第七章 证明 题型精讲讲义2026-2027学年北师大版数学八年级上册

北师大版·八年级上册·第七章 证明·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第七章 证明 题型精讲讲义-2026-2027学年八年级上册数学北师大版 北师大版（2024年版）八年级数学上册　第七章　证明　1 为什么要证明　2 认识证明　3 平行线的证明 含 10 个考点例题　/　共 83 题（变式 41 · 易错 6 · 作业 26）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．知道观察、实验、归纳得到的结论可能正确也可能不正确，会用举反例的办法否定一个猜想，会把一个规律猜想用整式运算验证一遍。 2．能说出定义、命题、条件、结论、真命题、假命题、反例、公理（基本事实）、定理、证明的含义，会把命题改写成“如果……，那么……”的形式，会举反例说明假命题。 3．会用“同位角相等，两直线平行”这一基本事实证明“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”，会用平行线的性质定理求角，能按“已知—求证—证明”的格式写出每步带依据的证明。 学习重难点 重点：命题的条件与结论、举反例；证明的格式与每步依据（基本事实、定义、定理、等量代换）；平行线的判定定理与性质定理的区分与综合运用；平行线间折线（拐点）问题。 难点：判定与性质方向相反：由角的关系推出线平行是判定，由线平行推出角的关系是性质，依据写反整步作废；反例必须满足条件而不满足结论；两边分别平行的两个角相等或互补，要分两种情况；平行线间的拐点问题要先过拐点作平行线，看清拐点在哪一侧。 　目　录 知识梳理 3 知识点 01　为什么要证明 3 知识点 02　定义与命题 3 知识点 03　真命题、假命题与反例 4 知识点 04　公理（基本事实）、定理与证明 4 知识点 05　平行线的判定定理 5 知识点 06　平行线的性质定理 5 知识点 07　证明的步骤与书写格式 6 考点 1　观察、归纳得出的猜想与举反例检验 7 考点 2　命题的识别与“如果……，那么……”的改写 8 考点 3　真命题、假命题与举反例 9 考点 4　证明的依据：基本事实、定义与定理 10 考点 5　余角、补角与对顶角的计算 11 考点 6　平行线的判定定理及其应用 12 考点 7　平行线的性质定理求角 14 考点 8　判定与性质的综合运用（先判后用） 15 考点 9　平行线间的折线问题 17 考点 10　平行线在实际情境中的应用 18 易错专练 20 课后作业（一）基础巩固 21 课后作业（二）能力进阶 22 课后作业（三）拓展延伸 23 参考答案与解析 25 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　为什么要证明 观察、实验、归纳是人们认识事物的重要手段，但通过观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明。用自己的话说：看出来的、量出来的、代几个数试出来的，都只能叫猜想；推理过了关，才能叫结论。即时小例：图中线段a两端的折线向里收，线段b两端的折线向外张，看上去a比b短，用直尺量一量，二者其实一样长。 观察、实验、归纳 → 得到猜想（可能对，也可能错） 有理有据的证明 → 确认结论正确 小提示：试了几个数都成立，并不能说明对所有情况都成立；反过来，只要找到一个不成立的例子，就足以说明猜想不正确。 知识点　02　定义与命题 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是给出它们的定义，例如“两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离”。判断一件事情的句子，叫作命题；问句、作图语句没有对事情作出判断，不是命题。每个命题都由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。即时小例：如图，∠1与∠2是邻补角，“邻补角互补”可以写成“如果两个角是邻补角，那么这两个角互补”，条件是两个角是邻补角，结论是这两个角互补。 命题＝判断一件事情的句子 命题＝条件＋结论：如果（条件），那么（结论） 小提示：错误的判断也是命题，只不过是假命题；“画一条线段”“这个角是多少度？”没有作出判断，才不是命题。 知识点　03　真命题、假命题与反例 正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。举一个反例就可以说明一个命题是假命题；要证实一个命题是真命题，则要从已经知道的真命题出发进行推理。即时小例：命题“两个锐角的和是钝角”是假命题。如图，取两个锐角35°与40°拼在一起，它们的和是75°，仍是锐角——条件满足了，结论却不成立。 反例＝满足条件＋不满足结论 说明假命题：举一个反例即可；说明真命题：必须证明 小提示：反例要同时做到两点：条件完全满足，结论不成立。只满足一半的例子（例如所举的两个角有一个不是锐角）不能算反例。 知识点　04　公理（基本事实）、定理与证明 古希腊数学家欧几里得编写《原本》时，挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，公认的真命题称为公理。演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理。本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点，已认识的八条是：两点确定一条直线；两点之间线段最短；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；以及判定三角形全等的三条。等式的性质、不等关系的性质也可以作为依据，例如如果a＝b，b＝c，那么a＝c，称为“等量代换”。从基本事实出发可以证明定理：同角（或等角）的补角相等；同角（或等角）的余角相等；对顶角相等；三角形的任意两边之和大于第三边。即时小例：如图，直线EF与GH相交于点O，∠EOG与∠FOH都是∠EOH的补角，由“同角的补角相等”得∠EOG＝∠FOH。 每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明 定理：同角（或等角）的补角相等；同角（或等角）的余角相等；对顶角相等 小提示：“同位角相等，两直线平行”是基本事实，直接当依据用；“内错角相等，两直线平行”是定理，要由基本事实推出来。二者地位不同，写依据时不要混。 知识点　05　平行线的判定定理 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，这是基本事实。由它可以证明两个定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简述为“内错角相等，两直线平行”；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简述为“同旁内角互补，两直线平行”。还可以证明：平行于同一条直线的两条直线平行。证明内错角的那条定理，思路是借对顶角相等把内错角换成同位角，再用基本事实。即时小例：如图，∠1与∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，若∠1＝∠2，由对顶角相等得∠3＝∠1，于是∠3＝∠2，而∠3与∠2是同位角，所以a∥b。 同位角相等，两直线平行（基本事实） 内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行（定理） 平行于同一条直线的两条直线平行（定理） 小提示：判定是“由角的关系推出线平行”：已知的是角，要得的是平行。图上看起来平行不能当理由。 知识点　06　平行线的性质定理 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，简述为“两直线平行，同位角相等”；两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，简述为“两直线平行，内错角相等”；两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，简述为“两直线平行，同旁内角互补”。性质定理与判定定理的条件和结论正好互换：判定由角的关系得出两直线平行，性质由两直线平行得出角的关系。即时小例：如图，a∥b，直线c截a、b，∠1＝72°，则它的内错角∠2＝72°，与∠1同旁的内角∠3＝180°－72°＝108°。 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 小提示：用性质之前，条件里必须先有“两直线平行”（已知给出或先证出来）；“两直线平行，同位角相等”的证明是选学内容，会用即可。 知识点　07　证明的步骤与书写格式 证明一个命题，一般要经历这样几步：根据题意画出图形；结合图形，用符号写出“已知”和“求证”；分析证明的思路；写出证明过程，每一步都注明依据，依据只能是基本事实、定义、已经证明的定理和等式的性质等。符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”。分析思路时，一头从已知出发看能推出什么，一头从求证出发看还需要什么，两头接上就找到了证明的路。即时小例：如图，两条直线相交，已知∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，由“同角的补角相等”即可写出∠1＝∠3。 画图 → 写已知、求证 → 分析思路 → 写证明（每步注依据） “∵”读作因为，“∴”读作所以 小提示：“已知”只写题目给的条件，不能把要证的结论写进已知；每一步的依据要与这一步的推理方向一致。 【题型1】观察、归纳得出的猜想与举反例检验 本题型对应“为什么要证明”：由几个特例归纳出的规律只是猜想。检验猜想有两条路——找到一个不成立的例子就能否定它；想确认它，就要用运算或推理对所有情况说明。 例1　小宇把n＝0，1，2，3分别代入式子+n+11，得到11，13，17，23，都是质数，于是他猜想：对于所有的自然数n，式子+n+11的值都是质数。请找出一个使这个猜想不成立的自然数n，并写出此时式子的值。 【分析】要否定“对所有自然数都成立”的猜想，只需找一个满足条件（n是自然数）却不满足结论（值是质数）的n。式子里常数项是11，可以设法让每一项都含因数11。 【解答】取n＝10，+n＝n(n+1)＝10×11＝110， 于是+n+11＝110+11＝121＝11×11。 121除了1和它本身外还有因数11，不是质数，所以小宇的猜想不成立。 【方法小结】找反例时盯住式子的结构：让各项出现公共因数，比盲目一个个试快得多。n＝0到9代入都得质数，这正说明“多试几个”也靠不住。 题型1　变式：代数式的质数猜想、规律等式的验证与直觉估计 四道变式：两道用反例否定猜想，一道把归纳出的规律用整式运算验证，一道先凭感觉估计再计算，体会“直觉会骗人”。 变式1　对于式子+29，取n＝1，2，3，4算出的值31，37，47，61全是质数。有人据此断言：n取任何正整数，+29的值都是质数。请找出使这一断言不成立的一个正整数n，并把此时式子的值写成两个质数的积。 变式2　要说明“对于任意正整数n，-n+5的值都是质数”是一个错误的猜想，可以取n的值为（　　）。 A．3 B．4 C．5 D．7 变式3　观察下列算式：1×3+1＝4，2×4+1＝9，3×5+1＝16，…，右边依次是2，3，4，…的平方。按照这个规律，第n个等式可以写成________；把等式两边展开比较，可以确认它对所有正整数n都成立。第20个等式的右边等于____。 变式4　一个圆形花坛的半径是8 m，一个圆形湖面的半径是80 m。沿两者外围各做一圈圆形护栏，每圈护栏都比原来的圆周长多6.28 m，且护栏与原来的圆之间的间隙处处一样宽。先凭感觉估一估哪个间隙更宽，再分别算出两个间隙的宽度（π取3.14）。 【题型2】命题的识别与“如果……，那么……”的改写 判断一个句子是不是命题，只看它有没有对一件事情作出判断，与判断得对不对无关。找条件和结论，先把命题改写成“如果……，那么……”的形式，改写时要补全省略的主语。 例1　有下列语句：①等角的补角相等；②画∠AOB的平分线；③相等的两个角一定是对顶角吗？④有理数的绝对值是非负数；⑤若|a|＝|b|，则a＝b。其中是命题的有________（填序号）；把④改写成“如果……，那么……”的形式为________。 【分析】①④⑤都对一件事作出了判断，是命题（⑤是假命题，但仍是命题）；②是作图语句，③是问句，都没有作出判断。 【解答】是命题的有①④⑤。 ④的条件是“一个数是有理数”，结论是“这个数的绝对值是非负数”，改写为：如果一个数是有理数，那么这个数的绝对值是非负数。 【方法小结】改写时把省略的主语补回来：“有理数的绝对值”说的是“一个数”，条件里写出“一个数是有理数”，结论里用“这个数”指回去。 题型2　变式：挑出不是命题的句子、指出条件和结论与景点游览推理 四道变式：先辨认命题，再练条件、结论的拆分和改写，最后用“条件—结论”的思路做一道生活推理。 变式1　小亮写了四句话，其中不能叫作命题的是（　　）。 A．内错角相等 B．延长线段CD到点E C．3+4＞6 D．a的平方是非负数 变式2　命题“同旁内角互补”的条件是________，结论是________；这个命题不一定成立，因为被截的两条直线________时，同旁内角不互补。 变式3　把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出条件和结论：(1)等角的余角相等；(2)互为相反数的两个数的和是0。 变式4　某博物馆有甲、乙、丙三个展厅，参观了甲厅的观众都会接着参观乙厅，参观了乙厅的观众都会接着参观丙厅。据此一定能推出的结论是（　　）。 A．参观了丙厅的观众一定参观了甲厅 B．没有参观丙厅的观众一定没有参观甲厅 C．参观了乙厅的观众一定参观了甲厅 D．没有参观甲厅的观众一定没有参观丙厅 【题型3】真命题、假命题与举反例 说明一个命题是假命题，举一个反例就够了；反例必须满足命题的条件、而使结论不成立。说明一个命题是真命题，不能靠举例，只能靠推理。 例1　指出命题“如果＝，那么a＝b”的条件和结论，并举一个反例说明它是假命题。 【分析】反例要让＝成立，同时让a＝b不成立。平方相等的两个数，可以是互为相反数的两个数。 【解答】条件是＝，结论是a＝b。 取a＝3，b＝-3，则＝9，＝＝9，满足＝； 但3≠-3，结论不成立，所以这个命题是假命题。 【方法小结】举反例三步：写出条件与结论 → 找满足条件的例子 → 验证结论不成立。 题型3　变式：挑真命题、用角的度数举反例、写反例的取值与交换条件和结论 五道变式：前两道辨认真假，中间两道动手写反例，最后一道把条件和结论互换得到新命题再判断真假。 变式1　对于下面四句话，判断为真命题的一句是（　　）。 A．相等的角是对顶角 B．同位角相等 C．若a＞b，则＞ D．同角的余角相等 变式2　举一个反例说明命题“一个角的补角一定大于这个角”是假命题（写出所举角的度数和它的补角的度数）。 变式3　对于命题“若|x|＞3，则x＞3”，能说明它是假命题的一个反例是x＝____（写出一个即可）。 变式4　有下列命题：①连接两点的所有连线中，线段最短；②若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互为余角；③两个锐角的和一定是钝角；④等角的补角相等。其中真命题有（　　）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式5　把命题“如果一个数是正数，那么它的绝对值等于它本身”的条件和结论互换，写出一个新命题；新命题是真命题还是假命题？若是假命题，举出一个反例。 【题型4】证明的依据：基本事实、定义与定理 写证明时每一步都要有依据，依据只有几类：已知、定义、基本事实、已经证明的定理、等式的性质（含等量代换）。先看这一步是由什么推出来的，再对号入座填依据。 例1　已知：如图，∠AOC＝∠BOD＝90°。求证：∠AOB＝∠COD。补全下面的证明过程：∵∠AOC＝90°（已知），∴∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°。同理∠COD＋∠BOC＝∠BOD＝90°。∴∠AOB与∠BOC互余，∠COD与∠BOC互余（________），∴∠AOB＝∠COD（________）。 【分析】∠AOB与∠COD都和同一个角∠BOC凑成90°，这正是“同角的余角”。 【解答】第一空：和为90°的两个角互为余角，依据是余角的定义； 第二空：两个角都是∠BOC的余角，依据是“同角的余角相等”。 【方法小结】填依据看推理方向：由“和为90°”到“互余”用定义；由“是同一个角的余角”到“相等”用定理。 题型4　变式：辨认基本事实、补全判定定理的依据、写“已知求证”与对顶角的依据 四道变式把“依据”练扎实：分清哪些是基本事实、按步骤补依据、自己写出已知与求证并完成证明，最后回到对顶角相等的依据。 变式1　下面四个结论中，本章把它作为基本事实、不加证明直接使用的是（　　）。 A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．经过两点有且只有一条直线 D．等角的补角相等 变式2　已知：如图，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，∠BGH与∠DHG互补。求证：AB∥CD。证明：∵∠BGH与∠DHG互补（已知），∠CHG与∠DHG互补（________），∴∠BGH＝∠CHG（________），∴AB∥CD（________）。 变式3　已知∠α＝∠β，∠α与∠γ互余，∠β与∠δ互余。求证：∠γ＝∠δ（写出每一步的依据）。 变式4　证明“对顶角相等”时，关键一步用到的依据是（　　）。 A．同角的补角相等 B．同角的余角相等 C．垂线段最短 D．等角的余角相等 【题型5】余角、补角与对顶角的计算 两直线相交得到对顶角与邻补角，再加上垂直就有余角。计算时先把图中已知角与所求角的关系（互余、互补、对顶）找出来，再列式；两个角的关系说不清时，设未知数列方程。 例1　如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠DOE＝34°。求∠AOD与∠AOC的度数。 【分析】OE⊥AB给出∠AOE＝90°，∠AOD是它减去∠DOE；∠AOC与∠AOD是邻补角。 【解答】∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°。 ∴∠AOD＝∠AOE-∠DOE＝90°-34°＝56°。 ∵点C、O、D在同一直线上，∴∠AOC＝180°-∠AOD＝180°-56°＝124°。 【方法小结】垂直给90°，平角给180°，两个“总量”减去已知部分就是所求。 题型5　变式：列方程求角、平分线与对顶角、互补互余的传递和直角纸片的重叠 四道变式：一道设未知数列方程，一道在两直线相交的图里接着用角平分线，一道练“互补、互余”的传递，一道算两块直角纸片重叠部分的角。 变式1　一个角的补角加上30°，恰好等于它的余角的4倍，这个角是____°。 变式2　如图，直线EF与GH相交于点O，射线OP平分∠FOH，∠EOG＝76°。求∠POG的度数。 变式3　∠α的补角是∠β，∠β的余角是∠γ，已知∠α＝127°，那么∠γ等于（　　）。 A．37° B．53° C．127° D．143° 变式4　把两块直角纸片的直角顶点重合于点O叠放，如图，∠AOB＝∠COD＝90°，量得∠AOD＝152°。求∠BOC的度数。 【题型6】平行线的判定定理及其应用 要证两直线平行，就去找这两条直线被第三条直线截出的一对角：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，三者有其一即可。已知条件里的角常要先经过平分线、对顶角或三角形内角和转化一下。 例1　已知：如图，点E在AD上，BE平分∠ABC，∠BAD＝112°，∠AEB＝34°。求证：AD∥BC。 【分析】AD与BC被BE所截，∠AEB与∠EBC是内错角，只要证它们相等。∠EBC等于∠ABE，而∠ABE可以在△ABE中由以前学过的三角形内角和求出。 【解答】在△ABE中，∠BAE＋∠ABE＋∠AEB＝180°（三角形内角和等于180°）， ∴∠ABE＝180°-112°-34°＝34°。 ∵BE平分∠ABC（已知），∴∠EBC＝∠ABE＝34°（角平分线的定义）。 ∴∠AEB＝∠EBC（等量代换）， ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）。 【方法小结】先认准“哪两条线被哪条线所截”，再确定要找的是哪一对角，最后把已知一步步转化到这对角上。 题型6　变式：挑出不能判定的条件、由角平分线证平行、看图说出平行线与零件对边 四道变式：先在一张图里分清同位角、内错角、同旁内角，再用角平分线转化条件完成证明，然后由两组角的关系说出两对平行线，最后回到实际零件。 变式1　如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是（　　）。 A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4 C．∠2＋∠3＝180° D．∠1＝∠4 变式2　已知：如图，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，GK平分∠EGB，HN平分∠GHD，且∠EGK＝∠GHN。求证：AB∥CD。 变式3　如图，直线c、d与直线a、b相交。若∠1＝∠2，则____∥____；若∠2＋∠3＝180°，则____∥____。 变式4　工人师傅加工一块四边形零件ABCD，量得∠DAB＝63°，∠ABC＝117°，∠BCD＝63°。这块零件的两组对边各有怎样的位置关系？写出推理过程。 【题型7】平行线的性质定理求角 已知两直线平行，就能把一个角“搬”到另一处：同位角、内错角相等，同旁内角互补。求角前先说清是哪两条平行线、被哪条线所截。 例1　如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，∠EFD＝64°，EP平分∠AEF，交CD于点P。求∠EPF与∠BEP的度数。 【分析】AB∥CD，被EF所截，∠AEF与∠EFD是内错角；被EP所截，∠AEP与∠EPF是内错角。 【解答】∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠EFD＝64°（两直线平行，内错角相等）。 ∵EP平分∠AEF，∴∠AEP＝64°÷2＝32°。 ∵AB∥CD，∴∠EPF＝∠AEP＝32°（两直线平行，内错角相等）。 ∠BEP＝180°-∠AEP＝180°-32°＝148°。 【方法小结】平行线加角平分线，常常要连用两次“内错角相等”，中间用平分线把角折半。 题型7　变式：同旁内角求角、四边形中的两组角、垂线与平行线、三条平行线 四道变式：先直接用一次性质，再在四边形里用两次，然后把垂直与平行放在一起，最后借“平行于同一条直线的两条直线平行”在三条直线间传递角。 变式1　如图，a∥b，直线c与a、b分别交于点P、Q，∠1＝47°，则∠2＝____°。 变式2　一块木板的截面是四边形ABCD，AD∥BC，量得∠ABC＝54°，∠CDA＝106°。求∠DAB与∠BCD的度数。 变式3　如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，FG⊥EF交AB于点G，∠EFD＝56°，则∠AGF的度数是（　　）。 A．34° B．56° C．124° D．146° 变式4　如图，直线a∥c，b∥c，直线d与a、b、c分别交于点P、Q、K，∠1＝70°。求∠2与∠3的度数。 【题型8】判定与性质的综合运用（先判后用） 综合题常见两步：先由角的关系判定两直线平行（判定），再由平行得出新的角的关系（性质）。写证明时两步的依据方向相反，要分清。 例1　如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，点F在BC上，∠ADE＝∠B，∠C＝58°，EF平分∠DEC。求∠EFC的度数。 【分析】∠ADE＝∠B是同位角相等，可先判定DE∥BC；再由平行求∠DEC，用平分线求∠DEF，最后又用一次平行得∠EFC。 【解答】∵∠ADE＝∠B，∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）。 ∴∠DEC＋∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∠DEC＝180°-58°＝122°。 ∵EF平分∠DEC，∴∠DEF＝122°÷2＝61°。 ∵DE∥BC，∴∠EFC＝∠DEF＝61°（两直线平行，内错角相等）。 【方法小结】一道题里判定与性质各用一次：前一步“由角得平行”，后一步“由平行得角”，依据的方向正好相反。 题型8　变式：判定后求角、由平行与等角推出另一组平行、平分线的平行与判定后再用对顶角 四道变式：两道先判定再求角，两道证明题分别走“性质→判定”与“判定→性质→判定”的链条。 变式1　如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，∠ADE＝∠B，若∠C＝53°，则∠DEC＝____°。 变式2　已知：如图，AD∥BC，∠ABC＝∠CDA。求证：AB∥CD。 变式3　已知：如图，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠AEF＝∠EFD，EG平分∠BEF，FH平分∠EFC。求证：EG∥FH。 变式4　如图，直线a、b被直线c、d所截，∠1＝∠2，∠3＝66°，则∠4的度数是（　　）。 A．24° B．66° C．90° D．114° 【题型9】平行线间的折线问题 两条平行线之间有一个拐点时，过拐点作已知直线的平行线，把拐点处的角分成两块，每块都能用平行线的性质“搬”到两条已知直线上。拐点朝向不同，结论也不同。 例1　如图，AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，∠ABE＝38°，∠CDE＝27°。求∠BED的度数。 【分析】过点E作EP∥AB，把∠BED分成∠BEP与∠PED两部分，分别与∠ABE、∠CDE是内错角。 【解答】过点E作EP∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）。 ∵AB∥CD，∴EP∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）。 ∴∠BEP＝∠ABE＝38°，∠PED＝∠CDE＝27°（两直线平行，内错角相等）。 ∴∠BED＝∠BEP＋∠PED＝38°＋27°＝65°。 【方法小结】拐点在两平行线之间且开口朝外时，拐点处的角等于两端两个角的和；辅助线EP是解题时自己添的，题目的图上没有。 题型9　变式：管道的三次拐弯、拐点处成直角、两条平分线的交点与反光罩 四道变式：拐点开口朝内（三个角和为360°）、拐点处是直角、两条角平分线交出第二个拐点，以及把平行线用到手电筒反光罩上。 变式1　一段输水管道的走向如图所示，管道AB与CD互相平行，在点B、E、D处各拐了一次弯。已知∠ABE＝125°，∠BED＝100°，求∠EDC的度数。 变式2　如图，AB∥CD，点E在两直线之间，BE⊥DE，若∠ABE＝33°，则∠CDE＝____°。 变式3　如图，AB∥CD，点E在两直线之间，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，BF与DF交于点F，∠BED＝84°。求∠BFD的度数。 变式4　手电筒的反光罩能把从灯泡O处发出的光线变成平行光射出。如图，光线OB、OC经反光罩反射后，分别沿BA、CD方向射出，且BA∥PQ∥CD（直线PQ经过点O）。若∠ABO＝52°，∠DCO＝106°，求两条光线所成的∠BOC的度数。 【题型10】平行线在实际情境中的应用 潜望镜、公路拐弯、木板检验、画平行线这些实际问题，先把实物抽象成直线与角，认出其中的平行线，再用判定或性质推理计算。 例1　如图，潜望镜中光线EF射到平面镜AB上的点F，反射光线FG射到平面镜CD上的点G，再反射出光线GH。由光的反射规律可知∠EFA＝∠GFB，∠FGC＝∠HGD。(1)若∠EFA＝40°，求∠EFG的度数；(2)若射出光线GH与射入光线EF平行，求证：AB∥CD。 【分析】(1)点F处三个角拼成平角；(2)先由EF∥GH得内错角∠EFG＝∠FGH（性质），再把这两个角分别用∠GFB、∠FGC表示，得∠GFB＝∠FGC，最后用判定得AB∥CD。 【解答】(1)∵∠GFB＝∠EFA＝40°，∴∠EFG＝180°-40°-40°＝100°。 (2)∵EF∥GH（已知），∴∠EFG＝∠FGH（两直线平行，内错角相等）。 ∵∠EFA＝∠GFB，∴∠EFG＝180°-2∠GFB（平角的定义）；同理∠FGH＝180°-2∠FGC。 ∴180°-2∠GFB＝180°-2∠FGC，∴∠GFB＝∠FGC（等式的性质）。 ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。 【方法小结】反射问题先把“入射角等于反射角”翻译成两对相等的角；本题先用性质（由EF∥GH得角相等），再用判定（由角相等得AB∥CD），两步依据的方向正好相反。 题型10　变式：公路拐弯（同向与反向）、检验木板两边与平推三角尺画平行线 四道变式：公路两次拐弯后方向相同或相反，分别对应内错角相等与同旁内角互补；木板检验用判定；最后说清平推三角尺画平行线的道理。 变式1　如图，一段公路从A到B后在点B处拐弯，到点C处再拐弯沿CD方向延伸，拐弯后CD与AB平行且方向相同。若∠ABC＝146°，求∠BCD的度数。 变式2　如图，AB、CD是一段“U形”弯道的两段直路，AB∥CD，汽车按A、B、C、D的顺序行驶，在B、C两处各转一次弯，前后行驶方向正好相反。已知∠ABC＝118°，求∠BCD的度数。 变式3　工人师傅要检验一块木板的两条边AB、CD是否平行，他画了一条直线EF与两边分别交于点E、F，量得∠BEF＝63°。∠EFD等于多少度时，可以判定AB∥CD？写出依据。 变式4　用一把直尺和一块三角尺画平行线：把三角尺的一条边紧靠直尺，沿三角尺的另一条边画直线a；把三角尺沿直尺平推一段距离，再沿同一条边画直线b，则a∥b。这样画之所以能保证a∥b，用到的角的关系是（　　）。 A．同位角相等 B．内错角相等 C．同旁内角互补 D．对顶角相等 　易错专练 本章的失分集中在六处：把性质当判定写依据、举的反例不满足条件、认错被截的两条直线、以为假命题不是命题、两边分别平行的角只算一种情况、解方程移项时忘记变号。每题先看错解，再对照错因与正解。 易错1　如图，∠1与∠2是直线AB、CD被直线EF截出的一对同位角，且∠1＝∠2。写出由此得到AB∥CD的推理过程（每步注明依据）。 易错2　举一个反例，说明命题“如果∠1与∠2互补，那么∠1与∠2中一个是锐角、另一个是钝角”是假命题。 易错3　如图，在四边形ABCD中，连接AC，∠1＝∠2。由此可以判定哪两条线段所在的直线平行？ 易错4　“相等的两个角是对顶角”这句话是不是命题？如果是，它是真命题还是假命题？请说明理由。 易错5　已知∠α与∠β的两边分别平行，∠α＝50°，求∠β的度数。 易错6　∠α的补角的减去10°，恰好等于∠α的余角。求∠α的度数。 　课后作业（一）基础巩固 下面8题是本章必会的内容，每题只有一个选项符合题意。考查次序是定义与命题、反例、平行线的判定与性质、基本事实与定理。 1．下列语句中，属于定义的是（　　）。 A．同角的补角相等 B．等边三角形的三个内角都相等 C．两条直线相交所成的四个角中有一个是直角时，就说这两条直线互相垂直 D．直角都相等 2．要说明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题，可以举的反例是（　　）。 A．a＝3，b＝2 B．a＝-2，b＝-3 C．a＝4，b＝-1 D．a＝5，b＝0 3．如图，直线a、b被直线c所截，∠1＝78°，当∠2等于（　　）时，a∥b。 A．12° B．102° C．78° D．112° 4．“经过直线外一点，只能画出唯一一条直线与已知直线平行”这句话，在本章中的身份是（　　）。 A．定义 B．基本事实 C．需要证明的定理 D．假命题 5．若一个角的余角是26°，则这个角的补角是（　　）。 A．116° B．154° C．64° D．26° 6．如图，AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交，∠1＝112°，则∠2的度数是（　　）。 A．22° B．56° C．112° D．68° 7．把命题“两个奇数的和是偶数”改写成“如果……，那么……”的形式，正确的是（　　）。 A．如果两个数都是奇数，那么这两个数的和是偶数 B．如果两个数的和是偶数，那么这两个数都是奇数 C．如果两个数不都是奇数，那么这两个数的和不是偶数 D．和是偶数的两个数都是奇数 8．在同一平面内，直线a∥b，直线c⊥a，则直线c与b的位置关系是（　　）。 A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 　课后作业（二）能力进阶 第9～16题只要求写出结果。这一组把命题的改写、反例、对顶角与平行线的计算、证明中的依据各考一遍。 9．把“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……，那么……”的形式：________。 10．命题“若a＋b＜0，则a＜0且b＜0”是假命题，能说明这一点的一组反例是a＝____，b＝____（写出一组即可）。 11．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠EGB＝57°，则∠DHF＝____°。 12．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC与∠BOD的和是96°，则∠AOD＝____°。 13．如图，直尺的两边互相平行，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝29°，则∠2＝____°。 14．在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3倍少36°，则∠A＝________°。 15．推理填空：已知p∥r，q∥r，直线s截这三条直线，∠1、∠2、∠3分别是s与r、p、q相交所成的一组同位角，由p∥r得∠2＝∠1，由q∥r得∠3＝∠1，于是∠2＝∠3，这一步的依据是________；再由∠2＝∠3得p∥q，依据是________。 16．如图，直线a、b被直线c所截，∠1＝(2x+10)°，∠2＝(3x-25)°，当x＝____时，a∥b。 　课后作业（三）拓展延伸 第17～26题要写出完整的计算或证明过程。这一组把反例、判定与性质的综合、平行线间的折线与角的计算合在一起用。 17．有同学把n＝1，2，3分别代入式子-+12n-6，发现结果都等于n本身，于是猜想：对于所有正整数n，这个式子的值都等于n。取n＝4检验这个猜想，并说出检验的结论。 18．已知：如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，AE与CE交于点E。求证：AE⊥CE。 19．如图，AB∥CD，直线BC截AB、CD，∠ABC＝(3x+10)°，∠BCD＝(5x-30)°。求x的值及∠ABC的度数。 20．已知命题：直角都相等。(1)写出它的条件和结论；(2)交换条件和结论得到一个新命题，这个新命题成立吗？不成立时请举出反例。 21．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，∠A＝48°，∠ADE＝67°。求∠C与∠DEC的度数。 22．已知：如图，AB、CD被直线EF所截，交点依次为G、H，∠AGE＝∠DHF。求证：AB∥CD。 23．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，OE平分∠BOC，∠AOD＝24°。求∠DOE的度数。 24．如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，点E在AB上，射线EG交CD于点G，∠FEG＝28°。求∠EGD的度数。 25．已知：如图，AB∥CD，连接BC，射线BE、CF分别在∠ABC、∠BCD的内部，且∠ABE＝∠DCF。求证：BE∥CF。 26．如图，AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，连接BP、DP，设∠ABP＝x°，∠CDP＝y°。(1)如图1，点P在直线BD的左侧，用含x、y的式子表示∠BPD；(2)如图2，点P在直线BD的右侧，用含x、y的式子表示∠BPD。 　参考答案与解析 　题型1　变式：代数式的质数猜想、规律等式的验证与直觉估计 变式1　【答案】n＝29（答案不唯一），此时式子的值是1711＝29×59 【解析】常数项是29，取n＝29时两项都含因数29。 +29＝2×841+29＝1682+29＝1711， 而1711＝29×59，不是质数，所以猜想不成立。其实n＝1到28代入都得质数，只试前几个数更看不出问题。 变式2　【答案】C 【解析】n＝3时，-n+5＝9-3+5＝11，是质数，不能作反例。 n＝4时，16-4+5＝17，是质数，不能作反例。 n＝5时，25-5+5＝25＝5×5，不是质数，满足条件而不满足结论，是反例，选C。 n＝7时，49-7+5＝47，是质数，不能作反例。 变式3　【答案】n(n+2)+1＝；441 【解析】每个等式左边是“相邻两个奇数或偶数之积加1”：第n个是n与n+2的积再加1，右边是。 验证：左边＝+2n+1，右边＝＝+2n+1，两边相等，对所有正整数n都成立。 第20个等式：20×22+1＝441＝。 变式4　【答案】两个间隙都是1 m，一样宽 【解析】设原来的圆半径为r m，间隙宽d m，则护栏半径是(r+d) m。 护栏比原来的圆周长多2π(r+d)-2πr＝2πd， 由2πd＝6.28得d＝6.28÷(2×3.14)＝1。 结果与r无关：花坛与湖面外的间隙都是1 m。很多人凭感觉会认为花坛外的间隙更宽，这正说明直觉需要经过计算和推理来检验。 　题型2　变式：挑出不是命题的句子、指出条件和结论与景点游览推理 变式1　【答案】B 【解析】A“内错角相等”作出了判断（是假命题），是命题。 B“延长线段CD到点E”是作图语句，没有作出判断，不是命题，选B。 C“3+4＞6”判断了两个数的大小关系，是命题。 D“a的平方是非负数”作出了判断，是命题。 变式2　【答案】两个角是同旁内角；这两个角互补；不平行 【解析】改写为“如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补”。 条件没有要求两条被截的直线平行；两条直线不平行时，同旁内角的和不是180°，所以它是假命题。 变式3　【答案】(1)如果两个角分别是两个相等的角的余角，那么这两个角相等；(2)如果两个数互为相反数，那么这两个数的和是0 【解析】(1)条件：两个角分别是两个相等的角的余角；结论：这两个角相等。 改写为：如果两个角分别是两个相等的角的余角，那么这两个角相等。 (2)条件：两个数互为相反数；结论：这两个数的和是0。 改写为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和是0。 变式4　【答案】B 【解析】由条件可知：参观甲厅 → 参观乙厅 → 参观丙厅。 A：参观了丙厅的观众可能是从乙厅直接过去的，不一定参观过甲厅。 B：如果某人参观了甲厅，他一定会参观丙厅；所以没有参观丙厅的人一定没有参观甲厅，选B。 C：参观乙厅的人不一定先去过甲厅；D：没去甲厅的人仍可能从乙厅去丙厅。 　题型3　变式：挑真命题、用角的度数举反例、写反例的取值与交换条件和结论 变式1　【答案】D 【解析】A：相等的角不一定是对顶角，例如一个三角形中的两个相等的角，是假命题。 B：没有两直线平行这一条件，同位角不一定相等，是假命题。 C：取a＝1，b＝-2，a＞b，但＝1＜＝4，是假命题。 D：同角的余角相等是本章证明过的定理，是真命题，选D。 变式2　【答案】取120°的角（答案不唯一），它的补角是60°，60°＜120° 【解析】取一个钝角，例如120°，它的补角是180°-120°＝60°。 60°小于120°，满足“是这个角的补角”，却不满足“大于这个角”，所以原命题是假命题。 变式3　【答案】-4（答案不唯一，满足x＜-3即可） 【解析】反例要满足|x|＞3，但不满足x＞3。 取x＝-4，|-4|＝4＞3，而-4＜3，所以x＝-4是反例。 变式4　【答案】C 【解析】①是本章列出的基本事实，④是本章证明过的定理，都是真命题；②是余角的定义，是真命题。 ③：30°与40°的和是70°，仍是锐角，是假命题。 真命题有①②④，共3个，选C。 变式5　【答案】新命题：如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数；假命题，反例：0 【解析】原命题的条件是“一个数是正数”，结论是“它的绝对值等于它本身”。 互换后得：如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数。 0的绝对值等于0本身，满足新命题的条件，但0不是正数，所以新命题是假命题，0就是反例。 　题型4　变式：辨认基本事实、补全判定定理的依据、写“已知求证”与对顶角的依据 变式1　【答案】C 【解析】对顶角相等、同角的余角相等、等角的补角相等，都是由基本事实与定义推出来的定理。 经过两点有且只有一条直线，就是基本事实“两点确定一条直线”，选C。 变式2　【答案】平角的定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行 【解析】点C、H、D在同一直线上，∠CHG与∠DHG合起来是平角，依据是平角的定义。 ∠BGH与∠CHG都是∠DHG的补角，依据是同角的补角相等。 ∠BGH与∠CHG是直线AB、CD被EF截出的内错角，由内错角相等，两直线平行得AB∥CD。 这条路与教材借同位角的证法不同，但依据同样齐全。 变式3　【答案】证明见解析 【解析】证明：∵∠α与∠γ互余，∠β与∠δ互余（已知）， ∴∠γ＝90°-∠α，∠δ＝90°-∠β（余角的定义、等式的性质）。 ∵∠α＝∠β（已知）， ∴90°-∠α＝90°-∠β（等式的性质）， ∴∠γ＝∠δ（等量代换）。 这就是定理“等角的余角相等”的证明。 变式4　【答案】A 【解析】两个对顶角都是它们中间那个邻补角的补角，由“同角的补角相等”得对顶角相等，选A。 证明过程中没有用到余角，也与“垂线段最短”无关。 　题型5　变式：列方程求角、平分线与对顶角、互补互余的传递和直角纸片的重叠 变式1　【答案】50 【解析】设这个角为x°，则它的余角是(90-x)°，补角是(180-x)°。 由题意得(180-x)+30＝4(90-x)， 去括号，得210-x＝360-4x，移项、合并，得3x＝150，x＝50。 检验：补角130°，130+30＝160，余角40°，4×40＝160，符合题意。 变式2　【答案】∠POG＝142° 【解析】∵∠FOH与∠EOG是对顶角，∴∠FOH＝∠EOG＝76°。 ∵OP平分∠FOH，∴∠FOP＝76°÷2＝38°。 ∵∠GOF与∠EOG是邻补角，∴∠GOF＝180°-76°＝104°。 ∴∠POG＝∠GOF＋∠FOP＝104°＋38°＝142°。 变式3　【答案】A 【解析】∠β＝180°-127°＝53°。 ∠γ＝90°-53°＝37°，选A。 变式4　【答案】∠BOC＝28° 【解析】∠AOB与∠COD有一部分重叠，重叠部分就是∠BOC。 ∠AOD＝∠AOB＋∠COD-∠BOC， ∴∠BOC＝∠AOB＋∠COD-∠AOD＝90°＋90°-152°＝28°。 　题型6　变式：挑出不能判定的条件、由角平分线证平行、看图说出平行线与零件对边 变式1　【答案】D 【解析】∠1与∠3是同位角，∠1＝∠3可判定a∥b； ∠2与∠4是内错角，∠2＝∠4可判定a∥b； ∠2与∠3是同旁内角，∠2＋∠3＝180°可判定a∥b； ∠1与∠4既不是同位角，也不是内错角或同旁内角，∠1＝∠4不能判定a∥b，选D。 变式2　【答案】证明见解析 【解析】证明：∵GK平分∠EGB，HN平分∠GHD（已知）， ∴∠EGB＝2∠EGK，∠GHD＝2∠GHN（角平分线的定义）。 ∵∠EGK＝∠GHN（已知）， ∴∠EGB＝∠GHD（等式的性质）， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。 变式3　【答案】a∥b；c∥d 【解析】∠1与∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，∠1＝∠2，所以a∥b。 ∠2的邻补角（直线b上方、直线c右侧的那个角）与∠3是直线c、d被直线b截出的同位角。 由∠2＋∠3＝180°得这个邻补角等于∠3，所以c∥d（同位角相等，两直线平行）。 变式4　【答案】AD∥BC，AB∥CD 【解析】∵63°＋117°＝180°，∠DAB与∠ABC是直线AD、BC被AB截出的同旁内角，它们互补， ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）。 ∵117°＋63°＝180°，∠ABC与∠BCD是直线AB、CD被BC截出的同旁内角，它们互补， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。 所以零件的两组对边分别平行。 　题型7　变式：同旁内角求角、四边形中的两组角、垂线与平行线、三条平行线 变式1　【答案】133 【解析】∠1与∠2都在直线c的左侧、a与b之间，是同旁内角。 ∵a∥b，∴∠1＋∠2＝180°，∠2＝180°-47°＝133°。 变式2　【答案】∠DAB＝126°，∠BCD＝74° 【解析】∵AD∥BC，AB截这两条直线，∠DAB与∠ABC是同旁内角， ∴∠DAB＝180°-54°＝126°（两直线平行，同旁内角互补）。 同理，CD截AD、BC，∠BCD与∠CDA是同旁内角，∴∠BCD＝180°-106°＝74°。 变式3　【答案】D 【解析】∵FG⊥EF，∴∠EFG＝90°， ∴∠GFC＝180°-90°-56°＝34°。 ∵AB∥CD，∠AGF与∠GFC是同旁内角，它们互补（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠AGF＝180°-34°＝146°，选D。 变式4　【答案】∠2＝70°，∠3＝110° 【解析】∵a∥c，b∥c，∴a∥b（平行于同一条直线的两条直线平行）。 ∠1与∠2是直线a、b被d截出的同位角，∴∠2＝∠1＝70°（两直线平行，同位角相等）。 ∵b∥c，点K处直线c上方、d右侧的角与∠2是同位角，它也等于70°。 ∠3与这个角是邻补角，∴∠3＝180°-70°＝110°。 　题型8　变式：判定后求角、由平行与等角推出另一组平行、平分线的平行与判定后再用对顶角 变式1　【答案】127 【解析】由∠ADE＝∠B（同位角相等）得DE∥BC。 ∠DEC与∠C是同旁内角，∠DEC＝180°-53°＝127°。 变式2　【答案】证明见解析 【解析】证明：∵AD∥BC（已知）， ∴∠DAB＋∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∵∠ABC＝∠CDA（已知）， ∴∠DAB＋∠CDA＝180°（等量代换）， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。 变式3　【答案】证明见解析 【解析】证明：∵∠AEF＝∠EFD（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。 ∴∠BEF＝∠EFC（两直线平行，内错角相等）。 ∵EG平分∠BEF，FH平分∠EFC， ∴∠GEF＝∠BEF÷2，∠EFH＝∠EFC÷2（角平分线的定义）， ∴∠GEF＝∠EFH（等式的性质）， ∴EG∥FH（内错角相等，两直线平行）。 变式4　【答案】D 【解析】∠1与∠2是直线a、b被c截出的内错角，∠1＝∠2，所以a∥b。 ∠3与∠4都在直线d的右侧、直线a与b之间，是直线a、b被d截出的同旁内角， 由a∥b得∠3＋∠4＝180°，∴∠4＝180°-66°＝114°，选D。 　题型9　变式：管道的三次拐弯、拐点处成直角、两条平分线的交点与反光罩 变式1　【答案】∠EDC＝135° 【解析】过点E作EP∥AB，则EP∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）。 ∵EP∥AB，∴∠ABE＋∠BEP＝180°，∠BEP＝180°-125°＝55°。 ∴∠PED＝∠BED-∠BEP＝100°-55°＝45°。 ∵EP∥CD，∴∠EDC＋∠PED＝180°，∠EDC＝180°-45°＝135°。 三个角的和∠ABE＋∠BED＋∠EDC＝360°。 变式2　【答案】57 【解析】过点E作AB的平行线，∠BED＝∠ABE＋∠CDE。 BE⊥DE，∠BED＝90°，∴∠CDE＝90°-33°＝57°。 变式3　【答案】∠BFD＝42° 【解析】由例题的结论，∠BED＝∠ABE＋∠CDE＝84°。 同理，点F也在两直线之间，∠BFD＝∠ABF＋∠CDF。 ∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE， ∴∠ABF＋∠CDF＝(∠ABE＋∠CDE)÷2＝84°÷2＝42°， ∴∠BFD＝42°。 变式4　【答案】∠BOC＝158° 【解析】∵BA∥PQ，BO截这两条直线，∠ABO与∠BOQ是内错角， ∴∠BOQ＝∠ABO＝52°（两直线平行，内错角相等）。 ∵CD∥PQ，CO截这两条直线，∠DCO与∠COQ是内错角， ∴∠COQ＝∠DCO＝106°（两直线平行，内错角相等）。 ∴∠BOC＝∠BOQ＋∠COQ＝52°＋106°＝158°。 　题型10　变式：公路拐弯（同向与反向）、检验木板两边与平推三角尺画平行线 变式1　【答案】∠BCD＝146° 【解析】∵AB∥CD，BC截这两条直线，∠ABC与∠BCD是内错角， ∴∠BCD＝∠ABC＝146°（两直线平行，内错角相等）。 变式2　【答案】∠BCD＝62° 【解析】∵AB∥CD，BC截这两条直线，点A、D在BC的同侧，∠ABC与∠BCD是同旁内角， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠BCD＝180°-118°＝62°。 变式3　【答案】∠EFD＝117° 【解析】∠BEF与∠EFD都在直线EF的右侧、两边之间，是同旁内角。 当∠BEF＋∠EFD＝180°，即∠EFD＝180°-63°＝117°时， AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。 变式4　【答案】A 【解析】平推时三角尺与直尺所夹的角不变，直线a、b与直尺边所成的角是同位角且相等， 由同位角相等可以判定a∥b，选A。 　易错专练 易错1　【答案】证明见解析 【解析】错解示例：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）。 错因：AB∥CD是要证的结论，不能当作已知；由“角相等”推“线平行”应该用判定，这里用成了性质，推理方向整个反了。 正解：∵∠1＝∠2（已知），∠1与∠2是直线AB、CD被EF截出的同位角， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。 提醒：写依据前先问自己“这一步是由角得线，还是由线得角”。 易错2　【答案】∠1＝∠2＝90°（反例） 【解析】错解示例：取∠1＝30°，∠2＝60°，它们一个也不是钝角，所以命题是假命题。 错因：30°＋60°＝90°，这两个角互余而不是互补，根本不满足命题的条件，不能当反例。 正解：取∠1＝∠2＝90°，∠1＋∠2＝180°，满足互补；但两个角都是直角，既不是锐角也不是钝角，结论不成立，所以原命题是假命题。 易错3　【答案】AB∥CD 【解析】错解示例：∠1与∠2相等，所以AD∥BC。 错因：没有看清∠1、∠2是哪两条直线被哪条直线截出的角。∠1的两边是AB、AC，∠2的两边是CD、CA，它们是直线AB、CD被AC截出的内错角，与AD、BC无关。 正解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。 易错4　【答案】是命题，是假命题 【解析】错解示例：这句话说错了，所以它不是命题。 错因：判断一件事情的句子就是命题，不管判断得对不对；说错了的是假命题，仍然是命题。 正解：这句话对“相等的两个角”作出了判断，是命题。 等边三角形的两个内角相等，但它们不是对顶角，所以这是一个假命题。 易错5　【答案】∠β＝50°或130° 【解析】错解示例：两边分别平行的两个角相等，∠β＝50°。 错因：两边分别平行时有两种位置：两组边的方向都相同（或都相反）时两个角相等；一组边方向相同、另一组方向相反时两个角互补。只算了一种。 正解：当两个角相等时，∠β＝50°；当两个角互补时，∠β＝180°-50°＝130°。 所以∠β＝50°或130°。 易错6　【答案】60° 【解析】错解示例：设∠α＝x°，由-10＝90-x移项得＝90-x-10，解得x＝30。 错因：把-10从等号左边移到右边时没有变号，应得＝90-x+10。回代x＝30：补角150°，150的是50，50-10＝40，而余角是60°，不相等。 正解：设∠α＝x°，由题意得-10＝90-x。 两边乘3，得180-x-30＝270-3x，移项、合并，得2x＝120，x＝60。 检验：60°的补角120°，120÷3-10＝30，余角也是30°，符合题意。 　课后作业（一）基础巩固 1．【答案】C 【解析】A、B、D都对一件事作出了判断，是命题（其中A是本章证明过的定理），不是定义。 C规定了什么叫“两条直线互相垂直”，对名称的含义作出了明确的规定，是定义，选C。 2．【答案】B 【解析】反例要满足a＞b，但|a|≤|b|。 A：3＞2，|3|＞|2|，结论成立，不是反例。 B：-2＞-3，而|-2|＝2＜|-3|＝3，是反例，选B。 C：4＞-1，|4|＝4＞|-1|＝1，结论成立；D：5＞0，|5|＝5＞|0|＝0，结论成立。 3．【答案】B 【解析】∠1与∠2都在直线c的右侧、a与b之间，是同旁内角。 同旁内角互补时两直线平行，∠2＝180°-78°＝102°，选B。 4．【答案】B 【解析】这就是教材列出的八条基本事实中的第5条，它不需要证明，可以直接作为依据，选B。 5．【答案】A 【解析】这个角是90°-26°＝64°， 它的补角是180°-64°＝116°，选A。 6．【答案】D 【解析】∠1的同位角（直线CD上方、EF左侧的角）等于112°（两直线平行，同位角相等）。 ∠2与这个同位角是邻补角，∠2＝180°-112°＝68°，选D。 7．【答案】A 【解析】原命题的条件是两个数都是奇数，结论是这两个数的和是偶数，选A。 B、D把条件与结论弄反了，C改变了命题的意思。 8．【答案】B 【解析】c⊥a，c与a所成的角是90°；由a∥b，c与b所成的同位角也是90°（两直线平行，同位角相等）， 所以c⊥b，选B。 　课后作业（二）能力进阶 9．【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 【解析】条件是一个三角形是直角三角形，结论是它的两个锐角互余；改写时补上主语“一个三角形”。 10．【答案】2；-5（答案不唯一） 【解析】反例要满足a＋b＜0，但a、b不都小于0。 取a＝2，b＝-5，a＋b＝-3＜0，而a＝2＞0，结论不成立。 11．【答案】123 【解析】∵AB∥CD，∴∠GHD＝∠EGB＝57°（两直线平行，同位角相等）。 ∠DHF与∠GHD是邻补角，∠DHF＝180°-57°＝123°。 12．【答案】132 【解析】∠AOC与∠BOD是对顶角，相等，∴∠AOC＝96°÷2＝48°。 ∠AOD＝180°-48°＝132°。 13．【答案】61 【解析】直角顶点处三个角拼成平角，三角尺另一条直角边与直尺下边所成的角（直角边左侧那个）是180°-90°-29°＝61°。 直尺两边平行，∠2与这个角是内错角，∴∠2＝61°。 14．【答案】18或126 【解析】两边分别平行的两个角相等或互补。 若∠A＝∠B，则∠A＝3∠A-36°，∠A＝18°； 若∠A＋∠B＝180°，则∠A＝3(180°-∠A)-36°，4∠A＝504°，∠A＝126°。 15．【答案】等量代换；同位角相等，两直线平行 【解析】∠2、∠3都等于∠1，得∠2＝∠3，依据是等量代换。 ∠2与∠3是直线p、q被s截出的同位角，由同位角相等，两直线平行得p∥q。 16．【答案】35 【解析】∠1与∠2是内错角，内错角相等时a∥b。 由2x+10＝3x-25，得x＝35，此时∠1＝∠2＝80°。 　课后作业（三）拓展延伸 17．【答案】n＝4时式子的值是10，不等于4，猜想不成立 【解析】n＝4时，-+12n-6＝64-96+48-6＝10。 10≠4，满足“n是正整数”却不满足“值等于n”，n＝4是反例，所以猜想不成立。 18．【答案】证明见解析 【解析】证明：∵AB∥CD（已知）， ∴∠BAC＋∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD（已知）， ∴∠EAC＝∠BAC÷2，∠ECA＝∠ACD÷2（角平分线的定义）， ∴∠EAC＋∠ECA＝(∠BAC＋∠ACD)÷2＝90°。 在△ACE中，∠AEC＝180°-(∠EAC＋∠ECA)＝90°（三角形内角和等于180°）， ∴AE⊥CE（垂直的定义）。 19．【答案】x＝20，∠ABC＝70° 【解析】∵AB∥CD，∠ABC与∠BCD是内错角， ∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）， 即3x+10＝5x-30，解得x＝20。 ∴∠ABC＝3×20+10＝70°。 20．【答案】(1)条件：两个角都是直角；结论：这两个角相等；(2)新命题：如果两个角相等，那么这两个角都是直角。不成立，是假命题，反例：两个角都是45°（答案不唯一） 【解析】(1)把“直角都相等”改写成“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”，条件是两个角都是直角，结论是这两个角相等。 (2)交换后得：如果两个角相等，那么这两个角都是直角。 取两个都是45°的角，它们相等，满足新命题的条件，但都不是直角，结论不成立，所以新命题是假命题。 21．【答案】∠C＝65°，∠DEC＝115° 【解析】∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE＝67°（两直线平行，同位角相等）。 在△ABC中，∠C＝180°-48°-67°＝65°（三角形内角和等于180°）。 ∵DE∥BC，∴∠DEC＋∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠DEC＝180°-65°＝115°。 22．【答案】证明见解析 【解析】证明：∵∠AGE＝∠BGH，∠DHF＝∠CHG（对顶角相等）， 又∠AGE＝∠DHF（已知）， ∴∠BGH＝∠CHG（等量代换）。 ∵∠BGH与∠CHG是直线AB、CD被EF截出的内错角， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。 23．【答案】∠DOE＝123° 【解析】∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°。 ∴∠BOC＝180°-∠AOD-∠COD＝180°-24°-90°＝66°。 ∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝66°÷2＝33°。 ∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝90°＋33°＝123°。 24．【答案】∠EGD＝118° 【解析】∵EF⊥CD，∴∠EFG＝90°。 ∵AB∥CD，∠BEF与∠EFG是同旁内角，∴它们互补（两直线平行，同旁内角互补），∠BEF也是直角。 ∴∠BEG＝∠BEF-∠FEG＝90°-28°＝62°。 ∵AB∥CD，∴∠EGD＋∠BEG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠EGD＝180°-62°＝118°。 25．【答案】证明见解析 【解析】证明：∵AB∥CD（已知）， ∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）。 ∵∠ABE＝∠DCF（已知）， ∴∠ABC-∠ABE＝∠BCD-∠DCF（等式的性质），即∠EBC＝∠BCF。 ∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）。 26．【答案】(1)∠BPD＝(x+y)°；(2)∠BPD＝(360-x-y)° 【解析】(1)过点P作PK∥AB，则PK∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）。 ∠BPK＝∠ABP＝x°，∠KPD＝∠CDP＝y°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠BPD＝∠BPK＋∠KPD＝(x+y)°。 (2)同样过点P作PK∥AB，则PK∥CD。 ∠ABP＋∠BPK＝180°，∠CDP＋∠DPK＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠BPD＝∠BPK＋∠DPK＝(180-x)°＋(180-y)°＝(360-x-y)°。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版·八年级上册·第七章 证明·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第七章 证明 题型精讲讲义-2026-2027学年八年级上册数学北师大版 北师大版（2024年版）八年级数学上册　第七章　证明　1 为什么要证明　2 认识证明　3 平行线的证明 含 10 个考点例题　/　共 83 题（变式 41 · 易错 6 · 作业 26）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．知道观察、实验、归纳得到的结论可能正确也可能不正确，会用举反例的办法否定一个猜想，会把一个规律猜想用整式运算验证一遍。 2．能说出定义、命题、条件、结论、真命题、假命题、反例、公理（基本事实）、定理、证明的含义，会把命题改写成“如果……，那么……”的形式，会举反例说明假命题。 3．会用“同位角相等，两直线平行”这一基本事实证明“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”，会用平行线的性质定理求角，能按“已知—求证—证明”的格式写出每步带依据的证明。 学习重难点 重点：命题的条件与结论、举反例；证明的格式与每步依据（基本事实、定义、定理、等量代换）；平行线的判定定理与性质定理的区分与综合运用；平行线间折线（拐点）问题。 难点：判定与性质方向相反：由角的关系推出线平行是判定，由线平行推出角的关系是性质，依据写反整步作废；反例必须满足条件而不满足结论；两边分别平行的两个角相等或互补，要分两种情况；平行线间的拐点问题要先过拐点作平行线，看清拐点在哪一侧。 　目　录 知识梳理 3 知识点 01　为什么要证明 3 知识点 02　定义与命题 3 知识点 03　真命题、假命题与反例 4 知识点 04　公理（基本事实）、定理与证明 4 知识点 05　平行线的判定定理 5 知识点 06　平行线的性质定理 5 知识点 07　证明的步骤与书写格式 6 考点 1　观察、归纳得出的猜想与举反例检验 7 考点 2　命题的识别与“如果……，那么……”的改写 8 考点 3　真命题、假命题与举反例 9 考点 4　证明的依据：基本事实、定义与定理 10 考点 5　余角、补角与对顶角的计算 11 考点 6　平行线的判定定理及其应用 13 考点 7　平行线的性质定理求角 15 考点 8　判定与性质的综合运用（先判后用） 16 考点 9　平行线间的折线问题 18 考点 10　平行线在实际情境中的应用 20 易错专练 22 课后作业（一）基础巩固 24 课后作业（二）能力进阶 25 课后作业（三）拓展延伸 26 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　为什么要证明 观察、实验、归纳是人们认识事物的重要手段，但通过观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明。用自己的话说：看出来的、量出来的、代几个数试出来的，都只能叫猜想；推理过了关，才能叫结论。即时小例：图中线段a两端的折线向里收，线段b两端的折线向外张，看上去a比b短，用直尺量一量，二者其实一样长。 观察、实验、归纳 → 得到猜想（可能对，也可能错） 有理有据的证明 → 确认结论正确 小提示：试了几个数都成立，并不能说明对所有情况都成立；反过来，只要找到一个不成立的例子，就足以说明猜想不正确。 知识点　02　定义与命题 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是给出它们的定义，例如“两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离”。判断一件事情的句子，叫作命题；问句、作图语句没有对事情作出判断，不是命题。每个命题都由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。即时小例：如图，∠1与∠2是邻补角，“邻补角互补”可以写成“如果两个角是邻补角，那么这两个角互补”，条件是两个角是邻补角，结论是这两个角互补。 命题＝判断一件事情的句子 命题＝条件＋结论：如果（条件），那么（结论） 小提示：错误的判断也是命题，只不过是假命题；“画一条线段”“这个角是多少度？”没有作出判断，才不是命题。 知识点　03　真命题、假命题与反例 正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。举一个反例就可以说明一个命题是假命题；要证实一个命题是真命题，则要从已经知道的真命题出发进行推理。即时小例：命题“两个锐角的和是钝角”是假命题。如图，取两个锐角35°与40°拼在一起，它们的和是75°，仍是锐角——条件满足了，结论却不成立。 反例＝满足条件＋不满足结论 说明假命题：举一个反例即可；说明真命题：必须证明 小提示：反例要同时做到两点：条件完全满足，结论不成立。只满足一半的例子（例如所举的两个角有一个不是锐角）不能算反例。 知识点　04　公理（基本事实）、定理与证明 古希腊数学家欧几里得编写《原本》时，挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，公认的真命题称为公理。演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理。本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点，已认识的八条是：两点确定一条直线；两点之间线段最短；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；以及判定三角形全等的三条。等式的性质、不等关系的性质也可以作为依据，例如如果a＝b，b＝c，那么a＝c，称为“等量代换”。从基本事实出发可以证明定理：同角（或等角）的补角相等；同角（或等角）的余角相等；对顶角相等；三角形的任意两边之和大于第三边。即时小例：如图，直线EF与GH相交于点O，∠EOG与∠FOH都是∠EOH的补角，由“同角的补角相等”得∠EOG＝∠FOH。 每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明 定理：同角（或等角）的补角相等；同角（或等角）的余角相等；对顶角相等 小提示：“同位角相等，两直线平行”是基本事实，直接当依据用；“内错角相等，两直线平行”是定理，要由基本事实推出来。二者地位不同，写依据时不要混。 知识点　05　平行线的判定定理 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，这是基本事实。由它可以证明两个定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简述为“内错角相等，两直线平行”；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简述为“同旁内角互补，两直线平行”。还可以证明：平行于同一条直线的两条直线平行。证明内错角的那条定理，思路是借对顶角相等把内错角换成同位角，再用基本事实。即时小例：如图，∠1与∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，若∠1＝∠2，由对顶角相等得∠3＝∠1，于是∠3＝∠2，而∠3与∠2是同位角，所以a∥b。 同位角相等，两直线平行（基本事实） 内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行（定理） 平行于同一条直线的两条直线平行（定理） 小提示：判定是“由角的关系推出线平行”：已知的是角，要得的是平行。图上看起来平行不能当理由。 知识点　06　平行线的性质定理 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，简述为“两直线平行，同位角相等”；两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，简述为“两直线平行，内错角相等”；两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，简述为“两直线平行，同旁内角互补”。性质定理与判定定理的条件和结论正好互换：判定由角的关系得出两直线平行，性质由两直线平行得出角的关系。即时小例：如图，a∥b，直线c截a、b，∠1＝72°，则它的内错角∠2＝72°，与∠1同旁的内角∠3＝180°－72°＝108°。 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 小提示：用性质之前，条件里必须先有“两直线平行”（已知给出或先证出来）；“两直线平行，同位角相等”的证明是选学内容，会用即可。 知识点　07　证明的步骤与书写格式 证明一个命题，一般要经历这样几步：根据题意画出图形；结合图形，用符号写出“已知”和“求证”；分析证明的思路；写出证明过程，每一步都注明依据，依据只能是基本事实、定义、已经证明的定理和等式的性质等。符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”。分析思路时，一头从已知出发看能推出什么，一头从求证出发看还需要什么，两头接上就找到了证明的路。即时小例：如图，两条直线相交，已知∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，由“同角的补角相等”即可写出∠1＝∠3。 画图 → 写已知、求证 → 分析思路 → 写证明（每步注依据） “∵”读作因为，“∴”读作所以 小提示：“已知”只写题目给的条件，不能把要证的结论写进已知；每一步的依据要与这一步的推理方向一致。 【题型1】观察、归纳得出的猜想与举反例检验 本题型对应“为什么要证明”：由几个特例归纳出的规律只是猜想。检验猜想有两条路——找到一个不成立的例子就能否定它；想确认它，就要用运算或推理对所有情况说明。 例1　小宇把n＝0，1，2，3分别代入式子+n+11，得到11，13，17，23，都是质数，于是他猜想：对于所有的自然数n，式子+n+11的值都是质数。请找出一个使这个猜想不成立的自然数n，并写出此时式子的值。 【分析】要否定“对所有自然数都成立”的猜想，只需找一个满足条件（n是自然数）却不满足结论（值是质数）的n。式子里常数项是11，可以设法让每一项都含因数11。 【解答】取n＝10，+n＝n(n+1)＝10×11＝110， 于是+n+11＝110+11＝121＝11×11。 121除了1和它本身外还有因数11，不是质数，所以小宇的猜想不成立。 【方法小结】找反例时盯住式子的结构：让各项出现公共因数，比盲目一个个试快得多。n＝0到9代入都得质数，这正说明“多试几个”也靠不住。 题型1　变式：代数式的质数猜想、规律等式的验证与直觉估计 四道变式：两道用反例否定猜想，一道把归纳出的规律用整式运算验证，一道先凭感觉估计再计算，体会“直觉会骗人”。 变式1　对于式子+29，取n＝1，2，3，4算出的值31，37，47，61全是质数。有人据此断言：n取任何正整数，+29的值都是质数。请找出使这一断言不成立的一个正整数n，并把此时式子的值写成两个质数的积。 变式2　要说明“对于任意正整数n，-n+5的值都是质数”是一个错误的猜想，可以取n的值为（　　）。 A．3 B．4 C．5 D．7 变式3　观察下列算式：1×3+1＝4，2×4+1＝9，3×5+1＝16，…，右边依次是2，3，4，…的平方。按照这个规律，第n个等式可以写成________；把等式两边展开比较，可以确认它对所有正整数n都成立。第20个等式的右边等于____。 变式4　一个圆形花坛的半径是8 m，一个圆形湖面的半径是80 m。沿两者外围各做一圈圆形护栏，每圈护栏都比原来的圆周长多6.28 m，且护栏与原来的圆之间的间隙处处一样宽。先凭感觉估一估哪个间隙更宽，再分别算出两个间隙的宽度（π取3.14）。 【题型2】命题的识别与“如果……，那么……”的改写 判断一个句子是不是命题，只看它有没有对一件事情作出判断，与判断得对不对无关。找条件和结论，先把命题改写成“如果……，那么……”的形式，改写时要补全省略的主语。 例1　有下列语句：①等角的补角相等；②画∠AOB的平分线；③相等的两个角一定是对顶角吗？④有理数的绝对值是非负数；⑤若|a|＝|b|，则a＝b。其中是命题的有________（填序号）；把④改写成“如果……，那么……”的形式为________。 【分析】①④⑤都对一件事作出了判断，是命题（⑤是假命题，但仍是命题）；②是作图语句，③是问句，都没有作出判断。 【解答】是命题的有①④⑤。 ④的条件是“一个数是有理数”，结论是“这个数的绝对值是非负数”，改写为：如果一个数是有理数，那么这个数的绝对值是非负数。 【方法小结】改写时把省略的主语补回来：“有理数的绝对值”说的是“一个数”，条件里写出“一个数是有理数”，结论里用“这个数”指回去。 题型2　变式：挑出不是命题的句子、指出条件和结论与景点游览推理 四道变式：先辨认命题，再练条件、结论的拆分和改写，最后用“条件—结论”的思路做一道生活推理。 变式1　小亮写了四句话，其中不能叫作命题的是（　　）。 A．内错角相等 B．延长线段CD到点E C．3+4＞6 D．a的平方是非负数 变式2　命题“同旁内角互补”的条件是________，结论是________；这个命题不一定成立，因为被截的两条直线________时，同旁内角不互补。 变式3　把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出条件和结论：(1)等角的余角相等；(2)互为相反数的两个数的和是0。 变式4　某博物馆有甲、乙、丙三个展厅，参观了甲厅的观众都会接着参观乙厅，参观了乙厅的观众都会接着参观丙厅。据此一定能推出的结论是（　　）。 A．参观了丙厅的观众一定参观了甲厅 B．没有参观丙厅的观众一定没有参观甲厅 C．参观了乙厅的观众一定参观了甲厅 D．没有参观甲厅的观众一定没有参观丙厅 【题型3】真命题、假命题与举反例 说明一个命题是假命题，举一个反例就够了；反例必须满足命题的条件、而使结论不成立。说明一个命题是真命题，不能靠举例，只能靠推理。 例1　指出命题“如果＝，那么a＝b”的条件和结论，并举一个反例说明它是假命题。 【分析】反例要让＝成立，同时让a＝b不成立。平方相等的两个数，可以是互为相反数的两个数。 【解答】条件是＝，结论是a＝b。 取a＝3，b＝-3，则＝9，＝＝9，满足＝； 但3≠-3，结论不成立，所以这个命题是假命题。 【方法小结】举反例三步：写出条件与结论 → 找满足条件的例子 → 验证结论不成立。 题型3　变式：挑真命题、用角的度数举反例、写反例的取值与交换条件和结论 五道变式：前两道辨认真假，中间两道动手写反例，最后一道把条件和结论互换得到新命题再判断真假。 变式1　对于下面四句话，判断为真命题的一句是（　　）。 A．相等的角是对顶角 B．同位角相等 C．若a＞b，则＞ D．同角的余角相等 变式2　举一个反例说明命题“一个角的补角一定大于这个角”是假命题（写出所举角的度数和它的补角的度数）。 变式3　对于命题“若|x|＞3，则x＞3”，能说明它是假命题的一个反例是x＝____（写出一个即可）。 变式4　有下列命题：①连接两点的所有连线中，线段最短；②若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互为余角；③两个锐角的和一定是钝角；④等角的补角相等。其中真命题有（　　）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式5　把命题“如果一个数是正数，那么它的绝对值等于它本身”的条件和结论互换，写出一个新命题；新命题是真命题还是假命题？若是假命题，举出一个反例。 【题型4】证明的依据：基本事实、定义与定理 写证明时每一步都要有依据，依据只有几类：已知、定义、基本事实、已经证明的定理、等式的性质（含等量代换）。先看这一步是由什么推出来的，再对号入座填依据。 例1　已知：如图，∠AOC＝∠BOD＝90°。求证：∠AOB＝∠COD。补全下面的证明过程：∵∠AOC＝90°（已知），∴∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°。同理∠COD＋∠BOC＝∠BOD＝90°。∴∠AOB与∠BOC互余，∠COD与∠BOC互余（________），∴∠AOB＝∠COD（________）。 【分析】∠AOB与∠COD都和同一个角∠BOC凑成90°，这正是“同角的余角”。 【解答】第一空：和为90°的两个角互为余角，依据是余角的定义； 第二空：两个角都是∠BOC的余角，依据是“同角的余角相等”。 【方法小结】填依据看推理方向：由“和为90°”到“互余”用定义；由“是同一个角的余角”到“相等”用定理。 题型4　变式：辨认基本事实、补全判定定理的依据、写“已知求证”与对顶角的依据 四道变式把“依据”练扎实：分清哪些是基本事实、按步骤补依据、自己写出已知与求证并完成证明，最后回到对顶角相等的依据。 变式1　下面四个结论中，本章把它作为基本事实、不加证明直接使用的是（　　）。 A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．经过两点有且只有一条直线 D．等角的补角相等 变式2　已知：如图，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，∠BGH与∠DHG互补。求证：AB∥CD。证明：∵∠BGH与∠DHG互补（已知），∠CHG与∠DHG互补（________），∴∠BGH＝∠CHG（________），∴AB∥CD（________）。 变式3　已知∠α＝∠β，∠α与∠γ互余，∠β与∠δ互余。求证：∠γ＝∠δ（写出每一步的依据）。 变式4　证明“对顶角相等”时，关键一步用到的依据是（　　）。 A．同角的补角相等 B．同角的余角相等 C．垂线段最短 D．等角的余角相等 【题型5】余角、补角与对顶角的计算 两直线相交得到对顶角与邻补角，再加上垂直就有余角。计算时先把图中已知角与所求角的关系（互余、互补、对顶）找出来，再列式；两个角的关系说不清时，设未知数列方程。 例1　如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠DOE＝34°。求∠AOD与∠AOC的度数。 【分析】OE⊥AB给出∠AOE＝90°，∠AOD是它减去∠DOE；∠AOC与∠AOD是邻补角。 【解答】∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°。 ∴∠AOD＝∠AOE-∠DOE＝90°-34°＝56°。 ∵点C、O、D在同一直线上，∴∠AOC＝180°-∠AOD＝180°-56°＝124°。 【方法小结】垂直给90°，平角给180°，两个“总量”减去已知部分就是所求。 题型5　变式：列方程求角、平分线与对顶角、互补互余的传递和直角纸片的重叠 四道变式：一道设未知数列方程，一道在两直线相交的图里接着用角平分线，一道练“互补、互余”的传递，一道算两块直角纸片重叠部分的角。 变式1　一个角的补角加上30°，恰好等于它的余角的4倍，这个角是____°。 变式2　如图，直线EF与GH相交于点O，射线OP平分∠FOH，∠EOG＝76°。求∠POG的度数。 变式3　∠α的补角是∠β，∠β的余角是∠γ，已知∠α＝127°，那么∠γ等于（　　）。 A．37° B．53° C．127° D．143° 变式4　把两块直角纸片的直角顶点重合于点O叠放，如图，∠AOB＝∠COD＝90°，量得∠AOD＝152°。求∠BOC的度数。 【题型6】平行线的判定定理及其应用 要证两直线平行，就去找这两条直线被第三条直线截出的一对角：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，三者有其一即可。已知条件里的角常要先经过平分线、对顶角或三角形内角和转化一下。 例1　已知：如图，点E在AD上，BE平分∠ABC，∠BAD＝112°，∠AEB＝34°。求证：AD∥BC。 【分析】AD与BC被BE所截，∠AEB与∠EBC是内错角，只要证它们相等。∠EBC等于∠ABE，而∠ABE可以在△ABE中由以前学过的三角形内角和求出。 【解答】在△ABE中，∠BAE＋∠ABE＋∠AEB＝180°（三角形内角和等于180°）， ∴∠ABE＝180°-112°-34°＝34°。 ∵BE平分∠ABC（已知），∴∠EBC＝∠ABE＝34°（角平分线的定义）。 ∴∠AEB＝∠EBC（等量代换）， ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）。 【方法小结】先认准“哪两条线被哪条线所截”，再确定要找的是哪一对角，最后把已知一步步转化到这对角上。 题型6　变式：挑出不能判定的条件、由角平分线证平行、看图说出平行线与零件对边 四道变式：先在一张图里分清同位角、内错角、同旁内角，再用角平分线转化条件完成证明，然后由两组角的关系说出两对平行线，最后回到实际零件。 变式1　如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是（　　）。 A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4 C．∠2＋∠3＝180° D．∠1＝∠4 变式2　已知：如图，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，GK平分∠EGB，HN平分∠GHD，且∠EGK＝∠GHN。求证：AB∥CD。 变式3　如图，直线c、d与直线a、b相交。若∠1＝∠2，则____∥____；若∠2＋∠3＝180°，则____∥____。 变式4　工人师傅加工一块四边形零件ABCD，量得∠DAB＝63°，∠ABC＝117°，∠BCD＝63°。这块零件的两组对边各有怎样的位置关系？写出推理过程。 【题型7】平行线的性质定理求角 已知两直线平行，就能把一个角“搬”到另一处：同位角、内错角相等，同旁内角互补。求角前先说清是哪两条平行线、被哪条线所截。 例1　如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，∠EFD＝64°，EP平分∠AEF，交CD于点P。求∠EPF与∠BEP的度数。 【分析】AB∥CD，被EF所截，∠AEF与∠EFD是内错角；被EP所截，∠AEP与∠EPF是内错角。 【解答】∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠EFD＝64°（两直线平行，内错角相等）。 ∵EP平分∠AEF，∴∠AEP＝64°÷2＝32°。 ∵AB∥CD，∴∠EPF＝∠AEP＝32°（两直线平行，内错角相等）。 ∠BEP＝180°-∠AEP＝180°-32°＝148°。 【方法小结】平行线加角平分线，常常要连用两次“内错角相等”，中间用平分线把角折半。 题型7　变式：同旁内角求角、四边形中的两组角、垂线与平行线、三条平行线 四道变式：先直接用一次性质，再在四边形里用两次，然后把垂直与平行放在一起，最后借“平行于同一条直线的两条直线平行”在三条直线间传递角。 变式1　如图，a∥b，直线c与a、b分别交于点P、Q，∠1＝47°，则∠2＝____°。 变式2　一块木板的截面是四边形ABCD，AD∥BC，量得∠ABC＝54°，∠CDA＝106°。求∠DAB与∠BCD的度数。 变式3　如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，FG⊥EF交AB于点G，∠EFD＝56°，则∠AGF的度数是（　　）。 A．34° B．56° C．124° D．146° 变式4　如图，直线a∥c，b∥c，直线d与a、b、c分别交于点P、Q、K，∠1＝70°。求∠2与∠3的度数。 【题型8】判定与性质的综合运用（先判后用） 综合题常见两步：先由角的关系判定两直线平行（判定），再由平行得出新的角的关系（性质）。写证明时两步的依据方向相反，要分清。 例1　如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，点F在BC上，∠ADE＝∠B，∠C＝58°，EF平分∠DEC。求∠EFC的度数。 【分析】∠ADE＝∠B是同位角相等，可先判定DE∥BC；再由平行求∠DEC，用平分线求∠DEF，最后又用一次平行得∠EFC。 【解答】∵∠ADE＝∠B，∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）。 ∴∠DEC＋∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∠DEC＝180°-58°＝122°。 ∵EF平分∠DEC，∴∠DEF＝122°÷2＝61°。 ∵DE∥BC，∴∠EFC＝∠DEF＝61°（两直线平行，内错角相等）。 【方法小结】一道题里判定与性质各用一次：前一步“由角得平行”，后一步“由平行得角”，依据的方向正好相反。 题型8　变式：判定后求角、由平行与等角推出另一组平行、平分线的平行与判定后再用对顶角 四道变式：两道先判定再求角，两道证明题分别走“性质→判定”与“判定→性质→判定”的链条。 变式1　如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，∠ADE＝∠B，若∠C＝53°，则∠DEC＝____°。 变式2　已知：如图，AD∥BC，∠ABC＝∠CDA。求证：AB∥CD。 变式3　已知：如图，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠AEF＝∠EFD，EG平分∠BEF，FH平分∠EFC。求证：EG∥FH。 变式4　如图，直线a、b被直线c、d所截，∠1＝∠2，∠3＝66°，则∠4的度数是（　　）。 A．24° B．66° C．90° D．114° 【题型9】平行线间的折线问题 两条平行线之间有一个拐点时，过拐点作已知直线的平行线，把拐点处的角分成两块，每块都能用平行线的性质“搬”到两条已知直线上。拐点朝向不同，结论也不同。 例1　如图，AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，∠ABE＝38°，∠CDE＝27°。求∠BED的度数。 【分析】过点E作EP∥AB，把∠BED分成∠BEP与∠PED两部分，分别与∠ABE、∠CDE是内错角。 【解答】过点E作EP∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）。 ∵AB∥CD，∴EP∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）。 ∴∠BEP＝∠ABE＝38°，∠PED＝∠CDE＝27°（两直线平行，内错角相等）。 ∴∠BED＝∠BEP＋∠PED＝38°＋27°＝65°。 【方法小结】拐点在两平行线之间且开口朝外时，拐点处的角等于两端两个角的和；辅助线EP是解题时自己添的，题目的图上没有。 题型9　变式：管道的三次拐弯、拐点处成直角、两条平分线的交点与反光罩 四道变式：拐点开口朝内（三个角和为360°）、拐点处是直角、两条角平分线交出第二个拐点，以及把平行线用到手电筒反光罩上。 变式1　一段输水管道的走向如图所示，管道AB与CD互相平行，在点B、E、D处各拐了一次弯。已知∠ABE＝125°，∠BED＝100°，求∠EDC的度数。 变式2　如图，AB∥CD，点E在两直线之间，BE⊥DE，若∠ABE＝33°，则∠CDE＝____°。 变式3　如图，AB∥CD，点E在两直线之间，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，BF与DF交于点F，∠BED＝84°。求∠BFD的度数。 变式4　手电筒的反光罩能把从灯泡O处发出的光线变成平行光射出。如图，光线OB、OC经反光罩反射后，分别沿BA、CD方向射出，且BA∥PQ∥CD（直线PQ经过点O）。若∠ABO＝52°，∠DCO＝106°，求两条光线所成的∠BOC的度数。 【题型10】平行线在实际情境中的应用 潜望镜、公路拐弯、木板检验、画平行线这些实际问题，先把实物抽象成直线与角，认出其中的平行线，再用判定或性质推理计算。 例1　如图，潜望镜中光线EF射到平面镜AB上的点F，反射光线FG射到平面镜CD上的点G，再反射出光线GH。由光的反射规律可知∠EFA＝∠GFB，∠FGC＝∠HGD。(1)若∠EFA＝40°，求∠EFG的度数；(2)若射出光线GH与射入光线EF平行，求证：AB∥CD。 【分析】(1)点F处三个角拼成平角；(2)先由EF∥GH得内错角∠EFG＝∠FGH（性质），再把这两个角分别用∠GFB、∠FGC表示，得∠GFB＝∠FGC，最后用判定得AB∥CD。 【解答】(1)∵∠GFB＝∠EFA＝40°，∴∠EFG＝180°-40°-40°＝100°。 (2)∵EF∥GH（已知），∴∠EFG＝∠FGH（两直线平行，内错角相等）。 ∵∠EFA＝∠GFB，∴∠EFG＝180°-2∠GFB（平角的定义）；同理∠FGH＝180°-2∠FGC。 ∴180°-2∠GFB＝180°-2∠FGC，∴∠GFB＝∠FGC（等式的性质）。 ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。 【方法小结】反射问题先把“入射角等于反射角”翻译成两对相等的角；本题先用性质（由EF∥GH得角相等），再用判定（由角相等得AB∥CD），两步依据的方向正好相反。 题型10　变式：公路拐弯（同向与反向）、检验木板两边与平推三角尺画平行线 四道变式：公路两次拐弯后方向相同或相反，分别对应内错角相等与同旁内角互补；木板检验用判定；最后说清平推三角尺画平行线的道理。 变式1　如图，一段公路从A到B后在点B处拐弯，到点C处再拐弯沿CD方向延伸，拐弯后CD与AB平行且方向相同。若∠ABC＝146°，求∠BCD的度数。 变式2　如图，AB、CD是一段“U形”弯道的两段直路，AB∥CD，汽车按A、B、C、D的顺序行驶，在B、C两处各转一次弯，前后行驶方向正好相反。已知∠ABC＝118°，求∠BCD的度数。 变式3　工人师傅要检验一块木板的两条边AB、CD是否平行，他画了一条直线EF与两边分别交于点E、F，量得∠BEF＝63°。∠EFD等于多少度时，可以判定AB∥CD？写出依据。 变式4　用一把直尺和一块三角尺画平行线：把三角尺的一条边紧靠直尺，沿三角尺的另一条边画直线a；把三角尺沿直尺平推一段距离，再沿同一条边画直线b，则a∥b。这样画之所以能保证a∥b，用到的角的关系是（　　）。 A．同位角相等 B．内错角相等 C．同旁内角互补 D．对顶角相等 　易错专练 本章的失分集中在六处：把性质当判定写依据、举的反例不满足条件、认错被截的两条直线、以为假命题不是命题、两边分别平行的角只算一种情况、解方程移项时忘记变号。每题先看错解，再对照错因与正解。 易错1　如图，∠1与∠2是直线AB、CD被直线EF截出的一对同位角，且∠1＝∠2。写出由此得到AB∥CD的推理过程（每步注明依据）。 易错2　举一个反例，说明命题“如果∠1与∠2互补，那么∠1与∠2中一个是锐角、另一个是钝角”是假命题。 易错3　如图，在四边形ABCD中，连接AC，∠1＝∠2。由此可以判定哪两条线段所在的直线平行？ 易错4　“相等的两个角是对顶角”这句话是不是命题？如果是，它是真命题还是假命题？请说明理由。 易错5　已知∠α与∠β的两边分别平行，∠α＝50°，求∠β的度数。 易错6　∠α的补角的减去10°，恰好等于∠α的余角。求∠α的度数。 　课后作业（一）基础巩固 下面8题是本章必会的内容，每题只有一个选项符合题意。考查次序是定义与命题、反例、平行线的判定与性质、基本事实与定理。 1．下列语句中，属于定义的是（　　）。 A．同角的补角相等 B．等边三角形的三个内角都相等 C．两条直线相交所成的四个角中有一个是直角时，就说这两条直线互相垂直 D．直角都相等 2．要说明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题，可以举的反例是（　　）。 A．a＝3，b＝2 B．a＝-2，b＝-3 C．a＝4，b＝-1 D．a＝5，b＝0 3．如图，直线a、b被直线c所截，∠1＝78°，当∠2等于（　　）时，a∥b。 A．12° B．102° C．78° D．112° 4．“经过直线外一点，只能画出唯一一条直线与已知直线平行”这句话，在本章中的身份是（　　）。 A．定义 B．基本事实 C．需要证明的定理 D．假命题 5．若一个角的余角是26°，则这个角的补角是（　　）。 A．116° B．154° C．64° D．26° 6．如图，AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交，∠1＝112°，则∠2的度数是（　　）。 A．22° B．56° C．112° D．68° 7．把命题“两个奇数的和是偶数”改写成“如果……，那么……”的形式，正确的是（　　）。 A．如果两个数都是奇数，那么这两个数的和是偶数 B．如果两个数的和是偶数，那么这两个数都是奇数 C．如果两个数不都是奇数，那么这两个数的和不是偶数 D．和是偶数的两个数都是奇数 8．在同一平面内，直线a∥b，直线c⊥a，则直线c与b的位置关系是（　　）。 A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 　课后作业（二）能力进阶 第9～16题只要求写出结果。这一组把命题的改写、反例、对顶角与平行线的计算、证明中的依据各考一遍。 9．把“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……，那么……”的形式：________。 10．命题“若a＋b＜0，则a＜0且b＜0”是假命题，能说明这一点的一组反例是a＝____，b＝____（写出一组即可）。 11．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠EGB＝57°，则∠DHF＝____°。 12．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC与∠BOD的和是96°，则∠AOD＝____°。 13．如图，直尺的两边互相平行，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝29°，则∠2＝____°。 14．在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3倍少36°，则∠A＝________°。 15．推理填空：已知p∥r，q∥r，直线s截这三条直线，∠1、∠2、∠3分别是s与r、p、q相交所成的一组同位角，由p∥r得∠2＝∠1，由q∥r得∠3＝∠1，于是∠2＝∠3，这一步的依据是________；再由∠2＝∠3得p∥q，依据是________。 16．如图，直线a、b被直线c所截，∠1＝(2x+10)°，∠2＝(3x-25)°，当x＝____时，a∥b。 　课后作业（三）拓展延伸 第17～26题要写出完整的计算或证明过程。这一组把反例、判定与性质的综合、平行线间的折线与角的计算合在一起用。 17．有同学把n＝1，2，3分别代入式子-+12n-6，发现结果都等于n本身，于是猜想：对于所有正整数n，这个式子的值都等于n。取n＝4检验这个猜想，并说出检验的结论。 18．已知：如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，AE与CE交于点E。求证：AE⊥CE。 19．如图，AB∥CD，直线BC截AB、CD，∠ABC＝(3x+10)°，∠BCD＝(5x-30)°。求x的值及∠ABC的度数。 20．已知命题：直角都相等。(1)写出它的条件和结论；(2)交换条件和结论得到一个新命题，这个新命题成立吗？不成立时请举出反例。 21．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，∠A＝48°，∠ADE＝67°。求∠C与∠DEC的度数。 22．已知：如图，AB、CD被直线EF所截，交点依次为G、H，∠AGE＝∠DHF。求证：AB∥CD。 23．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，OE平分∠BOC，∠AOD＝24°。求∠DOE的度数。 24．如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，点E在AB上，射线EG交CD于点G，∠FEG＝28°。求∠EGD的度数。 25．已知：如图，AB∥CD，连接BC，射线BE、CF分别在∠ABC、∠BCD的内部，且∠ABE＝∠DCF。求证：BE∥CF。 26．如图，AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，连接BP、DP，设∠ABP＝x°，∠CDP＝y°。(1)如图1，点P在直线BD的左侧，用含x、y的式子表示∠BPD；(2)如图2，点P在直线BD的右侧，用含x、y的式子表示∠BPD。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $