2.6直角三角形专项训练卷 2026-2027学年浙教版八年级上册数学（浙江专用）

直角三角形专项训练卷 2026-2027学年浙教版八年级上册数学（浙江专用） （满分 240 分，建议用时 120 分钟） 本卷共 40 道解答题，全卷不含选择题与填空题 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿ 卷首速览　直角三角形核心知识点 + 常用高频几何模型 一、核心概念与性质 概念 1　什么是直角三角形 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，记作 Rt△ABC。其中直角所对的边叫做斜边，夹直角的两条边叫做直角边。 图示说明：看图：∠C＝90°（直角符号），则 AB 是斜边（最长边），AC、BC 是两条直角边。 性质 1　两锐角互余 直角三角形的两个锐角互余，即 ∠A＋∠B＝90°。 图示说明：看图：∠A、∠B 的度数之和恒为 90°。这是「直角」带来的第一个基本结论，也是后面所有角度计算题的出发点。 性质 2　斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。反之，若一个三角形一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形。 图示说明：看图：D 是斜边 AB 的中点，CD 为斜边上的中线，则 CD＝AD＝BD＝AB。反过来，只要图中出现这样的等量关系，就可以判定 △ABC 是直角三角形。 性质 3　30° 角所对的直角边等于斜边的一半 直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；反之，若一条直角边等于斜边的一半，则它所对的锐角等于 30°。 图示说明：看图：∠A＝30°，它对的直角边是 BC，斜边是 AB，则 BC＝AB（图中 BC 记 1 道短线、AB 记 2 道短线，表示 AB＝2BC）。 性质 4　斜边上的高（面积法与比例中项） 设两直角边为 a、b，斜边为 c，斜边上的高为 h，则 h＝。： 图示说明：看图：CD⊥AB 于 D，CD 就是斜边上的高 h。图中 a＝BC、b＝AC、c＝AB。由「同一个三角形面积算两次」得 ab＝ch，即 h＝； 二、判定方法 1．定义法：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2．两锐角互余的三角形是直角三角形。 3．勾股定理的逆定理：若三角形三边 a、b、c 满足 a²＋b²＝c²，则这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角是直角。 4．「HL」：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（这是直角三角形特有的全等判定方法，与 SSS、SAS、ASA、AAS 并列使用）。 三、两个重要定理 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即 a²＋b²＝c²。已知任意两边可求第三边，是求线段长度最常用的工具。 2．勾股定理的逆定理：常用于判定直角、判断三角形的形状、求作格点图形（如长度为 √2、√5、√10 的线段）。 四、角平分线（与直角三角形结合的高频结论） 1．角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角的平分线上。 2．三角形三条角平分线交于一点（内心），且该点到三边的距离相等。 3．直角三角形中，角平分线常与「作垂线段」配合，把已知条件集中到两个全等的直角三角形中，形成「等距转化」。 4．直角三角形中，角平分线把对边分成的两段与该角两邻边成比例：在 Rt△ABC 中，若 BD 平分 ∠ABC，则 AD∶DC＝AB∶BC。 五、常用高频几何模型（本卷反复考查，每条模型下方附对应示意图） ◆ 模型 1　斜边上的中线模型（含共斜边的两个直角三角形） 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是斜边 AB 的中点，则 CD＝AD＝BD＝AB，即斜边上的中线等于斜边的一半。由此得到两个等腰三角形 △ACD 与 △BCD，「等边」直接转化为「等角」。反之，若 D 是 AB 的中点且 CD＝AB，则 ∠ACB＝90°。 【用法】凡遇「直角＋中点」，先连中点与直角顶点，把一半的斜边落成一组相等的线段。 ◆ 模型 2　30° 角模型（含等腰直角三角形） 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，则 BC＝AB；反之，若 BC＝AB，则 ∠A＝30°。等价的叙述：含 30° 角的直角三角形三边之比为 1∶√3∶2。等腰直角三角形的两个锐角都是 45°，三边之比为 1∶1∶√2，斜边上的中线（也是斜边上的高、顶角平分线）把原三角形分成两个全等的等腰直角三角形。 【用法】「30°／45°／60°」出现时优先用比例关系直接算边，可绕过勾股定理的繁琐运算。 ◆ 模型 3　等面积法（斜边上的高） 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D，设两直角边为 a、b，斜边为 c，斜边上的高为 h。由面积关系 ab＝ch 得 h＝；。 【用法】求斜边上的高、或求「高与斜边」互相表示时，一律先写面积等式。 ◆ 模型 4　一线三垂直（K 型）全等模型 点 D、A、E 在同一条直线 l 上，BD⊥l 于点 D，CE⊥l 于点 E，若 AB＝AC 且 ∠BAC＝90°（或补足为 AB＝AC、∠BDA＝∠AEC＝90°），则 Rt△BDA≌Rt△AEC，于是 BD＝AE、AD＝CE，DE＝AD＋AE＝BD＋CE。该模型是把「等线段」搬家的核心工具，坐标轴、网格、正方形（赵爽弦图）中出现最多。 【用法】见「同一直线上两个垂直」就找三垂直全等，用「同角的余角相等」证角相等。 ◆ 模型 5　角平分线＋垂线段模型 点 P 在 ∠AOB 的平分线上，PM⊥OA 于点 M，PN⊥OB 于点 N，则 PM＝PN，且 OM＝ON，Rt△OPM≌Rt△OPN。该模型把「角相等」转化为「线段相等」，是求距离、证相等、算面积的高频入口；在直角三角形中常与勾股定理联用建立方程。 【用法】看到角平分线就想「向两边作垂线」，把条件集中到两个全等的直角三角形中。 ◆ 模型 6　折叠（轴对称）模型 把图形沿某条直线折叠，折痕就是对应点连线的垂直平分线，折叠前后两个图形全等。因此折叠后必然产生：相等的线段（对应边）、相等的角（对应角、折痕处的角相等）、以及折痕垂直平分对应点的连线。在直角三角形中折叠，常通过「设未知数→用勾股定理列方程」求解，是求线段长度的常用手段。 【用法】折叠题先标出所有对应相等的边和角，再用勾股定理把「直角」变成方程。 ◆ 模型 7　等腰直角三角形「手拉手」旋转型全等 △ABC 与 △ADE 都是等腰直角三角形（AB＝AC、AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°），把 △ADE 绕点 A 旋转任意角度，总有 △ABD≌△ACE（SAS），从而 BD＝CE 且 BD⊥CE。该模型是「旋转型全等」的原型，两直角顶点的重合就是旋转中心。 【用法】两个等腰直角三角形（或正方形）共顶点时，先找以公共顶点为顶点的两个全等三角形，再用「8 字型」倒角证垂直。 ◆ 模型 8　勾股定理的实际应用模型（共高双直角三角形） 图形中某点到一条直线的垂线段 PH 同时是两个直角三角形（Rt△PHA、Rt△PHB）的公共直角边，此时只需设 PH＝h，用两次勾股定理分别表示 PA、PB，即可建立方程求出 h 或其余线段。方位角问题（东北、北偏东 30° 等）的本质也是把方向角转化为直角三角形的锐角，再用勾股定理求解。 【用法】遇到「一条高被两个直角三角形共用」，就设高为 h 列方程组；方位角问题先画准「上北下南」的方向图，把方向角换算成与正东、正北所成的角。 —————　以下为试题部分，请先通读上面的知识点与模型，再开始作答　————— 一、基础夯实题（第 1～5 题，每题 4 分，共 20 分。请写出必要的解答过程） 1．（4 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 是边 AB 上一点，连结 CD，且 DA＝DC． （1）求证：DB＝DC； （2）若 AB＝10，求 CD 的长； （3）若 ∠A＝35°，求 ∠BCD 的度数． 2．（4 分）如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，格点 A、B、C 的位置如图所示． （1）分别求 AB、AC、BC 的长； （2）通过计算判断 △ABC 的形状，并求 ∠ABC 的度数； （3）求 △ABC 的面积． 3．（4 分）如图，在 △ABC 与 △ADC 中，∠B＝∠D＝90°，AC 与 BD 相交于点 O，且 AB＝AD． （1）求证：Rt△ABC≌Rt△ADC； （2）若 ∠BAC＝25°，求 ∠BCD 的度数． 4．（4 分）如图，点 E 是 Rt△ABC 与 Rt△BCD 的公共斜边 BC 的中点，且 AB＝AC，∠BCD＝20°，连结 AE、ED、AD． （1）求证：AE＝ED； （2）求 ∠DAE 的度数． 5．（4 分）如图，池塘边有 A、B 两点，点 C 在 AC 方向上，且 AC⊥AB．经测量 BC＝60 m，AC＝20 m． （1）求 A、B 两点间的距离； （2）现沿 AB 修一条小路，造价为每米 80 元，求修这条小路所需的费用（结果保留根号）． 二、能力提升题（第 6～30 题，每题 6 分，共 150 分。请写出必要的解答过程） 6．（6 分）如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，D、E 分别是边 AC、BC 上的点，P 是斜边 AB 上一点（不与 A、B 重合），连结 PD、PE． （1）若 ∠DPE＝70°，求 ∠PDA＋∠PEB 的度数； （2）写出 ∠DPE 与 ∠PDA＋∠PEB 之间的数量关系，并说明理由． 7．（6 分）如图，在 △ABC 中，AD、AE 分别是 △ABC 的高和角平分线，∠ABC＝30°，∠ACB＝60°． （1）求 ∠DAE 的度数； （2）写出 ∠DAE 与 ∠C－∠B 之间的数量关系，并说明理由． 8．（6 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，O 为斜边 AB 的中点．将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 α（0°＜α＜90°）至 OP，连结 CP．若 CB＝CP，求 α 的值． 9．（6 分）如图，将长方形纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 C 落在 AD 边的中点 C′ 处，点 B 落在点 B′ 处．若 ∠C′FD＝40°，求 ∠AEB′ 的度数． 10．（6 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E 是 BC 的中点，AE 与 BD 相交于点 F，连结 DE． （1）求证：△ABE≌△BCD； （2）判断线段 AE 与 BD 的数量关系及位置关系，并说明理由； （3）若 CD＝1，求 △AED 的面积． 11．（6 分）如图，在长方形 ABCD 中，点 M 是对角线 AC 的中点，点 E 在边 BC 上，把 △DCE 沿直线 DE 折叠，使点 C 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处，连结 DF、EF． （1）求证：DF＝DC，∠DFC＝∠DCF； （2）用含 ∠DAF 的式子表示 ∠FDC，并说明理由； （3）若 MF＝CD，求 ∠DAF 的度数． 12．（6 分）如图，在 △ABC 中，AC＝BC，∠B＝30°，D 为 AB 的中点，P 为 CD 上一点，E 为 BC 的延长线上一点，且 PA＝PE． （1）求证：∠PAD＋∠PEC＝30°； （2）求证：△PAE 是等边三角形； （3）判断「PD＝CE－CP」是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确的数量关系并说明理由． 13．（6 分）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M 是 AC 的中点，连结 MB、MD． （1）求证：BM＝MD； （2）若 ∠BAD＝30°，求证：△MBD 是等边三角形． 14．（6 分）如图，已知直线 a∥b，点 A、B 分别在直线 a 和直线 b 上，AB＝6，AB 与直线 a 所成的锐角 ∠1＝60°，求直线 a 与直线 b 之间的距离． 15．（6 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 P 在边 AB 上，BC＝6，AC＝8． （1）求 AB 的长； （2）若 ∠ACP＝45°，求 CP 的长； （3）若 ∠ACP＝∠B，判断 CP 与 AB 的位置关系，并求 CP 的长． 16．（6 分）如图，已知 AD、CE 是 △ABC 的两条高线，它们相交于点 O，AD＝CE，∠CAD＝25°． （1）求证：AB＝CB； （2）求 ∠OCD 的度数． 17．（6 分）如图，已知在 △ABC 中，BD⊥AC 于点 D，CE⊥AB 于点 E，F 是 BD 上一点，BF＝AC，G 是 CE 延长线上一点，CG＝AB，连结 AG、AF． （1）试说明 ∠ABD＝∠ACE； （2）探求线段 AF，AG 有什么关系？并说明理由． 18．（6 分）如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F 是垂足，DE＝BF． （1）求证：AF＝CE； （2）求证：AB∥CD． 19．（6 分）一艘轮船以 16 km/h 的速度离开港口 O 向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口 O 以 30 km/h 的速度向东南方向航行．它们离开港口半小时后相距多少千米？ 20．（6 分）某村有两条笔直公路 MN 和 PQ 相交于点 O，∠MOP＝30°，在公路 MN 边上有学校 A，且 OA＝1200 米；一辆移动宣传车 B 在公路 PQ 上行驶，宣传车周围 1000 米以内会受广播噪声影响，宣传车在公路 PQ 上匀速行驶，速度为 400 米/分钟． （1）学校 A 到公路 PQ 的最短距离是多少米？ （2）学校能否被宣传声音影响到？请说明理由； （3）若能影响到，学校总共被影响多长时间？ 21．（6 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC＝7AD＝7，∠B＝45°．等腰直角三角形 EMN 中，含 45° 角的顶点 E 放在 BC 边上移动，直角边 EM 始终经过点 A，斜边 EN 与 CD 交于点 F．若 △ABE 为等腰三角形，求 CF 的长． 22．（6 分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是 1，小正方形的顶点称为格点．请在网格中分别画出符合要求的图形，并说明你作图的依据． （1）画出一条长为 的格点线段 AB； （2）画出一个腰长为 、面积为 3 的格点等腰三角形 DEF． 23．（6 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为 D，CF 平分 ∠ACB，交 AD 于点 E，交 AB 于点 F． （1）求证：∠AEF＝∠AFE； （2）若 ∠B＝40°，求 ∠AEF 的度数； （3）若 ∠AEF＝58°，求 ∠B 的度数． 24．（6 分）某次吊车起重作业中，测量得到如下信息：起重臂 AB＝10 米，点 B 到地面的距离 BE＝1.8 米，钢丝绳所在直线 AF 垂直地面于点 F，点 B 到 AF 的距离 BG＝8 米．求点 A 到地面的距离 AF 的长． 25．（6 分）如图，在 △ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，AE 平分 ∠BAD 交 BC 于点 E．在 △ABC 外有一点 F，且 FA⊥AE，FC⊥BC． （1）求证：BE＝CF； （2）在 AB 上取一点 P，使 BP＝2DE，连结 PC 交 AD 于点 N，连结 PE．求证：PE⊥BC． 26．（6 分）如图，在 △ABC 中，AB＝AC，过 AB 边上一点 D 作 DE⊥BC 于点 E，延长 ED，与 CA 的延长线相交于点 F． （1）求证：AF＝AD； （2）若 D 是 AB 的中点，DE＝4，求 DF 的长． 27．（6 分）如图，在 △ABC 中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，BD 是 ∠ABC 的平分线． （1）求 CD 的长； （2）若点 E 是线段 BA 上的一个动点，从点 B 出发以每秒 1 cm 的速度向点 A 运动，问运动几秒后 △EAD 是直角三角形？ 28．（6 分）如图，△ABC 的角平分线 AD、BE 相交于点 P． （1）在图 1 中，分别画出点 P 到边 AC、BC、BA 的垂线段 PF、PG、PH，这 3 条线段相等吗？为什么？ （2）在图 2 中，若 ∠ABC 是直角，∠C＝60°，其余条件都不变，请判断 PE 与 PD 的数量关系，并说明理由． 29．（6 分）如图，点 P 是 ∠EAF 平分线上一点，PB⊥AE 于点 B，PC⊥AF 于点 C，点 M、N 分别是射线 AE、AF 上的点，且 PM＝PN． （1）当点 M 在线段 AB 上、点 N 在线段 AC 的延长线上时（如图 1），求证：BM＝CN； （2）在（1）的条件下，求 AM＋AN 与 AC 之间的数量关系； （3）当点 M 在线段 AB 的延长线上时（如图 2），若 AC∶PC＝2∶1，PC＝4，求四边形 ANPM 的面积． 30．（6 分）如图，在 △ABC 中，∠CAB 的平分线 AD 与 BC 的垂直平分线 DE 交于点 D，DM⊥AB 于点 M，DN⊥AC 的延长线于点 N． （1）求证：BM＝CN； （2）当 ∠BAC＝80° 时，求 ∠DCB 的度数； （3）若 AB＝8，AC＝4，DE＝3，求 4DN2－BC2 的值． 三、素养挑战题（第 31～40 题，每题 7 分，共 70 分。请写出必要的解答过程） 31．（7 分）我们定义：若一个三角形存在两边的平方和等于第三边平方的 3 倍，则称这个三角形为「平方倍三角形」． （1）若一个三角形的三边长分别是 、 和 2，判断这个三角形是否为「平方倍三角形」，并说明理由； （2）若一个直角三角形是「平方倍三角形」，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）； （3）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝5，CD 为 △ABC 的中线，若 △BCD 是「平方倍三角形」，求 △ABC 的面积． 32．（7 分）如图，在 △ABC 中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，垂足为 D，BE⊥AC，垂足为 E，AD 与 BE 相交于点 F．连结 CF 并延长，交 AB 于点 G；∠AEB 的平分线交 CG 的延长线于点 H． （1）求证：△ABD≌△CFD； （2）求证：EH 垂直平分 AF； （3）判断 CH 与 AB＋AH 之间的数量关系，并说明理由． 33．（7 分）如图，在平面直角坐标系中，A（－3，3），B（－4，4），C（0，－1）． （1）在图中作出 △ABC 关于 y 轴对称的 △A1B1C1，并写出 △A1B1C1 各顶点的坐标； （2）求 △ABC 的周长； （3）在 x 轴上求点 P 的坐标，使 PB＋PC 的值最小，并求出这个最小值． 34．（7 分）如图，∠MAN＝90°，点 C 在边 AM 上，AC＝2，点 B 为边 AN 上一动点，连结 BC．△A′BC 与 △ABC 关于 BC 所在直线对称，点 D、E 分别为 AB、BC 的中点，连结 DE 并延长，交 A′C 所在直线于点 F，连结 A′E．当 △A′EF 为直角三角形时，求 AB 的长． 35．（7 分）将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图①方式摆放，其中 ∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F． （1）求证：AF＋EF＝DE； （2）若将图①中的 △DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 α，且 0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，请直接写出（1）中的结论是否仍然成立； （3）若将图①中的 △DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 β，且 60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③．你认为（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出 AF、EF 与 DE 之间的关系并说明理由． 36．（7 分）如图，已知 ∠CBG 为 △ABC 的外角，BD 平分 ∠CBG，且 ∠ACB＝∠CAB，AE⊥BC，垂足为 E，延长 AE 与 BD 交于点 D，F 为 BC 边上一点，DF 平分 ∠CDB． （1）求证：AC∥BD； （2）若 ∠CAD＝24°，∠EDF＝6°，求 ∠DCE 的度数． 37．（7 分）如图，在 △ABC 和 △ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． （1）当点 D 在 AC 上时（如图①），线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想； （2）将图①中的 △ADE 绕点 A 顺时针旋转 α（0°＜α＜90°），如图②，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 38．（7 分）如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 A→C→B→A 运动．设点 P 的运动时间为 t 秒（t＞0）． （1）求 AC 的长及斜边 AB 上的高； （2）①当点 P 在 CB 上时，用含 t 的代数式表示 CP 的长； ②若点 P 在 ∠BAC 的角平分线上，求 t 的值； （3）在整个运动过程中，直接写出 △BCP 是等腰三角形时 t 的值． 39．（7 分）如图，OP＝1，过点 P 作 PP1⊥OP，且 PP1＝1，得到 OP1；再过点 P1 作 P1P2⊥OP1，且 P1P2＝1，得到 OP2；又过点 P2 作 P2P3⊥OP2，且 P2P3＝1，得到 OP3；…按此方法继续作下去． （1）求 OP1、OP2、OP3 的长； （2）用含 n 的代数式表示 OPn 的长，并说明理由； （3）求 OP2026 的长． 40．（7 分）【问题背景】如图 1，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且 ∠EAF＝60°，探究图中线段 BE、EF、FD 之间的数量关系； 【探索延伸】如图 2，若在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且 ∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？并说明理由； 【实际应用】如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30° 的 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东 70° 的 B 处，且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70 海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50° 的方向以 90 海里/时的速度前进，2 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E、F 处，且两舰艇之间的夹角为 70°，求此时两舰艇之间的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $ 直角三角形专项训练卷 2026-2027学年浙教版八年级上册数学（浙江专用） —— 参考答案与详细解析 —— （满分 240 分，建议用时 120 分钟） 本卷共 40 道解答题，全卷不含选择题与填空题 一、基础夯实题 1．【答案】（1）证明见解析；（2）CD＝5；（3）∠BCD＝55° 【解析】（1）∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠A＋∠B＝90°，∠ACD＋∠DCB＝90°． ∵ DA＝DC，∴ ∠A＝∠ACD， ∴ ∠B＝90°－∠A＝90°－∠ACD＝∠DCB，∴ DB＝DC． （2）由（1）得 DB＝DC；又已知 DA＝DC，∴ DA＝DB， ∴ D 是斜边 AB 的中点，即 CD 是斜边 AB 上的中线， ∴ CD＝AB＝×10＝5． （3）∵ DA＝DC，∴ ∠ACD＝∠A＝35°， ∴ ∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝90°－35°＝55°． 【易错卡点】（1）中把已知的「DA＝DC」直接当作「D 是 AB 的中点」使用，跳过了先证 DB＝DC 这一步；（2）中误以为要用勾股定理逐个求边长。 2．【答案】（1）AB＝2，AC＝2，BC＝2；（2）△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC＝45°；（3）S△ABC＝2 【解析】（1）由图可知 AB＝2，AC＝2， ∴ BC＝＝＝＝2． （2）∵ AB2＋AC2＝4＋4＝8，BC2＝(2)2＝8， ∴ AB2＋AC2＝BC2， ∴ △ABC 是直角三角形，且最长边 BC 所对的 ∠A＝90°． 又 AB＝AC＝2，∴ △ABC 是等腰直角三角形， ∴ ∠ABC＝＝45°． （3）S△ABC＝AB·AC＝×2×2＝2． 【易错卡点】把 BC 当直角边算成 2；或写出 AB²＋AC²＝BC² 后忘记说明「最长边所对的角是直角」，以致 ∠A＝90° 与 ∠B＝90° 分不清。 3．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BCD＝130° 【解析】（1）在 Rt△ABC 与 Rt△ADC 中， ∵ AC＝AC（公共斜边），AB＝AD， ∴ Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）． （2）由（1）得 ∠ACB＝∠ACD，∠DAC＝∠BAC＝25°． 在 Rt△ADC 中，∠ACD＝90°－∠DAC＝90°－25°＝65°， ∴ ∠ACB＝65°， 又点 B、D 在 AC 的两侧， ∴ ∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝65°＋65°＝130°． 【易错卡点】写成「AB＝AD、AC＝AC、∠B＝∠D」的「边边角」格式；HL 只对直角三角形成立，且必须由「斜边＋一条直角边」构成。 4．【答案】（1）证明见解析；（2）∠DAE＝25° 【解析】（1）∵ ∠BAC＝90°，E 是斜边 BC 的中点， ∴ AE＝BC． ∵ ∠BDC＝90°，E 是斜边 BC 的中点， ∴ ED＝BC．∴ AE＝ED． （2）由 AB＝AC 且 ∠BAC＝90°，得 ∠ACB＝∠ABC＝45°． ∵ EA＝EC，∴ ∠EAC＝∠ECA＝45°， ∴ ∠AEC＝180°－45°－45°＝90°，从而 ∠AEB＝180°－90°＝90°． ∵ ED＝EC，∴ ∠ECD＝∠EDC＝20°， ∴ ∠CED＝180°－20°－20°＝140°，从而 ∠BED＝180°－140°＝40°． ∴ ∠AED＝∠AEB＋∠BED＝90°＋40°＝130°． 在 △AED 中，∵ AE＝ED，∴ ∠DAE＝＝25°． 【易错卡点】只想到一次斜边中线，漏掉 △BCD 的斜边中线 ED；或把 ∠AED 当成 ∠AEC 与 ∠CED 之差（90°－140°）而算出负数。 5．【答案】（1）AB＝40 m；（2）3200 元 【解析】（1）∵ AC⊥AB，∴ ∠A＝90°． 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AB2＝BC2－AC2＝602－202＝3600－400＝3200， ∴ AB＝＝40（m）． （2）40×80＝3200（元）． 答：A、B 两点间的距离为 40 m，修这条小路需要 3200 元． 【易错卡点】把 BC＝60 当成直角边代入（写成 60²＋20²）；或把 3200 开方写成 320 而忘记化简成 40。 二、能力提升题 6．【答案】（1）∠PDA＋∠PEB＝160°；（2）∠PDA＋∠PEB＝90°＋∠DPE 【解析】（1）∵ ∠ACB＝90°，且 D、E 分别在 CA、CB 上， ∴ 在 △PDC 与 △PEC 中分别有 ∠PDC＋∠DPC＋∠PCD＝180°，∠PEC＋∠EPC＋∠PCE＝180°． 两式相加得 (∠PDC＋∠PEC)＋(∠DPC＋∠EPC)＋(∠PCD＋∠PCE)＝360°． ∵ ∠PCD＋∠PCE＝∠DCE＝∠ACB＝90°，∠DPC＋∠EPC＝∠DPE＝70°， ∴ ∠PDC＋∠PEC＝360°－90°－70°＝200°． ∵ A、D、C 三点共线，B、E、C 三点共线， ∴ ∠PDA＝180°－∠PDC，∠PEB＝180°－∠PEC， ∴ ∠PDA＋∠PEB＝360°－(∠PDC＋∠PEC)＝360°－200°＝160°． （2）∠PDA＋∠PEB＝90°＋∠DPE． 理由：由上面的推导，一般地有 ∠PDC＋∠PEC＝360°－90°－∠DPE＝270°－∠DPE， ∴ ∠PDA＋∠PEB＝360°－(270°－∠DPE)＝90°＋∠DPE． （验证：当 ∠DPE＝70° 时，∠PDA＋∠PEB＝90°＋70°＝160°，与（1）一致．） 【易错卡点】把 ∠PDA、∠PEB 当作 △PDE 的内角去用三角形内角和；或漏掉「A、D、C 共线、B、E、C 共线」这一条件，写不出 ∠PDA＝180°－∠PDC 的转化。 7．【答案】（1）∠DAE＝15°；（2）∠DAE＝(∠C－∠B) 【解析】（1）∵ ∠ABC＝30°，∠ACB＝60°， ∴ ∠BAC＝180°－30°－60°＝90°，即 △ABC 是直角三角形． ∵ AE 平分 ∠BAC，∴ ∠BAE＝∠BAC＝×90°＝45°． ∵ AD 是 △ABC 的高，∴ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝90°． 在 Rt△ABD 中，由两锐角互余得 ∠BAD＝90°－∠B＝90°－30°＝60°． ∴ ∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝60°－45°＝15°． （2）∠DAE＝(∠C－∠B)． 理由：∵ ∠BAC＝180°－∠B－∠C，且 AE 平分 ∠BAC， ∴ ∠BAE＝∠BAC＝90°－(∠B＋∠C)． ∵ AD⊥BC，∴ Rt△ABD 中 ∠BAD＝90°－∠B． ∴ ∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝(90°－∠B)－[90°－(∠B＋∠C)]＝(∠C－∠B)． 【易错卡点】把 ∠DAE 当成 ∠BAD＋∠BAE 相加；或在 Rt△ABD 中把 ∠BAD 写成 90°－∠C。 8．【答案】α＝80° 【解析】∵ ∠ACB＝90°，O 为斜边 AB 的中点， ∴ OC＝OA＝OB＝AB． 在 △OBC 中，∵ OB＝OC，∴ ∠OCB＝∠OBC＝25°， ∴ ∠COB＝180°－25°－25°＝130°， ∴ ∠AOC＝180°－∠COB＝50°． 在 △OCP 中，∵ OC＝OB＝OP，CB＝CP， ∴ △OCB≌△OCP（SSS），∴ ∠OCP＝∠OCB＝25°． 由 CB＝CP 得 ∠CBP＝∠BPC＝， 而 ∠BCP＝∠OCB＋∠OCP＝25°＋25°＝50°， ∴ ∠CBP＝＝65°． 又 ∠CBO＝∠ABC＝25°，∴ ∠OBP＝∠CBP－∠CBO＝65°－25°＝40°． 在 △OBP 中，∵ OB＝OP，∴ ∠OPB＝∠OBP＝40°， ∴ ∠BOP＝180°－40°－40°＝100°． ∵ 点 P 在 AB 的上方一侧，且 A、O、B 共线，∠AOB＝180°， ∴ α＝∠AOP＝180°－∠BOP＝180°－100°＝80°． 【易错卡点】忽略 OB＝OC＝OP 这组「等腰」，只盯着旋转去凑角；或把 ∠AOP 当成 ∠AOC＋∠COP 直接相加，漏掉 ∠COP＝∠COB 这一由全等（而不是由旋转）得到的等量关系。 9．【答案】∠AEB′＝40° 【解析】∵ 四边形 ABCD 是长方形，∴ AB∥DC，AD∥BC． ∵ 点 F 在 DC 上，D、F、C 共线， ∴ ∠C′FC＝180°－∠C′FD＝180°－40°＝140°． 由折叠知 ∠EFC′＝∠EFC＝∠C′FC＝＝70°． ∵ AB∥DC，且 EB 与 FC 方向相同， ∴ ∠FEB＝180°－∠EFC＝180°－70°＝110°． ∵ A、E、B 共线，∴ ∠AEF＝180°－∠FEB＝180°－110°＝70°． 由折叠知 ∠B′EF＝∠BEF＝∠FEB＝110°． 又 ∠AEF＝70°，且射线 EA、EB′ 分别位于射线 EF 的两侧， ∴ ∠AEB′＝∠B′EF－∠AEF＝110°－70°＝40°． 【易错卡点】把 ∠C′FD＝40° 误当成折痕与 DC 的夹角，直接写 ∠EFC＝40°；或算出 ∠FEB＝70° 后忘记 ∠FEB 取的是「射线 EF 与射线 EB」的夹角（应为 110°），从而把最后的 40° 错算成 20°。 10．【答案】（1）证明见解析；（2）AE＝BD，且 AE⊥BD；（3）S△AED＝ 【解析】（1）∵ AB∥CD，∴ ∠ABC＋∠C＝180°． ∵ ∠C＝90°，∴ ∠ABC＝90°． ∵ E 是 BC 的中点，∴ BC＝2BE． 又 BC＝2CD，∴ BE＝CD． 在 △ABE 与 △BCD 中，∵ AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，BE＝CD， ∴ △ABE≌△BCD（SAS）． （2）AE＝BD，且 AE⊥BD． 理由：由（1）△ABE≌△BCD 得 AE＝BD，∠BAE＝∠CBD． ∵ ∠ABF＋∠CBD＝∠ABC＝90°，∴ ∠ABF＋∠BAE＝90°． ∴ △ABF 中 ∠AFB＝180°－90°＝90°，即 AE⊥BD． （3）由（1）得 BE＝CD＝1， 又 AB＝BC＝2CD＝2，∴ CE＝BC－BE＝1． ∵ AB∥CD 且 ∠C＝90°，∴ BC 是梯形 ABCD 的高， ∴ S梯形ABCD＝(AB＋CD)·BC＝×(2＋1)×2＝3． 又 S△ABE＝AB·BE＝×2×1＝1，S△CDE＝CD·CE＝×1×1＝， ∴ S△AED＝S梯形ABCD－S△ABE－S△CDE＝3－1－＝． 【易错卡点】第（1）问用「AB＝BC、BE＝CD、∠AEB＝∠BDC」凑「边边角」；第（3）问想直接底×高而漏掉「梯形面积减去两个直角三角形」的思路。 11．【答案】（1）证明见解析；（2）∠FDC＝2∠DAF；（3）∠DAF＝18° 【解析】（1）由折叠知 △DFE≌△DCE，∴ DF＝DC，EF＝EC，∠DFE＝∠DCE＝90°． ∴ △DFC 是等腰三角形，∴ ∠DFC＝∠DCF． （2）设 ∠DAF＝x． ∵ 四边形 ABCD 是长方形，∴ ∠ADC＝90°，∠DCA＝90°－x． 由（1）得 ∠DFC＝∠DCF＝∠DCA＝90°－x， ∴ 在 △DFC 中，∠FDC＝180°－2(90°－x)＝2x＝2∠DAF． （3）∵ ∠ADC＝90°，M 是 AC 的中点， ∴ MD＝MA＝MC＝AC，∴ ∠MDA＝∠MAD＝∠DAF＝x． 由（2）得 ∠FDC＝2x，∴ ∠ADF＝∠ADC－∠FDC＝90°－2x， ∴ ∠MDF＝∠ADF－∠MDA＝90°－3x． 又 M、F 都在对角线 AC 上，且沿 A→C 的顺序为 A、M、F、C， ∴ ∠DFM＝180°－∠DFC＝180°－(90°－x)＝90°＋x． ∵ MF＝CD，DF＝CD，∴ MF＝DF，∴ △MDF 是等腰三角形， ∴ ∠FDM＝∠DMF＝＝． ∴ 90°－3x＝，解得 5x＝90°，即 ∠DAF＝18°． 【易错卡点】漏掉「M 与 F 都在对角线 AC 上」这一关键位置关系，把 ∠DFM 当成 90°－x；或把 ∠FDC 错记为 ∠DAF，直接得出 ∠DAF＝90° 的荒谬结果。 12．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不成立，正确的数量关系是 CE＝CP＋2PD 【解析】（1）∵ AC＝BC，∠B＝30°，∴ ∠CAB＝∠B＝30°，∠ACB＝120°． ∵ AC＝BC 且 D 为 AB 的中点，∴ CD 垂直平分 AB，CD 平分 ∠ACB， ∴ ∠ACD＝∠BCD＝60°，∠ADC＝90°，且 P 在 CD 上时 PA＝PB． ∵ PA＝PB，∴ ∠PAB＝∠PBA． ∵ 点 P 在 ∠ABC 内部，∴ ∠PBC＝∠ABC－∠PBA＝30°－∠PBA． ∵ P、E 在射线 BC 上方向上，∠PEC＝∠PBE＝∠PBC＝30°－∠PBA． 又 ∠PAD＝∠PAB＝∠PBA， ∴ ∠PAD＋∠PEC＝∠PBA＋(30°－∠PBA)＝30°． （2）由（1）得 PA＝PB，又 PA＝PE，∴ PA＝PB＝PE， ∴ 点 P 是 △ABE 的外心，∴ ∠APE＝2∠ABE＝2×30°＝60°（圆心角等于同弧所对圆周角的 2 倍）． 又 PA＝PE，∴ △PAE 是等边三角形． （3）不成立．正确的数量关系是 CE＝CP＋2PD（即 PD＝(CE－CP)）． 理由：以 D 为原点、AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系． 设 CD＝t，则 A(－t，0)，C(0，t)，B(t，0)，设 P(0，x)，则 PD＝x，CP＝t－x． 在 Rt△ADP 中，PA2＝AD2＋PD2＝3t2＋x2． 设 CE＝y．∵ E 在射线 BC 上且 C→B 方向的单位向量为 (，－)， ∴ E(－y，t＋)， ∴ PE2＝(y)2＋(t＋－x)2＝＋(t－x＋)2． 由 PA＝PE 得 3t2＋x2＝＋(t－x)2＋(t－x)y＋， 整理得 y2＋(t－x)y－2t2－2tx＝0，即 y2＋(t－x)y－2t(t＋x)＝0． ∵ (x＋t)2＋(t－x)(x＋t)－2t(t＋x)＝(x＋t)·2t－2t(t＋x)＝0， ∴ y＝x＋t＝PD＋CD 是适合条件的正数解（另一根为负，舍去）． ∴ CE＝PD＋CD＝PD＋(CP＋PD)＝CP＋2PD． 取特殊值检验：若 PD＝CD，则 CE＝CD，CP＝CD， 此时 CE－CP＝CD≠PD，可见原结论不成立． 【易错卡点】把「P 在 CD 上」与「P 在中线 CD 上」混淆，漏掉 CD 垂直平分 AB 因而 PA＝PB；证等边时只写 PA＝PE，忘记再证 ∠APE＝60°。 13．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）∵ ∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴ △ABC 与 △ADC 都是直角三角形，且它们的斜边都是 AC． ∵ M 是 AC 的中点， ∴ BM＝AC＝AM＝CM，DM＝AC＝AM＝CM， ∴ BM＝MD． （2）由（1）得 BM＝AM，DM＝AM， ∴ ∠ABM＝∠BAM，∠ADM＝∠DAM． ∵ ∠BMC 是 △ABM 的外角，∴ ∠BMC＝∠ABM＋∠BAM＝2∠BAM． 同理 ∠DMC＝2∠DAM． ∵ 点 B、D 在 AC 的两侧（或同侧时相应改写成差）， ∴ ∠BMD＝∠BMC＋∠DMC＝2(∠BAM＋∠DAM)＝2∠BAD＝2×30°＝60°． 又由（1）得 BM＝MD，∴ △MBD 是等边三角形． 【易错卡点】只对 △ABC 用一次斜边中线，漏掉 △ADC 的斜边中线 MD；或在第（2）问直接令 ∠BMD＝2∠BAD 而不说明依据（外角定理）。 14．【答案】3 【解析】过点 B 作 BC⊥a，垂足为 C，则 BC 的长就是直线 a 与直线 b 之间的距离． 在 Rt△ABC 中，∵ ∠1＝60°，∴ ∠ABC＝90°－60°＝30°， ∴ AC＝AB＝×6＝3． 由勾股定理得 BC＝＝＝＝3． 答：直线 a 与直线 b 之间的距离是 3． 【易错卡点】把 ∠1＝60° 当作 ∠ABC＝60° 直接使用；或求出的 27 忘记化简成 3。 15．【答案】（1）AB＝10；（2）CP＝；（3）CP⊥AB，CP＝ 【解析】（1）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，由勾股定理得 AB＝＝＝＝10． （2）∵ ∠ACB＝90°，∠ACP＝45°，∴ ∠BCP＝90°－45°＝45°， ∴ CP 平分 ∠ACB． 过点 P 分别作 PD⊥AC 于点 D、PE⊥BC 于点 E， 由角平分线的性质得 PD＝PE． 设 PD＝PE＝h，由 S△ACP＋S△BCP＝S△ABC 得 ×8h＋×6h＝×8×6，即 7h＝24，∴ h＝． ∵ PD⊥AC，且 ∠PCD＝∠ACP＝45°， ∴ Rt△PCD 是等腰直角三角形，∴ CD＝PD＝， ∴ CP＝＝PD＝． （3）CP⊥AB． 理由：∵ ∠ACP＝∠B，∠BCP＋∠ACP＝90°， ∴ ∠BCP＋∠B＝90°，∴ 在 △BCP 中 ∠BPC＝180°－90°＝90°， ∴ CP⊥AB． 由等积法 S△ABC＝AC·BC＝AB·CP， 得 CP＝＝＝． 【易错卡点】第（2）问误以为「角平分线长等于斜边的一半」而答 CP＝5；或想不到用「PD＝PE + 面积拆分」，把自己困在逐边计算里。 16．【答案】（1）证明见解析；（2）∠OCD＝40° 【解析】（1）∵ AD、CE 是 △ABC 的高线，∴ ∠ADB＝∠CEB＝90°． 在 Rt△ADB 与 Rt△CEB 中，∠B＝∠B，AD＝CE， ∴ Rt△ADB≌Rt△CEB（AAS），∴ AB＝CB． （2）由（1）AB＝CB 得 ∠BAC＝∠ACB． 在 Rt△ADC 中，∠ADC＝90°，∠CAD＝25°， ∴ ∠ACD＝90°－25°＝65°，∴ ∠BAC＝∠ACB＝65°， ∴ ∠B＝180°－65°－65°＝50°． ∵ CE⊥AB，∴ 在 Rt△CEB 中，∠ECB＝90°－∠B＝90°－50°＝40°． ∵ O 在 CE 上，CD 与 CB 在同一条直线上， ∴ ∠OCD＝∠ECB＝40°． 【易错卡点】把 ∠OCD 当成 △OCD 中需要另设元的角，忘记 O、C、E 共线、C、D、B 共线；或由 AD＝CE 直接断言「AB＝CB」而不写出全等依据。 17．【答案】（1）说明见解析；（2）AF＝AG，且 AF⊥AG 【解析】（1）∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴ ∠ADB＝∠AEC＝90°． 在 Rt△ABD 中，∠ABD＝90°－∠BAD； 在 Rt△ACE 中，∠ACE＝90°－∠CAE． ∵ ∠BAD 与 ∠CAE 是同一个角， ∴ ∠ABD＝∠ACE（等角的余角相等）． （2）AF＝AG，且 AF⊥AG． 理由：∵ F 在 BD 上，G 在 CE 的延长线上， ∴ ∠ABF＝∠ABD，∠GCA＝∠ACE， 由（1）得 ∠ABF＝∠GCA． 在 △ABF 与 △GCA 中，∵ AB＝CG，∠ABF＝∠GCA，BF＝CA， ∴ △ABF≌△GCA（SAS），∴ AF＝AG，∠AFB＝∠GAC． ∵ ∠AFB 是 △ADF 的外角，∠ADF＝90°， ∴ ∠AFB＝∠ADF＋∠FAD＝90°＋∠FAD． 又 ∠GAC＝∠GAF＋∠FAD， ∴ 90°＋∠FAD＝∠GAF＋∠FAD，∴ ∠GAF＝90°，即 AG⊥AF． ∴ AF＝AG，且 AF⊥AG． 【易错卡点】第（2）问只答「相等」而漏掉「垂直」这一位置关系；或证全等时把 ∠ABF＝∠GCA 直接当作已知条件，忘记它要靠第（1）问的结论转化而来。 18．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）∵ DE⊥AC，BF⊥AC，∴ ∠AFB＝∠CED＝90°． 在 Rt△ABF 与 Rt△CDE 中， ∵ AB＝CD（斜边），BF＝DE，∴ Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）， ∴ AF＝CE． （2）由（1）Rt△ABF≌Rt△CDE 得 ∠BAF＝∠DCE， ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 【易错卡点】用「AB＝CD、BF＝DE、∠AFB＝∠CED」列出「边边角」；或第（2）问只写 ∠BAF＝∠DCE 而不注明判定平行的依据。 19．【答案】17 km 【解析】设两船半小时后分别到达 A、B 两处． ∵ 东北方向与东南方向的夹角是 90°，∴ ∠AOB＝90°， ∴ △AOB 是直角三角形． OA＝16×＝8（km），OB＝30×＝15（km）． 由勾股定理得 AB＝＝＝＝17（km）． 答：它们离开港口半小时后相距 17 km． 【易错卡点】把东北与东南方向的夹角当成 45° 或 135°；或忘记乘 0.5 直接用 16 与 30 计算。 20．【答案】（1）600 米；（2）能，理由见解析；（3）4 分钟 【解析】（1）过点 A 作 AC⊥PQ 于点 C，则 AC 就是最短距离． ∵ ∠AOC＝∠MOP＝30°，∴ 在 Rt△AOC 中，AC＝OA＝×1200＝600（米）． （2）能．理由：∵ 600＜1000，∴ 学校能被宣传声音影响到． （3）如图，以点 A 为圆心、1000 米为半径作圆，交直线 PQ 于 B、B′ 两点， 则宣传车行驶到线段 BB′ 上时都会影响学校． 在 Rt△ACB 中，BC＝＝＝800（米）． 由 AC⊥BB′，且 AB＝AB′，得 BC＝B′C， ∴ BB′＝2BC＝1600（米）． ∴ 影响时间＝1600÷400＝4（分钟）． 答：学校总共被影响 4 分钟． 【易错卡点】第（1）问把 OA 当成垂线段直接作答 1200 米；第（3）问只算出一个 800 米就当成影响路段长，忘记影响路段是以 C 为对称中心、长度为 2BC 的线段。 21．【答案】CF 的长为 4 或 7－6 或 2 【解析】由 BC＝7AD＝7 得 AD＝，BC＝7． 过 A、D 分别作 BC 的垂线，垂足分别为 H、G． ∵ 梯形 ABCD 是等腰梯形，AD∥BC，∴ AB＝CD，AH＝DG，四边形 AHGD 是矩形， ∴ HG＝AD＝，∴ BH＝CG＝(BC－AD)＝(7－)＝3． 在 Rt△ABH 中，∵ ∠B＝45°，∴ ∠BAH＝90°－45°＝45°，∴ AH＝BH＝3， ∴ AB＝＝＝6． ① 当 AE＝BE 时： ∵ ∠B＝45°，AE＝BE，∴ ∠BAE＝∠B＝45°， ∴ ∠AEB＝180°－45°－45°＝90°，即 AE⊥BC， ∴ 此时点 E 与 H 重合，BE＝BH＝3， ∴ CE＝BC－BE＝7－3＝4． ∵ ∠AEB＝90°，∠MEN＝45°，∴ ∠CEF＝180°－90°－45°＝45°＝∠C， ∴ ∠CFE＝90°，△CEF 是等腰直角三角形，∴ CF＝EF． 在 Rt△CFE 中，CE2＝CF2＋EF2，即 2CF2＝(4)2＝32， ∴ CF2＝16，∴ CF＝4． ② 当 AB＝BE 时： ∵ AB＝BE＝6，∴ CE＝BC－BE＝7－6． ∠AEB＝∠EAB＝＝67.5°， ∴ ∠CEF＝180°－67.5°－45°＝67.5°，∠CFE＝180°－45°－67.5°＝67.5°， ∴ ∠CEF＝∠CFE，∴ CF＝CE＝7－6． ③ 当 AB＝AE 时： ∵ AB＝AE＝6，∴ ∠AEB＝∠B＝45°，∴ ∠BAE＝90°， ∴ BE＝＝＝6， ∴ CE＝BC－BE＝7－6＝． ∵ ∠CEF＝180°－45°－45°＝90°，∠C＝45°，∴ ∠CFE＝45°， ∴ △CEF 是等腰直角三角形，CE＝EF＝， ∴ CF＝＝＝2． 综上，CF 的长为 4 或 7－6 或 2． 【易错卡点】只讨论「AE＝BE」一种情形就作答；或把「△ABE 为等腰三角形」误读成「△ABE 是等腰直角三角形」。 22．【答案】（1）见解析，作法：取直角边长分别为 2 和 1 的直角三角形斜边即可；（2）见解析，作法：取直角边长分别为 3 和 1 的直角三角形斜边为腰，底边取 2、该底边上的高取 3 【解析】（1）依据勾股定理：直角三角形中，若两条直角边分别为 2 和 1， 则斜边长＝＝． 故在网格中取横、纵方向相差 2 格和 1 格的任意两个格点 A、B，线段 AB 即为所求． （2）依据勾股定理：若两条直角边分别为 3 和 1，则斜边长＝＝． ∴ 把腰长取为 ；再取底边 DE＝2，令 DE 边上的高为 3， 则 S△DEF＝×2×3＝3，且此时的两腰长均为 ＝， ∴ △DEF 即为所求（答案不唯一，符合条件即可）． 【易错卡点】把勾股定理写成「a＋b＝c」；或作图时不标出格点，使线段端点不在格点上。 23．【答案】（1）证明见解析；（2）∠AEF＝65°；（3）∠B＝26° 【解析】（1）∵ ∠BAC＝90°，AB⊥AC；又 AD⊥BC，D 在 BC 上、E 在 AD 上， ∴ ∠CAF＝90°，∠CDE＝90°． 在 Rt△ACF 中，∠ACF＋∠AFE＝90°； 在 Rt△CDE 中，∠DCE＋∠CED＝90°． ∵ CF 平分 ∠ACB，∴ ∠ACF＝∠DCE， ∴ ∠AFE＝∠CED． 又 ∠AEF＝∠CED（对顶角相等），∴ ∠AEF＝∠AFE． （2）∵ ∠BAC＝90°，∠B＝40°，∴ ∠ACB＝90°－40°＝50°． ∵ CF 平分 ∠ACB，∴ ∠ACF＝∠ACB＝25°． 由（1）知 ∠AEF＝∠AFE＝90°－∠ACF＝90°－25°＝65°． （3）设 ∠ACB＝2x，则 ∠ACF＝x． 由（1）得 ∠AEF＝∠AFE＝90°－x． 又 ∠ACB＝90°－∠B，∴ x＝， ∴ ∠AEF＝90°－＝45°＋． 当 ∠AEF＝58° 时，45°＋＝58°，解得 ∠B＝26°． 【易错卡点】把 ∠AEF 与 ∠AFE 当作同一条边上的邻角直接相加；或在 Rt△ACF 中看到 ∠AFE 就误写成 ∠AFE＝90°－∠ACF 却不说明来自「两锐角互余」。注意 ∠AEF 是由对顶角 ∠CED 过渡得到的，必须先用角平分线把 ∠ACF 与 ∠DCE 接起来。 24．【答案】AF＝7.8 米 【解析】由题意得 BG⊥AF，AF⊥地面，BE⊥地面， ∴ ∠AGB＝90°，且四边形 BEFG 是矩形（EF 与地面共线）， ∴ GF＝BE＝1.8 米． 在 Rt△AGB 中，由勾股定理得 AG＝＝＝＝6（米）． ∴ AF＝AG＋GF＝6＋1.8＝7.8（米）． 答：点 A 到地面的距离 AF 为 7.8 米． 【易错卡点】把 BG＝8 当成 AG 直接使用；或忘记把 BE 折到 AF 上而漏加 1.8 米。 25．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）∵ AE⊥AF，∴ ∠FAC＋∠CAE＝90°． ∵ ∠BAC＝90°，∴ ∠BAE＋∠CAE＝90°，∠ABC＋∠ACB＝90°， ∴ ∠FAC＝∠BAE． ∵ FC⊥BC，∴ ∠FCA＋∠ACB＝90°， 又 ∠B＋∠ACB＝90°，∴ ∠FCA＝∠B． ∵ AB＝AC， ∴ 在 △ABE 与 △ACF 中，∠FAC＝∠BAE，AC＝AB，∠FCA＝∠B， ∴ △ABE≌△ACF（ASA），∴ BE＝CF． （2）∵ ∠BAC＝90°，AB＝AC，∴ ∠B＝∠ACB＝45°． 过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，则 △BEH 是等腰直角三角形， ∴ ∠BEH＝45°，EH＝BH． ∵ AE 平分 ∠BAD，ED⊥AD，EH⊥AB，∴ DE＝HE，∴ DE＝BH＝HE． ∵ BP＝2DE，且 BP＝BH＋HP，∴ HP＝DE＝HE， ∴ △HEP 是等腰直角三角形，∴ ∠PEH＝45°． ∴ ∠BEP＝∠BEH＋∠HEP＝45°＋45°＝90°，∴ PE⊥BC． 【易错卡点】第（1）问把「FC⊥BC」直接当成 ∠FCA＝∠B 使用而不作说明；第（2）问证不出 DE＝HE（漏用角平分线的性质）。 26．【答案】（1）证明见解析；（2）DF＝8 【解析】（1）∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C． ∵ DE⊥BC，∴ ∠CEF＝∠BED＝90°， 在 Rt△CEF 中，∠F＝90°－∠C； 在 Rt△BED 中，∠BDE＝90°－∠B． ∵ ∠B＝∠C，∴ ∠F＝∠BDE． 又 ∠ADF＝∠BDE（对顶角相等），∴ ∠F＝∠ADF，∴ AF＝AD． （2）过点 A 作 AG⊥DF 于点 G． ∵ AD＝AF（由（1）），∴ △ADF 是等腰三角形，且 AG 是底边 DF 上的高， ∴ DF＝2DG（等腰三角形底边上的高平分底边）． ∵ D 是 AB 的中点，∴ AD＝BD． ∵ ∠ADG＝∠BDE（对顶角相等），∠AGD＝∠BED＝90°，AD＝BD， ∴ △ADG≌△BDE（AAS），∴ DG＝DE＝4， ∴ DF＝2DG＝2×4＝8． 【易错卡点】第（2）问误以为 DF＝DE＋EF 而写成 16（实为 EF＝DE＋DF）；或想不到作 AG⊥DF 把「等腰三角形底边上的高」与全等接起来。 27．【答案】（1）CD＝3 cm；（2）6 秒或 秒 【解析】（1）∵ ∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴ AB＝＝＝10． 过点 D 作 DE′⊥AB 于点 E′． ∵ BD 平分 ∠ABC，DC⊥BC，DE′⊥AB，∴ CD＝DE′． ∵ S△ABD＝AD·BC＝AB·DE′， ∴ 设 CD＝DE′＝x，则 6(8－x)＝10x，解得 x＝3．∴ CD＝3 cm． （2）设运动时间为 t 秒，则 BE＝t． ① 当 ∠AED＝90°，即 DE⊥AB 时： 由（1）的结论得 CD＝DE＝3． 在 Rt△BCD 与 Rt△BED 中，BD＝BD，CD＝DE，∴ Rt△BCD≌Rt△BED（HL）， ∴ BE＝BC＝6，∴ t＝6． ② 当 ∠ADE＝90°，即 DE⊥AD 时： ∵ BC⊥AC，∴ DE∥BC，∴ ∠EDB＝∠CBD． ∵ BD 平分 ∠ABC，∴ ∠EBD＝∠CBD，∴ ∠EDB＝∠EBD，∴ BE＝DE＝t． ∵ D 在 BC 上，CD＝3，AC＝8，∴ AD＝AC－CD＝5． 在 Rt△ADE 中，AD2＋DE2＝AE2，即 52＋t2＝(10－t)2， 解得 t＝． 综上，运动 6 秒或 秒后 △EAD 是直角三角形． 【易错卡点】第（1）问直接把 CD 当成 BC 的一半（3 是巧合，但推理错误）；第（2）问只考虑「DE⊥AB」一种情形，漏掉「ED⊥AD」。 28．【答案】（1）PF＝PG＝PH，理由见解析；（2）PE＝PD 【解析】（1）PF＝PG＝PH． ∵ AD 平分 ∠BAC，PF⊥AC，PH⊥AB，∴ PF＝PH（角平分线上的点到角两边距离相等）． ∵ BE 平分 ∠ABC，PG⊥BC，PH⊥AB，∴ PG＝PH． ∴ PF＝PH＝PG． （2）PE＝PD． ∵ ∠ABC＝90°，∠C＝60°，∴ ∠CAB＝30°． ∵ AD 平分 ∠BAC，BE 平分 ∠ABC， ∴ ∠CAD＝∠BAD＝15°，∠ABE＝∠CBE＝45°． 过点 P 作 PF⊥AC 于点 F，PG⊥BC 于点 G，则 ∠PFE＝∠PGD＝90°． ∵ ∠PDG 是 △ADC 的外角，∴ ∠PDG＝∠C＋∠CAD＝60°＋15°＝75°． ∵ ∠PEF 是 △ABE 的外角，∴ ∠PEF＝∠CAB＋∠ABE＝30°＋45°＝75°． ∴ ∠PEF＝∠PDG． 由（1）知 PF＝PG， ∴ 在 △PFE 与 △PGD 中，∠PFE＝∠PGD，∠PEF＝∠PDG，PF＝PG， ∴ △PFE≌△PGD（AAS），∴ PE＝PD． 【易错卡点】第（1）问只用一次角平分线性质就断言三条相等；第（2）问找不到 ∠PDG 与 ∠PEF 这两个「外角」把条件搭起来。 29．【答案】（1）证明见解析；（2）AM＋AN＝2AC；（3）32 【解析】（1）∵ 点 P 在 ∠EAF 的平分线上，PB⊥AE，PC⊥AF， ∴ PB＝PC，∠PBM＝∠PCN＝90°． 在 Rt△PBM 与 Rt△PCN 中，PM＝PN，PB＝PC， ∴ Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），∴ BM＝CN． （2）由（1）得 BM＝CN， 又 PB＝PC 且 ∠PAB＝∠PAC，PA＝PA， ∴ Rt△PAB≌Rt△PAC（HL），∴ AB＝AC． ∴ AM＋AN＝AM＋(AC＋CN)＝AM＋AC＋BM＝AB＋AC＝2AC． （3）∵ AC∶PC＝2∶1，PC＝4，∴ AC＝8． 由（2）知 AB＝AC＝8，PB＝PC＝4． S四边形ANPM＝S△APN＋S△APB＋S△PBM ＝S△APN＋S△APB＋S△PCN ＝(S△APN＋S△PCN)＋S△APB ＝S△APC＋S△APB ＝AC·PC＋AB·PB ＝×8×4＋×8×4＝32． 【易错卡点】第（2）问写成 AM＋AN＝AC；第（3）问把四边形直接当成两个三角形面积之和而漏掉 △PCN 与 △PBM 的等积替换。 30．【答案】（1）证明见解析；（2）∠DCB＝40°；（3）20 【解析】（1）连结 BD、DC． ∵ AD 平分 ∠CAB，DM⊥AB，DN⊥AC，∴ DM＝DN． ∵ DE 垂直平分 BC，∴ DB＝DC． 在 Rt△DMB 与 Rt△DNC 中，DB＝DC，DM＝DN， ∴ Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），∴ BM＝CN． （2）由（1）得 ∠BDM＝∠CDN． 在 Rt△DMA 与 Rt△DNA 中，DA＝DA，DM＝DN， ∴ Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），∴ ∠ADM＝∠ADN． ∵ ∠BAC＝80°，∴ ∠MDN＝180°－80°＝100°，∠ADM＝∠ADN＝50°． ∵ ∠BDM＝∠CDN，∴ ∠BDC＝∠MDN＝100°． ∵ DB＝DC，∴ ∠DCB＝＝40°． （3）由（2）中 Rt△DMA≌Rt△DNA 得 AM＝AN， 又 BM＝CN，设 BM＝CN＝x，则 8－x＝4＋x，解得 x＝2． 设 CE＝BC，在 Rt△DCE 与 Rt△DCN 中， CD2＝CE2＋DE2，CD2＝CN2＋DN2， ∴ DN2－CE2＝DE2－CN2＝32－22＝5， ∴ DN2－BC2＝5，∴ 4DN2－BC2＝4×5＝20． 【易错卡点】第（1）问只证 DM＝DN 就下结论；第（3）问在两组勾股关系中弄错公共斜边，把 DN²－CE² 写成 DN²＋CE²。 三、素养挑战题 31．【答案】（1）是；（2）1∶1∶；（3）S△ABC＝ 或 【解析】（1）这个三角形是「平方倍三角形」． 理由：∵ ()2＋22＝11＋4＝15，3×()2＝3×5＝15， ∴ ()2＋22＝3×()2， ∴ 这个三角形是「平方倍三角形」． （2）设两条直角边长分别为 a、b（a≤b），斜边长为 c． 则 a2＋b2＝c2，且两边平方和应为第三边平方的 3 倍． ① 若第三边是 b，则 a2＋c2＝3b2， 把 c2＝a2＋b2 代入得 a2＋a2＋b2＝3b2， 即 2a2＝2b2，∴ a＝b，此时 c＝a； ② 若第三边是 a，则 b2＋c2＝3a2， 把 c2＝a2＋b2 代入得 b2＋a2＋b2＝3a2，同样得 a＝b． （第三边为 c 时 a2＋b2＝3c2 与 a2＋b2＝c2 矛盾．） ∴ 该直角三角形的三边之比为 1∶1∶． （3）∵ CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，∴ D 是 AB 的中点， ∴ CD＝AD＝BD＝AB． 设 BD＝CD＝x，则 AB＝2x． ① 当 CD2＋BD2＝3BC2 时，即 x2＋x2＝3×52＝75， ∴ x2＝，x＝，∴ AB＝2x＝5， ∴ AB2＝(5)2＝150． ∴ AC＝＝＝＝5， ∴ S△ABC＝×BC×AC＝×5×5＝． ② 当 CD2＋BC2＝3BD2 时，即 x2＋25＝3x2， ∴ x2＝，x＝，∴ AB＝2x＝5， ∴ AB2＝(5)2＝50． ∴ AC＝＝＝＝5， ∴ S△ABC＝×5×5＝． 综上所述，△ABC 的面积为 或 ． 【易错卡点】（1）只比较「较小的两条边的平方和」而不去尝试任意两条边的组合；（3）忘记「斜边上的中线等于斜边的一半」而得不出 BD＝CD，或只讨论一种情形而漏掉另一种，导致丢解。 32．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CH＝AB＋AH 【解析】（1）∵ AD⊥BC，BE⊥AC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°，∠AEB＝90°． ∵ ∠ACB＝45°，∴ 在 Rt△ADC 中 ∠CAD＝45°，∴ AD＝CD． ∵ D 在 BC 上，∴ ∠ABD＝∠ABC． ∴ ∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－∠ABC． 由 AD⊥BC、BE⊥AC 知 F 是 △ABC 两条高的交点， 又 C、F、G 三点共线且 G 在 AB 上，∴ CG⊥AB． 在 Rt△BCG 中，∠BCG＝90°－∠CBG＝90°－∠ABC， ∴ ∠BAD＝∠FCD． 在 △ABD 与 △CFD 中，∠ADB＝∠CDF＝90°，AD＝CD，∠BAD＝∠FCD， ∴ △ABD≌△CFD（ASA），∴ AB＝CF，BD＝FD． （2）∵ EH 平分 ∠AEB，且 ∠AEB＝90°，∴ ∠HEB＝45°． ∵ BE⊥AC，∠ACB＝45°，∴ ∠EBC＝90°－45°＝45°， ∴ ∠HEB＝∠EBC，∴ EH∥BC． ∵ AD⊥BC，∴ EH⊥AD，即 EH⊥AF． ∵ AD⊥BC、BE⊥AC，∴ 直线 AD 与直线 BE 的夹角等于 ∠ACB， ∴ ∠AFE＝∠ACB＝45°； 又 ∠EAF＝∠CAD＝45°，∴ ∠AFE＝∠EAF，∴ EA＝EF． ∴ 点 E 在线段 AF 的垂直平分线上； 又 EH⊥AF 且 E 在 EH 上，∴ EH 就是线段 AF 的垂直平分线． （3）CH＝AB＋AH．理由如下： 由（2）EH 是线段 AF 的垂直平分线，而 H 在 EH 上，∴ HA＝HF． 由（1）AB＝CF，且 C、F、G、H 依次共线，∴ CH＝CF＋FH＝AB＋AH． 【易错卡点】第（1）问漏掉「AD＝CD」这一关键条件（需由 ∠ACB＝45° 与 AD⊥BC 推出 △ADC 是等腰直角三角形），从而无法用 ASA 证全等；第（2）问只证「EH⊥AF」而漏证「EA＝EF」；第（3）问在 CH＝CF＋FH 中忘记把 CF 换成 AB，或未先说明 C、F、G、H 的先后顺序。 33．【答案】（1）A1（3，3），B1（4，4），C1（0，－1）；（2）周长＝＋5＋；（3）P（，0），最小值为 5 【解析】（1）关于 y 轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变， ∴ A1（3，3），B1（4，4），C1（0，－1）． （2）AB＝＝； AC＝＝＝5； BC＝＝＝． ∴ △ABC 的周长＝＋5＋． （3）作点 C 关于 x 轴的对称点 C′（0，1），连结 BC′ 交 x 轴于点 P， 则 PB＋PC＝PB＋PC′＝BC′ 最小． 设直线 BC′ 的表达式为 y＝kx＋b，代入 B（－4，4）、C′（0，1）得 b＝1，－4k＋1＝4，解得 k＝－，∴ y＝－x＋1． 令 y＝0 得 x＝，∴ P（，0）． 最小值 BC′＝＝＝5． 【易错卡点】第（3）问把 C 关于 y 轴的对称点拿去做；或求出直线后忘记回代求最小值。 34．【答案】AB＝ 或 2 【解析】由 D、E 分别为 AB、BC 的中点得 DE 是 △ABC 的中位线， ∴ DE∥AC．∵ ∠A＝90°，∴ DE⊥AB，即 ∠BDE＝∠A＝90°． ∵ E 是 Rt△ABC 斜边 BC 的中点，∴ AE＝BE＝CE＝BC（斜边上的中线等于斜边的一半）． ① 当 ∠A′EF＝90° 时，则 A′E⊥EF，而 EF 在直线 DE 上， ∴ A′E∥AB，∴ ∠A′EB＝∠EBA＝∠ABC． 由对称得 A′B＝AB，∠A′BC＝∠ABC，EA′＝EA． ∴ ∠A′BE＝∠A′BC＝∠ABC＝∠A′EB，∴ A′B＝A′E． 又 A′B＝AB，EA′＝EA＝BE， ∴ A′B＝A′E＝BE，即 △A′BE 是等边三角形， ∴ ∠ABC＝∠A′BE＝60°． 在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AC＝2，∠ABC＝60°，∴ ∠C＝30°， ∴ BC＝2AB（30° 角所对的直角边等于斜边的一半）． 由勾股定理得 AB2＋AC2＝BC2，即 AB2＋22＝(2AB)2， ∴ 3AB2＝4，∴ AB＝＝． ② 当 ∠A′FE＝90° 时，则 A′F⊥EF，即 A′C⊥DE． ∵ DE∥AC，∴ A′C⊥AC． 由对称得 ∠A′CB＝∠ACB，而 A′C∥AB，∴ ∠A′CB＝∠ABC， ∴ ∠ABC＝∠ACB，∴ AB＝AC＝2． 综上所述，AB 的长为 或 2． 【易错卡点】只讨论一种直角三角形的情形；或在情形①中忘记由 DE∥AC 得到 DE⊥AB，因而无法把 A′E 与 AB 的平行关系建立起来。 35．【答案】（1）证明见解析；（2）仍然成立；（3）不成立，AF＝DE＋EF 【解析】（1）连结 BF． ∵ △ABC≌△DBE，∴ BC＝BE，AC＝DE． ∵ ∠ACB＝∠DEB＝90°，∴ ∠BCF＝∠BEF＝90°． 在 Rt△BFC 与 Rt△BFE 中，BF＝BF，BC＝BE， ∴ Rt△BFC≌Rt△BFE（HL），∴ CF＝EF． ∵ AF＋CF＝AC，∴ AF＋EF＝DE． （2）结论 AF＋EF＝DE 仍然成立． （旋转后仍有 BC＝BE，∠BCF＝∠BEF＝90°，同（1）可证 CF＝EF， 再由 AF＋CF＝AC＝DE 即得．） （3）不成立，此时 AF＝DE＋EF． 理由：连结 BF．∵ △ABC≌△DBE，∴ BC＝BE． ∵ ∠ACB＝∠DEB＝90°，∴ △BCF 与 △BEF 都是直角三角形． 在 Rt△BCF 与 Rt△BEF 中，BC＝BE，BF＝BF， ∴ Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴ CF＝EF． ∵ △ABC≌△DBE，∴ AC＝DE， ∴ AF＝AC＋CF＝DE＋EF． 【易错卡点】第（3）问照搬（1）的「AF＋EF＝DE」，没有注意旋转角超过 60° 后点 F 落到 AC 的延长线上，此时 AF 变成了两条线段之和。 36．【答案】（1）证明见解析；（2）∠DCE＝78° 【解析】（1）∵ ∠CBG 是 △ABC 的外角，∴ ∠CBG＝∠ACB＋∠CAB． ∵ BD 平分 ∠CBG，∴ ∠CBD＝∠CBG＝(∠ACB＋∠CAB)． ∵ ∠ACB＝∠CAB，∴ ∠CBD＝∠ACB，∴ AC∥BD． （2）∵ AE⊥BC，∴ ∠AEC＝90°． ∵ A、E、D 在同一条直线上，∴ ∠CAE＝∠CAD＝24°， ∴ 在 Rt△AEC 中，∠ACE＝90°－24°＝66°． ∵ AC∥BD，∴ ∠DBC＝∠ACE＝66°． ∵ ∠DEF＝∠CED＝90°，∠EDF＝6°，∴ ∠DFE＝90°－6°＝84°． ∵ E、F 都在 BC 上，∴ ∠DFC＝∠DFE＝84°． ∵ ∠DFC 是 △DBF 的外角，∴ ∠BDF＝∠DFC－∠DBF＝84°－66°＝18°． ∵ DF 平分 ∠CDB，∴ ∠CDF＝∠BDF＝18°， ∴ ∠CDE＝∠CDF－∠EDF＝18°－6°＝12°， ∴ ∠DCE＝90°－∠CDE＝90°－12°＝78°． 【易错卡点】第（2）问把 ∠CAD 与 ∠ACB 直接相加；或求 ∠CDE 时把 ∠EDF 加上而不是减去。 37．【答案】（1）BD＝CE，且 BD⊥CE；（2）BD＝CE，且 BD⊥CE，理由见解析 【解析】（1）结论：BD＝CE，且 BD⊥CE． 证明：延长 BD 交 CE 于点 F． 在 △EAC 与 △DAB 中，AE＝AD，∠EAC＝∠DAB＝90°，AC＝AB， ∴ △EAC≌△DAB（SAS），∴ BD＝CE，∠ABD＝∠ACE． ∵ ∠AEC＋∠ACE＝90°（Rt△EAC 两锐角互余）， ∴ ∠ABD＋∠AEC＝90°，∴ ∠BFE＝90°，即 BD⊥CE． （2）结论不变：BD＝CE，且 BD⊥CE． 理由：延长 BD 交 CE 于点 F． ∵ ∠BAD＋∠CAD＝90°，∠CAD＋∠EAC＝90°，∴ ∠BAD＝∠EAC． 在 △EAC 与 △DAB 中，AE＝AD，∠EAC＝∠BAD，AC＝AB， ∴ △EAC≌△DAB（SAS），∴ BD＝CE，∠ABD＝∠ACE． ∵ ∠ABC＋∠ACB＝90°， ∴ ∠CBF＋∠BCF＝(∠ABC－∠ABD)＋(∠ACB＋∠ACE) ＝∠ABC＋∠ACB＝90°， ∴ ∠BFC＝90°，即 BD⊥CE． 【易错卡点】旋转后仍写 ∠EAC＝∠DAB 而不作说明；或证垂直时用错外角关系，把 ∠CBF＋∠BCF 写成 ∠ABC－∠ACB。 38．【答案】（1）AC＝4，斜边 AB 上的高为 2.4；（2）①2t－4，②t＝；（3）t＝0.5 或 4.75 或 5 或 5.3 【解析】（1）在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴ AC＝＝＝4． 设斜边 AB 上的高为 h，由面积法 AB·h＝AC·BC 得 5h＝3×4， ∴ h＝2.4． （2）①点 P 在 CB 上时，AP＋CP＝AC＋CP＝2t， ∴ CP＝2t－AC＝2t－4． ②设 ∠BAC 的角平分线交 BC 于点 P′，则 AP′＝2t，CP′＝2t－4． 由角平分线定理得 ＝＝， 而 CP′＋P′B＝BC＝3，∴ CP′＝×3＝． ∴ 2t－4＝，解得 t＝． （3）当 △BCP 是等腰三角形时，点 P 在线段 AC 或线段 AB 上． ① P 在 AC 上：△BCP 是等腰直角三角形，CP＝BC＝3，AP＝4－3＝1， ∴ 2t＝1，t＝0.5； ② P 在 AB 上，且 BC＝BP＝3：点 P 运动的路程为 AC＋BC＋BP＝4＋3＋3＝10， ∴ 2t＝10，t＝5； ③ P 在 AB 上，且 PC＝BC：过点 C 作 CH⊥AB 于 H，则 BP＝2BH． 由（1）CH＝2.4，在 Rt△BCH 中 BH＝＝1.8，∴ BP＝3.6． 点 P 运动的路程为 4＋3＋3.6＝10.6，∴ 2t＝10.6，t＝5.3； ④ P 在 AB 上，且 PC＝PB：过点 P 作 PQ⊥BC 于 Q，则 BQ＝CQ＝BC， ∴ PQ 是 △ABC 的中位线，PQ＝AC＝2， 在 Rt△BPQ 中 BP＝＝2.5， 点 P 运动的路程为 4＋3＋2.5＝9.5，∴ 2t＝9.5，t＝4.75． ∴ t 的值为 0.5 或 4.75 或 5 或 5.3． 【易错卡点】第（2）①问把 CP 写成 2t 而非 2t－4；第（3）问只讨论「P 在 AC 上」一种情形，或把边 BC＝BP 与 PC＝BC 两种情况混为一谈。 39．【答案】（1）OP1＝，OP2＝，OP3＝2；（2）OPn＝；（3）OP2026＝ 【解析】（1）在 Rt△OPP1 中，由勾股定理得 OP1＝＝＝． 在 Rt△OP1P2 中，OP2＝＝＝． 在 Rt△OP2P3 中，OP3＝＝＝2． （2）OPn＝． 理由：每一步都是在上一条斜边的基础上，再添上一条长为 1 的直角边， ∴ 在 Rt△OPn－1Pn 中，OPn2＝OPn－12＋Pn－1Pn2＝OPn－12＋1， 即 OPn2－OPn－12＝1（n≥1，规定 OP02＝OP2＝1）． ∴ OPn2＝1＋1×n＝n＋1，∴ OPn＝． （3）当 n＝2026 时，OP2026＝＝． 【易错卡点】忘记每步的斜边都是「在上一条斜边基础上」继续构造的，把每一步的斜边都算成 ；或算完前几项后不归纳规律，想逐项硬算到 2026。 40．【答案】【问题背景】EF＝BE＋FD；【探索延伸】仍然成立；【实际应用】320 海里 【解析】【问题背景】EF＝BE＋FD． 理由：延长 FD 到点 G，使 DG＝BE，连结 AG． ∵ ∠B＝∠ADC＝90°，∠ADG＝180°－∠ADC＝90°，∴ ∠B＝∠ADG． 在 △ABE 与 △ADG 中，AB＝AD，∠B＝∠ADG，BE＝DG， ∴ △ABE≌△ADG（SAS），∴ AE＝AG，∠BAE＝∠DAG． ∵ ∠EAF＝60°，∠BAD＝120°， ∴ ∠GAF＝∠FAD＋∠DAG＝∠FAD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝60°＝∠EAF． 在 △AEF 与 △AGF 中，AE＝AG，∠EAF＝∠GAF，AF＝AF， ∴ △AEF≌△AGF（SAS），∴ EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋FD． 【探索延伸】仍然成立，EF＝BE＋FD． 理由：延长 FD 到点 G，使 DG＝BE，连结 AG． ∵ ∠B＋∠ADC＝180°，∠ADG＋∠ADC＝180°，∴ ∠B＝∠ADG． 又 AB＝AD，BE＝DG，∴ △ABE≌△ADG（SAS）， ∴ AE＝AG，∠BAE＝∠DAG． ∵ ∠EAF＝∠BAD， ∴ ∠GAF＝∠FAD＋∠DAG＝∠FAD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝∠BAD＝∠EAF． ∴ △AEF≌△AGF（SAS），∴ EF＝FG＝BE＋FD． 【实际应用】连结 EF． ∵ ∠AOB＝30°＋90°＋20°＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB， 又 OA＝OB，且 ∠OAE＋∠OBF＝60°＋120°＝180°， ∴ 符合「探索延伸」中的条件，∴ EF＝AE＋BF． ∴ EF＝2×70＋2×90＝320（海里）． 答：此时两舰艇之间的距离为 320 海里． 【易错卡点】【问题背景】不知道「延长 FD 到 G 使 DG＝BE」这一辅助线；【探索延伸】忘记先说 ∠B＝∠ADG 而直接用 SAS；【实际应用】把 EF 直接当成 AE 与 BF 的差。 学科网（北京）股份有限公司 $