1.4.2.1 用空间向量研究距离问题（第一课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

.1.1 数系的扩充和复数 第一章 空间向量与立体几何 1.4.2.1 用空间向量研究距离问题（第一课时） 学习目标 1.理解点到直线、点到平面的距离公式及其推导. 2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、两平行直线、直线到平面、两平行平面的距离的思想. 3.能利用距离公式解决相关的距离问题，理解解决立体几何问题的“三部曲”. 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 新知导入 问题1： 空间中的距离包括哪些具体的内容？ 我们该如何用空间向量解决这些距离？ 空间距离 两点距离、点到直线的距离、两条平行直线的距离 点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面的距离 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 3 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 新知导入 问题2：如何用向量研究距离？ 距离 向量的模 空间两点间的距离 空间中其它距离 空间向量的模 投影向量/勾股定理 垂直 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 4 敲黑板 问题1. 在 方向上的投影向量的模是什么？ 数量积公式 投影向量的模 ＝ 敲黑板 思考： 在 方向上的投影向量的模是什么？ 类似： 在的方向向量上的投影向量的模是什么？ 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 新知探究1——空间中两点的距离公式 已知空间中点P1(x1，y1，z1),P2(x2，y2，z2） 两点间的距离公式： 由 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 7 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 新知探究1——点到直线的距离 l Q P A 已知,P是直线外一点，如何求点到直线的距离？ ③ 应用勾股定理求PQ的长度. ② 连接 A P，计算 在直线 l 上的方向的投影向量 的模 ; ① 在直线 l 上任取两点 A、E，计算直线 l 上的方向向量 ; 即时小结：点线距模型核心——方向向量+投影+勾股定理 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 8 新知探究1——点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为是直线上的定点直线外一点，设，如何利用这些条件求点到直线的距离？ (1)如图，直线外一点到直线的距离是？ (2)如何求？ 由 与有何关系？ 是在直线上的投影向量，则 在中，由勾股定理，得 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 9 用向量法求点到直线的距离的步骤 (1)建立空间直角坐标系，写出题设中三个点的坐标； (2)求题设中直线的单位方向向量（终点坐标－起点坐标）； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量； (4)利用点线距公式求点到直线的距离： B A 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 10 新知探究3——两条平行的直线之间的距离 对于两条平行直线l、m, 可在其中一条直线l上任取一点P, 则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离. 两条平行直线之间的距离为 注意：两条平行直线之间的距离(要先证平行点线距 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 11 典例分析 例1 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点 B 到直线AC1的距离. y x z 建系设点 取向量 套公式 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 12 小试牛刀 解：建立如图所示的空间直角坐标系， A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，E(0，0， ) A1 C B D A B1 C1 D1 E z y x 新知探究4——点到面的距离 已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作平面的垂线，交平面与点，如何利用这些条件求点到平面的距离？ (1)如图，平面外一点到平面的距离是？ (2)如何求？ 点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度. 点面距： 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 14 新知探究4——点到面的距离 用向量法求平面α一个点P 到平面α的距离的步骤： (3) 利用点到平面的距离公式即可求出点到平面的距离d． (1) 求出该平面α的一个法向量 ； α A Q P d (2) 找出从点P出发的平面的任一条斜线段对应的向量 ； 注意：线面距、面面距之间的距离(要先证平行点面距 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 15 小试牛刀 新知探究5——点到面的距离 (1)如何求直线到平面的距离？ (2)如何求平面到平面的距离？ (3)如何求两条异面直线的距离？ 点到平面的距离 直线到平面的距离 直线到平面的距离可转化为点到平面的距离求解. α A l Q d P • 两个平行平面之间的距离 两个平行平面之间的距离也可转化为点到平面的距离求解. α A Q d P • β 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 17 课本第34页例6 分析：根据条件建立直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点. （1）求点B到直线AC1的距离； （2）求直线 FC 到平面AEC1的距离. 课本第34页例6 建系设点 取向量 套公式 z A C B D y x A1 B1 C1 D1 E F 课本第34页例6 求法向量 套公式 z A C B D y x A1 B1 C1 D1 E F 课本第35页练习 课本第35页练习 课本第35页练习 课本第35页练习 课本第35页练习 2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB到平面D1CB1的距离. A1 C B D A B1 C1 D1 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 ∴平面A1DB∥平面D1CB， ∴点C到平面A1DB的距离即为两平行平面的距离. x y z 课本第35页练习 取x=1，得y=-1，z=-1，∴n=(1,-1,-1). 设平面A1DB的法向量n=(x,y,z)，则 ∴平面A1DB到平面D1CB1的距离为 A1 C B D A B1 C1 D1 x y z 课堂小结 1.点线距 A P Q 2.点到平面的距离 α A Q P d 拓展延伸 异面直线a，b间的距离 当堂检测 D 当堂检测 C 当堂检测 则， ∴，， ． 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点．求点到直线的距离． ∴点到直线的距离为 ∴eq \o(PB,\s\up12(→))＝(3，0，－1)，eq \o(PC,\s\up12(→))＝(0，4，－1)． 设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(PB,\s\up12(→))＝0，,n·\o(PC,\s\up12(→))＝0，)) 取n＝(4，3，12)，又eq \o(AB,\s\up12(→))＝(3，0，0)， ∴点A到平面PBC的距离为d＝eq \f(|n·\o(AB,\s\up12(→))|,|n|)＝eq \f(12,13). 如图，P为Rt△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，BA＝3，AC＝4，PA＝1.求点A到平面PBC的距离． 解：如图所示建立空间直角坐标系Axyz. 则P(0，0，1)，B(3，0，0)，C(0，4，0)， 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点． (1) 求点到直线的距离； (2) 求直线到直线的距离； (2) 求点到平面的距离；(4) 求直线到平面的距离． （1），，． 设，， 则，， ∴点到直线的距离为． 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点． (1) 求点到直线的距离； (2) 求直线到直线的距离； (2) 求点到平面的距离；(4) 求直线到平面的距离． （2），，，． ∴点到直线的距离即为直线到直线的距离， ，．设， ，，∴直线与的距离为． （3）设平面的法向量为， 又，，， 取，则，，，， 又，∴点到平面的距离为． 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点． (1) 求点到直线的距离； (2) 求直线到直线的距离； (2) 求点到平面的距离；(4) 求直线到平面的距离． （4），平面，平面， 到面的距离即为点到平面的距离． 又平面的单位法向量，， ∴直线到平面的距离为． 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点． (1) 求点到直线的距离； (2) 求直线到直线的距离； (2) 求点到平面的距离；(4) 求直线到平面的距离． 求出与两条直线的方向向量都垂直的法向量n，在两条直线上分别取A和B，则在法向量n上的投影向量的长度即为异面直线a，b的距离 所以距离为 . 【练习1】已知平面α的一个法向量n=(-2，-2，1)，点A(-1，3，0)在平面α内，则点P(-2，1，4)到平面α的距离为( ). A.10　　　　 B.3　　　 　C.　　　　 D. 解析：∵A(-1，3，0)，P(-2，1，4)，∴=(-1，-2，4). ∵由题意知|n|=3，∴点P到平面α的距离为=. 【练习2】已知△ABC的顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD的长为(　　). A.3 B.4 C.5 D.6 解析：因为=(4，-5，0)，=(0，4，-3)，所以在上的投影为==-4. 又||=，所以AC边上的高BD的长为=5. 【练习3】已知直线AB∥平面α，平面α的法向量为n=(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为 .  解析：由于直线与平面平行，故直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离， 又=(1，2，0)，所以点A到平面α的距离d===. $