1.2集合间的基本关系教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.2 集合间的基本关系（教学设计） 课题 1.2 集合间的基本关系 单元 第一章 集合与常用逻辑用语（1.2 集合间的基本关系 第1课时） 学科 高中数学（人教A版） 年级 高一 学习目标 1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的概念； 2、能使用 Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用； 3、了解空集的含义，掌握空集是任何集合的子集；经历类比实数关系研究集合关系的过程，发展数学抽象与直观想象素养。 教材分析 本节课是人教A版必修第一册第一章1.2《集合间的基本关系》，是在学生学习了集合概念、表示方法之后进一步研究集合与集合之间的关系。 教材从实数之间的相等关系、大小关系类比引入，通过三组实例（A={1,2,3}与B={1,2,3,4,5}；立德中学高一(2)班女生集合与全班学生集合；两条边相等的三角形集合与等腰三角形集合）引导学生归纳子集概念，进而介绍集合相等、真子集、空集，并给出两条重要性质。 教科书的编写路径是：类比实数关系→观察实例→归纳子集定义→Venn图表示→集合相等→真子集→空集→性质→例题。 集合间的包含关系是后续学习集合运算、充分必要条件的基础，Venn图作为数形结合的工具贯穿全章。 学情分析 学生在上一节已经掌握了集合的概念与表示方法，在初中已经熟悉实数之间的相等关系与大小关系（5=5,5<7,5>3），具备类比的基础。 本节学生面临的主要障碍： 1、对子集符号⊆与属于符号∈的区别认识不清，容易混淆{ a }⊆A与a∈A； 2、对空集的特殊性理解不到位，容易忽略∅是任何集合的子集； 3、对真子集与子集的区别把握不准，容易遗漏“真”的含义； 4、求有限集合的子集时容易漏写空集或集合本身。 教学策略：通过类比实数关系降低抽象度，借助Venn图直观表示，通过辨析题区分易混概念。 教学重点 子集、真子集、空集的概念；集合间包含与相等关系的判断；Venn图。 教学难点 包含关系{a}⊆A与属于关系a∈A的区别；空集的特殊性；含n个元素集合子集个数的探究。 教学准备 多媒体课件（PPT）、Venn图动画。 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【类比引入 提出问题】 教师：我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5=5，5<7，5>3，等等。两个集合之间是否也有类似的关系呢？ 教师呈现教材“观察”三组例子： （1）A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}； （2）C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合； （3）E={x | x是有两条边相等的三角形}，F={x | x是等腰三角形}。 提问1：类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？ 1、回忆实数的相等关系与大小关系； 2、逐一分析三组例子，观察每组中两个集合元素之间的关系； 3、小组讨论，用自己的语言描述发现。 由学生熟悉的实数关系类比引入，三组实例从数集到点集到几何对象，层次丰富，为归纳子集概念做铺垫。 新知 探究1 【活动一：子集的概念】 教师：可以发现，在（1）中，集合A的任何一个元素都是集合B的元素。这时我们说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。（2）中的集合C与集合D也有这种关系。 教师给出定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集（subset），记作 A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。 教师介绍Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。上述集合A与集合B的包含关系，可用Venn图表示（见图1）。 教师指出：在（3）中，由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此集合E，F都是由所有等腰三角形组成的集合。即E中任何一个元素都是F中的元素，同时F中任何一个元素也都是E中的元素。 1、理解子集定义，记录⊆、⊇符号及读法； 2、观察Venn图，建立直观表象； 3、结合例子说明为什么E=F。 由实例归纳子集概念，Venn图直观化抽象关系，为后续真子集、空集的学习打下基础。 新知 探究2 【活动二：集合相等与真子集】 教师给出定义：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B。也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B。 教师：与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，你有什么体会？ 教师给出真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作 A⫋B（或B⫌A），读作“A真包含于B”。 教师举例：在（1）中，A⊆B，但4∈B，且4∉A，所以集合A是集合B的真子集。 【思考（教材第8页）】包含关系{a}⊆A与属于关系a∈A有什么区别？试结合实例作出解释。 1、理解集合相等的定义，体会双向包含； 2、理解真子集与子集的区别； 3、思考并回答“思考”栏目：{a}⊆A是集合与集合的关系，a∈A是元素与集合的关系。 通过类比实数相等强化集合相等的双向性；通过思考辨析⊆与∈，突破难点。 新知 探究3 【活动三：空集】 教师：我们知道，方程x²+1=0没有实数根，所以方程x²+1=0的实数根组成的集合中没有元素。 教师给出定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集（empty set），记为∅，并规定：空集是任何集合的子集。 提问2：你能举出几个空集的例子吗？ 教师：由上述集合之间的基本关系，可以得到下列结论： （1）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； （2）对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C。 1、理解空集概念，记录∅记号； 2、举例说明空集，如{x∈R|x²+1=0}； 3、记录两条性质，体会传递性。 由方程无解的自然结果引出空集，空集是任何集合的子集这一规定通过实例强化。 新知 探究4 【活动四：例题】 【例1（教材第8页）】写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。 解：集合{a,b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a,b}。真子集为∅，{a}，{b}。 教师引导：观察集合元素个数与子集个数的关系——0个元素1个子集（∅），2个元素4个子集。 【例2（教材第8页）】判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： （1）A={1,2,3}，B={x | x是8的约数}； （2）A={x | x是长方形}，B={x | x是两条对角线相等的平行四边形}。 解：（1）因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集。 （2）因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集。 1、独立完成例1，按顺序列举，不遗漏； 2、思考子集个数规律； 3、完成例2，用定义说明理由。 例1训练不重不漏地列举子集，例2强化用定义判断包含关系。 典例 精讲 【方法提炼】 教师引导归纳： 1、写子集时按元素个数分类：0个元素（∅）→1个元素（单元素集）→2个元素→…→集合本身，做到不重不漏； 2、真子集 = 子集 − 集合本身； 3、∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集； 4、判断A⊆B的关键：A中任意元素都是B的元素；只要找到一个A中元素不在B中，就不是子集； 5、符号辨析：∈是元素与集合的关系，⊆是集合与集合的关系。 教师补充：含n个元素的集合有2ⁿ个子集，2ⁿ−1个真子集，2ⁿ−2个非空真子集。 1、重做例1，按分类列举法验证； 2、在错题本记录“漏∅”“漏本身”“混淆∈与⊆”三类错误； 3、验证2ⁿ规律：n=1时有2个子集，n=3时有8个。 通过分类列举形成不重不漏的方法，符号辨析突破难点。 课堂 练习 【教材第8—9页 练习】 1、写出集合{a,b,c}的所有子集。 2、用适当的符号填空： （1）a__{a,b,c}；（2）0__{x|x²=0}； （3）∅__{x∈R|x²+1=0}；（4）{0,1}__N； （5）{0}__{x|x²=x}；（6）{2,1}__{x|x²−3x+2=0}。 3、判断下列两个集合之间的关系： （1）A={x|x<0}，B={x|x<1}； （2）A={x|x=3k,k∈N}，B={x|x=6z,z∈N}； （3）A={x∈N+|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m,m∈N+}。 【答案】 1、∅，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}。 2、∈；∈；=（或⊆）；⫋；=；=。 3、（1）A⫋B；（2）B⫋A；（3）A=B。 1、独立完成练习； 2、第2题逐题说明用∈还是⊆； 3、第3题用元素特征分析包含关系。 当堂检测，重点突破符号辨析与包含关系判断。 课堂 小结 教师引导回顾： 一、子集：A⊆B（A中任一元素都在B中） 二、集合相等：A=B ⇔ A⊆B且B⊆A 三、真子集：A⫋B（A⊆B但B中至少有一个元素不在A中） 四、空集：∅，是任何集合的子集 五、性质：A⊆A；A⊆B，B⊆C ⇒ A⊆C 六、符号：∈（元素与集合），⊆（集合与集合） 教师强调：Venn图是数形结合的重要工具，后续集合运算中继续使用。 1、口头梳理； 2、画思维导图； 3、自评：能否正确使用符号、不重不漏列举子集。 形成结构化认知，为下节集合运算做准备。 作业 布置 1、教材第9页 习题1.2 复习巩固第1、2题； 2、教材第9页 习题1.2 综合运用第3、4题； 3、教材第9页 习题1.2 拓广探索第5题； 4、预习1.3《集合的基本运算》。 记录作业，课后独立完成。 分层作业，第5题含参问题为后续学习埋下伏笔。 板书 设计 1.2 集合间的基本关系 一、子集：A⊆B 二、集合相等：A=B ⇔ A⊆B且B⊆A 三、真子集：A⫋B 四、空集∅：是任何集合的子集 五、性质：A⊆A；A⊆B,B⊆C⇒A⊆C 六、符号：∈（元素与集合），⊆（集合与集合） 七、例1：{a,b}子集：∅,{a},{b},{a,b} 学科网（北京）股份有限公司 $