第2讲 一元二次方程判别式&根与系数关系&二次三项式因式分解 优等生讲义 2026-2027学年 苏科版九年级数学上册

第2讲 一元二次方程判别式/根与系数关系/二次三项式因式分解 2026-2027学年 苏科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 理解根的判别式，能判断一元二次方程根的情况 掌握根与系数关系（韦达定理），会求两根之和与积 能用韦达定理求代数式的值 掌握二次三项式在实数范围内的因式分解 能利用判别式和韦达定理解决综合问题 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.根的判别式 Δ=b²-4ac Δ>0：两个不相等的实数根 Δ=0：两个相等的实数根 Δ<0：没有实数根 概念辨析例题：概念辨析：x²+x-2021=0的根的情况？ 解析：Δ=1²-4×1×(-2021)=1+8084=8085>0，所以有两个不相等的实数根。 ☆ 2.根与系数关系（韦达定理） x₁+x₂=-b/a x₁·x₂=c/a 前提：方程有实数根（Δ≥0） 常用于求两根对称式的值 概念辨析例题：概念辨析：方程x²-2x-5=0两根为α、β，求α+β-αβ 解析：α+β=2，αβ=-5，α+β-αβ=2-(-5)=7。 ☆ 3.二次三项式的因式分解 ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)，其中x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0的根 Δ≥0时可在实数范围内分解 Δ<0时不能在实数范围内分解 先求根再写分解式 概念辨析例题：概念辨析：在实数范围内分解2x²-x-3 解析：解方程2x²-x-3=0，x=(1±√25)/4=(1±5)/4，x=3/2或x=-1，所以2x²-x-3=2(x-3/2)(x+1)。 📋 知识总结表 内容 公式/结论 注意事项 判别式 Δ=b²-4ac Δ>0两不等根，Δ=0两等根，Δ<0无实根 两根之和 x₁+x₂=-b/a 前提Δ≥0 两根之积 x₁x₂=c/a 注意符号 对称式 x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂ 用和与积表示 因式分解 ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂) Δ≥0时才能分解 【考点1】一元二次方程的判别式（第1-16题） 计算Δ=b²-4ac判断根的情况 已知根的情况反求参数范围 注意二次项系数不为0的隐含条件 1．（2025秋•涟源市期末）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＝0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1 【分析】先对k是否为零进行分类讨论，再结合一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：当k＝0时， 此时方程为﹣3x0， 该方程有实数根， 所以k＝0满足题意． 当k≠0时， Δ＝（﹣3）2﹣4k×（）≥0， 解得k≥﹣1， 综上所述，k的取值范围是k≥﹣1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了根的判别式，对k是否为零进行分类讨论及熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 2．对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算：||＝ad﹣bc，例如：4×6﹣2×1＝22，则关于x的方程0的根的情况为（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【分析】先根据新定义得到x（x﹣k）﹣4×2＝0，再把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：根据题意得x（x﹣k）﹣4×2＝0， 整理得x2﹣kx﹣8＝0， ∵Δ＝（k）2﹣4×1×（﹣8）＝k2+32＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 3．（2026春•安吉县期中）若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程x2﹣3mx+4n＝0（其中m≠0，n≠0）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（　　） A．n2＝2m B．m＝2n2 C．n＝2m2 D．m2＝2n 【分析】根据所给“倍根方程”的定义进行计算即可． 【解答】解：由题知， 令关于x的一元二次方程x2﹣3mx+4n＝0（其中m≠0，n≠0）的两个实数根为a和b， 则a+b＝3m，ab＝4n． 因为该方程是“倍根方程”， 则不妨令a＝2b， 所以2b+b＝3m， 解得b＝m， 则a＝2m， 所以2m×m＝4n， 整理得，m2＝2n． 故选：D． 【点评】本题主要考查了根的判别式及一元二次方程的解，理解所给“倍根方程”的定义是解题的关键． 4．（2027•宽城区校级开学）已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可能是（　　） A．8 B． C．9 D．10 【分析】由原方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式Δ＞0，可得出36﹣4k＞0，解之可得出k的取值范围，再对照四个选项，即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×k＝36﹣4k＞0， 解得：k＜9， ∴k的可能值为8． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 5．（2026•册亨县模拟）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4﹣4m＞0， 解得：m＜1． 故选：A． 【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键． 6．（2026•宝安区校级四模）方程x2﹣ax+2＝0有两个相等的实数根，则（a+1）（a﹣1）的值为　7　 ． 【分析】先根据题意求出a2的值，代入代数式进行计算即可． 【解答】解：∵方程x2﹣ax+2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣a）2﹣8＝0，即a2＝8， ∴（a+1）（a﹣1） ＝a2﹣1 ＝8﹣1 ＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式与方程解的关系是解题的关键． 7．（2026•凉州区模拟）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是 m≥﹣1且m≠0　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式并计算即可． 【解答】解：∵一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4m•（﹣1）≥0，且m≠0， 解得：m≥﹣1且m≠0． 故答案为：m≥﹣1且m≠0． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，一元二次方程有实数根”是解题的关键． 8．（2026•灌南县一模）若关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＞﹣1且m≠0　 ． 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到Δ＞0且m≠0，代入计算解答即可． 【解答】解：∵关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴ ∴m＞﹣1且m≠0． 故答案为：m＞﹣1且m≠0． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 9．（2025秋•揭阳校级期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程6x2+7x﹣5＝0和（x﹣1）（x+m）＝0为“同伴方程”，则m的值为　或　 ． 【分析】先求出一元二次方程6x2+7x﹣5＝0的解x1，x2，根据方程6x2+7x﹣5＝0和（x﹣1）（x+m）＝0为“同伴方程”，分情况求解即可． 【解答】解：6x2+7x﹣5＝0， （2x﹣1）（3x+5）＝0， 解得：x1，x2， 当相同的根是x时， 代入方程可得（1）（m）＝0， 解得：m； 此时方程为（x﹣1）（x）＝0，可得：x1＝1，x2，符合题意； 当相同的根是x时， 代入方程（1）（m）＝0， 解得：m， 此时方程为（x﹣1）（x）＝0，可得：x1＝1，x2，符合题意； ∴m的值是或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”，解一元二次方程．熟练掌握以上知识点是关键． 10．（2025秋•静安区校级期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程x2﹣（3+a）x+3a＝0和（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0互为联根方程，那么a的值为 　﹣2　 ． 【分析】先求得方程x2﹣（3+a）x+3a＝0的解，再根据题中定义和方程的解的意义得到关于a的方程，然后解方程求得a值，结合根的判别式与根的关系即可求解． 【解答】解：解x2﹣（3+a）x+3a＝0得x1＝3，x2＝a， 由题意可知：x1＝3，x2＝a是方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0的两个根， 当x＝3时，则（a﹣1）×32﹣a2×3﹣a+2＝0，即3a2﹣8a+7＝0， ∵Δ＝（﹣8）2﹣4×3×7＝64﹣84＝﹣20＜0， ∴此方程无实数根，即x＝3不是方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0的解； 当x＝a时，则（a﹣1）×a2﹣a2×a﹣a+2＝0， 解得a1＝1，a2＝﹣2， ∵a≠1， ∴a＝﹣2， 此时，方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0为3x2+4x﹣4＝0， 解得x1＝﹣2，， ∵方程x2﹣（3+a）x+3a＝0的一个解为x＝﹣2，满足题意， ∴a的值为﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查解一元二次方程及根的判别式，理解题中定义和方程的解的意义，得到关于a的方程是解答的关键． 11．（2026•沂水县一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a＝　﹣1　 ． 【分析】根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得a﹣1≠0，据此求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识点是关键． 12．（2026•连州市二模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为 　4　 ． 【分析】根据判别式得到关于c的不等式求出答案即可． 【解答】解：根据根的判别式得： Δ＝16﹣4c＝0， 解得：c＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了根的判别式判断根的情况，解决此题的关键是熟记判别式公式． 13．（2025秋•北碚区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）若△ABC为等腰三角形，AB＝3cm，另外两条边是方程的根，求△ABC的周长． 【分析】（1）根据根的判别式证明即可； （2）先解方程得到x1＝m+1，x2＝m﹣1，再根据等腰三角形的两条边是方程的解，得到x＝3是方程的解，据此求出方程的两个根，进而确定△ABC的三边长，结合构成三角形的条件求解即可． 【解答】（1）证明：由题意得，Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：原方程整理得： [x﹣（m+1）][x﹣（m﹣1）]＝0， 解得x1＝m+1，x2＝m﹣1， 当m+1＝3时，解得m＝2，m﹣1＝2﹣1＝1， 此时等腰三角形三边分别为1，3，3， ∴此时能构成三角形， 1+3+3＝7（cm）， ∴△ABC的周长为7cm； 当m﹣1＝3时，解得m＝4，m+1＝4+1＝5， 此时等腰三角形三边分别为3，3，5， ∴此时能构成三角形， 5+3+3＝11（cm）， ∴△ABC的周长为11cm； 综上可知，△ABC的周长为7cm或11cm． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，熟练掌握以上知识点是关键． 14．（2025秋•浦东新区校级期中）已知m，n是正实数，关于x的一元二次方程：x2+mx＝n2． （1）判断：方程根的情况． （2）若α是方程x2+mx＝n2的一个实数根，试比较代数式（2α+m）2与m2+4n2的大小关系． 【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝m2+4n2，利用得到Δ＞0，然后根据判别式的意义可判断根的情况； （2）利用方程根的定义，将根代入方程得到关系式，再对两个代数式作差比较大小即可． 【解答】解：（1）x2+mx＝n2， ∴x2+mx﹣n2＝0， Δ＝m2﹣4×1×（﹣n2）＝m2+4n2， ∴Δ＞0， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数解； （2）∵α是方程x2+mx＝n2的一个实数根， ∴将x＝α代入方程得：α2+mα﹣n2＝0， 计算（2α+m）2﹣（m2+4n2）＝4α2+4mα+m2﹣m2﹣4n2＝4α2+4mα﹣4n2＝4（α2+mα﹣n2）＝4×0＝0， ∴（2α+m）2＝（m2+4n2）， ∴两式相等． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 15．（2025秋•闵行区校级期中）定义：关于x的一元二次方程cx2+bx+a＝0（其中a、b、c是实数，且ac≠0）是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a、b、c是实数，且ac≠0）的“友好方程”．例如：﹣2x2﹣x+1＝0是x2﹣x﹣2＝0的“友好方程”．求： （1）方程3x2﹣2x﹣4＝0的“友好方程”是　﹣4x2﹣2x+3＝0　 ． （2）若关于x的一元二次方程cx2+bx+a＝0（其中a、b、c是实数，且ac≠0）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由． （3）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5mx+（m2+2m﹣3）＝0（其中m是实数）与它的“友好方程”有完全相同的解，求m的值以及原方程的根． 【分析】（1）仿照题中给出的新定义以及例子，求出“友好方程”即可； （2）根据方程cx2+bx+a＝0的一个解为3，得到9c+3b+a＝0，写出其“友好方程”ax2+bx+c＝0，当时，得到关于 a、b、c的方程，据此进行计算求解即可； （3）根据题意，得到其“友好方程”，由于两个方程有完全相同的解，则根据两根之和相等列出方程组，结合ac≠0，得到m的值，将m的值代入到原方程中，通过因式分解得到方程的解即可． 【解答】解：（1）根据“友好方程”的定义，方程3x2﹣2x﹣4＝0的“友好方程”是﹣4x2﹣2x+3＝0， 故答案为：﹣4x2﹣2x+3＝0； （2）由条件可知9c+3b+a＝0， 其“友好方程”为：ax2+bx+c＝0， 当时，， 把9c+3b+a＝0代入上式得：， 因此，是该方程的“友好方程”的一个解； （3）设方程（m﹣1）x2+5mx+（m2+2m﹣3）＝0的解为x1、x2， 则， 其“友好方程”（m2+2m﹣3）x2+5mx+（m﹣1）＝0的解也为x1、x2， 则， 由题意列方程为：， 解得m＝﹣2，或m＝1， ∵（m﹣1）（m2+2m﹣3）≠0， ∴m≠1且m≠﹣3， ∴m＝﹣2， 那么原方程为3x2+10x+3＝0， （3x+1）（x+3）＝0， 令3x+1＝0或x+3＝0， 解得，x2＝﹣3． 答：m的值为﹣2以及原方程的根为和x2＝﹣3． 【点评】本题考查一元二次方程及新定义问题，熟练掌握一元二次方程的性质与解法是解题的关键． 16．（2025秋•闵行区校级期中）已知x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则称此类方程为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是b2﹣4ac＝a2． （1）请通过计算判断方程x2+7x+12＝0是否是“差根方程”； （2）若方程x2+2x﹣k+1＝0是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根； （3）若关于x的“差根方程”a（x+m）2+b＝0（a，m，b均为常数，a≠0）的一个根是x＝3，则关于x的方程a（x+m+4）2＝﹣b是“差根方程”吗？若是，写出它的根；若不是，请说明理由． 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再结合“差根方程”的定义判断即可得解； （2）由题意可得|x1﹣x2|＝1，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1•x2＝1﹣k，再利用完全平方公式的变形计算可得k，最后解方程即可得解； （3）由“差根方程”的定义计算可得a＝﹣4b，从而可得（x+m+4）2，求解并判断即可得解． 【解答】解：（1）由题意，原方程整理得（x+3）（x+4）＝0， ∴x+3＝0或x+4＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝﹣4． ∴|x1﹣x2|＝|﹣3﹣（﹣4）|＝1， ∴方程x2+7x+12＝0是“差根方程”； （2）由题意，∵|x1﹣x2|＝1， ∴（x1﹣x2）2＝1． ∵x1+x2＝﹣2，x1•x2＝1﹣k， ∴， ∴， ∴方程为， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴，x2． （3）由题意得，ax2+2amx+am2+b＝0， ∴（2am）2﹣4×a×（am2+b）＝0， ∴（2am）2﹣4×a×（am2+b）＝a2． ∴a＝﹣4b， 将a＝﹣4b代入方程a（x+m+4）2＝﹣b可得：， ∴，x2＝﹣m． ∴|x1﹣x2|＝|﹣m（﹣m）|＝1， ∴方程a（x+m+4）2＝﹣b是“差根方程”，它的根为x1＝﹣m，． 【点评】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，理解“差根方程”的定义是解此题的关键． 【考点2】根与系数的关系（第17-35题） 熟记x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a 代数式变形为和与积的形式 注意Δ≥0的前提条件 17．（2025秋•鲁山县期末）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，则代数式a2+2a+b﹣ab的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．15 D．17 【分析】由a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，可得a+b＝﹣1，ab＝﹣8，a2+a﹣8＝0，将所求式子变形后再代入可算得答案． 【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣1，ab＝﹣8，a2+a﹣8＝0， ∴a2+a＝8， ∴a2+2a+b﹣ab ＝（a2+a）+（a+b）﹣ab ＝8+（﹣1）﹣（﹣8） ＝15． 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义和根与系数的关系． 18．（2026•江阳区模拟）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2 【分析】由题意得到Δ＝b2+8b≥0，x1，x2，再由，得到方程b2+4b＝12，解得b，分别代入Δ＝b2+8b进行检验即可得到答案． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根， ∴Δ＝b2﹣4×（﹣2b）＝b2+8b≥0， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2 ∵， ∴b2+4b＝12， 解得b， 当b＝2时，Δ＝b2+8b＝22+8×2＝20＞0，满足题意， 当b＝﹣6时，Δ＝b2+8b＝（﹣6）2+8×（﹣6）＝﹣12＜0，不满足题意， ∴b＝2， 故选：A． 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式等知识，准确计算是解题的关键． 19．（2026•丛台区校级二模）若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 【分析】先利用根与系数的关系得到m+n＝2，mn，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝2，mn， 所以4． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 20．（2025秋•普陀区校级同步）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0，下列说法：①若m﹣2n＝1，则方程一定有两个不相等的实数根；②若n是方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n＝﹣1；③等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为50°则这个等腰三角形的顶角度数为40°；④一元二次方程﹣x2+3x+4＝0，由根与系数的关系，可得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4．正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据根的判别式可以判断①；将n代入方程x2+mx+n＝0，可得n（n+m+1）＝0，即可判断②；分类讨论画图，利用角度的计算可判断③；根据根与系数的关系可判断④． 【解答】解：①由条件可知m＝1+2n， Δ＝m2﹣4n＝（1+2n）2﹣4n＝1+4n+4n2﹣4n＝1+4n2≥1＞0， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故①正确． ②若n是方程x2+mx+n＝0的根， 则n（n+m+1）＝0， 若n＝0，则m+n不一定为﹣1；若n≠0，则m+n＝﹣1，故②错误． ③等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为50°， 当等腰三角形顶角为锐角时，如图，AB＝AC，BD⊥AC， 此时∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣50°＝40°； 当等腰三角形顶角为钝角时，如图，AB＝AC，BD⊥AC， 此时∠BAC＝90°+∠ABD＝140°， 故顶角可能为40°或140°，不唯一，故③错误． ④方程﹣x2+3x+4＝0即x2﹣3x﹣4＝0， 由根与系数关系，，，故④正确． 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的判别式、等腰三角形性质及根与系数关系，需注意分类讨论． 21．（2025秋•江汉区校级月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．下列结论：①若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；②若a+b+c＞0，a﹣b+c＜0，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根；③若b2+4ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根；④若ac＜0，且b＝0，则方程两个实数根一定互为相反数．以上结论正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据条件分别进行变形和计算得到b2﹣4ac与0的关系，进行判断即可得到答案． 【解答】解：①由b＞a+c可以得到|b|＞|a+c|或|b|＝|a+c|或|b|＜|a+c|， ∴b2﹣4ac＞（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0或b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0或b2﹣4ac＜（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≤0， 即存在Δ＞0或Δ＝0或Δ＜0的三种情况． ∴方程可能无实数根或有两个相等实数根或两个不相等的实数根．（也可取特值判断），①错误，不符合题意； ②若a+b+c＞0，a﹣b+c＜0， 则（a+b+c）（a﹣b+c）＜0， ∴（a+c）2﹣b2＜0， 则b2﹣4ac＞（a﹣c）2≥0， ∴方程有两个不相等的实数根．②正确，符合题意； ③若b2+4ac＜0， ∴0≤b2＜﹣4ac，0≤2b2＜b2﹣4ac， ∴b2﹣4ac＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．③正确，符合题意； ④若ac＜0，则b2﹣4ac＞0，方程有两个不相等的实数根． ∵b＝0，x1+x2＝0，两根一定互为相反数．④正确，符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．熟练掌握该知识点是关键． 22．（2026春•安庆期末）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a、b、c均为常数，且a≠0）的解是x1＝﹣1，x2＝2，那么方程a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0的解是（　　） A． B． C． D．∵Δ＜0，∴方程无实数解 【分析】通过变量替换，令t＝2x+3，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于x的方程． 【解答】解：令t＝2x+3，则at2+bt+c＝0， ∴t＝﹣1或t＝2， ∴2x+3＝﹣1或2x+3＝2， 解得x＝﹣2或， ∴新方程的解为x1＝﹣2，， 故选：A． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 23．（2026•南京模拟）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则的值为　﹣7　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得出，x1+x2＝3，再整体代入到中，即可求解． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2， ∴，x1+x2＝3， ∴ ＝﹣1﹣2×3 ＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得到，x1+x2＝3． 24．（2026春•龙泉市期末）设x1，x2分别是一元二次方程ax2+3x+2＝0的两个根，x1+x2＝﹣3，则x1•x2＝　2　 ． 【分析】先根据两根和与一元二次方程系数的关系，求出a，再求出两根的积． 【解答】解：∵x1+x23， ∴a＝1． ∴x1•x22． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握根与系数的关系是解决本题的关键． 25．（2026•滕州市校级模拟）若m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，多项式2n2﹣mn+2m的值是 　11　 ． 【分析】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则．由题意得n2﹣n﹣3＝0，m+n＝1，mn＝﹣3，再代入计算即可求解． 【解答】解：由题意得：n2﹣n﹣3＝0， ∵m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣3， ∴n2＝n+3， ∴2n2﹣mn+2m＝2n+6﹣mn+2m＝2（m+n）﹣mn+6＝2﹣（﹣3）+6＝11， 故答案为：11． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 26．（2025秋•松江区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1、x2，且|x1﹣x2|＝1，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于x的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是　　 ． 【分析】由方程可得两根为和，根据根的距离为1，得，分两种情况求解的值，再计算代数式即可． 【解答】解：方程两根为和， 由题意得， 设，则， 或， 解得或， 代数式， 当时，， 故； 当时，， 故． 综上，代数式的值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了新定义计算、一元二次方程的解、代数式求解和绝对值方程的求解，准确的计算是解决本题的关键． 27．（2025秋•镇江期末）通过学习，我们知道：若关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q，已知a2+3a﹣7＝0，b4﹣3b2﹣7＝0，且a+b2≠0，则代数式的值等于　　 ． 【分析】由方程a2+3a﹣7＝0和b4﹣3b2﹣7＝0，设c＝b2，则c2﹣3c﹣7＝0，令d＝﹣c＝﹣b2，代入得d2+3d﹣7＝0，与第一个方程同解，故a和d＝﹣b2是方程x2+3x﹣7＝0的两个根，根据根与系数的关系，得a+（﹣b2）＝﹣3和a•（﹣b2）＝﹣7，即a﹣b2＝﹣3和ab2＝7．代入代数式，化简后利用a2+3a＝7计算． 【解答】解：设c＝b2，则c2﹣3c﹣7＝0． 令d＝﹣c＝﹣b2，代入得d2+3d﹣7＝0，与a2+3a﹣7＝0形式相同， 故a和﹣b2是方程x2+3x﹣7＝0的两个根． ∴a+（﹣b2）＝﹣3，a•（﹣b2）＝﹣7， 即：a﹣b2＝﹣3，ab2＝7， 代入代数式：， 由a﹣b2＝﹣3得b2＝a+3， 代入分子：（a﹣1）（a+3）﹣4＝a2+2a﹣3﹣4＝a2+2a﹣7， 由a2+3a﹣7＝0得： a2＝﹣3a+7，代入分子：（﹣3a+7）+2a﹣7＝﹣a， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式化简与方程构造的综合应用，解题的关键是通过换元构造出同解方程，从而利用韦达定理建立a与b2的关系，再代入代数式化简求值． 28．（2025秋•长宁区校级月考）若a，b，c，d为互不相等的实数，且满足，则　　 ． 【分析】由条件可知，a2和b2是关于x的二次方程的两个根，根据根与系数的关系，可得，再计算立方根即可． 【解答】解：由条件可知a2和b2是关于x的二次方程的两个根， 即a2和b2是关于x的二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 29．（2026•英山县校级自主招生）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围： （2）若x1、x2是该方程的两个根，且满足，求m的值． 【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，可列出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，结合x1x2+x1+x2＝m2+6，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＝8m﹣4≥0， 解得：m， ∴实数m的取值范围为m； （2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5， ∵x1x2+x1+x2＝m2+6， ∴﹣2m+5+4＝m2+6， 整理得：m2+2m﹣3＝0， 解得：m1＝﹣3（不符合题意，舍去），m2＝1， ∴m的值为1． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系及x1x2+x1+x2＝m2+6，找出关于m的一元二次方程． 30．（2026春•裕安区校级期中）关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+k﹣3＝0． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的两根为x1，x2，，求k的值． 【分析】（1）根据根的判别式和非负数的性质即可求解； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得x1+x2＝2﹣k，x1•x2＝k﹣3，然后把xx转化为（x1+x2）2﹣2x1x2，再代入求解即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（k﹣2）2﹣4×1•（k﹣3）＝（k﹣4）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）∵方程的两根为x1，x2， ∴x1+x2＝2﹣k，x1•x2＝k﹣3， ∴xx（x1+x2）2﹣2x1x2 ＝（2﹣k）2﹣2（k﹣3） ＝k2﹣6k+10， ∵xx1， ∴k2﹣6k+10＝1， 解得k1＝k2＝3， ∴k的值为3． 【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系的应用，关键是掌握根与系数的关系． 31．（2025秋•武汉期末）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0有一个根是x＝4，求m的值及方程的另一个根． 【分析】依据题意，设方程的另一个根为a，由根与系数的关系得到4a＝﹣8，4+a＝﹣m，进行求解即可． 【解答】解：由题意，设方程的另一个根为a， ∴4a＝﹣8，4+a＝﹣m， ∴a＝﹣2，m＝﹣2． 答：m＝﹣2，方程的另一个根为﹣2． 【点评】本题考查根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 32．（2026春•莱州市期末）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且4，求实数k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根得到Δ＝（﹣4）2﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝k+1，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0， ∴k≤3； （2）依题意得，x1+x2＝4，x1x2＝k+1， ∵4， ∴， ∴， ∴k1＝5，k2＝﹣3， 又k≤3， ∴k＝﹣3， 经检验k＝﹣3是分式方程的解． 所以k＝﹣3． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 33．（2025春•普陀区期中）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）记该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值； （3）若，N＝3﹣x1x2，比较M与N的大小． 【分析】（1）求出Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（2k+4）＝k2，可知Δ≥0，故x2﹣（k+4）x+2k+4＝0总有两个实数根； （2）先求出x1+x2与x1•x2的值，代入代数式进行计算即可； （3）利用作差法比较M，N的大小即可． 【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（2k+4） ＝k2+8k+16﹣8k﹣16 ＝k2， ∵k2≥0， ∴Δ≥0， ∴x2﹣（k+4）x+2k+4＝0总有两个实数根； （2）∵该方程的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝k+4，x1•x2＝2k+4， ∴（x1﹣2）（x2﹣2） ＝x1•x2﹣2x1﹣2x2+4 ＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4 ＝2k+4﹣2（k+4）+4 ＝2k+4﹣2k﹣8+4 ＝0； （3）由（2）知，x1+x2＝k+4，x1•x2＝2k+4， ∵，N＝3﹣x1x2， ∴M﹣N3+x1x2 ＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣3+x1x2 ＝（x1+x2）2﹣x1x2﹣3 ＝（k+4）2﹣（2k+4）﹣3 ＝k2+16+8k﹣2k﹣4﹣3 ＝k2+6k+9 ＝（k+3）2≥0， ∴M≥N． 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2是解题的关键． 34．（2025秋•绥棱县期末）已知关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足，求k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，建立关于k的不等式，求得k的取值范围； （2）先利用根与系数的关系，用含有k的式子表示出x1+x2和x1x2，再代入中得到一个分式方程，解出方程，再结合（1）中k的取值范围，确定k的值． 【解答】解：（1）关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根． ∴k≠0且Δ＞0， ∴Δ＝12﹣4k×（﹣3）＞0解得， ∴k的取值范围为且k≠0； （2）由根与系数的关系得，，， ∴，即4k2+3k﹣1＝0， ∴（4k﹣1）（k+1）＝0解得或k＝﹣1， 经检验，，k＝﹣1都是原分式方程的解， 由（1）可得，且k≠0． ∴． 【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系、根与系数的关系、解分式方程以及解一元二次方程，熟练掌握相关知识进行求解是解题的关键． 35．（2025春•濉溪县期末）一元二次方程ax2+（b﹣2）x﹣4＝0两根分别为x1，x2且（x1＜x2） （1）若此方程一根为1，则a+b＝　6　 ； （2）当x1＝﹣1，x2＝2时，求a，b的值； （3）若﹣2at＝b，x1＝m，x2＝n且n⩾时，求证：t⩾． 【分析】（1）将x＝1代入即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解； （3）将x1＝m，x2＝n代入方程，作差，进行因式分解得到（m﹣n）（am+an+b﹣2）＝0，继而得到a（m+n）+b＝2，然后用m表示n，再根据已知条件即可求证． 【解答】解：（1）将x＝1代入，则a+b﹣2﹣4＝0， ∴a+b＝6； （2）∵x1＝﹣1，x2＝2， ∴，， 解得：a＝2，b＝0； （3）当x1＝m，x2＝n，且m＜n， am2+（b﹣2）m﹣4＝0①， an2+（b﹣2）n﹣4＝0②， ①﹣②得：a（m+n）（m﹣n）+（b﹣2）（m﹣n）＝0， 即（m﹣n）（am+an+b﹣2）＝0， 因m﹣n≠0， ∴a（m+n）+b＝2， ∴， 由题知：， ∴即2t≥m，故． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握了一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【考点3】二次三项式的因式分解（第36-41题） 先求对应方程的根 按a(x-x₁)(x-x₂)写分解式 Δ<0时不能在实数范围内分解 36．（2024春•奉贤区期末）如果二次三项式x2﹣6x+p能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（　　） A．p≤9 B．p≥9 C．p＜9 D．p＞9 【分析】根据多项式能分解因式，得到多项式为0时方程有解，确定出p的范围即可． 【解答】解：∵二次三项式x2﹣6x+p能在实数范围内分解因式， ∴Δ＝36﹣4p≥0， 解得：p≤9， 故选：A． 【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键． 37．（2025秋•虹口区校级期中）把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先把y看出已知数求出关于x的方程2x2﹣8xy+5y2＝0的解，再分解因式即可． 【解答】解：2x2﹣8xy+5y2＝0， Δ＝64y2﹣4×2×5y2＝24y2， 则x， 所以2x2﹣8xy+5y2＝2（xy）（xy）， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程和在实数内分解因式，能求出方程2x2﹣8xy+5y2＝0的解是解此题的关键． 38．（2023秋•凉州区期末）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（　　） A．6x2+x﹣15 B．3y2+7y+3 C．3x2﹣2xy﹣4y2 D．2x2﹣4x+5 【分析】若二次三项式可以在实数范围内分解，则二次三项式等于0时，Δ＝b2﹣4ac≥0，计算各选项中的Δ值，根据Δ的符号判断即可． 【解答】解：A、6x2+x﹣15＝（2x﹣3）（3x+5），故本选项不符合题意； B、3y2+7y+3＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝72﹣4×3×3＝11＞0， ∴方程3y2+7y+3＝0有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； C、3x2﹣2xy﹣4y2＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣4）＝52＞0， ∴方程3x2﹣2xy﹣4y2＝0有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； D、2x2﹣4x+5＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×5＝﹣24＜0， ∴方程2x2﹣4x+5＝0没有实数解， 在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式的应用．判断二次三项式能否在实数范围内分解因式的方法：把二次三项式看成方程的形式，可以在实数范围内分解，即方程有实根，即Δ＝b2﹣4ac≥0，正确分析Δ＝b2﹣4ac的符号是解题的关键． 39．把3x2+12xy+11y2在实数范围内进行因式分解． 【分析】先把原式变形为，可得到，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【解答】解：原式 ＝3（x2+4xy+4y2） 故答案为：． 【点评】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键． 40．（2025秋•徐汇区校级月考）在实数范围内因式分解：（x2+6x）2+8（x2+6x）﹣9． 【分析】把x2+6x看作整体，再因式分解为（x2+6x+9）（x2+6x﹣1），最后再次进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝（x2+6x+9）（x2+6x﹣1） ． 【点评】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． 41．（2024秋•闵行区月考）在实数范围内因式分解：﹣3x2+4xy+2y2． 【分析】先求出关于x的一元二次方程﹣3x2+4xy+2y2＝0的解，再分解因式即可． 【解答】解：令﹣3x2+4xy+2y2＝0， 解得，， 所以﹣3x2+4xy+2y2． 【点评】本题考查实数范围内分解因式，掌握“ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x1、x2，则ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）”是正确解答的关键． 💯 课后巩固 ❤复习建议 判别式Δ=b²-4ac判断根的三种情况 韦达定理：两根之和=-b/a，两根之积=c/a 用韦达定理求代数式值要先变形为和与积 二次三项式分解先求根再写a(x-x₁)(x-x₂) 含参数问题务必检验Δ≥0和a≠0 【作业 1】（2026•梁园区校级模拟）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】对于ax2+bx+c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，当Δ＜0时，方程没有实数根，据此即可解答． 【解答】解：∵x2+kx﹣2＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解本题的关键． 【作业 2】（2025秋•汨罗市校级月考）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　） A．2020 B．2021 C．﹣2021 D．﹣1 【分析】先利用根的判别式判断其根的情况，然后利用一元二次方程的解的意义求得m2+m＝2021，利用根与系数的关系求得m+n＝﹣1，最后将原式变形后代入数值计算即可． 【解答】解：已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0， ∵Δ＝12﹣4×1×（﹣2021）＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∵它的两根分别为m，n， ∴m2+m﹣2021＝0，m+n＝﹣1， ∴m2+m＝2021， m2+2m+n ＝m2+m+m+n ＝2021﹣1 ＝2020， 故选：A． 【点评】本题考查根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握该关系及判别式是解题的关键． 【作业 3】（2025秋•普陀区期末）如果二次三项式ax2+3x+4在实数范围内不能分解因式，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】二次三项式在实数范围内不能分解因式等价于对应的一元二次方程无实数根，根据判别式小于零列不等式，即可求解． 【解答】解：由条件可知方程ax2+3x+4＝0无实数根， ∴根的判别式Δ＝32﹣4•a•4＝9﹣16a＜0， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握该知识点是关键． 【作业 4】（2026•盐池县模拟）若关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为　且a≠0　 ． 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式Δ＞0建立不等式，联立求解即可得到a的取值范围． 【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣2x﹣3＝0是一元二次方程， ∴a≠0， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×a×（﹣3）＞0， 解得：， ∴实数a的取值范围是且a≠0． 【点评】本题考查跟的判别式，关键是掌握判别式与一元二次方程根的关系． 【作业 5】（2025秋•浦东新区校级期末）关于x的一元二次方程mx2﹣3mx+x+2m﹣1＝0的根的判别式的值为1，那么m的值为　2　 ． 【分析】由二次项系数非零可得出m≠0，由根的判别式Δ＝1可得出关于m的方程，解之即可得出m的值． 【解答】解：∵方程mx2﹣3mx+x+2m﹣1＝0为一元二次方程， ∴m≠0 ∵方程mx2﹣3mx+x+2m﹣1＝0的根的判别式的值为1， ∴Δ＝（﹣3m+1）2﹣4×m×（2m﹣1）＝1， ∴9m2﹣6m+1﹣8m2+4m＝1， ∴m2﹣2m＝0， 解得：m1＝0（不合题意，舍去），m2＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，利用二次项系数非零及根的判别式为1，找出m的值是解题的关键． 【作业 6】（2026•头屯河区校级模拟）若α，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值为　7　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算即可． 【解答】解：由条件可知α+β＝2，αβ＝﹣5， ∴α+β﹣αβ＝2﹣（﹣5）＝7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1，x2，满足，． 【作业 7】（2026秋•重庆校级同步）已知方程：x2﹣5x﹣36＝0的两根为m、n，则代数式m2﹣4m+n的值为　41　 ． 【分析】利用一元二次方程的解的意义和根与系数的关系，将代数式变形后代入求值． 【解答】解：由条件可知m2﹣5m﹣36＝0， 即 m2﹣5m＝36， 由根与系数的关系可知m+n＝5， ∴m2﹣4m+n＝（m2﹣5m）+（m+n）＝36+5＝41． 故答案为：41． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 8】（2025秋•金山区校级期末）在实数范围内分解因式：2x2﹣x﹣3＝ 　（2x﹣3）（x+1）　 ． 【分析】利用十字相乘法分解因式． 【解答】解：2x2﹣x﹣3＝（2x﹣3）（x+1）． 故答案为：（2x﹣3）（x+1）． 故答案为：（2x﹣3）（x+1）． 【点评】本题考查了实数范围内分解因式，实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），也考查了十字相乘法． 【作业 9】（2023秋•青浦区期中）在实数范围内因式分解：﹣2x2+3xy+y2． 【分析】将y看作常数，令﹣2x2+3xy+y2＝0，这是一个关于未知数x的一元二次方程，利用公式法解一元二次方程即可得到答案 【解答】解：将y看作常数，令﹣2x2+3xy+y2＝0，这是一个关于未知数x的一元二次方程， ∵2x2﹣3xy﹣y2＝0， ∴Δ＝（﹣3y）2﹣4×2×（﹣y2） ＝9y2+8y2 ＝17y2≥0， ∴，即， ∴． 【点评】本题考查特殊方法分解因式，涉及二次根式性质等知识，掌握这种特殊的因式分解方法是解决问题的关键． 【作业 10】（2026秋•同步）在实数范围内分解因式：81a4﹣b4． 丽华的解题过程如下： 解：原式＝（9a2+b2）（9a2﹣b2）． 请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来． 【分析】根据因式分解要彻底的要求进行辨别、再分解． 【解答】解：丽华因式分解的结果不正确， ∵81a4﹣b4 ＝（9a2+b2）（9a2﹣b2） ＝（9a2+b2）（3a+b）（3a﹣b）， ∴丽华因式分解的结果不正确． 【点评】此题考查了因式分解的能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地分解． 【作业 11】（2026•呼图壁县一模）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0的两个实数根． （1）求实数m的取值范围． （2）若x1，x2满足，求实数m的值． 【分析】（1）由一元二次方程根的判别式结合题意得出（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝2m+3，，将变形为，代入计算即可得解． 【解答】解：（1）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0的两个实数根， ∴Δ＝（2m+3）2﹣4（m2+2）＝12m+1≥0， 解得：， 故实数m的取值范围． （2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2m+3，， ∵， ∴， ∴， ∴（2m+3）2＝16+3（m2+2）， 4m2+12m+9＝16+3m2+6， m2+12m﹣13＝0， （m+13）（m﹣1）＝0， 解得m1＝﹣13，m2＝1， ∵实数m的取值范围， ∴实数m的值为1． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【作业 12】（2025秋•宝应县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0． （1）当m＝1时，求该一元二次方程的解； （2）若方程有两个不等实数根且满足，求m的值． 【分析】（1）依据题意，当m＝1时，可得一元二次方程为x2﹣x﹣2＝0，从而计算可以得解； （2）依据题意，由一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0的两实数根为x1，x2，则Δ＝1﹣4（2m﹣4）＞0，即m；x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4，结合，可得2m﹣4﹣3+9＝m2﹣1，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，当m＝1时，可得一元二次方程为x2﹣x﹣2＝0． ∴（x﹣2）（x+1）＝0． ∴x＝﹣1或x＝2； （2）由题意，∵一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0的两实数根为x1，x2， ∴Δ＝1﹣4（2m﹣4）＞0，即m；x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4． 又∵， ∴x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1． ∴2m﹣4﹣3+9＝m2﹣1． ∴m＝﹣1或m＝3（舍去）． ∴m＝﹣1． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系、解一元二次方程﹣因式分解法、根的判别式，解题时要熟练掌握并能灵活运用根与系数的关系是关键． 【作业 13】（2026春•西湖区校级期中）已知有关于x的一元二次方程（k+1）x2+（k+3）x+2＝0． （1）判断该一元二次方程根的情况； （2）若方程有一个根为﹣2，求k的值及方程的另一个根； （3）若方程的一个根是另一个根2倍，求k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得k的取值范围，再计算Δ可判断方程根的情况； （2）把x＝﹣2代入原方程求解k，再解一元二次方程可得答案； （3）先解含参数的一元二次方程，再分两种情况讨论即可． 【解答】解：（1）由条件可知k+1≠0， ∴k≠﹣1， 而Δ＝（k+3）2﹣4×2（k+1） ＝k2﹣2k+1 ＝（k﹣1）2≥0， ∴当k＝1时，原方程有两个相等的实数根，当k≠1且k≠﹣1时，原方程有两个不相等的实数根． （2）由条件可知4（k+1）﹣2（k+3）+2＝0， 解得：k＝0， ∴方程为：x2+3x+2＝0， ∴（x+2）（x+1）＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝﹣1， ∴方程的另一个根为﹣1． （3）由条件可知[（k+1）x+2]（x+1）＝0， ∴（k+1）x+2＝0，x+1＝0， 解得：，x2＝﹣1， ∵方程的一个根是另一个根的2倍， ∴当时，解得：k＝0，经检验符合题意； 当时，解得：k＝3，经检验符合题意； 综上：k＝0或k＝3． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 14】（2023秋•射洪市期末）请阅读以下材料： ①若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2，x1x2，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知x1、x2关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且34，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因为﹣10＜﹣3＜0，34，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请解决下列问题： （1）判断一元二次方程x2+9x+14＝0是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，则m的取值范围为 　﹣4＜m＜﹣3或m　 ．（此小问直接填空，不写过程） 【分析】（1）先利用因式分解法解方程得到x1＝﹣7，x2＝﹣2，然后根据“限根方程”的定义进行判断； （2）先利用根与系数的关系得x1+x2，x1x2，再利用x1+x2+x1x2＝﹣1得到1，则可求得k1＝2，k2＝﹣1，当k＝﹣1时，方程化为x2+3x+2＝0，当k＝2时，方程化为2x2+9x+7＝0， 然后分别利用因式分解法解方程，最后利用“限根方程”的定义确定k的值； （3）利用因式分解法解方程得到x＝m或x＝﹣1，再根据“限根方程”的定义得到m＜﹣1＜0时，34，当﹣1＜m＜0时，34，然后解关于m的不等式即可． 【解答】解：（1）一元二次方程x2+9x+14＝0为“限根方程”． 理由如下： x2+9x+14＝0， （x+7）（x+2）＝0， x+7＝0或x+2＝0， 所以x1＝﹣7，x2＝﹣2， ∵﹣7＜﹣2＜0，34， ∴所以一元二次方程x2+9x+14＝0为“限根方程”； （2）根据根与系数的关系得x1+x2，x1x2， ∵x1+x2+x1x2＝﹣1， ∴1， 解得k1＝2，k2＝﹣1， 当k＝﹣1时，方程化为x2+3x+2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝﹣1， ∵﹣2＜﹣1＜0， 而3， ∴方程化，x2+3x+2＝0不是“限根方程”， 综上所述，k的值为2； 当k＝2时，方程化为2x2+9x+7＝0， 解得x1，x2＝﹣1， ∵1＜0，34， ∴方程化2x2+9x+7＝0是“限根方程”； （3）x2+（1﹣m）x﹣m＝0， （x﹣m）（x+1）＝0， x﹣m＝0或x+1＝0， 解得x＝m或x＝﹣1， 当m＜﹣1＜0时，34，解得﹣4＜m＜﹣3； 当﹣1＜m＜0时，34，解得m， 综上所述，m的取值范围为﹣4＜m＜﹣3或m． 故答案为：﹣4＜m＜﹣3或m． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则x1+x2，x1x2，也考查了解一元二次方程． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 一元二次方程判别式/根与系数关系/二次三项式因式分解 2026-2027学年 苏科版九年级数学上册 📌 思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 理解根的判别式，能判断一元二次方程根的情况 掌握根与系数关系（韦达定理），会求两根之和与积 能用韦达定理求代数式的值 掌握二次三项式在实数范围内的因式分解 能利用判别式和韦达定理解决综合问题 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.根的判别式 Δ=b²-4ac Δ>0：两个不相等的实数根 Δ=0：两个相等的实数根 Δ<0：没有实数根 概念辨析例题：概念辨析：x²+x-2021=0的根的情况？ 解析：Δ=1²-4×1×(-2021)=1+8084=8085>0，所以有两个不相等的实数根。 ☆ 2.根与系数关系（韦达定理） x₁+x₂=-b/a x₁·x₂=c/a 前提：方程有实数根（Δ≥0） 常用于求两根对称式的值 概念辨析例题：概念辨析：方程x²-2x-5=0两根为α、β，求α+β-αβ 解析：α+β=2，αβ=-5，α+β-αβ=2-(-5)=7。 ☆ 3.二次三项式的因式分解 ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)，其中x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0的根 Δ≥0时可在实数范围内分解 Δ<0时不能在实数范围内分解 先求根再写分解式 概念辨析例题：概念辨析：在实数范围内分解2x²-x-3 解析：解方程2x²-x-3=0，x=(1±√25)/4=(1±5)/4，x=3/2或x=-1，所以2x²-x-3=2(x-3/2)(x+1)。 📋 知识总结表 内容 公式/结论 注意事项 判别式 Δ=b²-4ac Δ>0两不等根，Δ=0两等根，Δ<0无实根 两根之和 x₁+x₂=-b/a 前提Δ≥0 两根之积 x₁x₂=c/a 注意符号 对称式 x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂ 用和与积表示 因式分解 ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂) Δ≥0时才能分解 ⚠️ 核心考点 · 典型例题精讲 【考点1】一元二次方程的判别式（第1-16题） 计算Δ=b²-4ac判断根的情况 已知根的情况反求参数范围 注意二次项系数不为0的隐含条件 1．（2025秋•涟源市期末）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＝0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1 2．对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算：||＝ad﹣bc，例如：4×6﹣2×1＝22，则关于x的方程0的根的情况为（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 3．（2026春•安吉县期中）若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程x2﹣3mx+4n＝0（其中m≠0，n≠0）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（　　） A．n2＝2m B．m＝2n2 C．n＝2m2 D．m2＝2n 4．（2027•宽城区校级开学）已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可能是（　　） A．8 B． C．9 D．10 5．（2026•册亨县模拟）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 6．（2026•宝安区校级四模）方程x2﹣ax+2＝0有两个相等的实数根，则（a+1）（a﹣1）的值为_____ ． 7．（2026•凉州区模拟）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是 _____________ ． 8．（2026•灌南县一模）若关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____________ ． 9．（2025秋•揭阳校级期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程6x2+7x﹣5＝0和（x﹣1）（x+m）＝0为“同伴方程”，则m的值为____________________ ． 10．（2025秋•静安区校级期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程x2﹣（3+a）x+3a＝0和（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0互为联根方程，那么a的值为 _______ ． 11．（2026•沂水县一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a＝_______ ． 12．（2026•连州市二模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为 _____ ． 13．（2025秋•北碚区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）若△ABC为等腰三角形，AB＝3cm，另外两条边是方程的根，求△ABC的周长． 14．（2025秋•浦东新区校级期中）已知m，n是正实数，关于x的一元二次方程：x2+mx＝n2． （1）判断：方程根的情况． （2）若α是方程x2+mx＝n2的一个实数根，试比较代数式（2α+m）2与m2+4n2的大小关系． 15．（2025秋•闵行区校级期中）定义：关于x的一元二次方程cx2+bx+a＝0（其中a、b、c是实数，且ac≠0）是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a、b、c是实数，且ac≠0）的“友好方程”．例如：﹣2x2﹣x+1＝0是x2﹣x﹣2＝0的“友好方程”．求： （1）方程3x2﹣2x﹣4＝0的“友好方程”是________________ ． （2）若关于x的一元二次方程cx2+bx+a＝0（其中a、b、c是实数，且ac≠0）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由． （3）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5mx+（m2+2m﹣3）＝0（其中m是实数）与它的“友好方程”有完全相同的解，求m的值以及原方程的根． 16．（2025秋•闵行区校级期中）已知x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则称此类方程为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是b2﹣4ac＝a2． （1）请通过计算判断方程x2+7x+12＝0是否是“差根方程”； （2）若方程x2+2x﹣k+1＝0是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根； （3）若关于x的“差根方程”a（x+m）2+b＝0（a，m，b均为常数，a≠0）的一个根是x＝3，则关于x的方程a（x+m+4）2＝﹣b是“差根方程”吗？若是，写出它的根；若不是，请说明理由． 【考点2】根与系数的关系（第17-35题） 熟记x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a 代数式变形为和与积的形式 注意Δ≥0的前提条件 17．（2025秋•鲁山县期末）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，则代数式a2+2a+b﹣ab的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．15 D．17 18．（2026•江阳区模拟）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2 19．（2026•丛台区校级二模）若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 20．（2025秋•普陀区校级同步）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0，下列说法：①若m﹣2n＝1，则方程一定有两个不相等的实数根；②若n是方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n＝﹣1；③等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为50°则这个等腰三角形的顶角度数为40°；④一元二次方程﹣x2+3x+4＝0，由根与系数的关系，可得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4．正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 21．（2025秋•江汉区校级月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．下列结论：①若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；②若a+b+c＞0，a﹣b+c＜0，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根；③若b2+4ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根；④若ac＜0，且b＝0，则方程两个实数根一定互为相反数．以上结论正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 22．（2026春•安庆期末）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a、b、c均为常数，且a≠0）的解是x1＝﹣1，x2＝2，那么方程a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0的解是（　　） A． B． C． D．∵Δ＜0，∴方程无实数解 23．（2026•南京模拟）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则的值为_______ ． 24．（2026春•龙泉市期末）设x1，x2分别是一元二次方程ax2+3x+2＝0的两个根，x1+x2＝﹣3，则x1•x2＝_____ ． 25．（2026•滕州市校级模拟）若m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，多项式2n2﹣mn+2m的值是 _______ ． 26．（2025秋•松江区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1、x2，且|x1﹣x2|＝1，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于x的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是________________ ． 27．（2025秋•镇江期末）通过学习，我们知道：若关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q，已知a2+3a﹣7＝0，b4﹣3b2﹣7＝0，且a+b2≠0，则代数式的值等于___________________ ． 28．（2025秋•长宁区校级月考）若a，b，c，d为互不相等的实数，且满足，则___________________ ． 29．（2026•英山县校级自主招生）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围： （2）若x1、x2是该方程的两个根，且满足，求m的值． 30．（2026春•裕安区校级期中）关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+k﹣3＝0． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的两根为x1，x2，，求k的值． 31．（2025秋•武汉期末）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0有一个根是x＝4，求m的值及方程的另一个根． 32．（2026春•莱州市期末）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且4，求实数k的值． 33．（2025春•普陀区期中）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）记该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值； （3）若，N＝3﹣x1x2，比较M与N的大小． 34．（2025秋•绥棱县期末）已知关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足，求k的值． 35．（2025春•濉溪县期末）一元二次方程ax2+（b﹣2）x﹣4＝0两根分别为x1，x2且（x1＜x2） （1）若此方程一根为1，则a+b＝_____ ； （2）当x1＝﹣1，x2＝2时，求a，b的值； （3）若﹣2at＝b，x1＝m，x2＝n且n⩾时，求证：t⩾． 【考点3】二次三项式的因式分解（第36-41题） 先求对应方程的根 按a(x-x₁)(x-x₂)写分解式 Δ<0时不能在实数范围内分解 36．（2024春•奉贤区期末）如果二次三项式x2﹣6x+p能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（　　） A．p≤9 B．p≥9 C．p＜9 D．p＞9 37．（2025秋•虹口区校级期中）把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 38．（2023秋•凉州区期末）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（　　） A．6x2+x﹣15 B．3y2+7y+3 C．3x2﹣2xy﹣4y2 D．2x2﹣4x+5 39．把3x2+12xy+11y2在实数范围内进行因式分解． 40．（2025秋•徐汇区校级月考）在实数范围内因式分解：（x2+6x）2+8（x2+6x）﹣9． 41．（2024秋•闵行区月考）在实数范围内因式分解：﹣3x2+4xy+2y2． 💯 课后巩固 【作业 1】（2026•梁园区校级模拟）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【作业 2】（2025秋•汨罗市校级月考）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　） A．2020 B．2021 C．﹣2021 D．﹣1 【作业 3】（2025秋•普陀区期末）如果二次三项式ax2+3x+4在实数范围内不能分解因式，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【作业 4】（2026•盐池县模拟）若关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为____________________ ． 【作业 5】（2025秋•浦东新区校级期末）关于x的一元二次方程mx2﹣3mx+x+2m﹣1＝0的根的判别式的值为1，那么m的值为_____ ． 【作业 6】（2026•头屯河区校级模拟）若α，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值为_____ ． 【作业 7】（2026秋•重庆校级同步）已知方程：x2﹣5x﹣36＝0的两根为m、n，则代数式m2﹣4m+n的值为_______ ． 【作业 8】（2025秋•金山区校级期末）在实数范围内分解因式：2x2﹣x﹣3＝ ________________ ． 【作业 9】（2023秋•青浦区期中）在实数范围内因式分解：﹣2x2+3xy+y2． 【作业 10】（2026秋•同步）在实数范围内分解因式：81a4﹣b4． 丽华的解题过程如下： 解：原式＝（9a2+b2）（9a2﹣b2）． 请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来． 【作业 11】（2026•呼图壁县一模）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0的两个实数根． （1）求实数m的取值范围． （2）若x1，x2满足，求实数m的值． 【作业 12】（2025秋•宝应县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0． （1）当m＝1时，求该一元二次方程的解； （2）若方程有两个不等实数根且满足，求m的值． 【作业 13】（2026春•西湖区校级期中）已知有关于x的一元二次方程（k+1）x2+（k+3）x+2＝0． （1）判断该一元二次方程根的情况； （2）若方程有一个根为﹣2，求k的值及方程的另一个根； （3）若方程的一个根是另一个根2倍，求k的值． 【作业 14】（2023秋•射洪市期末）请阅读以下材料： ①若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2，x1x2，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知x1、x2关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且34，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因为﹣10＜﹣3＜0，34，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请解决下列问题： （1）判断一元二次方程x2+9x+14＝0是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，则m的取值范围为 ____________________ ．（此小问直接填空，不写过程） ❤复习建议 判别式Δ=b²-4ac判断根的三种情况 韦达定理：两根之和=-b/a，两根之积=c/a 用韦达定理求代数式值要先变形为和与积 二次三项式分解先求根再写a(x-x₁)(x-x₂) 含参数问题务必检验Δ≥0和a≠0 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $