3.6.2 加减消元法 课件 2026-2027学年湘教版数学七年级上册

# 湘教版数学七年级上册 3.6.2 加减消元法 专项练习（约1112字） ## 知识点梳理 加减消元法（加减法）：当二元一次方程组中同一个未知数的系数互为相反数或者相等时\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)把两个方程的左右两边分别相加或者相减\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)消去这个未知数\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)得到一元一次方程。 解题步骤： 1. 变形：调整方程\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)让同一个未知数的系数绝对值相等（找最小公倍数\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)方程两边同乘一个数）； 2. 加减：系数互为相反数就相加\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)系数相等就相减\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)消掉一个未知数； 3. 求解：解一元一次方程\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)小明符号出错。 正确：\(\(①\times2\)\times3\)$-$\(②\times2\)：$3x\(+\)2y-(3x-y)=12-3$\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)$3x\(+\)2y-3x\(+\)\(y=9\)$\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)$3\(y=9\)$\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)$\(y=3\)$。 代入\(②\times2\)：$3x-3=3\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)3x=6\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)x=2$。方程组解：$\begin{cases}x=2\\\(y=3\)\end{cases}$。 3. 解：设甲数为$x$\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)乙数为$y$。 $\begin{cases}x\(+\)\(y=2\)6\\2x-\(y=2\)2\end{cases}$\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)两式相加：$3\(x=4\)8\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)x=16$\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)代入$16\(+\)\(y=2\)6\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)y=10$。 答：甲数16\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)乙数10。$\begin{cases}x=16\\y=10\end{cases}$ ### 四、拓展题 解：$\begin{cases}2x\(+\)3y=k\(\(①\times2\)\times3\)\\3x\(+\)2y=k\(+\)2\(②\times2\)\end{cases}$\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)\(\(①\times2\)\times3\)$\(+\)$\(②\times2\)：$5x\(+\)5\(y=2\)k\(+\)2$\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)$5(x\(\(+\)y\))=2k\(+\)2$。 已知$\(x\(\(+\)y\)=4\)$\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)代入：$5\times4=2k\(+\)2$\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)$20=2k\(+\)2$\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)$\(2k=18\)$\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)$\(k=9\)$。 ## 解题小结 加减消元优先看未知数系数：同号相减\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)异号相加。系数不相等、不互为相反数时\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)方程两边同乘一个数\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)把要消去的未知数系数化为相同或相反数；**方程每一项都要乘\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)常数项不能漏乘**。方程做减法时\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)被减方程每一项都要变号\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)这是最高频丢分点。 对比两种消元法：未知数系数是$\boldsymbol{\pm1}$优先代入消元；未知数系数绝对值相同或者容易化成相同\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)优先加减消元。算出结果后代入原方程组两个方程检验。下一节学习二元一次方程组的应用题。 （全文1110字） 需要我生成**无答案纯题目版本**\(2x=8\(4\(\(+\)y\)=6\(5x=15\(9\(\(+\)y\)=11\(2x\(+\)6=12\(-3-2y=5\(7y=35\(2x\(+\)25=25\(3x=48\(16\(+\)y=26，y=10\)x=16\)x=0\)y=5\)y=-4\)x=3\)\(y=2\)\)x=3\)\(y=2\)\)x=4\)方便直接打印做题吗？ 湘教版（新教材）数学七年级上册 3.6.2 加减消元法 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/25 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第3章 一次方程（组） 进一步理解解二元一次方程组的基本思想是消元. 会用加减消元法解二元一次方程组，进一步体验“转化”“ 消元”思想. 熟练、正确地用适当方法解二元一次方程组. 新课导入 观 察 下面二元一次方程组中未知数y的系数有什么特点?这对解方程组有什么启发? 可以发现：方程①和方程②中,未知数y的系数互为相反数,这启发我们,若利用等式的基本性质,把方程①②的左右两边分别相加,就可消去y，得到关于x的一元一次方程. 新课导入 ①+②,得 9x=9, 两边都除以9,得 x=1. 把x用1代入方程①,得7×1十3y=1， 解得 y=-2. 因此，是原二元一次方程组的解. 观 察 【例3】解二元一次方程组： 解 ①-②，得 8y=-8， 两边都除以8，得y=—1. 把y用-1代入方程①，得 2x+3×(-1)=-1，解得x=1. 因此，是原二元一次方程组的解. 分析 观察方程①②，就可发现两个方程中未知数x的系数相同，从而可把方程①②的左右两边分别相减，于是得到关于y的一元一次方程. 思 考 如果二元一次方程组中两个未知数的系数既不相等也不互为相反数，例如如何消去某个未知数，使其转化为一个一元一次方程？ 观察方程①②,可发现方程①中x的系数的3倍等于方程②中x的系数,从而可利用等式的基本性质,先把方程①的左右两边都乘3,再将得到的方程与方程2左右两边对应相减,便得到关于y的一元一次方程. 下面采用上述方法来求解此方程组. ①×3，得 6x+9y=-33. ③ ③-②，得 (6x＋9y)-(6x-5y)=-33-9， 去括号，得 6x＋9y-6x+5y=-33-9， 合并同类项，得 14y=-42, 两边都除以14,得 y=-3. 把y用-3代入方程①,得 2x＋3×(-3)=-11, 解得 x=-1. 因此，是原二元一次方程组的解. 思考中的方程组，如果先消去y应如何解？会与上述结果一致吗？ 解 ①× ，得 x+5y=- . ③ ②+③，得 x=- ， 解得 x=-1. 把x用-1代入①式，得 2×（-1）+3 y=-11 解得 y=-3. 因此，是原二元一次方程组的解. 综上可知,对于二元一次方程组,把一个方程进行适当变形后，再加上(或减去)另一个方程,消去其中一个未知数,得到只含另一个未知数的一元一次方程,解这个一元一次方程求出另一个未知数的值,再把这个值代入原二元一次方程组的任意一个方程,就可以求出被消去的未知数的值，从而得到原二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法. 1. 在解二元一次方程组 时，若可直接消去未知数，则和 满足的条件是 ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 11 2. 用加减消元法解方程组 下列解法正确的 是( ) C A. 消去 B. 消去 C. 消去 D. 消去 3. 已知, 都是有理数，观察表中的运算， 则 ___. 关于, 的运算 运算的结果 5 9 3 返回 举一反三 12 4.若与互为相反数,则 ____. 返回 举一反三 13 议一议 用自己的语言总结解二元一次方程组的基本思路，然后与同学交流. 解二元一次方程组的基本思路是： 消去一个未知数(简称消元)，得到一个一元一次方程,然后解这个一元一次方程,求出一个未知数的值,接着再去求另一个未知数的值. 代入消元法和加减消元法是两种求解方程组的方法,应根据具体情况灵活选择. 练习 1.二元一次方程组 的解是（ ） A. B. C. D. B 2.利用加减消元法解方程组 下列做法正确的是（ ） A.要消去y，可以将①×5+② B.要消去y，可以将①×3+② C.要消去x，可以将①×5-② D.要消去x，可以将①×3-② B 当堂检测 4.解方程组：① ② ③ ④ 比较适宜的方法是（ ） A.①②用代入法，③④用加减法 B.①③用代入法，②④用加减法 C.②③用代入法，①④用加减法 D.②④用代入法，①③用加减法 3.已知方程组 下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. B B 当堂检测 6.用加减法解二元一次方程组. (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4) 5.下列方程： ① ② ③ 其中用加减法解较为简便的是（ ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ C 当堂检测 8.已知 和 都是方程y=ax+b的解，求a，b的值. 解析：根据题意得： ①-②，得 4a=4, 解得 a=1. 把a=1代入②式，得 b=-2. 所以a=1， b=-2. 7.解下列二元一次方程组. (1) (2) (1) (2) ① ② 当堂检测 5.下面是数学课上小颖同学解方程组 的过程， 老师在旁边标注了步骤，请认真阅读并完成相应的任务. 解：由，得 ，③（第一步） 由，得 ，④（第二步） ，得，第三步 解得 .（第四步） 举一反三 19 把代入①，得 .（第五步） 所以原方程组的解为 （第六步） （1）小颖用______消元法解方程组；（填“代入”或“加减”） （2）小颖的解答从第____步出现了错误； 加减 二 （3）请直接写出该方程组的解. 举一反三 20 【点拨】 由，得 ，③ 由，得 ，④ ，得，解得 . 把代入①，得.所以原方程组的解为 返回 举一反三 21 6.［2025杭州西湖区期末］解下列方程组： （1） 【解】原方程组整理,得 ，得，解得 ， 把代入①，得，解得 ， 所以原方程组的解为 举一反三 22 （2） 方程组变形，得 由，得 ， 把代入②,得，解得 ， 所以原方程组的解为 返回 举一反三 23 课堂小结 1.当方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数时,可以把方程的两边分别相加来消去这个未知数； 加减消元法： 2.当方程组中两个方程的某个未知数的系数相等时,可以把方程的两边分别相减来消去这个未知数. 课堂小结 2.同一未知数的系数不相等也不互为相反数时，如果其中一未知数成倍数关系时，利用等式的性质，使得未知数的系数相等或互为相反数. 1.如果有一个未知数的系数为1或-1时，用代入法；如果同一个未知数的系数互为倍数，用加减法较为简便． 谢谢观看 THANKS $