第25章 一元二次方程专题试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第25章 一元二次方程专题试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B．ax2+bx+c=0 C．x2+x+1=0 D．x(x+1)=x2+7 2．已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是，则这个一元二次方程可能是（   ） A． B． C． D． 3．若关于的方程，满足，则这个方程必有一个根是（　　） A． B． C． D． 4．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．某商场一种商品的售价为每件40元，为尽快减少库存，商场决定降价促销，若该商品售价连续两次下调相同的百分率后降至每件元，则每次下降的百分率为（   ） A． B． C． D． 6．一元二次方程2x2﹣2x﹣1=0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间（　　） A．4，3 B．3，2 C．2，1 D．1，0 7．已知直角三角形的两边长是方程x2﹣7x+12=0的两根，则第三边长为（    ） A．7 B．5 C． D．5或 8．已知关于x的方程，则下列说法正确的个数为（   ） ①若该方程为一元二次方程，则； ②当时，该方程有两实数根，且； ③当，该方程总有两不相等的实数根； ④若k为正整数，此方程有两个不相等的实数根且都为整数，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知实数满足，则的值是（   ） A． B． C．或2 D．或2 10．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则下面所列方程中正确的是（　　） A．x（x+1）=81 B．1+x+x2=81 C．（1+x）2=81 D．1+（1+x）2=81 11．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，全国第一天票房约3亿元，假设以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房收入约4亿元，若把增长率设为x，则下列方程正确的是（　　） A．（1+x）2＝4 B．3（1+x）2＝4 C．3（1+x）3＝4 D．（1+x）3＝4 12．某服装店，当把进价为40元/件的衣服以100元/件的价格出售时，每天能卖出20件，经统计调查发现，若每降价1元，可多卖出6件，若降价x元，每天可盈利1800元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值是________． 14．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为______． 15．组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，邀请________个球队参加比赛． 16．如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点， ，动点E从点A出发，以的速度向点D运动，直到点D为止；动点F同时从点C出发，以的速度向点B运动，与点E同时结束运动．当点E和点F之间的距离是时，运动时间为__________s． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）用合适的方法解下列方程． (1)； (2)． 18．（10分）已知关于的一元二次方程， (1)试证：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； (2)设，是方程的两根，且满足，求的值？ 19．（10分）先化简，再求值．，其中x满足． 20．（12分）（1）半径为R的圆的面积恰好是半径为5与半径为2的两个圆面积之差，求R的值. （2）某次商品交易会上，所有参加会议的商家之间都签订了一份合同，共签订合同36份，求共有多少商家参加了交易会？ 21．（12分）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金500万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年达到720万元. （1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）如果保持增长率不变，请你估计2019年投入资金能否突破1000万元？ 22．（10分）手工制作小组有若干人，他们将自己制作的手工艺品向本组成员各赠送一件，已知全组共互赠手工艺品件，求该小组有多少位同学？ 23．（12分）某种商品进价为每件60元，售价为每件80元时，每个月可卖出100件；如果每件商品售价每上涨5元，则每个月少卖10件设每件商品的售价为x元（x为正整数，且x＞80）． （1）若希望每月的利润达到2400元，又让利给消费者，求x的值； （2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 24．（10分）如图，在某工厂直角墙角处用60米长的建筑材料围成一个矩形堆货场地（），中间用同样的建筑材料分隔成两间，问为多长时所围成的矩形堆货场地面积为400平方米？ 25．（12分）如图，在△ABC中，∠B= 90°，点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动． （1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于8厘米2？ （2）如果P、Q两分别从A、B两点同时出发，并且P到B又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，△PCQ的面积等于12﹒6厘米2 ？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 第25章 一元二次方程专题试卷 参考答案 1．C 【分析】根据一元二次方程的定义对每个选项进行判断即可. 【详解】解：A.分母含有未知数，故原方程不是一元二次方程，故选项错误； B.方程中a，b，c也是未知数，故原方程不是一元二次方程，故选项错误； C.原方程式一元二次方程，故选项正确； D.原方程可化为x=7，故原方程不是一元二次方程，故选项错误. 故选C. 【点睛】本题考点：一元二次方程的定义. 2．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A选项：是一元一次方程，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意； B选项：的二次项系数为1，常数项为2，故本选项不符合题意； C选项：的常数项为，故本选项不符合题意； D选项：将移项得，其中二次项系数为3，常数项为，故本选项符合题意； 故选D 3．C 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，即可解答．解题的关键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， 又∵把代入方程中得：， ∴这个方程必有一个根是． 故选：C． 4．A 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边同时加上1，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】移项得：， 配方得：，即 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 5．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键． 设每次下降的百分率为x，根据连续两次下调相同百分率，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每次下降的百分率为x， 根据题意，可得， 解得（不合题意，舍去）． 故选：A． 6．C 【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案． 【详解】解方程2x2﹣2x﹣1=0得：x=，设a是方程2x2﹣2x﹣1=0较大的根，∴a=． ∵1＜＜2，∴2＜1+＜3，即1＜a＜． 故选C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小，题目是一道比较典型的题目，难度适中． 7．D 【分析】求出方程的解，得出直角三角形的两边长，分为两种情况：①当3和4是两直角边时，②当4是斜边，3是直角边时，根据勾股定理求出第三边． 【详解】x2﹣7x+12=0， （x﹣3）（x﹣4）=0， x﹣3=0，x﹣4=0， 解得：x1=3，x2=4，即直角三角形的两边是3和4， 当3和4是两直角边时，第三边是=5； 当4是斜边，3是直角边时，第三边是=， 即第三边是5或， 故选：D． 8．B 【分析】本题主要考查一元二次方程，①根据一元二次方程的定义判断；②代入，验证根的和是否为6；③计算判别式Δ，分析k的取值对Δ的影响；④求满足条件的正整数k，验证根是否为整数． 【详解】解：①方程为一元二次方程时，二次项系数，即，故说法①正确； ②当时，方程化简为，根的和为，故说法②错误； ③判别式，当时，，但需（否则方程非二次），题目未排除，故说法③错误； ④解方程得根为，，要求为整数，得（唯一正整数解），故说法④正确． 综上，正确的为①④，共2个， 故选：B． 9．D 【分析】分及两种情况考虑：当时，可求出；当时，利用根与系数的关系可得出，，将其代入中即可求出结论．综上，此题得解． 【详解】解：当时，； 当时，实数、满足， ，， ． 故选． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减法，分及两种情况求出的值是解题的关键． 10．C 【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染． 【详解】解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，列方程得： ， 即 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染． 11．B 【分析】设增长率为x，根据第一天的票房收入及第三天的票房收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设增长率为x， 依题意，得3（1+x）2＝4 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，盈利由每件利润和销量决定，每件利润为售价减进价，销量随降价增加而线性增加． 【详解】解：进价40元/件，售价100元/件，降价x元后，售价为元， 每件利润为元， 原销量20件，每降价1元多卖6件，降价x元多卖件， 销量为件， 每天盈利1800元， 方程为， 故选：C． 13． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解决本题的关键是注意一元二次方程的二次项系数不等于零． 由一元二次方程常数项为0，得，并结合二次项系数不为0，排除，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的常数项是， 由题意，常数项为0， ∴ 解得或． 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 14．3 【分析】根据一元二次方程有实数根得：，即，再根据提取公因式，转化为韦达定理代入，根据k的范围即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，， 整理得：， 解得：， ∴的取值范围是：， 由题意得：， 由韦达定理可知：，， 故有：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴的值为． 故答案为：3． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，注意：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（握手、循环赛问题），根据题意正确列出方程是解题的关键． 设邀请个球队参加比赛，由于赛制为单循环形式，即参赛的每两队之间都要比赛一场，因而每个队都比赛了场，所有队共比赛场，由于每两个队的比赛都被重复计算了一次，因而总比赛场数是场，据此列方程求解即可． 【详解】解：设邀请个球队参加比赛， 赛制为单循环形式，即参赛的每两队之间都要比赛一场， 每个队都比赛了场， 一共有个队参赛， 所有队共比赛场， 队队比赛和队与队比赛是同一场， 每两个队的比赛都被重复计算了一次， 总比赛场数是场， 计划安排15场比赛， ， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 即：共邀请个球队参加比赛， 故答案为：． 16．或 【分析】本题考查矩形的判定和性质，一元二次方程的应用，过点作于点，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 过点作于点， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴或， 由勾股定理，得， 解得或； 故答案为：或． 17．(1)， (2)， 【分析】（1）运用配方法求解即可； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ． ∴， ∴． ，． （2）， ，，． ． ． ，． 【点睛】题目主要考查利用配方法及公式法求解一元二次方程，熟练掌握求解方法是解题关键． 18．(1) ∵， ∴无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； (2)， 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，，求出，代入已知整理出关于m的一元二次方程，解方程可得的值． 【详解】（1）解：略． （2）解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程等知识，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 19．；当时，原式=． 【分析】先根据分式混合运算法则化简，得出最简结果，再解一元二次方程，得出的值，最后根据分式有意义的条件确定的值，代入所得最简结果，计算即可得答案． 【详解】解： = = ∵ ∴ ∴ ∵，，， ∴， 当时，原式==． 【点睛】本题考查分式的化简求值及解一元二次方程，熟练掌握分式的混合运算法则及因式分解法解一元二次方程是解题关键，注意分式分母不为0的条件，避免漏解． 20．（1）；（2）9个 【分析】（1）根据条件列出关于R的方程，解方程即可；（2）设未知数，根据共签订合同36份列方程，然后解方程即可． 【详解】（1）根据题意可得：，所以， 所以，因为R＞0， 所以R=； （2）设共有x个商家参加了交易会，根据题意可得：x(x-1)=36， 所以x2-x-72=0， 解得（不合题意舍去），所以x=9， 答：共有9个商家参加了交易会． 21．（1）；（2）能突破1000万元. 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2015年和2017年该地投入异地安置的资金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据年平均增长率，计算出2019年的投入资金，与1000万元作比较即可． 【详解】解：（1）设年平均增长率是， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：年平均增长率是； （2）估计2019年投入资金为：（万元）， （万元）（万元）， 答：能突破1000万元. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 22．该小组有名同学 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用：要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 先求每名同学赠的手工艺品，再求名同学赠的手工艺品，而已知全组共互赠了件，故根据等量关系可得到方程． 【详解】解：设该小组有名同学， 则每名同学所赠的手工艺品为：件， 那么名同学共赠：件， 所以，． 解得：不合题意舍去，， 答：该小组有名同学． 23．（1）x的值为90；（2）每件商品的售价定为95元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元． 【分析】（1）直接利用每件利润×销量＝2400，进而得出一元二次方程解出答案即可； （2）利用每件利润×销量＝利润，先用x表示出每件的利润和销量，进而得出利润关于x的二次函数解析式，再利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：（1）由题意可得：（x﹣60）[100﹣2（x﹣80）]＝2400， 整理得：x2﹣190x+9000＝0， 解得：x1＝90，x2＝100（不合题意舍去）， 答：x的值为90； （2）设利润为w元，根据题意可得： w＝（x﹣60）[100﹣2（x﹣80）] ＝﹣2x2+380x﹣15600 ＝﹣2（x﹣95）2+2450， 故每件商品的售价定为95元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，这是二次函数应用问题中的常见题型，解决问题的关键是根据题意中的数量关系求出函数解析式. 24．为10米时所围成的矩形堆货场地面积为400平方米 【分析】设的长为米，则的长为米，根据所围成的矩形堆货场地面积为400平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合，即可得出的长为10米． 【详解】解：设的长为米，则的长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：为10米时所围成的矩形堆货场地面积为400平方米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25． 【详解】试题分析：设经过x秒使△PBQ得面积等于8平方厘米，根据AB=6厘米，BC=8厘米，点P从点A开始沿AB边向B以1厘米/秒的速度移动和三角形的面积公式，列出方程，再进行求解即可； （2）设经x秒，点P移动到BC上，且有CP=（14-x）cm，点Q移动到CA上，且使CQ=（2x-8）cm，过Q作QD⊥CB，垂足为D，根据QD⊥CB，∠B=90°，得出DQ∥AB，从而得出△CQD∽△CAB，即可求出QD的值，最后根据三角形的面积公式，即可得出x的值，再根据实际情况，即可为得出答案． 试题解析：（1）设经过x秒使△PBQ得面积等于8平方厘米，根据题意得：×2x（6-x）=8， 整理得：（x-2）（x-4）=0， 解得：x1=2，x2=4， 答：经过2秒或4秒，使△PBQ得面积等于8平方厘米； （2）设经x秒，点P移动到BC上，且有CP=（14-x）cm，点Q移动到CA上，且使CQ=（2x-8）cm， 过Q作QD⊥CB，垂足为D， ∵QD⊥CB，∠B=90°， ∴DQ∥AB， ∴∠CDQ=∠CAB， ∴△CQD∽△CAB， ∴，即：QD=， 由题意得（14-x）•=12.6， 解得：x1=7，x2=11， 经7秒，点P在BC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使△PCQ的面积等于12.6cm2； 经11秒，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，14＞10，点Q已超出CA的范围，此解不存在； 综上所述，经过7秒△PCQ的面积等于12.6cm2． 考点: 一元二次方程的应用． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $