海南海口市海南中学2026-2027学年第一学期高二年级9月测试数学试卷

高二数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共19小题，共150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 2．圆心为，半径为5的圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 3．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知圆与圆，若圆完全覆盖圆，，则圆的半径的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．已知直线：和圆：，圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 7．若过圆内不同于圆心的点P恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点P构成的区域的面积为（ ） A． B． C． D． 8．已知点，若，是直线：上的两点，且对任意，恒成立，则线段的长度的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A．k的取值范围为 B．圆心坐标为 C．当k时，半径 D．当k时，圆面积为 10．圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（ ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 11．已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线：与直线：相交于点，下列说法正确的是（ ） A．弦的中点轨迹是圆 B．直线，的交点在定圆上 C．线段的最小值为 D．的最大值为 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知，为圆上一动点，则线段的中点的轨迹方程为________． 13．方程所表示的曲线的长度是________． 14．已知实数，，，满足，，，，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，轮船航向为北偏西，若轮船沿直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由． 16．（本题满分15分） 已知直线经过点，且与直线垂直． （1）求直线的一般式方程； （2）已知圆与轴相切，直线被圆截得的弦长为4，圆心在直线上，求圆的标准方程． 17．（本题满分15分） 已知实数，满足方程．求： （1）的取值范围； （2）的取值范围． 18．（本题满分17分） 已知动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点），连接交于点，是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（本题满分17分） 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）．直线． （1）已知圆：，圆：的圆心分别为，，且，判断圆与圆的位置关系； （2）若直线与（1）问结论中的圆自上而下交于，两点，直线与轴、轴分别交于、两点；若（1）问结论中的圆与轴自上而下交于，两点． ①设，，求的值； ②求证：直线、交点在定直线上． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D 2．B 3．C 4．A 5．C 6．B 7．A 8．D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．AC 10．ABC 11．ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12． 13． 14．8 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】没有，理由见解析 【详解】解：以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 由题意可知，轮航线所在直线过点，轮航线所在直线的倾斜角为，斜率为， 所以，轮航线所在直线方程为，即． 原点到轮航线所在直线的距离为， 所以，轮船没有触礁风险． 16．【答案】（1）；（2）或． 【详解】（1）依题意可设直线的方程为， 将点的坐标代入，得， 所以直线的一般式方程为． （2）设圆的方程为， 因为圆与轴相切，所以， 圆心到的距离， 又圆心在直线上，所以， 所以，解得． 当时，，，圆的标准方程为； 当时，，，圆的标准方程为． 17．【答案】（1）（2） 【详解】（1）设，则直线与圆有公共点， 圆心到的距离，解得：， 即的取值范围为． （2）由原点在圆外部， 则可设，则圆与圆有公共点， 两圆圆心距，，解得：， ，即的取值范围为． 18．【答案】（1），以为圆心，半径为2的圆；（2）存在，． 【详解】（1）设，则，即， 所以，整理得． （2）存在，，理由如下： 由题设，易知，，，四点共圆，即，在以为直径的圆上， 而，的中点坐标为，， 以为直径的圆为，又，在上， 即为两圆的公共弦，两圆方程作差，得直线为， 显然该直线恒过定点． 由题设，易知在以为直径的圆上， 即为圆心、半径为， 且轴，则，且到直线的距离为，故到直线的最大距离为， 所以，当与重合时，面积最大，此时． 19．【答案】（1）相交（2）①；②直线、交点在定直线上． 【详解】（1）圆：转化为标准方程为：， ，，，或0， ，，，，，， ，，，与相交． （2）①直线，，设，，由， 消去得：，由韦达定理，，， 由有， 同理由有，（*）， 将韦达定理代入（*），； ②，，则直线，直线， 联立两直线方程消得：（**）， 由韦达定理有，即， 代入（**）可得，解得． 故直线、交点在定直线上． 学科网（北京）股份有限公司 $