18.1 比例线段 课时作业 2026-2027学年北京版数学 九年级上册

18.1 比例线段 课时作业

北京版 九年级上册 第十八章 相似形 · 第一节 比例线段

班级：__________    姓名：__________    学号：__________    用时：______分钟

一、学习目标

1．理解两条线段的比、成比例线段的概念，会判断四条线段是否成比例．

2．掌握比例的基本性质，能利用基本性质进行比例式与等积式的互化．

3．了解合比性质、等比性质，会用“设k法”解决与比例有关的求值问题．

4．理解比例中项、第四比例项的含义，会解决与比例尺有关的实际问题．

二、知识点梳理

知识点1  两条线段的比 在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比．线段a、b的比记作a∶b或，其中a叫做比的前项，b叫做比的后项． 注意：（1）求两条线段的比时，必须先统一单位；（2）两条线段的比是一个正数，没有单位；（3）线段的比与所选的长度单位无关．

 

知识点2  成比例线段 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，即a∶b＝c∶d（或），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 其中a、d叫做比例外项，b、c叫做比例内项，d叫做a、b、c的第四比例项． 判断方法：把四条线段按从小到大（或从大到小）排列，若最小与最大两条线段长的积等于中间两条线段长的积，则它们成比例． 注意：四条线段成比例是有顺序的，a、b、c、d成比例写成a∶b＝c∶d，不能随意颠倒．

知识点3  比例的基本性质 如果（b、d≠0），那么ad＝bc；反之，如果ad＝bc（a、b、c、d都不等于0），那么． 即：两个内项之积等于两个外项之积． 比例中项：如果a∶b＝b∶c（或），那么b叫做a、c的比例中项，此时b²＝ac．当a、b、c都是线段时，（线段长为正数，只取正值）．

 

知识点4  合比性质与等比性质 合比性质：如果，那么，同样． 等比性质：如果…（b+d+…+n≠0），那么． 常用方法——“设k法”：当已知连比或比例式时，设比值为k，把各字母用k表示，再代入求值．

 

知识点5  比例尺 比例尺＝图上距离∶实际距离．例如比例尺1∶50000表示图上1 cm代表实际距离50000 cm，即500 m． 计算时要注意单位换算：1 km＝1000 m＝100000 cm．

 

三、典例精讲

例1．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，求线段AB与CD的比．

例1图

【解析】由网格可知AB＝4，CD＝6，所以AB∶CD＝4∶6＝2∶3，即．

【点拨】求线段的比，先求出（或用同一单位表示出）两条线段的长，再化为最简整数比．

例2．已知，求：（1）；（2）．

【解析】方法一（设k法）：设a＝3k，b＝5k（k≠0）．

（1）；

（2）．

方法二（合比性质）：（1）由得．

【点拨】“设k法”是解决比例求值问题最通用的方法，要熟练掌握．

例3．已知线段a＝2 cm，c＝8 cm，线段b是a、c的比例中项，求线段b的长．

【解析】因为b是a、c的比例中项，所以b²＝ac＝2×8＝16，又因为b是线段，b＞0，所以b＝4 cm．

【易错】b²＝16时，若b表示数，则b＝±4；但b表示线段长时只能取正值，即b＝4 cm．

例4．已知≠0，求的值．

【解析】设（k≠0），则x＝2k，y＝3k，z＝4k．

所以．

四、基础巩固

（一）选择题

1．已知线段a＝2 cm，b＝8 cm，线段c是a、b的比例中项，则c等于（    ）