26.4 实际问题与二次函数 专项练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章二次函数（专项练习）实际问题与二次函数-2026-2027学年九年级上册数学人教版 一、单选题 1．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为（    ）    A．1 B． C．2 D．4 2．下面的问题中有两个变量： ①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（    ） A．①② B．① C．② D．①②均不是 3．如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（　　） A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m 4．某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，第3年的销售量为台，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 5．如图1是某地的一座桥塔，它的外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，A、B为该抛物线桥塔与桥面所在平面的两个交点（点A与点B关于该抛物线的对称轴对称），点O在的延长线上，以所在直线为x轴，抛物线所在平面内过点O且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式，若点P在抛物线上，且在对称轴的右侧，点P到x轴的距离为，则点P到y轴的距离为（     ） A． B． C． D． 6．某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额（元）与降价（元）的函数关系为（    ） A． B． C． D． 7．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．将一条长为的铁丝剪成两段，并分别围成正方形，则这两个正方形面积之和的最小值为________． 10．如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为_____ 米． 11．超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝－5x＋150，该商品售价定为____元/件时，每天销售该商品获利最大． 12．“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本为20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价_____________元，才能使每日利润最大． 13．“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．当水平宽（即的长）为40米时，则离地面高为________米． 14．学校卫生间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）小丽经过测量发现：洗手液瓶子的截面图下部分是矩形，洗手液瓶子的底面直径，D，H与喷嘴位置点B三点共线．当小丽按住顶部A下压至如图②位置时，洗手液从喷口B流出（此时喷嘴位置点B距台面的距离为16），路线近似呈抛物线状，小丽在距离台面15处接洗手液时，手心Q到直线的水平距离为4，若小丽不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平距离是16．根据小丽测量所得数据，可得洗手液喷出时的抛物线函数解析式的二次项系数是_____________． 15．景区喷泉水柱如图建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 16．如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 三、解答题 17．校艺术节上，甲同学用腰长为的等腰直角三角形卡纸裁剪出如图所示的矩形纸片，且矩形的四个顶点都在的边上．    (1)若甲裁剪出来的矩形纸片周长是纸片周长的一半，那么这个矩形纸片的宽是___________cm； (2)设的长度为，矩形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②求矩形的面积的最大值． 18．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．轴是抛物线的对称轴，最高点到地面距离为4米． (1)求出抛物线的解析式． (2)在距离地面米高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 19．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． (1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 20．某地为庆祝国庆举行焰火表演，表演时礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮点火升空到最高点处引爆，求从点火升空到引爆需要的时间和最高点高度． 21．足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度关于飞行时间的函数图象（不考虑空气的阻力）．已知足球飞出时，足球的飞行高度是，足球从飞出到落地共用时．    (1)求与之间的函数解析式； (2)足球的飞行高度能否达到？请说明理由． 22．某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 23．如图，正方形的边长是4．E是上一点，F是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积y随的长x的变化而变化，y与x之间的关系可以用怎样的函数来表示？ 24．习近平总书记在全国劳动模范和先进工作者表彰大会上讲话：劳动教育应纳入人才培养全过程．为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，发现其平均单株产量千克与每平方米种植的株数，且为整数构成一种函数关系；每平方米种植2株时，平均单株产量为5千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量将减少千克． (1)求关于的函数表达式； (2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 25．如图，点E，F，G，H分别位于正方形的四条边上．四边形也是正方形．当点E位于何处时，正方形的面积最小？ 26．如图，抛物线与直线交于点和点C． (1)求a和b的值； (2)求点C的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向右平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第二十六章二次函数（专项练习）实际问题与二次函数-2026-2027学年九年级上册数学人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C B D B B A 1．C 【分析】先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积 ， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出修改后的花园面积与x之间的关系式． 2．B 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，根据图象可知与是一次函数的关系，且随着的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x，是一次函数的关系，且随着的增大而减小，满足题意； ②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x成二次函数的关系，不符合题意； 故选B． 3．C 【分析】根据实心球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可． 【详解】解：在中，令y=0得： ， 解得x=-2（舍去）或x=8， ∴小朱本次投掷实心球的成绩为8米， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 4．B 【分析】根据增长率问题的计算公式解答． 【详解】解：第2年的销售量为， 第3年的销售量为， 故选：B． 【点睛】此题考查了增长率问题的计算公式，a是前量，b是后量，x是增长率，熟记公式中各字母的意义是解题的关键． 5．D 【分析】确定抛物线的对称轴为直线，解方程，结合已知求解即可； 【详解】解：因为抛物线关系式为， 所以抛物线的对称轴为直线， 因为点P在抛物线上，且在对称轴的右侧， 所以点P的横坐标大于32， 因为点P到x轴的距离为， 所以， 整理，得， 解得，24小于32，24舍去； 故点P到y轴的距离为； 6．B 【分析】根据让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，求得销售量为，根据售价乘以销量得出销售额，据此即可求解． 【详解】解：依题意，每星期的销售额（元）与降价（元）的函数关系为， 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 7．B 【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：设，则， 墙长，， ，， 解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 8．A 【分析】利用顶点式求得抛物线的解析式，再令x=0，求得相应的函数值，即为所求的答案． 【详解】解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点， ∴设这段抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3． ∵该抛物线过点（3，0）， ∴0=a（3-1）2+3， 解得：a=-． ∴y=-（x-1）2+3． ∵当x=0时，y=-（0-1）2+3=-+3=， ∴水管应长m． 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的相关性质是解题的关键． 9． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据题意得出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：设其中一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为，两个正方形的边长分别为，． 设两个正方形的面积之和为，则． ∵， ∴当时，取得最小值，为． 故答案为：． 10．9 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出抛物线与x轴的交点的横坐标即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：当时， ， ∴，（不合题意，舍去）， ∴小明将铅球推出的距离为9米． 故答案为：9． 11．20 【分析】根据利润=单件利润×销售量可得W=（x-10）（-5x+150），再根据二次函数的性质，用配方法算出售价即可； 【详解】设获利W元，则W=（x-10）·y ∴W=（x-10）（-5x+150） =-5x2+200x-1500 当x===20时，W的值最大 ∴当x=20时，每天销售该商品获利最大． 故答案为：20． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．熟练掌握配方法和二次函数的性质是解决本题的关键． 12．8 【分析】本题考查了二次函数的应用． 设当涨价a元时，单日利润为W元，则，即可求解． 【详解】解：设当涨价a元时，单日利润为W元， 则， 因为，抛物线开口向下， 所以当时，， 即当每件模型应涨价8元，才能使每日利润最大． 故答案为：8． 13．150 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是建立坐标系． 建立坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，然后求出函数值即可． 【详解】解：根据题意建立坐标系，可假设抛物线顶点坐标为，抛物线解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴， 当时，， ∴离地面高为150米， 故答案为：150． 14． 【分析】以直线为y轴，以H为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，则抛物线经过，运用待定系数法确定a，b，c的值即可． 【详解】以直线为y轴，以H为原点，建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为，则抛物线经过， 所以， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，二次函数的生活应用，熟练掌握待定系数法，灵活建立坐标系是解题的关键． 15．米 【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，然后可得，当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解． 【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形通道， ∴矩形关于抛物线的对称轴对称， ∵通道宽为2米， ∴，即， ∵通道顶部到水柱的竖直距离均不小于2米， ∴，即， 即当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度， 当时，则有， ∴通道顶端到地面的最大高度为（米）． 16．6 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 17．(1) (2)①  ②矩形的面积最大值为 【分析】（1）根据勾股定理求出长，然后利用等腰直角三角形的性质得到然后根据矩形纸片周长是纸片周长的一半列方程求解即可； （2）①根据计算即可；②通过配方法得到顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵矩形纸片周长是纸片周长的一半， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）①； ②， ∵ ∴当时，最大，最大为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，矩形的性质，方程，二次函数的图像和性质，利用配方法计算是解题的关键． 18．(1) (2)米 (3) 这辆货运卡车能通过该隧道； 当x=1.2时，， ， 这辆货运卡车能通过该隧道． 【分析】(1)根据题意可以设出抛物线的顶点式，然后根据题目中的信息可以求得抛物线的解析式； (2)把代入解析式，即可求得； (3)根据题意可以求得当x=1.2时的y的值然后与3.6比较，即可解答本题． 【详解】（1）解：最高点到地面距离为4米， 米，点E为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为y轴， 设抛物线的解析式为， 四边形ABCD是矩形， ， 又， 四边形BCOF是矩形， 米， (米)， 点E的纵坐标为1， ， ， 又米， 点C的坐标为(2,0)， 把点C的坐标代入解析式，得， 解得， 故抛物线的解析式为； （2）解：把代入解析式， 得， 解得，， 故在距离地面米高处，隧道的宽度是(米)； （3）略 【点睛】本题考查二次函数的应用，利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是明确题，找出所求问题需要的条件． 19．(1) (2)能， (3)时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得该图形的长为米，然后根据面积公式可进行求解； （2）由题意易得，然后进行求解方程即可； （3）由题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：依题意得：，整理得：， 解得：； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴当时，围成的菜地面积为81平方米． （3）解：∵墙的最大可用长度为15米， ∴，即， 解得， 根据题意得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为105， ∴时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米． 20．从点火升空到引爆需要的时间为和最高点高度． 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用配方法，将二次函数解析式变形为顶点式是解题的关键．将二次函数的解析式变形为顶点式，结合二次函数的性质，即可得出从点火升空到引爆需要时间为． 【详解】解：将整理成顶点式得：， ， ∴当时，取得最大值，此时引爆， ∴从点火升空到引爆需要时间为4s， ∴最高点高度为（） 即从点火升空到引爆需要的时间为和最高点高度． 21．(1)与之间的函数解析式为 (2)不能，理由： 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∵， ∴足球的飞行高度不能达到4.88米． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意求出抛物线的顶点坐标，进而比较求解即可． 【详解】（1）设抛物线的关系式为，将，，代入得： ，解得， ∴y关于x的函数关系式为； （2）略 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的关系式以及抛物线的顶点坐标的求法等知识，数形结合对理解题意有很大的帮助． 22．米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用待定系数法解得抛物线解析式是解题关键．设该抛物线的解析式为，结合题意，将点，代入并求解，即可确定该抛物线解析式，即可获得答案． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴该抛物线的解析式为，其顶点坐标为， ∴抛物线形水柱的最高处距离地面的高度为米． 23．y＝－x2＋16． 【分析】根据题意可知矩形AEGF的面积=AE×AF，分别表示出AE和AF即可求解 【详解】解：由题意可知：AB=AD=4，BE=DF=x， ∴AE=AB-BE=4-x，AF=AD+DF=4+x， ∴y＝(4＋x)(4－x)＝－x2＋16，即y与x之间的函数关系式是y＝－x2＋16． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确表示出AE和AF． 24．(1)关于的函数表达式为，(，且为整数) (2)每平方米种植6株时，能获得最大的产量，最大产量为18千 【分析】（1）根据题意列出一次函数表达式即可求解； （2）设每平方米小番茄产量为千克，根据（1）的结论得出二次函数关系，根据二次函数的性质求得最大值即可求解． 【详解】（1）解： 每平方米种植2株时，平均单株产量为5千克,每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少千克， ， 答：关于的函数表达式为，(，且为整数)； （2）解：设每平方米小番茄产量为千克， 根据题意得：， ， 当时，取最大值，最大值为18， 答：每平方米种植6株时，能获得最大的产量，最大产量为18千克． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 25．点E是AB边的中点时，正方形EFGH的面积最小 【分析】设AE＝x， AB＝a，则BE＝a−x，易证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，再利用勾股定理求出EF的长，进而得到正方形EFGH的面积，利用二次函数的性质即可求出面积的最小值． 【详解】解：AE＝x， AB＝a，则BE＝a−x， ∵四边形EFGH是正方形， ∴EH＝EF，∠HEF＝90°， ∴∠AEH＋∠BEF＝90°， ∵∠AEH＋∠AHE＝90°， ∴∠AHE＝∠BEF， 在△AHE和△BEF中， ， ∴△AHE≌△BEF（AAS）， 同理可证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG， ∴AE＝BF＝CG＝DH＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝a−x ∴EF2＝BE2＋BF2＝（a−x）2＋x2， 正方形EFGH的面积为S． ∴S＝EF2＝2x2－2ax＋a2＝2（x－a）2＋a2， ∴当x＝a时，S有最小值，且S最小值＝a2，此时AE＝a，EB＝a， 即点E是AB边的中点． ∴当点E是AB边的中点时，正方形EFGH的面积最小． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质，题目的综合性较强，难度中等． 26．(1)a的值为4，b的值为4 (2)（1，3）； (3)0≤xM≤4且xM≠1 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）求出点B的坐标为(-1，3)，再观察函数图象即可求解； （3）分类求解确定MN的位置，进而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象过点A（4，0） ∴解得： ∵直线的图象过点A（4，0） ∴解得： 答：a的值为4，b的值为4 （2）解：由（1）得，抛物线解析式为，一次函数解析式为 ∴解得：或（舍去） ∴点C坐标为（1，3） 由图象得不等式的解集为： （3）解：∵抛物线的对称轴是x=2， ∴当点M在点C时，M点（1，3）恰好与M点向右移动2个单位得到的N点（3，3）对称， 此时线段MN与抛物线有两个交点， ∴， 当点M在线段AB上，且M不在C点时， ∵M，N的距离为2，而A、B的水平距离4，故此时线段MN与抛线只有一个公共点， ∴，且 当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点； 当点M在点A的右侧时，线段MN与抛物线没有公共点； 综上所述， ，且 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，其中（3）分类求解确定MN的位置是解题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $