专题15 数列递推与数列综合 专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题15　数列递推与数列综合 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题15　数列递推与数列综合 一、核心知识 1．累加法：形如 的递推，把 … 的各式相加即得 。 2．累乘法：形如 的递推，把各式相乘即得 。 3．待定系数法：形如 （）的递推，设 ，由 化为等比数列。 4．形如 的递推：两边同除以 （或 ）化为 型再处理。 5．取倒数法：形如 或 的递推，两边取倒数化为等差或等比。 6．取对数法：形如 的递推，两边取对数得 ，化为等比数列。 7．（ 为一次函数）可用待定系数设 求解。 8．周期数列：若 对某 成立，则数列周期为 ，求和时一个周期内的和乘以周期数即可。 9．数列与不等式综合：证明 常用放缩（如 ）后裂项相消。 10．数列与函数综合：把 看成 ，用函数的单调性、最值处理数列的最值问题。 11．数学归纳法：证明与正整数有关的命题，两步——奠基（）与递推（ 推 ）。 12．递推求通项的通用检验：算出前三项，代入通项公式验证，可避免中间步骤出错。 二、题型精练 题型一　累加法与累乘法求通项 【方法与技巧】 看到 立刻想到累加法：把 从 1 到 的式子相加，中间全部抵消，只剩 与 。 看到 立刻想到累乘法：把各式相乘，中间约掉，只剩 与 。 累加、累乘后若得到闭式，务必代入 检查是否等于 。 【例题精讲】 1．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 2．数列 中，，，则 （　　） A． B．2n C． D． 3．数列 中，，，则 （　　） A． B． C．1 D． 【变式训练】 1．数列 中，，，则 （　　） A．22 B．20 C．18 D．26 2．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 3．数列 中，，，则 （　　） A．3n B． C． D． 4．数列 中，，，则 （　　） A．15 B．8 C．7 D．16 5．数列 中，，，则 （　　） A．13 B．9 C．27 D．40 6．数列 中，，，则 （　　） A．0 B．1 C． D．2 【巩固练习】 1．数列 中，，，则 （　　） A．28 B．27 C．30 D．31 2．数列 中，，，则 （　　） A．6 B．5 C．9 D．14 3．数列 中，，，则 （　　） A．32 B．16 C．64 D．10 4．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D．2 5．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 6．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D．2 7．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 8．数列 中，，，则 的通项公式为　　　　。 题型二　待定系数法求通项 【方法与技巧】 （）：设 ，比较得 ，于是 是公比 的等比数列。 （ 为一次函数）：设 ，比较系数解出 A、B。 构造完新数列后一定要写清“新数列是等比（或等差）数列，首项是多少、公比（公差）是多少”。 【例题精讲】 1．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 2．数列 中，，，则 （　　） A．1 B．3 C．7 D．9 3．数列 中，，，则 （　　） A．5 B．4 C．6 D．3 【变式训练】 1．数列 中，，，则 （　　） A．13 B．5 C．11 D．17 2．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 3．数列 中，，，则 的极限为（　　） A．2 B．1 C． D．不存在 4．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 5．数列 中，，，则 （　　） A．3 B．2 C．4 D．5 6．数列 中，，，则 （　　） A．12 B．8 C．10 D．16 【巩固练习】 1．数列 中，，，则 （　　） A．31 B．15 C．63 D．32 2．数列 中，，，则 （　　） A．2 B．6 C． D．10 3．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 4．数列 中，，，则 （　　） A．1 B． C． D． 5．数列 中，，，则 （　　） A．31 B．7 C．28 D．19 6．数列 中，，，则 （　　） A．11 B．4 C．9 D．13 7．数列 中，，，则其前 3 项和为（　　） A．18 B．13 C．21 D．9 8．数列 中，，，则 的通项公式为　　　　。 题型三　取倒数、取对数与周期数列 【方法与技巧】 形如 的递推，两边取倒数得 ，化为等差型。 形如 （正数）的递推，两边取对数化为等比数列。 遇到递推算出的项开始重复（如 1，2，，1，2，），立刻判断周期性，求和按周期分组。 【例题精讲】 1．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D．1 2．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 3．数列 满足 ，，则 （　　） A．1 B． C． D．2 【变式训练】 1．数列 中，，，则 （　　） A． B．1 C． D．2 2．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 3．数列 满足 ，，则 （　　） A．2 B． C． D．1 4．数列 中，，，则 （　　） A．9 B．5 C．7 D．11 5．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D．0 6．数列 满足 ，，，则 （　　） A．1 B．2 C． D．0 【巩固练习】 1．数列 中，，，则 （　　） A．7 B．5 C．9 D．6 2．数列 中，，，则 （　　） A． B．2 C． D．1 3．数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D．2 4．数列 中，，，则 （　　） A． B．1 C．2 D． 5．数列 中，，，则前 4 项和为（　　） A．5 B．2 C． D．4 6．数列 满足 ，，，则 （　　） A．3 B．0 C．6 D． 7．数列 中，，，则 （　　） A．7 B．3 C．4 D．5 8．数列 中，，，则 的通项公式为　　　　。 题型四　数列与不等式综合 【方法与技巧】 证明 的通用套路：先把通项放大（或缩小）成可以裂项的形式，再裂项相消得到常数上界。 常用放缩：（）；； 型直接等比求和。 证明 型不等式最常用的方法是数学归纳法。 【例题精讲】 1．求证 …，所用的放缩为（　　） A．（） B． C． D． 2．数列 中 ，其前 项和与 1 的关系为（　　） A．小于 1 B．等于 1 C．大于 1 D．不确定 3．用数学归纳法证明 … 时，第二步中 时左端应（　　） A．在 的左端加上 B．重新写一遍 C．乘以 D．不变 【变式训练】 1．… 与 1 的大小关系为（　　） A．小于 1 B．等于 1 C．大于 1 D．不确定 2．若 ，则 … 与 的关系为（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．不确定 3．数列 的前 项和满足（　　） A． B． C． D． 4．用数学归纳法证明 （）时，奠基步骤应取 （　　） A．5 B．1 C．2 D．4 5．若 ，则其前 项和（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．大于 1 6．数列 中 ，其前 项和与 的关系为（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．不确定 【巩固练习】 1．… 的值（　　） A．小于 1 B．等于 1 C．大于 1 D．等于 2 2．证明 … 用到的裂项为（　　） A． B． C． D．无法裂项 3．数列 的前 3 项和与 的关系为（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．不确定 4．用数学归纳法证明某命题时，若 成立推得 成立，且 成立，则（　　） A．对一切正整数成立 B．只对 成立 C．对 成立 D．无法确定 5．若 …，则 （　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．大于 1 6．数列 中 ，其前 100 项和与 1 的关系为（　　） A．小于 1 B．等于 1 C．大于 1 D．不确定 7．用数学归纳法证 …， 时左端增加（　　） A． B． C． D．2 8．数列 的前 5 项和为　　　　。 题型五　数列与函数、方程综合 【方法与技巧】 把 看成自变量为 的函数 ，用导数或二次函数配方法研究单调性与最值。 数列与方程综合时，常把递推关系写成方程，利用 的不动点分析数列的收敛性。 含参数列问题先由前几项确定参数范围，再验证对所有 成立。 【例题精讲】 1．数列 中 ，则其最小项的值为（　　） A．0 B．1 C． D．25 2．数列 中 ，则其最大项为（　　） A． B． C． D． 3．数列 中 （），则其最小项为（　　） A．1 B．2 C． D．不存在 【变式训练】 1．数列 中 ，则其最大项为（　　） A．16 B．15 C．12 D．20 2．数列 中 ，则其值域中最大的项为（　　） A．2 B．1 C． D． 3．数列 中 ，则其最小项为（　　） A．8 B．7 C． D．10 4．已知数列 的通项 ，若 ，则 （　　） A．4 B．3 C．2 D．6 5．数列 中 ，则其最小项为（　　） A．1 B． C． D．2 6．数列 中 ，其最小项为（　　） A．2 B．1 C．0 D．3 【巩固练习】 1．数列 中 ，其最小项为（　　） A． B．0 C． D．5 2．数列 中 ，其最大项为（　　） A． B． C． D． 3．数列 中 ，其最小项为（　　） A．8 B．10 C． D．12 4．数列 中 ，其最小项为（　　） A．2 B．1 C． D． 5．数列 中 ，其最大项为（　　） A． B．0 C． D．不存在 6．数列 中 ，其值域为（　　） A． B． C． D． 7．数列 中 ，其最大项为（　　） A．4 B．3 C．0 D． 8．数列 中 的最小项为　　　　。 题型六　数列的实际应用与新情境 【方法与技巧】 应用题先判断模型：每期增加固定量是等差，每期按固定倍数增长是等比，混合的用递推。 增长率问题：若每期增长率为 ，则 ，注意 可能随期数变化。 分期付款、存款复利问题关键是找准“第 期末”的余额递推式，再解递推。 【例题精讲】 1．某产品第一年产量 100 台，以后每年比上一年增产 20%，则第三年产量为（　　） A．144 台 B．120 台 C．140 台 D．160 台 2．某人年初存入银行 10000 元，年利率 2%，按复利计息，则两年后本息和为（　　） A．10404 元 B．10400 元 C．10200 元 D．14000 元 3．一个细胞每次分裂成 2 个，初始 1 个，则第 5 次分裂后共有（　　）个。 A．32 B．16 C．10 D．64 【变式训练】 1．某企业产值每年增长 10%，则三年后产值是原来的（　　） A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍 2．某林场木材蓄积量每年增长 5%，同时每年砍伐固定量，若只考虑增长则 10 年后为原来的（　　） A． 倍 B． 倍 C． 倍 D．2 倍 3．一堆物品第一层 1 个，以后每层比上一层多 2 个，共 10 层，则总数为（　　） A．100 B．90 C．110 D．120 4．某人第 1 个月存 100 元，以后每月比上月多存 50 元，则第 6 个月存（　　）元。 A．350 B．300 C．400 D．250 5．一种细菌每 20 分钟分裂一次（数量翻倍），3 小时后数量是原来的（　　） A． 倍 B． 倍 C．9 倍 D． 倍 6．某商品第 1 天销量 200 件，之后每天销量是前一天的 ，则前 4 天总销量为（　　） A．375 件 B．400 件 C．350 件 D．300 件 【巩固练习】 1．某城市人口每年增长 1%，则两年后为原来的（　　） A． 倍 B． 倍 C． 倍 D．2 倍 2．某工厂月产量每月增加 100 件，1 月产 500 件，则 6 月产量为（　　） A．1000 件 B．900 件 C．1100 件 D．600 件 3．某种药物每过 4 小时体内残留量减半，初始 200 mg，12 小时后残留（　　） A．25 mg B．50 mg C．100 mg D． 4．某数列模型 ，，则 （　　） A．1090 B．1100 C．1000 D．990 5．阶梯水价：第 1 档 0~10 吨每吨 2 元，超出部分每吨 3 元，则用 15 吨水费为（　　） A．35 元 B．30 元 C．45 元 D．40 元 6．某人跑步第 1 天 2 km，以后每天比前一天多跑 ，则前 5 天共跑（　　） A．15 km B． C． D．10 km 7．某投资每年收益率为 8%，按复利计，则约需（　　）年翻倍（，）。 A．9 B．8 C．10 D．12 8．某数列满足 ，，则 　　　　。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．数列 中，，，则 （　　） A．13 B．11 C．15 D．9 2．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 3．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D．1 4．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 5．数列 中 ，其最大项为（　　） A． B． C． D． 6．… 与 1 的关系为（　　） A．小于 1 B．等于 1 C．大于 1 D．不确定 7．某产品首年产量 200 台，每年增长 10%，则第三年产量为（　　） A．242 台 B．220 台 C．240 台 D．200 台 8．数列 中，，，则 （　　） A．4 B．3 C．5 D．8 【多项选择题】 9．（多选）下列递推可用累加或累乘直接求通项的有（　　） A． B． C． D． 10．（多选）关于递推 （），下列说法正确的有（　　） A．可化为 B． C． 是等比数列 D． 一定是等差数列 11．（多选）证明与自然数有关的不等式常用的方法有（　　） A．数学归纳法 B．裂项相消放缩 C．等比数列求和上界 D．求导 【填空题】 12．数列 中，，，则 　　　　。 13．数列 中，，，则 　　　　。 14．数列 中，，，则 的通项公式为　　　　。 （答案与逐题详解见《解析版》） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题15　数列递推与数列综合 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题15　数列递推与数列综合 一、核心知识 1．累加法：形如 的递推，把 … 的各式相加即得 。 2．累乘法：形如 的递推，把各式相乘即得 。 3．待定系数法：形如 （）的递推，设 ，由 化为等比数列。 4．形如 的递推：两边同除以 （或 ）化为 型再处理。 5．取倒数法：形如 或 的递推，两边取倒数化为等差或等比。 6．取对数法：形如 的递推，两边取对数得 ，化为等比数列。 7．（ 为一次函数）可用待定系数设 求解。 8．周期数列：若 对某 成立，则数列周期为 ，求和时一个周期内的和乘以周期数即可。 9．数列与不等式综合：证明 常用放缩（如 ）后裂项相消。 10．数列与函数综合：把 看成 ，用函数的单调性、最值处理数列的最值问题。 11．数学归纳法：证明与正整数有关的命题，两步——奠基（）与递推（ 推 ）。 12．递推求通项的通用检验：算出前三项，代入通项公式验证，可避免中间步骤出错。 二、题型精练 题型一　累加法与累乘法求通项 【方法与技巧】 看到 立刻想到累加法：把 从 1 到 的式子相加，中间全部抵消，只剩 与 。 看到 立刻想到累乘法：把各式相乘，中间约掉，只剩 与 。 累加、累乘后若得到闭式，务必代入 检查是否等于 。 【例题精讲】 1．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】累加得 。选 A。 2．数列 中，，，则 （　　） A． B．2n C． D． 【答案】A 【详解】公比为 2 的等比数列，。选 A。 3．数列 中，，，则 （　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】累乘得 。选 A。 【变式训练】 1．数列 中，，，则 （　　） A．22 B．20 C．18 D．26 【答案】A 【详解】。选 A。 2．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 3．数列 中，，，则 （　　） A．3n B． C． D． 【答案】A 【详解】累乘得 …。选 A。 4．数列 中，，，则 （　　） A．15 B．8 C．7 D．16 【答案】A 【详解】。选 A。 5．数列 中，，，则 （　　） A．13 B．9 C．27 D．40 【答案】A 【详解】，。选 A。 6．数列 中，，，则 （　　） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】，，。选 A。 【巩固练习】 1．数列 中，，，则 （　　） A．28 B．27 C．30 D．31 【答案】A 【详解】公差 3 的等差数列，。选 A。 2．数列 中，，，则 （　　） A．6 B．5 C．9 D．14 【答案】A 【详解】。选 A。 3．数列 中，，，则 （　　） A．32 B．16 C．64 D．10 【答案】A 【详解】。选 A。 4．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】。选 A。 5．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】累加得 。选 A。 6．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】。选 A。 7．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 8．数列 中，，，则 的通项公式为　　　　。 【答案】 【详解】。 题型二　待定系数法求通项 【方法与技巧】 （）：设 ，比较得 ，于是 是公比 的等比数列。 （ 为一次函数）：设 ，比较系数解出 A、B。 构造完新数列后一定要写清“新数列是等比（或等差）数列，首项是多少、公比（公差）是多少”。 【例题精讲】 1．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，则 是首项 2、公比 2 的等比数列，，故 。选 A。 2．数列 中，，，则 （　　） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】A 【详解】设 ，而 ，故 恒成立，。选 A。 3．数列 中，，，则 （　　） A．5 B．4 C．6 D．3 【答案】A 【详解】。选 A。 【变式训练】 1．数列 中，，，则 （　　） A．13 B．5 C．11 D．17 【答案】A 【详解】，。选 A。 2．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ， 首项 2、公比 2，故 ，。选 A。 3．数列 中，，，则 的极限为（　　） A．2 B．1 C． D．不存在 【答案】A 【详解】设 ，故 ，。选 A。 4．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ， 首项 2、公比 3，故 。选 A。 5．数列 中，，，则 （　　） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【详解】，。选 C。 6．数列 中，，，则 （　　） A．12 B．8 C．10 D．16 【答案】A 【详解】，。选 A。 【巩固练习】 1．数列 中，，，则 （　　） A．31 B．15 C．63 D．32 【答案】A 【详解】，故 。选 A。 2．数列 中，，，则 （　　） A．2 B．6 C． D．10 【答案】A 【详解】。选 A。 3．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ， 首项 、公比 2，故 。选 A。 4．数列 中，，，则 （　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，，故 恒成立。选 A。 5．数列 中，，，则 （　　） A．31 B．7 C．28 D．19 【答案】A 【详解】，。选 A。 6．数列 中，，，则 （　　） A．11 B．4 C．9 D．13 【答案】A 【详解】，。选 A。 7．数列 中，，，则其前 3 项和为（　　） A．18 B．13 C．21 D．9 【答案】A 【详解】，，前 3 项和为 。选 A。 8．数列 中，，，则 的通项公式为　　　　。 【答案】 【详解】，故 。 题型三　取倒数、取对数与周期数列 【方法与技巧】 形如 的递推，两边取倒数得 ，化为等差型。 形如 （正数）的递推，两边取对数化为等比数列。 遇到递推算出的项开始重复（如 1，2，，1，2，），立刻判断周期性，求和按周期分组。 【例题精讲】 1．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】取倒数得 ，故 是首项 1、公差 1 的等差数列，，。选 A。 2．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 ，。选 A。 3．数列 满足 ，，则 （　　） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】，，，周期为 3；，故 。选 A。 【变式训练】 1．数列 中，，，则 （　　） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】取倒数 ，，故 ，。选 A。 2．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 3．数列 满足 ，，则 （　　） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【详解】，，，周期为 3。选 A。 4．数列 中，，，则 （　　） A．9 B．5 C．7 D．11 【答案】A 【详解】取倒数 ，首项 1 公差 2，故 。选 A。 5．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】；，，。选 A。 6．数列 满足 ，，，则 （　　） A．1 B．2 C． D．0 【答案】A 【详解】依次：1，2，1，，，，1，故 （周期 6）。选 A。 【巩固练习】 1．数列 中，，，则 （　　） A．7 B．5 C．9 D．6 【答案】A 【详解】取倒数 ，故 。选 A。 2．数列 中，，，则 （　　） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】，。选 A。 3．数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】，。选 A。 4．数列 中，，，则 （　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】取倒数得 ，故 。选 A。 5．数列 中，，，则前 4 项和为（　　） A．5 B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】各项为 2，，2，，和为 。选 A。 6．数列 满足 ，，，则 （　　） A．3 B．0 C．6 D． 【答案】A 【详解】各项为 1，2，，，1，2，和为 。选 A。 7．数列 中，，，则 （　　） A．7 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】取倒数得 ；，，。选 A。 8．数列 中，，，则 的通项公式为　　　　。 【答案】 【详解】取倒数得 ，故 。 题型四　数列与不等式综合 【方法与技巧】 证明 的通用套路：先把通项放大（或缩小）成可以裂项的形式，再裂项相消得到常数上界。 常用放缩：（）；； 型直接等比求和。 证明 型不等式最常用的方法是数学归纳法。 【例题精讲】 1．求证 …，所用的放缩为（　　） A．（） B． C． D． 【答案】A 【详解】 时 ，裂项后得 。选 A。 2．数列 中 ，其前 项和与 1 的关系为（　　） A．小于 1 B．等于 1 C．大于 1 D．不确定 【答案】A 【详解】。选 A。 3．用数学归纳法证明 … 时，第二步中 时左端应（　　） A．在 的左端加上 B．重新写一遍 C．乘以 D．不变 【答案】A 【详解】归纳递推时左端由 … 变为 …，即加上 。选 A。 【变式训练】 1．… 与 1 的大小关系为（　　） A．小于 1 B．等于 1 C．大于 1 D．不确定 【答案】A 【详解】和为 。选 A。 2．若 ，则 … 与 的关系为（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．不确定 【答案】A 【详解】裂项上界为 ，严格小于。选 A。 3．数列 的前 项和满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 4．用数学归纳法证明 （）时，奠基步骤应取 （　　） A．5 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【详解】命题从 开始成立，故奠基取 。选 A。 5．若 ，则其前 项和（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．大于 1 【答案】A 【详解】。选 A。 6．数列 中 ，其前 项和与 的关系为（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．不确定 【答案】A 【详解】。选 A。 【巩固练习】 1．… 的值（　　） A．小于 1 B．等于 1 C．大于 1 D．等于 2 【答案】A 【详解】。选 A。 2．证明 … 用到的裂项为（　　） A． B． C． D．无法裂项 【答案】A 【详解】正是 A 式，相消后得 。选 A。 3．数列 的前 3 项和与 的关系为（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．不确定 【答案】A 【详解】。选 A。 4．用数学归纳法证明某命题时，若 成立推得 成立，且 成立，则（　　） A．对一切正整数成立 B．只对 成立 C．对 成立 D．无法确定 【答案】A 【详解】归纳法两步齐全即对所有正整数成立。选 A。 5．若 …，则 （　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．大于 1 【答案】A 【详解】。选 A。 6．数列 中 ，其前 100 项和与 1 的关系为（　　） A．小于 1 B．等于 1 C．大于 1 D．不确定 【答案】A 【详解】。选 A。 7．用数学归纳法证 …， 时左端增加（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】第 项为 。选 A。 8．数列 的前 5 项和为　　　　。 【答案】 【详解】。 题型五　数列与函数、方程综合 【方法与技巧】 把 看成自变量为 的函数 ，用导数或二次函数配方法研究单调性与最值。 数列与方程综合时，常把递推关系写成方程，利用 的不动点分析数列的收敛性。 含参数列问题先由前几项确定参数范围，再验证对所有 成立。 【例题精讲】 1．数列 中 ，则其最小项的值为（　　） A．0 B．1 C． D．25 【答案】A 【详解】， 时最小为 0。选 A。 2．数列 中 ，则其最大项为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，（ 取到），故最大值为 。选 A。 3．数列 中 （），则其最小项为（　　） A．1 B．2 C． D．不存在 【答案】A 【详解】； 时为 ， 时为 1， 时大于 2 且递减趋于 2，故最小项为 1。选 A。 【变式训练】 1．数列 中 ，则其最大项为（　　） A．16 B．15 C．12 D．20 【答案】A 【详解】， 时最大为 16。选 A。 2．数列 中 ，则其值域中最大的项为（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】 时 ，且随 增大递减趋于 ，故最大项为 2。选 A。 3．数列 中 ，则其最小项为（　　） A．8 B．7 C． D．10 【答案】A 【详解】， 时取到 8。选 A。 4．已知数列 的通项 ，若 ，则 （　　） A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】A 【详解】。选 A。 5．数列 中 ，则其最小项为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】， 时取到 1。选 A。 6．数列 中 ，其最小项为（　　） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】A 【详解】，，递增，故最小项为 2。选 A。 【巩固练习】 1．数列 中 ，其最小项为（　　） A． B．0 C． D．5 【答案】A 【详解】， 时最小为 。选 A。 2．数列 中 ，其最大项为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】（），故最大值为 。选 A。 3．数列 中 ，其最小项为（　　） A．8 B．10 C． D．12 【答案】A 【详解】， 时取到 8。选 A。 4．数列 中 ，其最小项为（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】，，，之后递增，故最小项为 2。选 A。 5．数列 中 ，其最大项为（　　） A． B．0 C． D．不存在 【答案】A 【详解】 时 ，之后递减（ 递减），故最大项为 。选 A。 6．数列 中 ，其值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 时为 0，随 增大递增趋于 1 但取不到，故值域 。选 A。 7．数列 中 ，其最大项为（　　） A．4 B．3 C．0 D． 【答案】A 【详解】， 时最大为 4。选 A。 8．数列 中 的最小项为　　　　。 【答案】9 【详解】，，且递增，故最小项为 9。 题型六　数列的实际应用与新情境 【方法与技巧】 应用题先判断模型：每期增加固定量是等差，每期按固定倍数增长是等比，混合的用递推。 增长率问题：若每期增长率为 ，则 ，注意 可能随期数变化。 分期付款、存款复利问题关键是找准“第 期末”的余额递推式，再解递推。 【例题精讲】 1．某产品第一年产量 100 台，以后每年比上一年增产 20%，则第三年产量为（　　） A．144 台 B．120 台 C．140 台 D．160 台 【答案】A 【详解】。选 A。 2．某人年初存入银行 10000 元，年利率 2%，按复利计息，则两年后本息和为（　　） A．10404 元 B．10400 元 C．10200 元 D．14000 元 【答案】A 【详解】。选 A。 3．一个细胞每次分裂成 2 个，初始 1 个，则第 5 次分裂后共有（　　）个。 A．32 B．16 C．10 D．64 【答案】A 【详解】。选 A。 【变式训练】 1．某企业产值每年增长 10%，则三年后产值是原来的（　　） A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍 【答案】A 【详解】。选 A。 2．某林场木材蓄积量每年增长 5%，同时每年砍伐固定量，若只考虑增长则 10 年后为原来的（　　） A． 倍 B． 倍 C． 倍 D．2 倍 【答案】A 【详解】等比模型，倍数为 。选 A。 3．一堆物品第一层 1 个，以后每层比上一层多 2 个，共 10 层，则总数为（　　） A．100 B．90 C．110 D．120 【答案】A 【详解】，。选 A。 4．某人第 1 个月存 100 元，以后每月比上月多存 50 元，则第 6 个月存（　　）元。 A．350 B．300 C．400 D．250 【答案】A 【详解】。选 A。 5．一种细菌每 20 分钟分裂一次（数量翻倍），3 小时后数量是原来的（　　） A． 倍 B． 倍 C．9 倍 D． 倍 【答案】A 【详解】3 小时 分钟，分裂 9 次，故为 倍。选 A。 6．某商品第 1 天销量 200 件，之后每天销量是前一天的 ，则前 4 天总销量为（　　） A．375 件 B．400 件 C．350 件 D．300 件 【答案】A 【详解】。选 A。 【巩固练习】 1．某城市人口每年增长 1%，则两年后为原来的（　　） A． 倍 B． 倍 C． 倍 D．2 倍 【答案】A 【详解】。选 A。 2．某工厂月产量每月增加 100 件，1 月产 500 件，则 6 月产量为（　　） A．1000 件 B．900 件 C．1100 件 D．600 件 【答案】A 【详解】。选 A。 3．某种药物每过 4 小时体内残留量减半，初始 200 mg，12 小时后残留（　　） A．25 mg B．50 mg C．100 mg D． 【答案】A 【详解】残留 。选 A。 4．某数列模型 ，，则 （　　） A．1090 B．1100 C．1000 D．990 【答案】A 【详解】。选 A。 5．阶梯水价：第 1 档 0~10 吨每吨 2 元，超出部分每吨 3 元，则用 15 吨水费为（　　） A．35 元 B．30 元 C．45 元 D．40 元 【答案】A 【详解】。选 A。 6．某人跑步第 1 天 2 km，以后每天比前一天多跑 ，则前 5 天共跑（　　） A．15 km B． C． D．10 km 【答案】A 【详解】，。选 A。 7．某投资每年收益率为 8%，按复利计，则约需（　　）年翻倍（，）。 A．9 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【详解】。选 A。 8．某数列满足 ，，则 　　　　。 【答案】16 【详解】。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．数列 中，，，则 （　　） A．13 B．11 C．15 D．9 【答案】A 【详解】。选 A。 2．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。选 A。 3．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】取倒数得 ，故 。选 A。 4．数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。选 A。 5．数列 中 ，其最大项为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 时分母 最小为 6，故最大项为 。选 A。 6．… 与 1 的关系为（　　） A．小于 1 B．等于 1 C．大于 1 D．不确定 【答案】A 【详解】和为 。选 A。 7．某产品首年产量 200 台，每年增长 10%，则第三年产量为（　　） A．242 台 B．220 台 C．240 台 D．200 台 【答案】A 【详解】。选 A。 8．数列 中，，，则 （　　） A．4 B．3 C．5 D．8 【答案】A 【详解】累乘得 ，故 。选 A。 【多项选择题】 9．（多选）下列递推可用累加或累乘直接求通项的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】C 需待定系数构造等比数列，不是直接累加累乘。选 ABD。 10．（多选）关于递推 （），下列说法正确的有（　　） A．可化为 B． C． 是等比数列 D． 一定是等差数列 【答案】ABC 【详解】构造后 为等比， 一般不是等差。选 ABC。 11．（多选）证明与自然数有关的不等式常用的方法有（　　） A．数学归纳法 B．裂项相消放缩 C．等比数列求和上界 D．求导 【答案】ABC 【详解】三种都是常用方法，求导是处理函数型最值的辅助手段。选 ABC。 【填空题】 12．数列 中，，，则 　　　　。 【答案】15 【详解】，。 13．数列 中，，，则 　　　　。 【答案】11 【详解】。 14．数列 中，，，则 的通项公式为　　　　。 【答案】 【详解】，故 。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $