专题01 菱形的性质与判定（专项训练）-2026-2027学年北师大版九年级上册数学

专题01 菱形的性质与判定 常考题型·精准突破 题型1 利用菱形的性质求角度（重） 题型2 利用菱形的性质求长度（重） 题型3 利用菱形的性质求面积（高频） 题型4 利用菱形的性质求解动点问题（重） 题型5 利用菱形的性质证明和求解综合问题（难） 题型6 添一个条件使四边形是菱形（重） 题型7 利用菱形的判定与性质求解（难） 题型8 利用菱形的判定与性质多结论性问题（难） 题型9 利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图）（重） 题型10 利用菱形的判定与性质解决综合性问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1利用菱形的性质求角度 1．（25-26八年级下·黑龙江七台河·期末）如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，若，则___________． 2．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在边上，且，若，则____________． 3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，菱形，E、F分别为、上的点，且，若，则的度数为________． ◆题型2 利用菱形的性质求长度 4．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）在菱形中，，是对角线，若，，则边的长度为________． 5．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点为线段上一点，点为线段上一点，连接、，若，，则的长为________． 6．（25-26八年级下·山西临汾·期末）中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为________． ◆题型3 利用菱形的性质求面积 7．（25-26八年级下·山东聊城·期末）如图，在菱形中，，分别为，的中点，若，，则菱形的面积为________． 8．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，一款由三个菱形组成的伸缩衣帽架，记其中一个为菱形．测得此菱形的对角线，，则这个菱形的面积为________． 9．（25-26八年级下·北京通州·期末）教材在实践栏目窗口设计了一个活动如下：将一张菱形纸片，沿着对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形按照图中的方法能拼成正方形，根据图，图中给出的数据，图的菱形面积是__________． ◆题型4利用菱形的性质求解动点问题 10．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的边长为，，、分别是、上的两个动点，则的最小值为__________ 11．（25-26八年级下·湖南张家界·期末）如图，菱形，，，是上动点，是中点，，分别是，中点，则菱形的面积为_________，最小值为_________． 12．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形，若，，则的最小值为________． ◆题型5 利用菱形的性质证明和求解综合问题 13．（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，是的边的中线，E是的中点，过点A作，交的延长线于点F，交于G，连接． (1)若四边形是菱形，求证：是直角三角形： (2)若，求长． 14．（25-26八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，为对角线上一点，且，连接． (1)求证：． (2)当，时，求菱形的边长． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）在菱形纸片中，点在上，将沿折叠得，点的对应点落在边上． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，连接，若，求证：； (3)如图，若是的中点，求的值． ◆题型6 添一个条件使四边形是菱形 16．（25-26八年级下·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，垂足为O，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________（写出一个即可）． 17．（2026·四川凉山·中考真题）四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 18．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是________．（填一个正确条件即可） ◆题型7 利用菱形的判定与性质求解 19．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交的两边于点，；分别以，为圆心，（或）长为半径作弧，两弧相交于点（非点）；作射线，交前面弧于点，连接，若，则的度数为________． 20．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点B，F为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．若，则的长为________________． 21．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，在四边形中，，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，顺次连接E，G，F，H，则四边形面积的最大值为_________． ◆题型8 利用菱形的判定与性质多结论性问题 22．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的边在直线上，，，点是直线上的动点，下列结论：①菱形的周长为；②菱形的面积为；③；④的最小值为，其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在菱形中，，，是线段上的动点（不与点，重合），连接，作射线，交线段于点，且使．给出下面四个结论： ①；②；③、两点间的距离的取值范围是；④连接，则面积的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 24．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在菱形纸片中，，点是边的中点，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为与交于点，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，其中结论正确（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ ◆题型9 利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 25．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，已知菱形，连接． (1)实践与操作：利用尺规作四边形，使得四边形为平行四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的面积． 26．（25-26八年级下·福建莆田·期末）如图，在中，，平分，交于点，是的中线，交于点． (1)尺规作图：在边上作出点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，．若 ，求证：四边形是菱形． 27．（25-26八年级下·广东深圳·期末）在菱形中，对角线、相交于点O，，． (1)请在上找一点E，使得，要求在图1中尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． (2)在（1）的条件下，延长交于点F，如图2，求的长． ◆题型10 利用菱形的判定与性质解决综合性问题 28．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，过点作于点，在右侧作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的面积． 29．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，四边形是平行四边形，延长到，使，连接、． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图，若平分． ①求证：四边形是菱形； ②若，，直接写出四边形的面积________． 30．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作． (1)求证：是菱形． (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)若，，，直接写出四边形的面积． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，在菱形中，点是边上一点，连接、，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，菱形的对角线与相交于点．下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则菱形的面积等于（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）小明利用菱形的性质与判定作的平分线，作法如下：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D；②分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E．则下列说法错误的是（     ） A．四边形是菱形 B．平分 C． D． 二、填空题 5．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，利民停车场地面上有一块菱形禁停警示标识，已知对角线和，则这块警示标识的占地面积为_____． 6．（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图，将两张宽度均为的纸条交叉重叠在一起，若，则的长为________． 7．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，，菱形的顶点是线段上一个动点（不与O，B重合），连接，当为直角三角形时，点的坐标为________． 8．（25-26八年级下·北京东城·期末）如图，在菱形中，是的中点．点是线段上的动点，记线段的长为．有以下三个结论： ①若是线段的中点，则； ②的取值范围是； ③若在菱形的内部存在点，使得，且，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是__________________________． 三、解答题 9．（25-26八年级下·广西南宁·期末）在学习了平行四边形和特殊的平行四边形后，八年级学习小组受到了启发，认为利用菱形的性质和判定可以帮助我们完成一些尺规作图，对尺规作图作菱形展开了探究． (1)已知（），点，分别在，上，利用尺规作图构造出菱形（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据你的作法，四边形是菱形的依据是________． 10．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，的平分线交于点，点是边上一点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，，求的长． 11．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作交于点，过点作交于点，交于点，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 12．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在菱形中，点在对角线上，点、分别在边和上，连接，，且． (1)如图，求证：． (2)如图，延长交延长线于点，连接交于点，若为中点．求证：． (3)如图，在（2）的条件下，若，，，求四边形的面积． 13．（25-26八年级下·吉林·期末）【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图①，若点是边的中点，小明经过探索发现了线段与之间的数量关系，请直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图②，当点为边上任意一点时，判断上述结论是否仍然成立，请说明理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，线段的长为________． 专题01 菱形的性质与判定 常考题型·精准突破 题型1 利用菱形的性质求角度（重） 题型2 利用菱形的性质求长度（重） 题型3 利用菱形的性质求面积（高频） 题型4 利用菱形的性质求解动点问题（重） 题型5 利用菱形的性质证明和求解综合问题（难） 题型6 添一个条件使四边形是菱形（重） 题型7 利用菱形的判定与性质求解（难） 题型8 利用菱形的判定与性质多结论性问题（难） 题型9 利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图）（重） 题型10 利用菱形的判定与性质解决综合性问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1利用菱形的性质求角度 1．（25-26八年级下·黑龙江七台河·期末）如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，若，则___________． 【答案】63 【分析】根据菱形的性质推出，再根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：菱形， ，， ， ， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在边上，且，若，则____________． 【答案】67 【分析】设，根据等边对等角，可得，再由菱形的性质可得，由此可得，再根据三角形内角和为求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得， 则 ． 3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，菱形，E、F分别为、上的点，且，若，则的度数为________． 【答案】/35度 【分析】连接，先得出，，再证出，则，进而可得是等边三角形，则，然后求出的度数，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，且， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． ◆题型2 利用菱形的性质求长度 4．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）在菱形中，，是对角线，若，，则边的长度为________． 【答案】 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，构造直角三角形，再用勾股定理计算边长． 【详解】解：设，交于点， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，由勾股定理得． 5．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点为线段上一点，点为线段上一点，连接、，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】设，在和中，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：设， ∵菱形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，即的长为． 6．（25-26八年级下·山西临汾·期末）中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为________． 【答案】14.4 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求得，则，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵是菱形的高， ∴， ∴． ◆题型3 利用菱形的性质求面积 7．（25-26八年级下·山东聊城·期末）如图，在菱形中，，分别为，的中点，若，，则菱形的面积为________． 【答案】48 【分析】根据中位线定理求得，则菱形面积即可求． 【详解】解：在菱形中，，分别为，的中点，若，， ∴, ∴． 8．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，一款由三个菱形组成的伸缩衣帽架，记其中一个为菱形．测得此菱形的对角线，，则这个菱形的面积为________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，直接代入已知数据计算即可． 【详解】解：四边形是菱形，，， 这个菱形的面积 ． 9．（25-26八年级下·北京通州·期末）教材在实践栏目窗口设计了一个活动如下：将一张菱形纸片，沿着对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形按照图中的方法能拼成正方形，根据图，图中给出的数据，图的菱形面积是__________． 【答案】 【分析】设直角三角形的短直角边为，长直角边为，根据题意列出二元一次方程组，求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】∵如图，根据裁剪，得到四个全等的直角三角形，设直角三角形的短直角边为，长直角边为， 据题意，，解得， ∴菱形面积为． ◆题型4利用菱形的性质求解动点问题 10．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的边长为，，、分别是、上的两个动点，则的最小值为__________ 【答案】 【分析】连接、、，作于点，由菱形的性质容易证明，则，因此．由线段公理可得，当、、三点共线，且（即点与点重合）时，取得最小值．容易证明是等边三角形，则，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，连接、、，作于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴当、、三点共线，且（即点与点重合）时，取得最小值， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为． 11．（25-26八年级下·湖南张家界·期末）如图，菱形，，，是上动点，是中点，，分别是，中点，则菱形的面积为_________，最小值为_________． 【答案】 【分析】连接，交于点，连接，，取中点，连接，过点作于点，根据菱形的性质可得，即可求出，，根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”得到菱形的面积为，易得点G的轨迹是定线段，将求最小值转化为求的值即可． 【详解】解：连接，交于点，连接，，取中点，连接，过点作于点， ， 四边形为菱形， ，，，，，，， ，， 在中，，， ， ， 是中点，，分别是，中点，是中点，，， ，，，，，， 、G、O三点共线，即，，，， ， ， ， ， ， 在中，， 当G与N重合时，最小，值为． 12．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形，若，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，，与交于点，根据可得当，最小，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接，，与交于点， 由题意得：，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 当，即时，最小， 此时，的最小值为． ◆题型5 利用菱形的性质证明和求解综合问题 13．（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，是的边的中线，E是的中点，过点A作，交的延长线于点F，交于G，连接． (1)若四边形是菱形，求证：是直角三角形： (2)若，求长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形，是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形． (2)3 【分析】（1）由菱形性质，是的中线，得到，进而由等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理得到即可得证； （2）取中点，连结，如图所示，由三角形中位线的判定与性质得到，，进而得到，再证明，根据全等三角形性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：取中点，连结，如图所示： ∵是的边的中线，则是的中点， 是的中位线， ∴，， ∴， 是的中点， ， 在和中， ， ∴． 14．（25-26八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，为对角线上一点，且，连接． (1)求证：． (2)当，时，求菱形的边长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）由“”可证，即可得出结论； （2）先由菱形的性质可得，，，求出、的长，由勾股定理求出的长，再由勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ，， ， ， 菱形的边长为． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）在菱形纸片中，点在上，将沿折叠得，点的对应点落在边上． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，连接，若，求证：； (3)如图，若是的中点，求的值． 【答案】(1)； (2)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵将沿折叠得， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)． 【分析】由四边形是菱形，则，，，所以，通过折叠性质可知，，所以，根据等边对等角得，所以，最后由角度和差即可求解； 由四边形是菱形，则，，所以，由折叠性质可得，，，，证明，所以，可得，则，得，所以，通过平行线的判定方法即可求证； 延长，交于点，证明，所以，，设，，则，，则有，，求得，则． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵将沿折叠得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）略； （3）解：如图，延长，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，，， ∵将沿折叠得， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． ◆题型6 添一个条件使四边形是菱形 16．（25-26八年级下·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，垂足为O，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________（写出一个即可）． 【答案】（或或或或等） 【分析】根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，进行添加条件． 【详解】解：（或） 理由如下：∵，，， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 理由同上； 理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 17．（2026·四川凉山·中考真题）四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题可根据菱形的判定定理求解，已知四边形对角线互相垂直，且，只需证明四边形是平行四边形，即可结合对角线互相垂直判定其为菱形． 【详解】解：添加条件即可， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的对角线互相垂直， 平行四边形是菱形 故可添加为（答案不唯一）． 18．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是________．（填一个正确条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形为菱形，涉及平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟记平行四边形的判定与性质、菱形的判定是解决问题的关键． 根据题意，由平行四边形的性质及已知条件得到，再由平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，结合邻边相等平行四边形是菱形、对角线相互垂直的平行四边形是菱形添加条件即可得到答案． 【详解】解：在中，对角线相交于点，则， ， ， 在四边形中，，则四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 此外，还有对角线垂直也可以判定四边形是菱形； 综上所述，选取其中一个即可， 故答案为：（答案不唯一）． ◆题型7 利用菱形的判定与性质求解 19．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交的两边于点，；分别以，为圆心，（或）长为半径作弧，两弧相交于点（非点）；作射线，交前面弧于点，连接，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】易得所作四边形是菱形，是等腰三角形，利用菱形的性质、三角形内角和及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：由作图知，， ∴四边形是菱形，且是菱形的对角线， ∴， 由作图知， ∴， ∴． 20．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点B，F为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．若，则的长为________________． 【答案】 【分析】设交于点． 根据作图痕迹可知，， 结合平行四边形性质证明四边形是菱形，利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理求出，进而求出． 【详解】解：如图，连接，设交于点． 由作图可知：，平分， ∴． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ∵在中，，， ， ． 21．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，在四边形中，，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，顺次连接E，G，F，H，则四边形面积的最大值为_________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线可得，，然后可得四边形是菱形，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形中，E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，． ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 要使四边形的面积最大，则需满足， ∴四边形面积的最大值为． ◆题型8 利用菱形的判定与性质多结论性问题 22．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的边在直线上，，，点是直线上的动点，下列结论：①菱形的周长为；②菱形的面积为；③；④的最小值为，其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据菱形的性质计算周长和面积，利用菱形的对角线性质以及勾股定理判断结论③，利用轴对称性质（将军饮马模型）求的最小值． 【详解】解：四边形是菱形， 菱形的周长为，故①正确； 过点作于点 在中，， ∴ ∵， 菱形的面积，故②错误； 四边形是菱形， ∴，， ，故③错误； 延长至点，使得，连接 则点关于直线对称，则， ∴ ∴最小值为的长 ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴ 的最小值为，故④正确 综上所述，正确的结论有①④，共2个． 23．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在菱形中，，，是线段上的动点（不与点，重合），连接，作射线，交线段于点，且使．给出下面四个结论： ①；②；③、两点间的距离的取值范围是；④连接，则面积的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】根据菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含有角的直角三角形的性质、勾股定理，逐一判断各个结论的正误． 【详解】解：连接， 在菱形中，，， 则，，， ∴和是等边三角形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， 故结论①正确， ， 故结论②错误， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 当点无限接近时，趋近于，但不与重合， ∴， 当时，最小， ∴，， ∴， ∴， 故结论③错误， ∵是等边三角形，设的边长为，作， ，， ∴， ∴， 当的边长取最小值时，即时，最小，最小值为， 故结论④正确． 24．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在菱形纸片中，，点是边的中点，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为与交于点，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，其中结论正确（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，根据以上性质逐一判断即可，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形， ，， 和是等边三角形， 是边的中点， ， 将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处， ， ， ， ，故①正确； ，， ， ，故②正确； 如图，设与交于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，故③正确； 如图，过作于， ， ，， ， ， ， ， ，故④错误， 故选：A． ◆题型9 利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 25．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，已知菱形，连接． (1)实践与操作：利用尺规作四边形，使得四边形为平行四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的面积． 【答案】(1)如图，四边形即为所求作的平行四边形， (2)12 【分析】（1）如图，以B为圆心、长为半径画弧，再以C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点F，依据“两组对边相等的四边形是平行四边形”的判定方法尺规作图； （2）先由菱形性质结合勾股定理算出对角线一半长度，求出面积，再利用平行线间距离相等得到与面积相等． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点，连接． ∵四边形为菱形，，， ，， 在中，由勾股定理得： ， ∵四边形是平行四边形， ，， 与等底等高（高为），则面积相等． ．   即的面积为12． 26．（25-26八年级下·福建莆田·期末）如图，在中，，平分，交于点，是的中线，交于点． (1)尺规作图：在边上作出点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，．若 ，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2)证明：， 设，， ，平分， ， ， ， 是中线， ， ， ， ，即， ， ， ， 是等边三角形， ，，分别是，，的中点， ，， ， 四边形是菱形． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再证明△是等边三角形可得结论． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略． 27．（25-26八年级下·广东深圳·期末）在菱形中，对角线、相交于点O，，． (1)请在上找一点E，使得，要求在图1中尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． (2)在（1）的条件下，延长交于点F，如图2，求的长． 【答案】(1)如图，点即为所求， (2) 【分析】（1）分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧交于点、，作直线交于点，连接，点即为所求； （2）由菱形的性质可得，，，，由勾股定理可得，作于点，由菱形的面积公式计算可得，作于点，作于点，则，设，则，由勾股定理可得，求出，再由等面积法计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， 如图，作于点， ∵， ∴， 作于点，作于点，则， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ◆题型10 利用菱形的判定与性质解决综合性问题 28．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，过点作于点，在右侧作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：， ， 又， 四边形为平行四边形， 又，即， 四边形为菱形； (2) 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可； （2）利用菱形的性质结合勾股定理求得，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为菱形， ，， 在中，由勾股定理，得， ， ． 29．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，四边形是平行四边形，延长到，使，连接、． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图，若平分． ①求证：四边形是菱形； ②若，，直接写出四边形的面积________． 【答案】(1)四边形为平行四边形，理由： 四边形是平行四边形， ，即， ， ， 四边形为平行四边形； (2)①证明：根据（1）可得四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ∴， ， 平行四边形为菱形； ② 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，即可得到四边形为平行四边形； （2）①利用平行线的性质得到即可解答； ②连接，根据菱形的性质和勾股定理求得的长，即可解答． 【详解】（1）略 （2）①略； ②解：如图，连接交于点， ， 根据①可得四边形为菱形， ，，， 四边形是平行四边形， ， , ， ， ， 菱形的面积为． 30．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作． (1)求证：是菱形． (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)若，，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 是的平分线， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形； (2)四边形是正方形，理由如下： 由（1）知， 在中，， ， ， ， 是直角三角形，且， 四边形是菱形， 四边形是正方形； (3) 【分析】（1）先利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线条件，推导，进而得到，从而得出结论； （2）由（1）已知是菱形，结合的条件，对使用勾股定理逆定理，判断的度数，再根据正方形判定定理即可确定四边形形状； （3）先根据平行四边形的性质和角平分线的性质推导，进而求出长，过点作于点，根据含角的直角三角形的性质求出长，再利用勾股定理求出长，最后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：四边形是平行四边形， ，， ， 由（1）知，， ， ， ， 由（1）知，四边形是菱形， ， 过点作于点， ， ， ， 在中，， ， ， 四边形的面积为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，在菱形中，点是边上一点，连接、，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， 2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，菱形的对角线与相交于点．下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在菱形中，，故A正确，不符合题意； 对角线与相互垂直平分，则，，故BD正确，不符合题意； 的大小不能确定，故C错误，符合题意． 3．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则菱形的面积等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点H，可求出，则可得到，，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴； ∴． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）小明利用菱形的性质与判定作的平分线，作法如下：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D；②分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E．则下列说法错误的是（     ） A．四边形是菱形 B．平分 C． D． 【答案】D 【分析】利用菱形的判定及性质和勾股定理判断即可． 【详解】解：由题意得，， ，故C正确； 四边形是菱形，故A正确； 平分，故B正确； 如图，连接，则、相互垂直平分， ，化简得， ， 这里不知道的度数，无法推出，即无法推出，故D错误． 二、填空题 5．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，利民停车场地面上有一块菱形禁停警示标识，已知对角线和，则这块警示标识的占地面积为_____． 【答案】18 【详解】解：菱形的面积为：． 6．（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图，将两张宽度均为的纸条交叉重叠在一起，若，则的长为________． 【答案】 【分析】过点C作于P，作于Q；首先可证明四边形是平行四边形，进而利用面积相等证明四边形是菱形，则可得是等边三角形，进一步即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于P，作于Q； 由题意知，， ∴四边形是平行四边形； ∵两张纸宽度相同， ∴； ∵， ∴ ∴四边形是菱形， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∴， 解得：， ∴. 7．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，，菱形的顶点是线段上一个动点（不与O，B重合），连接，当为直角三角形时，点的坐标为________． 【答案】或 【分析】先求出，分两种情况进行讨论求解．①当时，先求出，再运用勾股定理，求出，从而得到点的坐标；②当时，设，则，同理运用勾股定理，求出，从而得到点的坐标． 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∴． ①当时， ∵，， ∴， ∵菱形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； ②当时， ∵，， ∴， 设，则， ∵菱形的边长为4， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，（舍）， ∴ ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 8．（25-26八年级下·北京东城·期末）如图，在菱形中，是的中点．点是线段上的动点，记线段的长为．有以下三个结论： ①若是线段的中点，则； ②的取值范围是； ③若在菱形的内部存在点，使得，且，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是__________________________． 【答案】①②/②① 【分析】根据菱形性质及三角形中位线定理判断；利用垂线段最短及勾股定理求出的最小值和最大值判断②；通过特殊位置法，当与重合时验证是否符合条件判断③ 【详解】解：四边形是菱形， ， 是线段的中点，是的中点， 是的中位线， ，即，故①正确 四边形是菱形，， ∴， ，， 当时，取得最小值，如图 在中，，， ， 当点与点重合时，取得最大值，如图 过点作交的延长线于点， ，， ∴， ∴， ∴， 是的中点， ， ， 在中， ， ，故②正确， 连接，如图 ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， 是的中点， ∴， ∴， 当时，取点与点重合此时为中点，在上，，在上取， ∴， 此时点G在菱形的内部，如图 可以取， 结论③中错误，故③错误， 综上所述，正确结论的序号是①②． 三、解答题 9．（25-26八年级下·广西南宁·期末）在学习了平行四边形和特殊的平行四边形后，八年级学习小组受到了启发，认为利用菱形的性质和判定可以帮助我们完成一些尺规作图，对尺规作图作菱形展开了探究． (1)已知（），点，分别在，上，利用尺规作图构造出菱形（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据你的作法，四边形是菱形的依据是________． 【答案】(1)如图， (2)邻边相等的平行四边形是菱形． 【详解】（1）在上取点使得，在上取点使得，连接，则四边形是菱形． （2）解：依据如下： 由点的取法可知， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 10．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，的平分线交于点，点是边上一点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (2)12 【分析】（1）先得出四边形是平行四边形，再得出即可； （2）先得出的长，进而可得的长，再得出，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：由（1）已证：四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴在中，． 11．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作交于点，过点作交于点，交于点，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据四边形是菱形，得到，，由，，得到，证明，得到，证明四边形是平行四边形，结合，即可得证； （2）根据勾股定理求出，再根据等面积法求出，进而求出，，然后求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， ， ，即， ， ，， ， 菱形的面积为． 12．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在菱形中，点在对角线上，点、分别在边和上，连接，，且． (1)如图，求证：． (2)如图，延长交延长线于点，连接交于点，若为中点．求证：． (3)如图，在（2）的条件下，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：在菱形中，，， ， ． ， ， ． (2)证明：在菱形中，，， 为中点， ． ， ． ， ， ．     ， ，． ， ∴． (3) 【分析】（1）利用菱形的性质证明即可； （2）利用菱形的性质证明即可； （3）取中点，连接，连接交于点，由及菱形的性质可得，和均为等腰直角三角形，；证明四边形为平行四边形，得E为中点；再证明，则得；在中，由勾股定理求得，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：如图，取中点，连接，连接交于点， ，， ，     由（1）知， ∴， ， 由（1），， ，， ∴和均为等腰直角三角形，．   ，， ∴四边形为平行四边形， ，     为中点， ，，， ，， ， ， 在中，，， ， ，，， ． 13．（25-26八年级下·吉林·期末）【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图①，若点是边的中点，小明经过探索发现了线段与之间的数量关系，请直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图②，当点为边上任意一点时，判断上述结论是否仍然成立，请说明理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，线段的长为________． 【答案】(1)； (2)成立，理由如下： 连接，如下图所示： 由（1），同理可得与为等边三角形， ． ， ． ． 在和中， ． ． (3)或． 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）过点A作交于点E，利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，分当点P在点E的上方和点P在点E的下方两种情况进行讨论，可得出最后的结果． 【详解】（1）解：连接，如下图所示： ∵四边形为菱形，且， ． 为菱形的角平分线， ． 故与为等边三角形， 即． ∵点P为中点，， 故平分， ． 在和中， ． ． （2）略 （3）解：过点A作交于点E，连接， 当点P在点E上方时，如下图所示： 由得，E为中点， ， ． 由勾股定理得， ， ． 故． ． 当点P在点E下方时，如下图所示： 同理可得， 故． ． 综上，的长度为或． 学科网（北京）股份有限公司 $