综上，当 时，函数最大值 ，最小值． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）将A和B两点坐标代入抛物线的解析式，求得b，c，从而得出结果； （2）运用配方法求出顶点的坐标，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点， ∴，解得：， 所以，抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点P的坐标为， ∵， ∴， ∴． 4、 分层训练 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）如果二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过（    ）    A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 3．（25-26九年级上·山东滨州·阶段检测）若二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是_____． ①图象与轴的交点为，；②；③；④；⑤当时，随的增大而减小 4．（25-26八年级下·北京·期末）点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 5．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知函数，当时，有最大值5，最小值1，则m的取值范围是_____． 6．（2022·河南郑州·模拟预测）已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为． (1)求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 7．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数（a，c是常数，）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)当时，随的增大而减小，求的范围； (3)已知点，都在二次函数的图象上，若，求的取值范围． 8．（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求的面积； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标． 9．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 10．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 11．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求抛物线的最大值和最小值． 12．（21-22九年级下·云南曲靖·期中）如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 13．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 14．（2026·江苏徐州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点．过点作轴于点． (1)当时，求点和点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求点的纵坐标的最小值． 15．（2022·青海玉树·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 16．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)利用配方法写出二次函数的顶点坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 18．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 19．（2026·陕西西安·三模）如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)求； (3)求对称轴方程； (4)在对称轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形为平行四边形？ 第 页 / 共 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