1.3集合的基本运算教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.3 集合的基本运算（教学设计） 课题 1.3 集合的基本运算 单元 第一章 集合与常用逻辑用语（1.3 集合的基本运算 第1—2课时） 学科 高中数学（人教A版） 年级 高一 学习目标 1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； 2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 3、能使用Venn图和数轴表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用，发展数学运算与直观想象素养。 教材分析 本节课是人教A版必修第一册第一章1.3《集合的基本运算》，包括并集、交集、补集三种基本运算。 教材从实数的加、减、乘、除运算类比引入，先通过两组实例归纳并集概念，再通过思考栏目归纳交集概念，最后在全集概念基础上介绍补集。 教科书的编写路径是：类比实数运算→观察实例→并集定义与Venn图→交集定义与Venn图→全集→补集定义→例题→性质。 集合的运算是集合语言的核心内容，是后续函数定义域、值域、方程不等式解集的基础工具。 学情分析 学生已经学习了集合的概念、表示方法、集合间的基本关系，掌握了Venn图和数轴表示集合的方法，具备学习集合运算的基础。 本节学生面临的主要障碍： 1、对并集定义中的“或”与交集定义中的“且”理解不深，容易混淆； 2、求连续数集的并集、交集时，数轴表示不规范，端点取舍出错； 3、补集运算中全集U的相对性理解不到位； 4、含参数的集合运算中端点分类讨论意识不足。 教学策略：借助Venn图和数轴双重直观，通过对比“或”与“且”的区别突破难点。 教学重点 并集、交集、补集的概念与运算；用Venn图和数轴表示集合运算。 教学难点 并集中“或”与交集中“且”的区别；补集思想的运用；含参数问题的讨论。 教学准备 多媒体课件（PPT）、Venn图动画、数轴教具。 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【类比引入】 教师：我们知道，实数有加、减、乘、除等运算。集合是否也有类似的运算呢？ 教师呈现教材“观察”： （1）A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4,5,6}； （2）A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}，C={x|x是实数}。 提问1：类比实数的加法运算，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？ 1、回忆实数运算； 2、观察两组例子，发现C由A和B的元素合在一起组成； 3、用自己的语言描述C与A、B的关系。 由实数运算类比引入，两组实例从数集到实数集，自然引出并集概念。 新知 探究1 【活动一：并集】 教师给出定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集（union set），记作A∪B（读作“A并B”），即 A∪B={x | x∈A，或x∈B}，可用Venn图表示（见图2）。 【例1（教材第10页）】设A={4,5,6,8}，B={3,5,7,8}，求A∪B。 解：A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}。 教师强调：求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次（如5,8）。 【例2（教材第10页）】设集合A={x|−1<x<2}，B={x|1<x<3}，求A∪B。 解：A∪B={x|−1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|−1<x<3}。 教师：还可以利用数轴直观表示求并集的过程（见图3）。 思考：A∪A=？A∪∅=？ 1、理解并集定义，记录∪符号； 2、完成例1，注意公共元素不重复； 3、完成例2，画数轴辅助； 4、思考并回答A∪A=A，A∪∅=A。 由实例归纳并集定义，例1离散数集、例2连续数集形成互补，数轴直观辅助。 新知 探究2 【活动二：交集】 教师呈现教材“思考”： （1）A={2,4,6,8,10}，B={3,5,8,12}，C={8}； （2）A={x|x是立德中学今年在校女同学}，B={x|x是立德中学今年在校高一年级同学}，C={x|x是立德中学今年在校高一年级女同学}。 提问2：集合A，B与集合C之间有什么关系？ 教师给出定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集（intersection set），记作A∩B（读作“A交B”），即 A∩B={x | x∈A，且x∈B}，可用Venn图表示（见图4）。 【例3（教材第11页）】立德中学开运动会，设A={x|x是高一年级参加百米赛跑的同学}，B={x|x是高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B。 解：A∩B就是高一年级中既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合。 【例4（教材第12页）】设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系。 解：（1）相交于一点P：L1∩L2={点P}；（2）平行：L1∩L2=∅；（3）重合：L1∩L2=L1=L2。 思考：A∩A=？A∩∅=？ 1、观察实例，发现C由既属于A又属于B的元素组成； 2、理解交集定义，记录∩符号； 3、完成例3、例4； 4、思考并回答A∩A=A，A∩∅=∅。 对比并集的“或”与交集的“且”，例4用集合语言刻画直线位置关系，体现集合语言的工具价值。 新知 探究3 【活动三：全集与补集】 教师：在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围。从小学到初中，数的研究范围逐步由自然数到正分数、有理数、实数。在高中阶段，数的研究范围将进一步扩充。 教师举例：方程(x−2)(x²−3)=0的解集，在有理数范围内只有一个解2；在实数范围内有三个解2, , −。 教师给出全集定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universal set），通常记作U。 教师给出补集定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set），简称为集合A的补集，记作A在U中的补集，即 A在U中的补集={x | x∈U，且x∉A}，可用Venn图表示（见图5）。 【例5（教材第13页）】设U={x|x是小于9的正整数}，A={1,2,3}，B={3,4,5,6}，求A在U中的补集，B在U中的补集。 解：U={1,2,3,4,5,6,7,8}，A在U中的补集={4,5,6,7,8}，B在U中的补集={1,2,7,8}。 【例6（教材第13页）】设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∩B，(A∪B)在U中的补集。 解：A∩B=∅，A∪B={x|x是锐角或钝角三角形}，(A∪B)在U中的补集={x|x是直角三角形}。 1、体会全集的相对性； 2、理解补集定义，记录A在U中的补集符号； 3、完成例5、例6。 由数集范围的扩充引出全集，补集借助Venn图直观表示，例6体现补集思想。 典例 精讲 【方法提炼】 教师引导归纳： 1、并集关键词“或”，只要属于A或B之一即可；交集关键词“且”，必须同时属于A和B； 2、离散数集用列举法运算，注意公共元素不重复；连续数集画数轴，注意端点取舍（空心、实心）； 3、补集运算先明确全集U，再从U中去掉A的元素； 4、常用性质： A∪A=A，A∪∅=A，A⊆A∪B； A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B⊆A； A∪(A在U中的补集)=U，A∩(A在U中的补集)=∅，A在U中的补集在U中的补集=A。 5、Venn图和数轴是检验运算结果的重要工具。 1、对照例1—例6归纳方法； 2、整理运算性质表； 3、在错题本记录“端点错误”“或且混淆”两类易错点。 方法提炼形成可迁移规则，运算性质系统化。 课堂 练习 【教材第12—13页 练习】 1、设A={3,5,6,8}，B={4,5,7,8}，求A∩B，A∪B。 2、设A={x|x²−4x−5=0}，B={x|x²=1}，求A∪B，A∩B。 3、设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，求A∩B，A∪B。 4、已知U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,4,5}，B={1,3,5,7}，求A∩(B在U中的补集)，(A在U中的补集)∩(B在U中的补集)。 5、设S={x|x是平行四边形或梯形}，A={x|x是平行四边形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是矩形}，求B∩C，B在A中的补集，A在S中的补集。 【答案】 1、A∩B={5,8}，A∪B={3,4,5,6,7,8}。 2、A={−1,5}，B={−1,1}，A∪B={−1,1,5}，A∩B={−1}。 3、A∩B={x|x是等腰直角三角形}，A∪B={x|x是等腰或直角三角形}。 4、B在U中的补集={2,4,6}，A在U中的补集={1,3,6,7}，A∩(B在U中的补集)={2,4}，(A在U中的补集)∩(B在U中的补集)={6}。 5、B∩C={正方形}，B在A中的补集={邻边不相等的平行四边形}，A在S中的补集={梯形}。 1、独立完成练习； 2、第4、5题用Venn图辅助； 3、同桌互改。 当堂检测三种运算，第5题综合运用。 课堂 小结 教师引导回顾： 一、并集：A∪B={x|x∈A或x∈B} 二、交集：A∩B={x|x∈A且x∈B} 三、全集U与补集：A在U中的补集={x|x∈U且x∉A} 四、工具：Venn图、数轴 五、性质：A∪A=A，A∩A=A，A∪∅=A，A∩∅=∅，A∪(A在U中的补集)=U 教师强调：或（并集）与且（交集）是本节最易混淆的关键词，务必区分。 1、口头梳理； 2、画三种运算的Venn图； 3、自评：能否正确选择Venn图或数轴。 形成结构化认知，突出数形结合。 作业 布置 1、教材第14页 习题1.3 复习巩固第1、2、3题； 2、教材第14页 习题1.3 综合运用第4、5题； 3、教材第14页 习题1.3 拓广探索第6题； 4、预习1.4《充分条件与必要条件》。 记录作业，课后独立完成。 分层作业，第6题逆用补集训练逆向思维。 板书 设计 1.3 集合的基本运算 一、并集：A∪B={x|x∈A或x∈B} 二、交集：A∩B={x|x∈A且x∈B} 三、全集U与补集：A在U中的补集={x|x∈U且x∉A} 四、性质：A∪A=A，A∩A=A，A∪(A在U中的补集)=U 五、工具：Venn图、数轴 学科网（北京）股份有限公司 $