1.4.1.2 空间中直线、平面的平行（第一课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

.1.1 数系的扩充和复数 第一章 空间向量与立体几何 1.4.1.2 空间中直线、平面的平行（第一课时） 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系. 3.能用向量方法进行有关直线、平面位置关系的判断． 复习导入 如何求直线的方向向量与平面的法向量？ 向量名称 图 示 求 法 直线的方向向量 平面的法向量 ① 设平面α的法向量 ③ 列方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量. ① 找到l⊥α； ② l 的方向向量即为平面的法向量. ① 取两点； ② 定向量. ② 求平面α内的两个不共线向量 复习导入 问题：空间中确定直线位置的关键向量是什么？ 直线的方向向量 平面的法向量 空间中确定平面位置的关键向量是什么？ 能否用直线的方向向量、平面的法向量来刻画直线、平面的平行关系？ 新知探究——线线平行的向量表示 思考1：若两条直线平行，则两直线的方向向量具有什么关系？ 设分别是直线l1, l2的方向向量， 由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行， 反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行 （注：此处不考虑线线重合的情况） 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 5 新知探究——线面平行的向量表示 思考2：若直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的法向量有什么关系？  l n u 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 6 新知探究——面面平行的向量表示 思考3：若两平面平行，则两平面的法向量具有什么关系？  n1 n2 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 7 小试牛刀 1. 已知直线l1的方向向量为=(1,2,3)，直线l2的方向向量为=(λ,4,6)，若l1//l2，则λ=（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解：⸪l1//l2，=2 小试牛刀 2. 已知平面α的一个法向量是(2,-1,1)，α//β，下列向量可作为平面β的一个法向量的是（ ） A.(4,2,-2) B.(2,0,4) C.(2,-1,-5) D.(4,-2,2) 解：⸪α//β，⸫平面β的一个法向量 ⸫∈R 当=2时， 典例分析 例1 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点，求证：PQ∥RS. 证：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. x y z 基底法 坐标法 还有其他解法吗？ 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 10 小试牛刀——课本P42-3 基底法 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是C1D1的中点. 求证：A1E//CF 证明：由题知 ,即 A1E//CF 典例分析 例2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B与A1C1的中点， 求证：MN∥平面ADD1A1. 证明： 以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则B(2，0，0)，A1(0，0，2)，C1(2，2，2)， ∴=(1，0，0)， ∵M，N分别是A1B与A1C1的中点，则M(1，0，1)，N(1，1，2)， ∴=(0，1，1)， 又∵AB⊥平面ADD1A1， ∴是平面ADD1A1的一个法向量， ∴1×0＋0×1＋0×1＝0，即， 由图可知MN不在平面ADD1A1内，因此MN∥平面ADD1A1. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 12 小试牛刀——课本P31-3 如图，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，E, F分别是面AB1，面A1C1的中心. 求证: EF//平面ACD1. A D C B A1 D1 C1 B1 F • E • ∴ EF//平面ACD1. 证明: 求证方向向量与平面的法向量垂直 典例分析 例3 长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=4, BC=3, CC1=2. 在线段B1C上是否存在点P, 使得A1P∥平面ACD1？ 是否存在P？ 找到P 如何判断 P在哪 P在B1C上 如何表示 A1P∥面ACD1 向量运算 确定存在 如何确定λ 分析: 平面的法向量与方向向量垂直！ 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 14 典例分析 例3 长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=4, BC=3, CC1=2. 在线段B1C上是否存在点P, 使得A1P∥平面ACD1？ 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 15 典例分析 例3 长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=4, BC=3, CC1=2. 在线段B1C上是否存在点P, 使得A1P∥平面ACD1？ 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 16 小试牛刀——课本P31-2 如图, 在四面体ABCD中, E是BC的中点. 直线AD上是否存在点F, 使得AE//CF? 课堂小结 直线、平面的平行问题 常用方法：(1)几何法； (2)向量法:①坐标法（两两垂直） ； ②基底法（不易建立空间直角坐标系） 1.线线平行： 2.线面平行： 3.面面平行： 两直线的方向向量共线(找λ) 法向量坐标法：直线的方向向量与平面的法向量垂直 直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面. 法向量坐标法：两平面的法向量共线 当堂检测 1.已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y) 分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2 ， 则( ) D 2.(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是( ) A. a＝(1,0,0)，n＝(0，－2,0) B. a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C. a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D. a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) AD 当堂检测 3.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)， B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是______. 解　∵l∥平面ABC， ∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)＝(x，y，－x－y)， －3 当堂检测 4.已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( ) 解　∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行. B 拓展探究 已知O为坐标原点，四面体OABC中，A，B，C的坐标分别为A(0,3,5)，B(1,2,0)，C(0,5,0)，若直线AD∥BC且AD交坐标平面Ozx于点D，求点D的坐标． 拓展探究 已知O为坐标原点，四面体OABC中，A，B，C的坐标分别为A(0,3,5)，B(1,2,0)，C(0,5,0)，若直线AD∥BC且AD交坐标平面Ozx于点D，求点D的坐标． 拓展探究 或0＝－(x－1)，2＝－(y－2)，－5＝－z. 所以x＝1，y＝4，z＝－5或x＝1，y＝0，z＝5. 故D点坐标为(1,4，－5)或(1,0,5)． 已知O为坐标原点，四面体OABC中，A，B，C的坐标分别为A(0,3,5)，B(1,2,0)，C(0,5,0)，若直线AD∥BC且AD交坐标平面Ozx于点D，求点D的坐标． A.x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝ C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝ ∴∴m＝－3. ∴存在实数x，y，使a＝x＋y，＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)， ∴＝＝，∴λ＝6. A.－ B.6 C.－6 D. 解：因为点D在平面Ozx中，所以可设点D(x,0，z)， 得向量eq \o(AD,\s\up16(→))＝(x，－3，z－5)，向量eq \o(BC,\s\up16(→))＝(－1,3,0)． 因为直线AD∥BC，所以有向量eq \o(AD,\s\up16(→))∥eq \o(BC,\s\up16(→))，即有eq \o(AD,\s\up16(→))＝λeq \o(BC,\s\up16(→))， 从而x＝－λ，－3＝3λ，z－5＝0，得x＝1，z＝5. 故点D的坐标为(1,0,5)． 再变形：将本例条件“AD交坐标平面Ozx于点D”改为“|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝2|eq \o(BC,\s\up16(→))|”，则结果如何？ 解：设点D(x，y，z)，得向量eq \o(AD,\s\up16(→))＝(x，y－3，z－5)，向量eq \o(BC,\s\up16(→))＝(－1,3,0)， 因为直线AD∥BC，所以有向量eq \o(AD,\s\up16(→))∥eq \o(BC,\s\up16(→))且|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝2|eq \o(BC,\s\up16(→))|，即有eq \o(AD,\s\up16(→))＝±2eq \o(BC,\s\up16(→))， 从而x＝－2，y－3＝6，z－5＝0或x＝2，y－3＝－6，z－5＝0， 得x＝－2，y＝9，z＝5或x＝2，y＝－3，z＝5. 故点D的坐标为(－2,9,5)或(2，－3,5)． 三变形：本例中将条件“直线AD∥BC且AD交坐标平面Ozx于点D”，改为“直线AC∥BD，且|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝|eq \o(BD,\s\up16(→))|”，结果如何？ 解：设点D(x，y，z)，得eq \o(AC,\s\up16(→))＝(0,2，－5)， eq \o(BD,\s\up16(→))＝(x－1，y－2，z)． 因为AC∥BD，所以eq \o(AC,\s\up16(→))∥eq \o(BD,\s\up16(→)). 又因为|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝|eq \o(BD,\s\up16(→))|，所以eq \o(AC,\s\up16(→))＝±eq \o(BD,\s\up16(→))， 所以0＝x－1,2＝y－2，－5＝z， $