第1章 三角形 单元小测 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

苏科版 · 八年级数学上册 · 单元小测 第1章 三角形 单元小测 苏科版 · 八年级上册　　考试时间：60分钟　　满分：100分 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 一、单元知识梳理 知识点1　三角形的基本性质 （1）三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 （2）内角和：三角形的三个内角的和等于180°。 （3）外角：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。如图，∠ACD=∠A+∠B。 （4）三角形的三条重要线段：中线、高、角平分线。 知识点2　全等三角形 （1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的对应边相等，对应角相等。 （2）全等三角形的判定方法： 判定方法 条件 适用范围 边边边（SSS） 三边分别相等 所有三角形 边角边（SAS） 两边及其夹角分别相等 所有三角形 角边角（ASA） 两角及其夹边分别相等 所有三角形 角角边（AAS） 两角及其中一角的对边分别相等 所有三角形 斜边、直角边（HL） 斜边和一条直角边分别相等 直角三角形 易错提醒：“边边角”（SSA）和“角角角”（AAA）不能判定两个三角形全等。 知识点3　角平分线与线段垂直平分线 （1）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。如图，OC 平分 ∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，则 PD=PE。 判定：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 （2）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。如图，直线 l 垂直平分 AB，点 P 在 l 上，则 PA=PB。 判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 知识点4　等腰三角形与等边三角形 （1）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。等腰三角形是轴对称图形。 （2）等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 （3）等边三角形：三条边都相等，三个角都等于60°；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 知识点5　直角三角形 （1）直角三角形的两个锐角互余。 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的中线，则 CD=AB。 典型例题 例1　如图，点 B、E、C、F 在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：AC∥DF。 证明：因为 BE=CF，所以 BE+EC=CF+EC，即 BC=EF。 在 △ABC 和 △DEF 中， 所以 △ABC≌△DEF（SSS），所以 ∠ACB=∠F， 所以 AC∥DF（同位角相等，两直线平行）。 例2　如图，△ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 BC、AC 上，且 BD=CE，AD 与 BE 相交于点 P。求 ∠APE 的度数。 解：因为 △ABC 是等边三角形，所以 AB=BC，∠ABD=∠C=60°。 在 △ABD 和 △BCE 中，　所以 △ABD≌△BCE（SAS），所以 ∠BAD=∠CBE。 所以 ∠APE=∠BAD+∠ABP=∠CBE+∠ABP=∠ABC=60°。 方法点拨：∠APE 是 △ABP 的外角，利用全等把 ∠BAD 转化为 ∠CBE，从而把两个角“拼”成 ∠ABC。 二、单元小测 （一）选择题（每小题3分，共30分） 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．1，2，3　　B．2，3，6　　C．3，4，5　　D．4，4，9 2．在 △ABC 中，∠A=50°，∠B=70°，则 ∠C 的度数为（　　） A．50°　　B．60°　　C．70°　　D．80° 3．如图，∠ACD 是 △ABC 的外角，∠A=40°，∠ACD=110°，则 ∠B 的度数为（　　） A．50°　　B．60°　　C．70°　　D．80° 4．下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（　　） A．三条边分别相等　　　　　　　B．两边和它们的夹角分别相等 C．两角和其中一角的对边分别相等　D．两边和其中一边的对角分别相等 5．如图，AB=AC，点 D、E 分别在 AC、AB 上，添加下列一个条件后，仍不能判定 △ABD≌△ACE 的是（　　） A．AD=AE　　B．∠B=∠C　　C．BD=CE　　D．∠ADB=∠AEC 6．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（　　） A．50°　　B．80°　　C．50°或80°　　D．20°或80° 7．等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为（　　） A．13　　B．17　　C．13或17　　D．10 8．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的中线，若 AB=10，则 CD 的长为（　　） A．4　　B．5　　C．6　　D．8 9．到三角形三个顶点距离相等的点是（　　） A．三条中线的交点　　　　　B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点　　　D．三边垂直平分线的交点 10．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，若 CD=3，AB=10，则 △ABD 的面积为（　　） A．10　　B．15　　C．20　　D．30 （二）填空题（每小题3分，共24分） 11．已知三角形两边长分别为3和8，则第三边 x 的取值范围是________。 12．如图（例1），若 △ABC≌△DEF，∠A=70°，∠B=50°，则 ∠F=________°。 13．等腰三角形的顶角为40°，则它的一个底角为________°。 14．如图，在 △ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，若 BC=8，则 BD=________。 15．如图，在 △ABC 中，AC 的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，AE=3，△ABD 的周长为13，则 △ABC 的周长为________。 16．如图，OC 平分 ∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于点 D，PD=4，则点 P 到 OB 的距离为________。 17．在 △ABC 中，∠A=∠B=60°，AB=5，则 BC=________。 18．直角三角形斜边上的中线长为6，则斜边长为________。 （三）解答题（共46分） 19．（8分）如图，AB=AD，BC=DC。求证：（1）△ABC≌△ADC；（2）AC 平分 ∠BAD。 20．（8分）如图，点 B、E、F、C 在同一条直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为 E、F，AB=DC，BF=CE。求证：AE=DF。 21．（8分）如图，在 △ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F。求证：DE=DF。 22．（7分）在 △ABC 中，AB=AC，∠A=40°，点 D 在边 AC 上，且 BD=BC，求 ∠ABD 的度数。 23．（7分）如图（例2），△ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 BC、AC 上，BD=CE，AD 与 BE 交于点 P。 （1）求证：AD=BE； （2）若 ∠BAD=20°，求 ∠ABE 的度数。 24．（8分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的中线，∠A=30°。 （1）求证：△BCD 是等边三角形； （2）若 AB=8，求 BC 的长。 三、拓展探究（选做，10分） 25．在 △ABC 中，AB=AC，点 D 是直线 BC 上一点（不与 B、C 重合），以 AD 为一边在 AD 的右侧作 △ADE，使 AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接 CE。 （1）当点 D 在线段 BC 上时，求证：△BAD≌△CAE； （2）在（1）的条件下，若 ∠BAC=90°，求 ∠BCE 的度数； （3）设 ∠BAC=α，∠BCE=β，当点 D 在线段 BC 上移动时，α 与 β 之间有怎样的数量关系？请说明理由。 四、参考答案与解析 （一）选择题 1．C　【解析】1+2=3，不能组成；2+3<6；3+4>5，能组成；4+4<9。 2．B　【解析】180°-50°-70°=60°。 3．C　【解析】∠B=∠ACD-∠A=110°-40°=70°。 4．D　【解析】“边边角”不能判定两个三角形全等。 5．C　【解析】已知 AB=AC，∠A 是公共角。A 可用 SAS；B 可用 ASA；D 可用 AAS；C 是“边边角”，不能判定。 6．C　【解析】若80°是底角，则底角为80°；若80°是顶角，则底角为 (180°-80°)÷2=50°。 7．B　【解析】若腰长为3，则 3+3<7，不能组成三角形；所以腰长为7，周长为 7+7+3=17。 8．B　【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 9．D　【解析】线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 10．B　【解析】过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，由角平分线的性质得 DE=CD=3，所以 S△ABD=×10×3=15。 （二）填空题 11．5<x<11　【解析】8-3<x<8+3。 12．60　【解析】∠F=∠ACB=180°-70°-50°=60°。 13．70　【解析】(180°-40°)÷2=70°。 14．4　【解析】由“三线合一”，D 是 BC 的中点。 15．19　【解析】DE 垂直平分 AC，所以 DA=DC，AC=2AE=6。△ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13，所以 △ABC 的周长为 13+6=19。 16．4　【解析】角平分线上的点到角两边的距离相等。 17．5　【解析】三个角都等于60°，△ABC 是等边三角形。 18．12 （三）解答题 19．证明：（1）在 △ABC 和 △ADC 中，　所以 △ABC≌△ADC（SSS）。 （2）由（1）得 ∠BAC=∠DAC，所以 AC 平分 ∠BAD。 20．证明：因为 BF=CE，所以 BF-EF=CE-EF，即 BE=CF。 因为 AE⊥BC，DF⊥BC，所以 ∠AEB=∠DFC=90°。 在 Rt△ABE 和 Rt△DCF 中，　所以 Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），所以 AE=DF。 21．证明：方法一：连接 AD。因为 AB=AC，D 是 BC 的中点，由“三线合一”得 AD 平分 ∠BAC。又 DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线的性质得 DE=DF。 方法二：因为 AB=AC，所以 ∠B=∠C。因为 DE⊥AB，DF⊥AC，所以 ∠BED=∠CFD=90°。又 BD=CD，所以 △BED≌△CFD（AAS），所以 DE=DF。 22．解：因为 AB=AC，∠A=40°，所以 ∠ABC=∠C=(180°-40°)÷2=70°。 因为 BD=BC，所以 ∠BDC=∠C=70°，所以 ∠DBC=180°-70°-70°=40°。 所以 ∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-40°=30°。 23．解：（1）由例2知 △ABD≌△BCE（SAS），所以 AD=BE。 （2）因为 △ABD≌△BCE，所以 ∠CBE=∠BAD=20°，所以 ∠ABE=∠ABC-∠CBE=60°-20°=40°。 24．解：（1）因为 ∠ACB=90°，∠A=30°，所以 ∠B=60°。 因为 CD 是斜边 AB 上的中线，所以 CD=BD=AB， 所以 △BCD 是有一个角为60°的等腰三角形，即 △BCD 是等边三角形。 （2）BC=BD=AB=4。 （四）拓展探究 25．解：（1）因为 ∠DAE=∠BAC，所以 ∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，即 ∠CAE=∠BAD。 在 △BAD 和 △CAE 中，　所以 △BAD≌△CAE（SAS）。 （2）由（1）得 ∠ACE=∠B。当 ∠BAC=90°，AB=AC 时，∠B=∠ACB=45°， 所以 ∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°。 （3）α+β=180°。理由：由（1）得 ∠ACE=∠B，所以 β=∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B=180°-∠BAC=180°-α，即 α+β=180°。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $