第三章 一元二次方程 单元测试（B卷）2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第三章《一元二次方程》（B卷）—湘教版数学九年级上册单元测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．若方程中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，则的值为（　　） A． B． C．3 D．5 2．若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是（　　） A．2 B． C．2或 D．0 3．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（　　）． A．x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B．x2+8x+9=0化为(x+4)2=25 C．2t2-7t-4=0化为 D．3y2-4y-2=0化为 4．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹抵地”问题，大意为：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈 尺）如果设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．若菱形两条对角线的长度是方程的两个根，则该菱形的边长为（　　） A． B．4 C．25 D．5 6．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．已知是方程的两个实数根，则代数式的值为（　　） A．4 053 B．4 052 C．2 026 D．1 8．《代数学》中记载，形如的方程，求其正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的长方形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为.”小唐按此方法解关于的方程时，构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 9．使得关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的一元二次方程有实数根的所有整数的值之和为（　　） A．35 B．30 C．26 D．21 10．对于一元二次方程，有下列说法：①若方程有两实数根为1，，则 分解因式得；②若 ，则方程有两个不相等的实数根；③若，则方程一定有一个根为；④若方程有两个不等于0的实数根，则方程 一定有两实数根 ，．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（每题3分，共24分） 11．若方程是关于的一元二次方程，则的值为　 　． 12．已知一个一元二次方程有一个根为，且常数项为0，请写出一个满足要求的方程：　 　． 13．一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这个两位数的三分之一，则这个两位数为　 　. 14．若方程的两根为，则方程的两根为　 　. 15．为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为120米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为225平方米，则图中的值为　 　. 16．如图，等边三角形中，在射线上，连接.若的长为方程的两根，且为符合题意的最大的整数，则不同位置的点共有　 　个. 17．2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率（单位：赫兹）满足以下条件：①两个频率的和为8；②以这两个频率为根的一元二次方程，其一次项系数的2倍与常数项的和，等于两根的差的平方．设该一元二次方程为（其中是实数），则可求得　 　． 18．已知关于的一元二次方程，称其为“同族二次方程”.如是“同族二次方程”.若关于的一元二次方程是“同族二次方程”，则代数式能取得的最大值是　 　. 三、解答题（19，20题每题6分，21，22题每题8分，23，24题每题9分，25，26题每题10分，共66分） 19．解方程： （1）； （2）； （3）． 20．已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论实数取何值，方程总有两个实数根； （2）若的两直角边的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边的长为4，求的值． 21．阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设，那么，于是原方程可变为，解得.当时，，所以；当时，，所以.所以原方程有四个根：．在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学中的转化思想． （1） 试用上述方法解方程，得原方程的解为　 　． （2） 解方程． 22．高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和灰色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题： （1） 图①中的灰色正方形有：（个）； 图②中的灰色正方形有：（个）； 图③中的灰色正方形有：（个）； 图④中的灰色正方形有：（个）；…； 图ⓝ中的灰色正方形有：　 　. （2） 图①中，白色正方形的个数比灰色正方形的个数多1个；图②中，白色正方形的个数比灰色正方形的个数多2个；图③中，白色正方形的个数比灰色正方形的个数多3个；…；则图ⓝ中的白色正方形有　 　个. （3） 若图ⓝ中灰色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图ⓝ中白色正方形的个数. 23．阅读理解并解答： （1）【方法呈现】 配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用． 例如：.因为，所以．则代数式的最小值为　 　，这时相应的的值是　 　； （2）【尝试应用】 求代数式的最小值或最大值； （3）【拓展提高】 已知的三边长，满足，求的取值范围． 24．湖南长沙是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，某市某店铺购进了一批旅游纪念品，“文创恤”和“纪念湘绣”，进货价和销售价如下表： 纪念品 文创 恤 纪念湘绣 进货价/（元/件） 59 66 销售价/（元/件） 79 88 （1） 该店铺购进“文创恤”和“纪念湘绣”共80件，且进货总价不高于4 900元，若进货后能全部售出，则分别购进“文创恤”和“纪念湘绣”多少件，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ （2） 该店铺为了在国庆假期中尽快售完“文创恤”，打算调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，能使“文创恤”平均每天销售利润为256元？ 25．某科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，2024年该产品各部分成本所占比例约为为整数.且2024年该产品的技术成本为400万元. （1） 若2024年产品总成本超过1 800万元，但不超过2 000万元，确定的值； （2） 在（1）的条件下，为降低总成本，该公司2025年及2026年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数，制造成本在这两年里都比前一年减少；同时为了扩大销售量，2026年的销售成本将在2024年的基础上提高，经过以上变革，预计2026年该产品总成本仅为2024年该产品总成本的，求的值. 26．如图，在中， ，，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点做匀速运动，到达点停止运动.设运动时间为秒. （1） 如图①，过点，交，若的面积和是的面积的，求的值； （2） 如图②，点在射线上，且，以线段为边向上作正方形.在运动过程中，若正方形重叠部分的面积为8，求的值. 参考答案 1．A；2．B；3．B；4．A；5．A；6．B；7．A；8．A；9．B；10．C 11．-2 12．（答案不唯一） 13．24或15 14．， 15．30 16．3 17．16 18．2027 19．（1）解：方程中，，，，， 所以， 所以，. （2）解：， 两边都加上17，得， 所以. 所以. 所以，. （3）解：方程变形得. 分解因式得， 即或.解得，. 20．（1）证明：因为，所以无论实数取何值，方程总有两个实数根. （2）解：由题意得，. 又因为的斜边， 所以，所以，即， 所以，解得，. 因为，为两个正根，所以. 21．（1）， （2）解：设，则原方程变为， 解得，. 当时，，解得. 当时，，即， ，所以此方程无实数解. 所以原方程的解为. 22．（1）（个） （2） （3）解：由题图可知，图ⓝ中等边三角形的个数为个.因为图ⓝ中灰色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，所以，解得或（舍去）.当时，，所以图ⓝ中白色正方形的个数为66个. 23．（1）2； （2）解：. 因为，所以， 所以代数式有最小值. （3）解：因为，，是的三边长，满足，所以.所以易得.所以，.所以，.因为，所以. 24．（1）解：设购进“文创恤”件，则购进“纪念湘绣”件，根据题意得，解得，设利润为元，则，要使利润最大，则取最小值.因为，为正整数，所以.所以当购进“文创恤”55件，“纪念湘绣”25件时，有最大利润，最大利润为（元）. （2）解：设“文创恤”销售价定为每件元，则有，解得，.因为要尽快售完，所以. 答：“文创恤”销售价定为每件67元，能使“文创恤”平均每天销售利润为256元. 25．（1）解：由题意得，解得. 因为为整数，所以. （2）解：由（1）可得2024年产品总成本为（万元）， 则2024年的制造成本为（万元），销售成本为（万元）. 由题意得. 令，则， 所以， 整理得，解得，， 所以，（舍去）， 则. 26．（1）解：因为中， ，， 所以 ，. 因为，所以.因为，所以， 所以与的面积和为. 因为与的面积和是的面积的， 所以，解得，. （2）解：因为，，所以. 设正方形与重叠部分的面积为. ①如图1，当时，，解得，（不合题意，舍去）. ②如图2，当时，，解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）. ③如图3，当时，，解得，（不合题意，舍去）.综上，的值为或. 学科网（北京）股份有限公司 $