第2讲 函数的恒成立与能成立问题讲义-2027届高三数学一轮复习

第2讲 函数的恒（能）成立问题 函数的恒（能）成立是函数问题的重要内容，在高考中考查频繁，常结合导数、函数的最值、函数的单调性等问题出现.选择题、填空题及解答题均有涉及，存在一定难度. 【知识讲解】 一、单变量的恒（能）成立问题 对于“，恒成立，求的取值范围.”问题，可以参考以下策略解题： 策略一：分离常数法（完全分离）.若，则原命题等价于，恒成立，所以. 策略二：数形结合法（不完全分离）.若为一次函数，则，借助数形结合的方法，临界值常在切点处出现. 策略三：整体函数法（不分离）.令，原命题等价于，，利用导数求出函数的最小值，即可求解. 能成立问题与上述问题的研究方法相同. 二、双变量的恒（能）成立问题 1.，. 2.，，. 3.，，. 4.，，使得（分别为函数和的值域，下同）. 5.，，使得. 【典例分析】 一、单变量的恒（能）成立问题 例1（请提供3种解法），恒成立，求实数的取值范围. 训练1-1（2023·全国Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（     ） A. B. C. D. 训练1-2（2023·全国乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是______________. 训练1-3（2024·天津卷节选）已知函数，若对任意成立，求实数的值. 二、整数解问题 例2（2015·全国Ⅰ卷）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 训练2 设函数，若关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 三、双变量的恒（能）成立问题 例3 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 训练3-1 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是______________. 训练3-2 已知函数（其中e为自然对数的底数），函数.若 ，不等式恒成立，则实数的取值范围是______________. 例4 已知函数，，，，使得，则实数的取值范围是______________. 训练4 已知函数，，，，使得成立，则实数的取值范围是______________. 【巩固提升】 1.（2016·全国Ⅰ卷）若函数在R上单调递增，则的取值范围是（     ） A. B. C. D. 2.设函数，其中，若仅存在两个正整数使得，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 3.（2023·全国乙卷 改编）对任意，函数恒成立，求的取值范围． 4.（2023·全国甲卷 改编）已知，.若恒成立，求的取值范围. 5.（2024·全国Ⅰ卷 改编）已知函数，若当且仅当 ，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 函数的恒（能）成立问题 函数的恒（能）成立是函数问题的重要内容，在高考中考查频繁，常结合导数、函数的最值、函数的单调性等问题出现.选择题、填空题及解答题均有涉及，存在一定难度. 【知识讲解】 一、单变量的恒（能）成立问题 对于“，恒成立，求的取值范围.”问题，可以参考以下策略解题： 策略一：分离常数法（完全分离）.若，则原命题等价于，恒成立，所以. 策略二：数形结合法（不完全分离）.若为一次函数，则，借助数形结合的方法，临界值常在切点处出现. 策略三：整体函数法（不分离）.令，原命题等价于，，利用导数求出函数的最小值，即可求解. 能成立问题与上述问题的研究方法相同. 二、双变量的恒（能）成立问题 1.，. 2.，，. 3.，，. 4.，，使得（分别为函数和的值域，下同）. 5.，，使得. 【典例分析】 一、单变量的恒（能）成立问题 例1（请提供3种解法），恒成立，求实数的取值范围. 【解析】法一 原命题等价于，恒成立.令，，所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以的最大值为，故. 法二 原命题等价于，恒成立.因为直线与函数相切（此处省略了证明过程，考试作答时此证明过程不可省略），所以当时，恒成立，即恒成立. 法三 令，原命题等价于，恒成立.由题知，. ①当时，，函数单调递减，且，所以“恒成立”不成立. ②当时，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增.所以函数的最小值为，故. 训练1-1（2023·全国Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题知，在上恒成立，显然，故命题等价于在上 恒成立.令，，所以函数在上单调递增，即，故，所以的最小值为. 训练1-2（2023·全国乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是______________. 【答案】 【解析】由题知，在上恒成立，则 ，即在上恒成立.令，在上单调递增，所以，即，故解得. 训练1-3（2024·天津卷节选）已知函数，若对任意成立，求实数的值. 【解析】原命题等价于对任意成立，即恒成立.令，则，因为，若要保证恒成立，则必然为0，所以，故. 现验证当时，对任意恒成立. 由题知，.由幂函数性质知，当时，；当时，.因此，当时，，单调递减；当时， ，单调递增.故，所以对任意恒成立. 二、整数解问题 例2（2015·全国Ⅰ卷）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】若，则.设，.由题知， ，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.且，当时，，当时，.又因为，，如图，若存在唯一的整数使得，则，所以实数的取值范围是. 训练2 设函数，若关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，等价于.令则，令，则在R上单调递增，且，，所以存在唯一的，使得，满足： 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 且，，，，.若有且仅有三个整数解，则，即实数的取值范围是. 三、双变量的恒（能）成立问题 例3 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题知，.由得，当时，，所以在上单调递减，故的最小值为.当时，为增函数，所以的最小值为.故，解得． 训练3-1 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是______________. 【答案】 【解析】由题知，，且，所以.因此， 恒成立，即恒成立，故. 训练3-2 已知函数（其中e为自然对数的底数），函数.若 ，不等式恒成立，则实数的取值范围是______________. 【答案】 【解析】由题知，，且，故.所以 ，有，即恒成立.所以，，恒成立，故 . 例4 已知函数，，，，使得，则实数的取值范围是______________. 【答案】 【解析】由题知，，令，得或，由于， 故时，，即时，单调递减.所以在上的值域为. 又因为，故当时，单调递增，即在上的值域为. 所以，，解得，故的取值范围为. 训练4 已知函数，，，，使得成立，则实数的取值范围是______________. 【答案】 【解析】令，则，故当时，单调递减；当时，单调递增.所以，.又因为在 上的值域为.所以的值域是的子集，故，所以的取值范围为. 【巩固提升】 1.（2016·全国Ⅰ卷）若函数在R上单调递增，则的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题知，在R上恒成立，即恒成立.令，所以，故对恒成立.令，由二次函数图象性质知，，故. 2.设函数，其中，若仅存在两个正整数使得，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题知，若，则.令，，且，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.且，故当时，，当时，，又因为，，如图所示，若仅存在两个正整数使得，则，解得 . 3.（2023·全国乙卷 改编）对任意，函数恒成立，求的取值范围． 【解析】因为，则. ①当时，，所以函数在区间上单调递减，所以，不合题意. 令，则. ②当时，，所以，故函数在上单调递增，即在区间上单调递增，所以，即函数在区间上单调递增，所以，满足题意. ③当时，由得.当时，，函数单调递减，即单调递减，故，即在上单调递减，即，不合题意. 综上，实数的取值范围是. 4.（2023·全国甲卷 改编）已知，.若恒成立，求的取值范围. 【解析】设，则.令，则.所以，则，所以. ①当时,.即在上单调递减，所以. 所以符合题意. ②当时，当时,，所以，且. 所以，使得，即，使得.当时，，即当时，，函数单调递增.所以当时，不合题意. 综上，的取值范围为. 5.（2024·全国Ⅰ卷 改编）已知函数，若当且仅当 ，求的取值范围. 【解析】由题知，在上恒成立，令，则. 所以，原命题等价于在上恒成立.设，则 ，设. ①当时，，则，在上单调递增，故恒成立，满足题意. ②当时，，则，在上单调递增，故恒成立，满足题意. ③当时，存在，当时，，则，单调递减，故 ，不满足题意. 综上，的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $