1.4.1.2空间中直线、平面的平行 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册第一章　

该高中数学课件聚焦空间中直线、平面的平行关系，通过向量语言表述及证明展开。以“用方向向量和法向量刻画平行”的问题导入，衔接上节课空间向量表示知识，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于融合坐标法与基向量法，结合长方体、四棱锥等实例，培养学生数学思维中的推理与运算能力。通过向量语言精确表述平行关系，课堂小结梳理方法与误区，助力学生形成结构化认知。既提升学生空间观念，又为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

空间中直线、平面的平行 第一章　1.4.1　第2课时 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.(重点) 2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理，会用向量方法解决空间图形的位置关系问题.(重点、难点) 上节课，我们学习了用空间向量表示点、直线、平面等空间中的元素，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键因素，那么，我们能否用这些向量来刻画空间中的平行和垂直关系呢？如果能的话，应该怎样刻画呢？今天，我们来探究如何用空间向量刻画平行问题. 导语 3 内容索引 01 02 05 03 直线和平面平行 平面和平面平行 随堂演练 直线和直线平行 04 课时对点练 01 直线和直线平行 问题 1 提示　平行. 由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？ 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔ ⇔∃λ∈R，使得u1= . 知识梳理 u1∥u2 λu2 上述结论中的直线l1，l2为两条不重合的直线. 注意点 8 　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在棱DD1上，且SD1=2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS. 例1 证明： 方法一　如图所示，建立空间直角坐标系， 根据题意得M， N(0，2，2)，R(3，2，0)，S. 则，分别为MN，RS的方向向量， 又=，=， 所以=，所以∥，因为M∉RS，所以MN∥RS. 9 　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在棱DD1上，且SD1=2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS. 例1 证明： 方法二　设=a，=b，=c， 则=++=c-a+b， =++=b-a+c. 所以=，所以∥. 又R∉MN，所以MN∥RS. 10 证明线线平行的两种思路： (1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明. (2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示. 反思感悟 11 　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N 为DE的中点，DM=DB，DA=DP=1，CD=2.求证： MN∥AP. 跟踪训练1 证明： 方法一　由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直.以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则 D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，N，M，所以=(-1，0，1)，=，所以=，又M∉AP，故 MN∥AP. 12 　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N 为DE的中点，DM=DB，DA=DP=1，CD=2.求证： MN∥AP. 跟踪训练1 证明： 方法二　由题意可得=+=+=+×+)=++=+=+)=，又M∉AP，所以MN∥AP. 13 02 直线和平面平行 问题 2 提示　垂直. 如图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？ 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u n⇔ . 知识梳理 ⊥ u·n=0 注意点 (1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)特别强调直线在平面外. 17 　 (课本例3)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1？ 例2 解： 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)， 所以=(-3，4，0)，=(-3，0，2). 设n=(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则n·=0，n·=0， 18 　 (课本例3)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1？ 例2 解： 即所以 取z=6，则x=4，y=3. 所以，n=(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量. 由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得=(0，4，0)，=(-3，0，-2). 19 　 (课本例3)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1？ 例2 解： 设点P满足=λ(0≤λ≤1)，则=(-3λ，0，-2λ)， 所以=+=(-3λ，4，-2λ). 令n·=0，得-12λ+12-12λ=0，解得λ=，此时A1P⊄平面ACD1，这样的点P存在. 所以，当=，即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1. 20 　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 例2 证明： 如图所示，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 连接AC，交BD于点G， 连接EG， 依题意得D(0，0，0)， A(a，0，0)，P(0，0，a)， E，B(a，a，0). 21 　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 例2 证明： 方法一　设平面EDB的法向量为n=(x，y，z)， 又=，=， 则有 即即 23 　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 例2 证明： 令z=1，则所以n=(1，-1，1)，、 又=(a，0，-a)， 所以n·=(1，-1，1)·(a，0，-a)=a-a=0. 所以n⊥. 又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. 24 　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 例2 证明： 方法二　因为四边形ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为， 所以=. 又=(a，0，-a)， 所以=2，则PA∥EG. 25 　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 例2 证明： 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 方法三　假设存在实数λ，μ使得 =λ+μ， 即(a，0，-a)=λ+μ， 26 　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 例2 证明： 则有 解得 所以=-+，又PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 27 　在本例题的条件下，若点M为线段AB的中点，问：在棱PC上是否存在一点N，使得BN∥平面PDM？若存在，求出点N的位置，若不存在，请说明理由. 延伸探究 以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)， 则D(0，0，0)，P(0，0，a)，M，C(0，a，0)， 则=(0，0，a)，=， 设平面PDM的法向量为n1=(x1，y1，z1)， 解： 28 　在本例题的条件下，若点M为线段AB的中点，问：在棱PC上是否存在一点N，使得BN∥平面PDM？若存在，求出点N的位置，若不存在，请说明理由. 延伸探究 则即 令y1=2，则x1=-1，z1=0， ∴n1=(-1，2，0)， 设N(0，y，z)，则=(0，y，z-a)，=(0，a，-a)， 由=λ(0≤λ≤1)得，(0，y，z-a)=λ(0，a，-a)， 解： 29 　在本例题的条件下，若点M为线段AB的中点，问：在棱PC上是否存在一点N，使得BN∥平面PDM？若存在，求出点N的位置，若不存在，请说明理由. 延伸探究 ∴y=λa，z=a(1-λ)， ∴N(0，λa，a(1-λ)). 又B(a，a，0)，∴=(-a，λa-a，a(1-λ))， 由BN∥平面PDM，得·n1=0， 即a+2(λ-1)a=0，∴λ=， 即在棱PC上存在一点N，且当N为PC的中点时，使得BN∥平面PDM. 解： 30 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法 (1)先求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证. (3)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示. 注意：以上三种方法都需要点明：直线在平面外. 反思感悟 31 03 平面和平面平行 问题 3 提示　平行. 如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？ 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔ ⇔∃λ∈R，使得 . 知识梳理 n1∥n2 n1=λn2 上述结论中的平面α，β为两个不重合的平面. 注意点 35 (课本例2)证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 已知：如图，a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a∥α，b∥α. 求证：α∥β. 例3 证明： 如图，取平面α的法向量n，直线a，b的方向向量u，v. 因为a∥α，b∥α， 所以n·u=0，n·v=0. 因为a⊂β，b⊂β，a∩b=P， 36 (课本例2)证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 已知：如图，a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a∥α，b∥α. 求证：α∥β. 例3 证明： 所以对任意点Q∈β，存在x，y∈R，使得=xu+yv. 从而n·=n·(xu+yv)=xn·u+yn·v=0. 所以，向量n也是平面β的法向量. 故α∥β. 37 如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D' ∥平面BDC'. 例3 证明： 方法一　设该正方体的棱长为1，以D为原点建立如图所 示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B'(1，1，1)，D'(0，0，1)， B(1，1，0)，D(0，0，0)，C'(0，1，1)， 于是=(0，1，1)，=(1，1，0)，=(1，1，0)，=(0，1，1). 设平面AB'D'的法向量为n1=(x1，y1，z1)， 38 如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D' ∥平面BDC'. 例3 证明： 则 令y1=1，则x1=-1，z1=-1， 可得n1=(-1，1，-1). 设平面BDC'的法向量为n2=(x2，y2，z2)， 39 如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D' ∥平面BDC'. 例3 证明： 则 令y2=1，则x2=-1，z2=-1， 可得n2=(-1，1，-1). 所以n1=n2，所以n1∥n2， 故平面AB'D'∥平面BDC'. 40 如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D' ∥平面BDC'. 例3 证明： 方法二　由方法一知=(-1，0，1)，=(-1，0，1)， =(0，1，1)，=(0，1，1)， 所以=，=， 即AD'∥BC'，AB'∥DC'，又AD'⊄平面BDC'，BC'⊂ 平面BDC'，AB'⊄平面BDC'，DC'⊂平面BDC'， 41 如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D' ∥平面BDC'. 例3 证明： 所以AD'∥平面BDC'，AB'∥平面BDC'. 又AD'∩AB'=A，且AD'，AB'⊂平面AB'D'， 所以平面AB'D'∥平面BDC'. 方法三　由方法一得平面AB'D'的一个法向量为n1= (-1，1，-1). 易知=(1，1，0)，=(0，1，1). 42 如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D' ∥平面BDC'. 例3 证明： 因为n1·=(-1，1，-1)·(1，1，0)=0， n1·=(-1，1，-1)·(0，1，1)=0， 所以n1也是平面BDC'的一个法向量，所以平面AB'D'∥ 平面BDC'. 43 证明面面平行的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行. (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明. 反思感悟 44 　如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC. 跟踪训练2 证明： 因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，PA=AD，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0). 45 　如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC. 跟踪训练2 证明： 所以=(0，-1，0)，=(1，1，-1)， =(2，0，-2)，=(0，2，0)， 设n1=(x1，y1，z1)是平面EFG的法向量， 则即 令z1=1，则x1=1，y1=0， 46 　如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC. 跟踪训练2 证明： 所以n1=(1，0，1)，设n2=(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量， 则即 令z2=1，则x2=1，y2=0， 所以n2=(1，0，1)，所以n1∥n2， 所以平面EFG∥平面PBC. 47 课堂小结 1.知识清单： (1)线线平行的向量表示及应用. (2)线面平行的向量表示及应用. (3)面面平行的向量表示及应用. 2.方法归纳：坐标法、转化化归. 3.常见误区：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略直线不在平面内的条件. 48 04 随堂演练 1 2 3 4 1.已知向量a=(2，4，5)，b=(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则 A.x=6，y=1 B.x=6，y= C.x=3，y=15 D.x=3，y= 解析： 由题意可得==，解得x=6，y=. √ 2.(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，且l⊄α，能使l∥α的是 A.a=(1，0，0)，n=(0，-2，0) B.a=(1，3，5)，n=(1，0，1) C.a=(0，2，1)，n=(-1，0，-1) D.a=(1，-1，3)，n=(0，3，1) √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 解析： 若l∥α，则a·n=0. 而A中a·n=0， B中a·n=1+5=6， C中a·n=-1， D中a·n=-3+3=0. 1 2 3 4 3.若两个不重合的平面α与β的法向量分别是a=(1，0，-2)，b=(-1，0，2)，则平面α与β的位置关系是 A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.无法判断 解析： 因为a=(1，0，-2)，b=(-1，0，2)分别是平面α与β的法向量，且a=-b，所以两法向量平行，则平面α与β平行. √ 1 2 3 4 4.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a=(2，m，1)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，则实数m的值是　　　　. -3 1 2 3 4 解析： ∵l∥平面ABC， ∴存在实数x，y， 使a=x+y， 又=(1，0，-1)，=(0，1，-1)， ∴(2，m，1)=x(1，0，-1)+y(0，1，-1)=(x，y，-x-y)， ∴∴m=-3. 05 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对一对 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 AB B A AD B C C 　-20 题号 9 11 12 13 答案 ± A ACD 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图，取BD的中点O，连接OP，因为P是BM的中点， 所以OP∥MD，又AD⊥平面BCD，则OP⊥平面BCD. 以O为坐标原点，OD，OP所在直线分别为y轴、z轴， 建立空间直角坐标系. 由题意知，A(0，，2)，B(0，-，0)，D(0，，0). 设点C的坐标为(x0，y0，0)， 则=(x0，y0-，-2). 13 14 15 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为=3， 所以==， 所以Q. 因为M为AD的中点，所以M(0，，1). 因为P为BM的中点，所以P，所以=. 因为平面BCD的一个法向量为a=(0，0，1)，所以·a=0， 因为PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图所示，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q. 设正方体的棱长为1， 则O，P， A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)， 设Q(0，1，m)(0≤m≤1). 方法一　因为=，=(-1，-1，1)， 14. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以∥，于是OP∥BD1. 又=，=(-1，0，m)， 当m=时，=， 即∥，所以AP∥BQ， 又OP∩AP=P，BD1∩BQ=B， 所以平面PAO∥平面D1BQ， 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 14. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法二　=，=. 设平面PAO的法向量为n1=(x1，y1，z1)， 则有n1⊥，n1⊥， 因此 取x1=1，则n1=(1，1，2). 14. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又因为=(-1，-1，1)，=(0，-1，1-m). 设平面D1BQ的法向量为n2=(x2，y2，z2)， 则有n2⊥，n2⊥， 因此 取z2=1，则n2=(m，1-m，1). 要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2， 14. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因此==，解得m=， 这时Q. 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 14. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)证明　在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，即AA1⊥AB， 由直角梯形AA1B1B绕直线AA1旋转得到直角梯形AA1C1C，得AA1⊥AC， 则∠CAB是平面AA1B1B与平面AA1C1C所成二面角的平面角， 而平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，即平面AA1B1B与平面AA1C1C所成二面角是直角， 因此∠CAB=90°，所以AC⊥AB. 15. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)解　由(1)知，直线AC，AB，AA1两两垂直， 以点A为原点，直线AC，AB，AA1分别为x，y，z轴 建立空间直角坐标系，如图所示， 则A(0，0，0)，C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，0， 2)，B1(0，1，2)，M(1，1，0)，所以=(0，-1，2)， =(0，2，0)，=(1，1，0). 假设在线段BB1上存在点P(包括端点)，使得直线A1C∥平面AMP， 15. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设=t=(0，-t，2t)，0≤t≤1， 则=+=(0，2-t，2t)，设平面AMP的法向量为 n=(x，y，z)， 于是取y=-2t，得n=(2t，-2t，2-t)， 由直线A1C∥平面AMP，得⊥n，而=(2，0，-2)， 则·n=4t-2(2-t)=0，解得t=， 15. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以在线段BB1上存在点P，使得直线A1C∥平面AMP， 此时点P为线段BB1上靠近B1的三等分点. 15. 13 14 15 1.(多选)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则根据下列条件能判断l1∥l2的是 A.a=，b=(-2，-4，0) B.a=(4，6，-2)，b=(-2，-3，1) C.a=(5，0，2)，b=(0，1，0) D.a=(-2，-1，1)，b=(4，-2，-8) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础巩固 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 对于A，易知a=-b，所以l1∥l2，A正确； 对于B，a=-2b，所以l1∥l2，B正确； 对于C，D，由于a与b不共线，所以不能判断l1∥l2，C，D不正确. 2.已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m·n=0”是“l∥α”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 若m·n=0，则l∥α或l⊂α，故充分性不成立，若l∥α，则m·n=0，故必要性成立，所以“m·n=0”是“l∥α”的必要不充分条件. 3.若直线l的一个方向向量为a=(2，5，7)，平面α的一个法向量为u=(1，1，-1)，则 A.l∥α或l⊂α B.l∥α C.l⊂α D.l与α斜交 解析： ∵直线l的一个方向向量为a=(2，5，7)，平面α的一个法向量为u=(1，1，-1)， ∴a·u=2+5-7=0， ∴a⊥u， ∴l∥α 或l⊂α. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 4.(多选)已知平面α与平面β平行，若n=(2，-4，8)是平面β的一个法向量，则平面α的法向量可能为 A.(-1，2，-4) B.(-1，2，4) C.(2，4，-8) D.(-2，4，-8) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 因为平面α与平面β平行，且n=(2，-4，8)是平面β的一个法向量， 则平面α的法向量与n平行，因为(-1，2，-4)=-n，(-2，4，-8)=-n， 向量(-1，2，4)，(2，4，-8)与向量n不共线，所以AD选项中的向量可以作为平面α的法向量. 5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是 A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 根据题意建立空间直角坐标系如图， 设正方体的棱长为2， 则A(2，2，2)，A1(2，2，0)，C(0，0，2)，B(2，0，2)， ∴M(2，1，1)，N(1，1，2)， ∴=(-1，0，1). 又平面BB1C1C的一个法向量为n=(0，1，0)， ∴·n=-1×0+0×1+1×0=0，∴⊥n， 又MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C. 6.如图所示，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为 A.(1，1，1) B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 方法一　由题意得C(0，0，0)，D(，0，0)，B(0，，0)，E(0，0，1)，A(，，0)， 则=(-，0，1)，=(，-，0)， 设M(a，a，1)，平面BDE的法向量为n=(x，y，z)， 则即 令z=，则x=1，y=1， 所以n=(1，1，)， 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 又=(a-，a-，1)， 所以·n=a-+a-+=0， 解得a=，即M. 方法二　如图，设AC与BD相交于点O，连接OE， 由AM∥平面BDE， 且AM⊂平面ACEF， 平面ACEF∩平面BDE=OE，得AM∥OE， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 又O是正方形ABCD对角线的交点， 所以M为线段EF的中点. 在空间直角坐标系中，E(0，0，1)，F(，，1). 由中点坐标公式，知点M的坐标为. 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且=λ(λ∈R)，若B1F∥平面A1BE，则λ等于 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 方法一　以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别 为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则B(1，0，0)，E，D1(0，1，1)，C1(1，1， 1)，A1(0，0，1)，可得=(-1，0，1)，=， 设n=(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则 令z=2，则x=2，y=1，即n=(2，1，2)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由=(1，0，0)，且=λ， 可得F(λ，1，1)(0≤λ≤1)， 又因为B1(1，0，1)，则=(λ-1，1，0)， 由B1F∥平面A1BE， 可得n·=2(λ-1)+1×1+2×0=0， 解得λ=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 方法二　如图，取CD的中点M，连接BM，EM，易证 A1B∥EM，所以平面A1BE即为平面A1BME， 易知当F为C1D1的中点时，B1F∥BM，又B1F⊄平面A1BE， BM⊂平面A1BE，从而B1F∥平面A1BE，所以λ=. 8.若平面α的法向量为u=(-1，2，4)，平面β的法向量为v=(m，-1，-2)， 直线l的方向向量为t=(n，-2，-4)，若α∥β，则m=　　，若l∥α，则n=　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -20 解析： 由α∥β，得u∥v，则==，解得m=；由l∥α，得t⊥u，即t·u=-n-4-16=0，得n=-20. 9.已知空间中P(0，1，2)，Q(2，y，1)，R(1，1，1)，S(y，1，1)，T(0，-1，0)，且ST∥平面PQR，则y=　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ± 解析： 由题意得=(-y，-2，-1)，=(1，0，-1)，=(-1，1-y，0). 设平面PQR的法向量为n=(a，b，c)， 则 令a=1-y，可得b=1，c=1-y，则n=(1-y，1，1-y)， 由ST∥平面PQR可得n·=-y(1-y)-2-1+y=0，解得y=±. 10.如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.求证：PQ∥平面BCD. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明： 如图，取BD的中点O，连接OP，因为P是BM的中点，所以OP∥MD，又AD⊥平面BCD，则OP⊥平面BCD.以O为坐标原点，OD，OP所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 10.如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.求证：PQ∥平面BCD. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明： 由题意知，A(0，，2)，B(0，-，0)，D(0，，0). 设点C的坐标为(x0，y0，0)， 则=(x0，y0-，-2). 因为=3， 10.如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.求证：PQ∥平面BCD. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明： 所以==， 所以Q. 因为M为AD的中点，所以M(0，，1). 10.如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.求证：PQ∥平面BCD. 证明： 因为P为BM的中点，所以P，所以=. 因为平面BCD的一个法向量为a=(0，0，1)，所以·a=0， 因为PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为AA1的中点，M是正方形ABB1A1内的动点(包括边界)，若C1M∥平面CD1E，则M点的轨迹长度为 A. B. C.2 D.1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可知，C(2，2，0)，D1(2，0，2)，E(0，0，1)， C1(2，2，2)， 由M是正方形ABB1A1内的动点(包括边界)，可设M(0， y，z)，0≤y≤2，0≤z≤2， 则=(0，-2，2)，=(2，0，1)，=(-2，y-2，z-2)， 设平面CD1E的法向量为n=(a，b，c)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 则 令a=1，则n=(1，-2，-2)， ∵C1M∥平面CD1E，∴·n=0， 即-2-2(y-2)-2(z-2)=0， 整理得y+z-3=0. ∵M是正方形ABB1A1内的动点(包括边界)，取y=2，得z=1；取z=2，得y=1， ∴点M的轨迹长度为=. 12.(多选)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ADC=，AB=AD=AP=1，CD=2，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点M，N，Q，且四边形AMNQ为平行四边形，则 A.= B.= C.= D.四边形AMNQ的面积为 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 过C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E， 因为∠ADC=，CD=2， 所以CE=DE=2， 所以C(2，3，0)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)， 则=(1，0，-1)，=(2，3，-1)，=(0，1，-1)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 设=λ，=μ，=m，λ，μ，m∈(0，1)， 所以=λ=(λ，0，-λ)，所以M(λ，0，1-λ)， 同理=μ=(2μ，3μ，-μ)，所以N(2μ，3μ，1-μ)， =m=(0，m，-m)，所以Q(0，m，1-m)， 所以=(λ，0，1-λ)，=(2μ，3μ-m，m-μ)， 因为四边形AMNQ为平行四边形，所以=， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 即解得 所以=，=，=，故A，C正确，B错误； =，=， 所以cos〈，〉===，又〈，〉∈(0，π)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 所以sin〈，〉==， 所以四边形AMNQ的面积S=||||sin〈，〉 =××=，故D正确. 13.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=4.E，M，N分别是棱C1D1，AB，BC的中点.若点P是侧面AA1D1D内(包含边界)的动点，且 满足PE∥平面B1MN，则线段PE的长度的最小值为　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AD=AA1=2，AB=4，E，M，N分别是棱C1D1，AB， BC的中点， 所以B1(2，4，2)，M(2，2，0)，N(1，4，0)，E(0，2，2)， 设P(x，0，z)(x，z∈[0，2])， 平面B1MN的法向量为m=(a，b，c)， 又=(0，-2，-2)，=(-1，0，-2)，=(x，-2，z-2)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 所以即取a=-2， 则m=(-2，-1，1)， 因为PE∥平面B1MN， 所以·m=-2x+2+z-2=0，则z=2x，即=(x，-2，2x-2)， 于是||===， 故当x=，z=时，线段PE的长度取得最小值=. 14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？ 解： 如图所示，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.设正方体的棱长为1， 则O，P， A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)， 设Q(0，1，m)(0≤m≤1). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？ 解： 方法一　因为=，=(-1，-1，1)， 所以∥，于是OP∥BD1. 又=，=(-1，0，m)， 当m=时，=， 即∥，所以AP∥BQ， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？ 解： 又OP∩AP=P，BD1∩BQ=B， 所以平面PAO∥平面D1BQ， 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 方法二　=，=. 设平面PAO的法向量为n1=(x1，y1，z1)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？ 解： 则有n1⊥，n1⊥， 因此 取x1=1，则n1=(1，1，2). 又因为=(-1，-1，1)，=(0，-1，1-m). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？ 解： 设平面D1BQ的法向量为n2=(x2，y2，z2)， 则有n2⊥，n2⊥， 因此 取z2=1，则n2=(m，1-m，1). 要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？ 解： 因此==，解得m=， 这时Q. 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2.直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点(包括端点). (1)求证：AC⊥AB； 拓广探究 在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，即AA1⊥AB， 由直角梯形AA1B1B绕直线AA1旋转得到直角梯形AA1C1C，得AA1⊥AC， 则∠CAB是平面AA1B1B与平面AA1C1C所成二面角的平面角， 而平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，即平面AA1B1B与平面AA1C1C所成二面角是直角， 因此∠CAB=90°，所以AC⊥AB. 证明： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2.直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点(包括端点). (2)是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明： 由(1)知，直线AC，AB，AA1两两垂直， 以点A为原点，直线AC，AB，AA1分别为x，y，z轴建立空间直 角坐标系，如图所示， 则A(0，0，0)，C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，M(1，1，0)， 15.如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2.直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点(包括端点). (2)是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明： 所以=(0，-1，2)， =(0，2，0)，=(1，1，0). 假设在线段BB1上存在点P(包括端点)，使得直线A1C∥平面AMP， 设=t=(0，-t，2t)，0≤t≤1， 15.如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2.直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点(包括端点). (2)是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明： 则=+=(0，2-t，2t)，设平面AMP的法向量为n=(x，y，z)， 于是取y=-2t，得n=(2t，-2t，2-t)， 由直线A1C∥平面AMP，得⊥n， 15.如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2.直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点(包括端点). (2)是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明： 而=(2，0，-2)，则·n=4t-2(2-t)=0，解得t=， 所以在线段BB1上存在点P，使得直线A1C∥平面AMP，此时点 P为线段BB1上靠近B1的三等分点. THANKS 本课结束 $