2026-2027学年苏科版九年级数学上册9月学情自测卷（阶段性检测）

苏科版九年级数学上册9月学情自测卷 （范围：第1章《反比例函数》+ 第2章《一元二次方程》） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 2. （2025·湖南·中考真题）对于反比例函数 ，下列结论正确的是（　　） A. 点在该函数的图象上　　B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限 C. 当时，随的增大而增大　　D. 当时，随的增大而减小 3. 用配方法解方程 ，配方后所得的方程是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 4. （2025·扬州·中考真题）关于一元二次方程 的根的情况，下列结论正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根　　B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根　　D. 无法判断根的情况 5. （2025·天津·中考真题）若点 ，， 都在反比例函数 的图象上，则 ，， 的大小关系是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 6. （2025·镇江·中考真题改编）已知点 、 在反比例函数 的图象上，若 ，则 的取值范围是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 7. 已知 、 是方程 的两个根，则 的值为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 8. （2024·宿迁·中考真题改编）规定：对于任意实数 、、，有 ，如 。若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围为（　　） A. 　　B. 　　C. 且 　　D. 且 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 方程 的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______。 10. （2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内， 随 的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是______（写出一个即可）。 11. （2025·镇江·中考真题）关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为______。 12. （2023·天津·中考真题）若 、 是方程 的两个根，则 ______，______。 13. .（2025•深圳中考真题）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数y相交于点A和点B．若A的横坐标为1，则B的坐标为 ______。 14. （2024·广东广州·中考真题改编）定义新运算：（），（）。例如：，。若 ，则 的值为______。 15. （2025•连云港中考真题）如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为﹣1．当y1＜y2时，x的取值范围是______。 16. （2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破。今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次。设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为 ，根据题意可列方程为______。 17. （2024·四川成都·中考真题改编）若 、 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为______。 18. （2025•齐齐哈尔中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x﹣1的图象与反比例函数y（k≠0）的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC＝BC，则实数k的值为______。 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19.（本题8分）解下列方程： （1） （2） 20.（本题8分） （2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题改编）解方程：。 21.（本题8分） 已知关于 的方程 。 （1）求证：无论 取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个根为1，求 的值及另一个根。 22.（本题8分） 已知 、 是方程 的两个根，求： （1）； （2）。 23.（本题10分） （2025•扬州中考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（﹣1，6），B（m，﹣2）． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求△OAB的面积． 24.（本题10分） 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具。某汽车销售公司今年1月份销售新能源汽车64辆，第一季度共销售新能源汽车244辆。若2、3月份平均每月增长率为 ，求 的值。 25.（本题10分） （2025·辽宁·中考真题改编）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何。”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？ 26.（本题10分）（2025•河南中考）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数y（x＞0）的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． 27.（本题12分）定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求m的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 28.（本题14分）（2025•内江中考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象与一次函数y＝k2x+b的图象相交于A（a，6）、B（﹣6，1）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当x＜0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2x+b0的解集； （3）过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D．若点C横坐标为﹣4，求△BOD的面积． 参考答案 一、选择题 选择题答案：1.C　2.D　3.A　4.A　5.D　6.A　7.B　8.D 部分解析： 第1题：A含两个未知数，B是分式方程，D未说明 ，只有C符合。 第2题：，图象在第一、三象限，在每个象限内 随 增大而减小。A：，错误；B：图象在一、三象限，错误；C：当 时， 随 增大而减小，错误；D正确。故选D。 第3题：，，即 。 第4题：，方程有两个不相等的实数根。故选A。 第5题：，图象在第二、四象限。 在第二象限，；、 在第四象限，，。所以 。故选D。 第6题：，。由 得 ，即 ，所以 。故选A。 第7题：由韦达定理 。 第8题：。方程有两个不相等实数根，则 且 ，即 且 。故选D。 二、填空题 填空题答案：9. 3；-2；-1　10. （答案不唯一，即可）　11. 9　12. 6；-7　13.（﹣1，﹣1） 14. 或 　15. 或 　16. 　17. 7　 18. -6 部分解析： 第10题：反比例函数 在每个象限内 随 增大而减小，则 ，可取 。 第11题：，得 。 第12题：，。 第14题：当 时，，，（舍去）；当 时，，。综上 或 。 第16题：第一季度200架次，第三季度401架次，平均增长率为 ，则 。 第17题：由韦达定理 ，。 是方程根，，即 。 是方程根，，即 。原式 。 三、解答题 19. （1），，。 （2），，，，，即 ，。 20. 移项得 ，因式分解得 ，解得 ，。 21. （1）证明：。所以无论 取何值，方程总有实数根。 （2）将 代入方程得 ，即 ，解得 。此时方程为 ，解得 ，。所以 ，另一个根为2。 22. 由韦达定理得 ，。 （1）。 （2）。 23. 解：（1）由题意得：将点A（﹣1，6）代入，得：k＝﹣1×6＝﹣6， 所以反比例函数的表达式为， 将点B（m，﹣2）代入可得：，∴B（3，﹣2）， 将点A（﹣1，6），B（3，﹣2）代入y＝ax+b 得：， 解得，所以一次函数的表达式为y＝﹣2x+4； （2）如图，设一次函数的图象与x轴的交点为点C， 将y＝0代入一次函数y＝﹣2x+4得：﹣2x+4＝0，解得x＝2， ∴C（2，0），∴OC＝2， 由（1）已得：A（﹣1，6），B（3，﹣2）， ∴△AOC的OC边上的高为|6|＝6，△BOC的OC边上的高为|﹣2|＝2， ∴△OAB 的面积为． 24. 依题意得 。 化简得 ，即 。 设 ，则 。解得 。 ，（不合题意，舍去）。 所以 ，。 答：平均每月增长率为25%。 25. 设宽为 步，则长为 步。 依题意得 ，整理得 。 因式分解得 ，解得 ，。 所以宽为24步，长为36步，长比宽多12步。 答：长比宽多12步。 26. 解：（1）∵含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数的图象经过点C，∴k＝2×2＝4， ∴反比例函数的表达式为：； （2）∵C（2，2），∴CO2＝22+22＝8， ∵含45°角的三角板OAC为等腰直角三角形，∠ACO＝90°， ∴AC＝CO，， 如图，连接OD，△OAB旋转到△OEF的位置， ∴OE＝OA＝4， ∵D的对应点G在的图象上，∴yG＝1，∴EG＝1， 由旋转可得：AD＝GE＝1， ∴D（﹣1，4）． 27. （1）解：，解得：， ∴，故①不是“邻根方程”； ，解得：； ∴，故②不是“邻根方程”； ，解得：， ∴；故③是“邻根方程”； 故答案为：③ （2）解：方程的两根为， 方程是“邻根方程”， ，即， 或； （3）证明：设，是方程的两个根， 由根与系数的关系得：，， 方程是“邻根方程”， ，， ， ． 28. 解：（1）∵反比例函数的图象过点B（﹣6，1），∴k1＝﹣6×1＝﹣6， 故反比例函数的表达式为， 把点A（a，6）代入反比例函数得，， 解得a＝﹣1，∴点A的坐标为（﹣1，6）， ∵一次函数的图象经过A（﹣1，6）、B（﹣6，1）两点， ∴，解得，故一次函数的表达式为y＝x+7； （2）∵， ∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方，∴﹣6≤x≤﹣1； （3）∵点C横坐标为﹣4，代入y＝x+7， 解得：y＝﹣4+7＝3，∴C（﹣4，3）， 当y＝3时，代入，得， 解得：x＝﹣2，∴D（﹣2，3）， 如图，过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E， ∵B（﹣6，1），D（﹣2，3）， ∴DE＝3，BF＝1，EF＝﹣2﹣（﹣6）＝4， ∵S△BOD+S△BFO＝S梯形BFED+S△DEO，S△BFO＝S△DEO＝3， ∴S△BOD＝S梯形BFED（DE+BF）EF（3+1）×4＝8． 学科网（北京）股份有限公司 $