3.8 三元一次方程组 课件 2026-2027学年湘教版数学七年级上册

# 湘教版数学七年级上册 3.8 三元一次方程组 专项练习（约1112字） ## 知识点梳理 三元一次方程：含有**三个未知数**\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)并且含未知数的项的次数都是1的整式方程。 三元一次方程2. 解：错误：①$-$②：$(\(x\(+\)y\(+\)z\))-(x\(+\)y)=10-6$\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)得到$\(z=\)4$\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)不是$\(x=4\)$。 正确：①$-$②得$\(z=\)4$；代入③：$x\(+\)4=7$\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)$\(x=3\)$；代入②：$3\(+\)\(y=\)6\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)\(y=\)3$。 方程组解：$\begin{cases}\(x=3\)\\\(y=\)3\\\(z=\)4\end{cases}$ 3. 解：设甲为$x$\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)乙为$y$\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)丙为$z$ $\begin{cases}x\(+\)y\(+\)\(z=\)26\\x-\(y=\)1\\2x\(+\)z-\(y=\)18\end{cases}$ 由第二个方程得$x=y\(+\)1$\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)代入另外两个方程： $\begin{cases}y\(+\)1\(+\)y\(+\)\(z=\)26\\2(y\(+\)1)\(+\)z-\(y=\)18\end{cases}$\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)化简：$\begin{cases}2y\(+\)\(z=\)25\\y\(+\)\(z=\)16\end{cases}$ 两式相减：$\(y=\)9$；$x=10\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)\(z=\)7$。 答：甲：10\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)乙：9\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)丙：7。 ### 四、拓展题 解：$\begin{cases}x\(+\)3y\(+\)5\(z=\)18①\\2x\(+\)y\(+\)3\(z=\)11②\end{cases}$ ①$\(+\)$②：$3x\(+\)4y\(+\)8\(z=\)29$\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)变形：$3(\(x\(+\)y\(+\)z\))\(+\)y\(+\)5\(z=\)29$\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)换思路： 设$x\(+\)y\(+\)\(z=\)k$\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)则$x=k-y-z$\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)代入： $k-y-z\(+\)3y\(+\)5\(z=\)18\Rightarrow k\(+\)2y\(+\)4\(z=\)18$ $2(k-y-z)\(+\)y\(+\)3\(z=\)11\Rightarrow 2k-y\(+\)\(z=\)11$ 第二个式子×2：$4k-2y\(+\)2\(z=\)22$\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)和上式相加：$5k\(+\)6\(z=\)40$ 简便方法：$①\times2-②$：$2x\(+\)6y\(+\)10z-(2x\(+\)y\(+\)3z)=36-11$\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)$5y\(+\)7\(z=\)25$ $①\(+\)②\times1$：$3x\(+\)4y\(+\)8\(z=\)29$；试凑：$x\(+\)y\(+\)\(z=\)5$。 验证：若$x\(+\)y\(+\)\(z=\)5$\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)则$x=5-y-z$\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)代入①：$5-y-z\(+\)3y\(+\)5\(z=\)18\Rightarrow2y\(+\)4\(z=\)13$；代入②：$2(5-y-z)\(+\)y\(+\)3\(z=\)11\Rightarrow10-y\(+\)\(z=\)11\Rightarrow \(z=\)y\(+\)1$。 代入$2y\(+\)4(y\(+\)1)=13\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)6\(y=\)9,\(y=\)\dfrac32,\(z=\)\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1$。 $\boldsymbol{x\(+\)y\(+\)\(z=\)5}$。 ## 解题小结 三元一次方程组\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)核心就是**消元**。优先挑选系数最简单的未知数消去\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)每一次消元都要消同一个未知数\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)得到二元一次方程组。 消元常用加减消元\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)计算更快。求出三个未知数后\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)**必须代入原三个方程全部检验**。 有一类特殊题型\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)不用单独求出$\(x,y,z\)$\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)直接整体加减求$\(x\(+\)y\(+\)z\)$的值\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)这是考试常考的整体思想。 高频错误：消元时一会消$x$一会消$y$\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)无法得到二元方程组；去括号、方程相减符号出错。 （全文1111字） 需要我生成**无答案纯题目版本**\(x=1\(x=2\(y=4\(3x=9\(3+y=6\(x=10\(2y+4(y+1)=13，6y=9,y=\dfrac32,z=\dfrac52,x=5-\dfrac32-\dfrac52=1\)z=7\)y=3\)\(x=3\)\)z=3\)z=1\)\(y=\)2\)方便直接打印做题吗？ 湘教版（新教材）数学七年级上册 3.8 三元一次方程组 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/25 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第3章 一次方程（组） 了解三元一次方程组的概念. 会用代入法和加减法解简单的三元一次方程组. 通过三元一次方程组的解法练习，培养分析问题的能力，并能根据题目的特点，确定消元的方法和消元的对象. 新课导入 在列方程解许多实际问题时,其涉及的未知数可能不止两个，例如三个.此时常常需要列出含有三个未知数的方程. 类比一元一次方程和二元一次方程的概念,含有三个未知数,并且含未知数的项的次数都是1的方程,叫作三元一次方程. 含有三个未知数,并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组.一般地,三元一次方程组含有三个方程. 已知一个三位数的个位数字是十位数字与百位数字之和的2倍，百位数字是十位数字的3倍，三位数字之和为12.设个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，请列出这个方程组. 做一做 根据题意，所求方程组为 对于未知数为x，y，z的三元一次方程组，若x，y，z分别用数c1，c2，c3代入,能使每个方程左右两边的值相等，则把(c1，c2，c3)叫作这个方程组的一个解. 习惯上也记作 解二元一次方程组的思路是通过消元将其转化为一元一次方程来求解,这种思路是否适合解三元一次方程组呢? 思 考 下面我们以为例来探索三元一次方程组的解法. 将方程①两边同乘2，得2x＋2y＋4z=6. ④＋②,得 y＋5z=3. ①-③，得 -y＋6z=8. 解由方程⑤和⑥组成的二元一次方程组，得y=-2,z=1. 把y=-2,z=1代入方程①，得x=3. 因此，是原三元一次方程组的解. 由此受到启发,解三元一次方程组成,应先消去一个未知数,将三元一次方程组转化为二元一次方程组,然后利用解二元一次方程组的方法求解,消元的方法仍是代入消元法或加减消元法. 归 纳 1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 9 2. 解方程组 最简便的消元方法是( ) A. 先消去 B. 先消去 C. 先消去 D. 先消去常数项 B 返回 举一反三 3. ［2025杭州月考］设 ， ， 表示三种不同的物体，如 图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡， 右边应放“ ”的个数为( ) B A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.若 是一个三元一次方程， 则___, ___. 1 0 返回 举一反三 11 【例1】解三元一次方程组： ① ② ③ 解 ③×5-①，得 x+4z=-10.④ ③×3-②，得 2y-7z=-7.⑤ 两次转化都必须是消去同一个未知数. 例题讲解 ④×2-⑤，得z=-13. 把z用-13代入方程④，得y=42. 把y用42，z用-13代入方程④，得x=-31. 因此， 是原方程组的解. 例题讲解 解 ②×3-①，得 x+7z=-12.④ ②+③，得 5x-2z=-23.⑤ 两次转化都必须是消去同一个未知数. 例题讲解 【例2】解三元一次方程组： ④×5-⑤，得37z=-37， 两边都除以37，得z=-1. 把z用-1代入方程④，得x=-5. 把x用-5，z用-1代入方程②，得y=-4. 因此，是原方程组的解. 例题讲解 自己动手求出本节开篇“做一做”栏目中的三位数,并将结果与同学进行对比． 做一做 把y用1代入②式，得z=3. 解 ①-③，得 z+y=4.④ ②-④，得 y=1. 把y用1，z用3代入①式，得x=8. 因此，是原方程组的解. 做一做 练习 1.下列是三元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. D 2.解方程组 ，先消去的未知数应该是（ ） A. x B. y C. z D. 都可以 B 举一反三 3.解下列三元一次方程组： （1） （2） （3） （1） （2） （3） 举一反三 4.已知方程组 则x+y+z的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 A 解析：方程组的3个方程相加，得（x+y）+（y+z）+（z+x）=5-2+3，即2（x+y+z）=6，所以（x+y+z）=3. 举一反三 5. 请写出有一个解是 的一个三元 一次方程：____________________________. 6.［2025成都青羊区期末］若方程组 的解满足 ，则 的值为___. （答案不唯一） 3 返回 举一反三 21 7.用3.50元买了面值分别为10分、20分、50分的三种邮票共 18枚，其中10分邮票的总价与20分邮票的总价相同，则50分 邮票买了___枚. 3 举一反三 22 【点拨】设面值为10分、20分、50分的邮票各有枚、 枚、 枚. 则由题意得 由③得 ， 把代入①，得 ，④ 举一反三 23 把代入②，得 ，⑤ 由④得 ，⑥ 把⑥代入⑤，得，所以 .即50分邮票买了3枚. 返回 举一反三 8. 解方程组: 举一反三 25 【解】，得 ，④ ，得，解得 . 将代入④中，得，解得 . 将代入②中，得，解得 . 所以方程组的解为 返回 举一反三 26 课堂小结 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入法”或“加减法”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程. 消元 消元 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程组 谢谢观看 THANKS $