第3章 第20讲 第1课时 利用导数研究不等式的恒(能)成立问题(高考超重点)(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 聚焦导数研究不等式恒成立问题，以分类讨论、参数分离、构造函数为核心方法，构建“导数性质→函数最值→不等式条件”的逻辑链条，培养推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1题|分类讨论单调性，极值点分析|导数与函数单调性的关系推导| |参数分离|2题|多题同解参数分离，构造新函数求最值|不等式恒成立与函数最值的转化| |综合拓展|1题|导数分解因式，分段讨论参数范围|函数极值与恒成立条件的综合应用| |创新交汇|1题|构造含三角函数的新函数，利用单调性分析|跨知识模块的数学模型构建|

课时分层测评25　利用导数研究不等式的恒(能)成立问题 (时间：60分钟　满分：55分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1.(10分)(2025·海南海口二模)已知函数f＝ex，a∈R， (1)判断函数f的单调性； (2)若f≤1，求实数a的取值范围. 解：(1)因为f＝ex，所以f'＝ex， ①若a＝0，则f'＝ex＞0，f是R上的增函数； ②若a＞0，则在上，f'＜0，f单调递减；在上，f'＞0，f单调递增； ③若a＜0，则在上，f'＞0，f单调递增；在上，f'＜0，f单调递减； 综上，当a＝0时，f的单调递增区间为R，无单调递减区间； 当a＞0时，f，单调递增区间是； 当a＜0时，f，单调递减区间是. (2)若a≥0，则当x→＋∞时，f→＋∞，不符合题意； 若a＜0，则由(1)知，f＝f. 又由f≤1，则f(－)≤1，即－a≤1，令g(x)＝－x，x＜0，则g'(x)＝－－x·＝－(1＋， 令g'(x)＜0，得x＜－1，令g'(x)＞0，得－1＜x＜0，所以g(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，所以g(x)≥g(－1)＝1，即g(a)≥1，又g(a)≤1，所以g(a)＝1，即a＝－1. 2.(13分)(多题同解)(1)(2025·山东济南模拟节选)已知函数f＝xln x－ax，若对任意x∈，f≤x2＋2恒成立，求实数a的取值范围. (2)(2025·河北石家庄5月检测)若关于x的不等式x2x＞axln x在(0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围. 解：(1)由任意x∈，f≤x2＋2知xln x≤x2＋ax＋2恒成立. 因为x＞0，故a≥ln x－x－在x∈上恒成立. 令h＝ln x－x－，则h'＝－1＋＝－. 令h'＝0，得x1＝2，x2＝－1(舍去)， 当x∈时，h'＞0，h单调递增，当x∈时，h'＜0，h单调递减， 故当x＝2时，h取得极大值，也是最大值， 且h＝h＝ln 2－3， 所以若a≥h在x∈上恒成立， 则a≥h＝ln 2－3， 故实数a的取值范围是. (2)由x2x＞axln x，得e2xln x＞axln x在x∈(0，＋∞)上恒成立. 令t＝f(x)＝xln x，x＞0，则f'(x)＝ln x＋1，当0＜x＜时，f'(x)＜0，f(x)在(0，)上单调递减；当x＞时，f'(x)＞0，f(x)在(，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f()＝－，则t∈，所以e2t＞at在t∈上恒成立.当t＝0时，e2t＞at恒成立，则a∈R. 当t＞0时，由e2t＞at，得a＜；当－≤t＜0时，由e2t＞at，得a＞. 令h(x)＝，x∈∪(0，＋∞)，则h'(x)＝，当－≤x＜0或0＜x＜时，h'(x)＜0，h(x)在和(0，)上单调递减；当x＞时，h'(x)＞0，h(x)在(，＋∞)上单调递增. 所以h(x)在上的最大值为h(x)max＝h(－)＝－，h(x)在(0，＋∞)上的最小值为h(x)min＝h()＝2e. 故实数a的取值范围是(－，2e). 3.(15分)(2025·沈阳质量检测)函数f(x)＝e2x＋(a－2)ex－ax. (1)当a＝－2e时，求函数f(x)的极值和极值点； (2)若f(x)≥a－1在x∈[0，＋∞)时恒成立，求实数a的取值范围. [注：本题规范解答见答案] 解：因为f(x)＝e2x＋(a－2)ex－ax， 所以f'(x)＝2e2x＋(a－2)ex－a＝(2ex＋a)(ex－1). (1)第一步：判断函数的单调性与极值点 当a＝－2e时，f(x)＝e2x＋(－2e－2)ex＋2ex， f'(x)＝2(ex－1)(ex－e)，令f'(x)＝0，则x＝0或x＝1. f'(x)，f(x)随x的变化如表： x (－∞，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞) f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 第二步：写出函数f(x)的极值点与极值 由表可知，函数f(x)的极大值点为x＝0，极大值为f(0)＝－2e－1；函数f(x)的极小值点为x＝1，极小值为f(1)＝－e2. (2)第一步：讨论a≥0时的情况 当a≥0时，2ex＋a＞0， 由f'(x)＞0，得x＞0，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 又f(0)＝a－1，所以当a≥0时，f(x)≥a－1在x∈[0，＋∞)时恒成立，符合题意. 第二步：讨论a＜0时的情况 当a＜0时，由f'(x)＝0，解得x1＝ln(－)，x2＝0. ①当x1＜x2，即－2＜a＜0时， 由f'(x)＞0，得x＜ln(－)或x＞0，由f'(x)＜0，得ln(－)＜x＜0，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f(x)≥f(0)＝a－1，符合题意. ②当x1＝x2，即a＝－2时，f'(x)≥0恒成立， 所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f(x)≥f(0)＝a－1，符合题意. ③当x1＞x2，即a＜－2时，由f'(x)＞0，得x＜0或x＞ln(－)，由f'(x)＜0，得0＜x＜ln(－)，所以函数f(x)在(0，ln(－))上单调递减，在(ln(－)，＋∞)上单调递增，则f(ln(－))＜f(0)＝a－1，不符合题意. 第三步：得结果 综上所述，实数a的取值范围是[－2，＋∞). 4.(17分)(创新交汇)已知函数f(x)＝ax－，x∈(0，). (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)＋sin x＜0，求实数a的取值范围. 解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－，x∈， f'(x)＝1－. ＝＝， 由于x∈(0，)，所以cos x∈(0，1)， 所以cos3x＋cos2x－2＜0，cos3x＞0， 所以f'(x)＝＜0在(0，)上恒成立， 所以函数f(x)在(0，)上单调递减. (2)令g(x)＝－sin x＝＝＝， 则g'(x)＝ ＝. 因为x∈，所以3cos2xsin2x＋2sin4x＞0，cos3x＞0，则g'(x)＞0， 所以函数g(x)在上单调递增， g(0)＝0，当x→时，g(x)→＋∞， 因为f(x)＋sin x＜0恒成立，所以－sin x＞ax在上恒成立，即直线y＝ax在0＜x＜时恒在g(x)的图象下方，如图所示， 由图及g'(0)＝0可得a≤0， 即实数a的取值范围是(－∞，0]. 学生用书⬇第85页 学科网（北京）股份有限公司 $