第二章 变速物体追匀速物体问题、变速物体追变速物体问题、匀速物体追变速物体问题讲义-2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

变速物体追匀速物体问题、变速物体追变速物体问题、匀速物体追变速物体问题讲义 变速物体追匀速物体问题、变速物体追变速物体问题、匀速物体追变速物体问题讲义 考点目录 变速物体追匀速物体问题 变速物体追变速物体问题 匀速物体追变速物体问题 考点一 变速物体追匀速物体问题 【知识点解析】 追者做匀变速直线运动，被追者做匀速直线运动，分为匀加速追匀速、匀减速追匀速两种典型场景。 一、 匀加速直线运动追匀速 · 模型特征：追者加速度恒定、速度持续增大，被追者速度大小方向不变。 · 核心结论 0. 必然能追上：追者速度最终会超过被追者，位移差持续缩小直至为 0； 0. 共速时刻，两车距离最大：共速前追者速度小于被追者，距离越拉越大；共速后追者速度大于被追者，距离开始缩小。 · 核心公式 追上条件： 最大距离时刻： 最大距离： 二、匀减速直线运动追匀速 · 模型特征：追者做匀减速运动（如刹车车辆），速度持续减小，被追者匀速。 · 核心结论 0. 不一定能追上，共速是判断临界； 0. 共速时位移差 初始间距：追不上，此时两车距离最小，之后距离会越来越大； 0. 共速时位移差 初始间距：能追上，追上时追者速度仍大于等于被追者速度。 · 解题关键：必须先验证追上时间是否小于追者的停车时间 ，避免算出反向运动的无效解。 三、解题思路 1. 明确两物体的初速度、加速度，规定正方向，确定初始间距 ； 1. 计算共速时刻，判断此时距离是最大值还是最小值，初步判断能否追上； 1. 能追上则联立位移方程求解追上时间，验证时间是否小于追者的停车时间； 1. 追不上则计算最小距离。 两物体均做匀变速直线运动，速度、加速度均可能不同，需结合加速度大小判断速度变化趋势，同时需警惕两车中途停下的边界情况。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）一辆违章车从一辆警车旁以30m/s匀速驶过，警察延迟1s后发动汽车以8m/s2加速度匀加速追赶，此警车的最大速度为40m/s，求： (1)警车开动后多久可以追上违章车； (2)警车追上违章车之前，两者之间的最大距离； (3)如果警车达到最大速度后改为匀减速，使警车在速度与违章车等速时正好追上，求减速的加速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）警车从静止加速到最大速度所用时间为 这段时间内警车的位移为 此时违章车的位移为 因为，所以警车达到最大速度后继续追赶。 设警车达到最大速度后再经过追上违章车，则有 代入数据解得 所以警车开动后追上违章车所用时间为。 （2）警车追上违章车之前，两车速度相等时距离最大。设警车开动后经过两车速度相等，则有 代入数据解得 此时警车的位移为 此时违章车的位移为 所以两车之间的最大距离为 （3）警车达到最大速度时，两车间距为 设警车达到最大速度后做匀减速运动的加速度大小为，经过与违章车速度相等时正好追上。速度关系为 位移关系为 代入数据联立解得 所以减速的加速度大小为。 例2．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）公共汽车从车站开出，以的速度沿平直公路行驶，3s后一辆摩托车从同一车站开出，匀加速追赶公共汽车，加速度为，求： (1)摩托车出发后，经多长时间追上汽车？此时两车离出发点多远？ (2)摩托车追上汽车前，两者间最大距离是多少？ 【答案】(1)6s，36m (2)16m 【详解】（1）设摩托车运动后，追上汽车时，两车在同一位置 则对汽车 对摩托车 联立解得， （2）设摩托车运动后，两车速度相等时，相距最远，此时 则有 解得 此时，汽车位移 摩托车位移 即两者间最大距离为 例3．（25-26高一上·广西南宁·开学考试）机器狗已经发展到了应用阶段，人们开始享受科技带来的效率和成果。某科技小组在测试中，将甲、乙两机器狗放在平直的路面上，测试距离为。甲、乙同时同地开始测试，甲以的速度匀速行进，乙由静止开始以的加速度匀加速直线运动，乙能达到的最大速度是，之后保持最大速度匀速运动。在测试距离内，求： (1)乙加速阶段行进的距离； (2)试判断乙能否超过甲，若乙能超过甲，乙到达终点时，与甲的距离多大？若乙不能超过甲，甲到达终点时，乙还需多长时间到达终点。 (3)甲、乙相距的最远距离多大。 【答案】(1) (2)乙能超过甲，乙到达终点时，与甲的距离为 (3) 【详解】（1）乙加速阶段行进的距离 解得 （2）当乙达到时，用时，则 ， 此时甲走 此时乙走 甲距离终点 乙距离终点 甲乙分别再用时、到达终点 则 由此可以看出，乙能超过甲 乙到达终点时，与甲的距离为 解得 （3）设当乙达到时，用时，则 解得 二者相距 解得 结合（2）问分析，可知最远相距。 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·湖南长沙·期末）在湘超联赛永州夺得冠军后的庆祝游行中，游行花车从永州体育场出发，以的速度沿平直公路匀速驶向游行目的地，经过停靠在路边上的赛事摄影摩托车时，摄影摩托车开始准备启动，后由静止开始做匀加速直线运动去追赶，以便提前布置拍摄机位，摩托车的加速度为，求： (1)摩托车启动后，经过多少时间摩托车追上游行花车？ (2)追上游行花车前，两者相距的最大距离是多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，。摩托车开始运动后经过能追上游行花车，则有。 解得 （2）设摩托车开始运动后经过时间摩托车与花车共速，此时两者相距最远，有 两者之间距离d满足 联立解得 变式2．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）一小汽车从静止开始以的加速度行驶，前方处有一自行车以的速度匀速行驶。求： (1)小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？ (2)小汽车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？ 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）设经过时间，两者相距最远，最远距离为，由匀变速直线运动速度与时间关系式     得 由位移与时间关系式 小汽车的位移  自行车的位移 二者位移关系有 得 （2）设汽车经过时间追上自行车，由位移与时间关系式 小汽车的位移  自行车的位移 二者位移关系有 得 设此时小汽车的速度为，由速度与时间关系式    得 变式3．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）甲骑车在等红绿灯，红绿灯结束瞬间，乙骑车以14.4km/h的速度匀速从甲的身边经过。从乙经过甲旁开始，1s后甲以0.5m/s2的加速度匀加速直线行驶追赶乙。已知甲能达到的最大速度为18km/h，两车均可视为质点，求： (1)从乙经过甲旁开始，到甲追上乙前，甲、乙之间的最大距离； (2)从乙经过甲旁开始，到甲刚追上乙的整个过程中，所经过的时间。 【答案】(1) 20 m (2) 30 s 【详解】（1）乙的速度 ，甲的最大速度 ，甲的加速度 设 从乙经过甲旁开始经过时间甲、乙共速，此时甲、乙之间的距离最大 共速 解得 甲、乙之间的最大距离 （2）设甲从开始运动经过时间速度达到最大值， 此时，故甲达到最大速度后追上乙，设甲从开始运动经过时间，甲刚好追上乙 由，得 故总时间 考点二 变速物体追变速物体问题 【知识点解析】 设追者初速度 、加速度 ，被追者初速度 、加速度 ，初始间距 。 一、匀加速追匀加速 · 若 ：追者速度增长更快，最终一定能追上；共速时刻距离最大。 · 若 ：被追者速度增长更快，共速时刻距离最小；共速时未追上则永远追不上。 · 若 ：相对速度恒定，距离保持不变，永远追不上（初始有间距时）。 二、匀减速追匀减速 · 需同时考虑两车的停车时间，先判断共速时刻是否在两车都运动的时间段内； · 若共速时两车均未停下，按共速临界判断；若有车先停下，需分段计算位移后再比较。 三、匀加速追匀减速 / 匀减速追匀加速 · 匀加速追匀减速：一定能追上，共速时刻距离最大。 · 匀减速追匀加速：不一定能追上，共速时刻距离最小；共速时未追上则永远追不上。 四、解题思路 1. 分别明确两车的初速度、加速度、运动方向，确定初始间距； 1. 令 ，计算共速时间 ； 1. 验证 是否在两车的运动时间内（未停车），若有车中途停下则分段计算； 1. 计算共速时的位移差，与初始间距比较，判断能否追上、距离极值； 1. 能追上则列位移方程求解追上时间，停车边界内无解则分段计算停车后的追及。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·安徽宣城·阶段检测）羚羊从静止开始奔跑，以大小的加速度做匀加速直线运动，经过距离能加速到最大速度，并能维持很长时间。猎豹从静止开始奔跑，经过的距离能加速到最大速度，以后只能维持这个速度，然后做加速度大小为的匀减速直线运动。假定羚羊和猎豹均沿同一直线向相同方向运动，求： (1)羚羊的最大速度； (2)猎豹做匀加速时的加速度大小； (3)若猎豹与羚羊距离时开始攻击，羚羊在猎豹攻击后经反应才开始奔跑，请通过运算说明猎豹能否追上羚羊。 【答案】(1) (2) (3)猎豹能追上羚羊 【详解】（1）设羚羊的最大速度为，根据运动学公式可得 解得 （2）设猎豹做匀加速时的加速度大小为，根据运动学公式可得 解得 （3）若猎豹与羚羊距离时开始攻击，羚羊加速时间为 猎豹加速时间为 设猎豹减速过程中经过时间与羚羊速度相等，则有 猎豹的位移为 羚羊的位移为 由于 可知猎豹能追上羚羊。 例2．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期中）一辆电动车和一辆货车分别在两条水平平行的车道上同时从静止启动，电动车在货车后方处。电动车起步快，做加速度的匀加速直线运动，但最大速度为；货车起步较慢，做加速度的匀加速直线运动．但最大速度可达；两车各自达到最大速度后均保持匀速直线行驶。忽略车身长度，两车并排时视为相遇。 (1)求两车从启动到第一次相遇经历的时间。 (2)若货车在达到最大速度时立即开始以大小为的加速度匀减速直线行驶，电动车仍按原规律运动，两车全程恰好相遇两次，求的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设电动车做匀加速运动的时间为，可知 加速阶段，电动车的位移 此时货车的位移 由于 说明第一次相遇发生在电动车匀速阶段，设两车从出发到相遇总时间为，则电动车的位移为 设在时间时，货车仍处于加速阶段，则货车的位移为 两车相遇，则满足 解得 货车达到最大速度用时 第一次相遇对应较小的根，且 故假设成立，两车从启动到第一次相遇经历的时间 （2）货车在达到最大速度时对应的时间 此时货车的位移 电车的位移为 此时，电车领先货车的距离为 此时两车已有一次相遇，此后电动车匀速，货车以大小为的加速度匀减速直线行驶，相遇满足位置差为0，即 整理得 两车全程恰好相遇两次，说明后，两车恰好再发生1次相遇，即方程仅有一个正实根，判别式 解得 代入验证，解得相遇时 此时货车的速度大小为 货车未停止，且速度恰好与电车速度相等，结果有效。因此 例3．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）如图，运动员和足球静止在距离球门门柱x处，某时刻运动员将足球以初速度v0=20m/s向球门门柱方向水平踢出，足球以大小为a=5m/s2的加速度做匀减速直线运动，同时运动员以同样大小的加速度跑出做匀加速直线运动。足球与门柱碰撞后速度大小不变，方向反向，碰后足球继续做加速度大小不变的匀减速直线运动。运动员运动过程能达到的最大速度为vm=5m/s，达最大速度后一直做匀速直线运动。运动员和足球可视为质点，忽略足球与门柱碰撞的时间。 (1)要使足球能够碰撞门柱，求足球刚开始与门柱的距离x的最大值； (2)若足球刚开始与门柱的距离为25m，当足球速度减为0时，求运动员运动的位移大小； (3)若踢出足球的同时，运动员也向球门门柱方向运动，要使足球速度减为0之前运动员能够接住足球，求足球刚开始与门柱的距离x的范围； (4)若踢出足球的同时，运动员向背离球门门柱方向运动，要使足球能够与运动员相遇，求足球刚开始与门柱的距离x的范围。 【答案】(1)40m (2) (3) (4) 【详解】（1）当足球刚运动到门柱时速度刚好减速为0时，x有最大值xm1，则由 解得 （2）若足球刚开始与门柱的距离为25m，当足球速度减为0时所需时间 运动员加速到最大速度时间 运动员运动的位移 （3）分析可知足球与门柱碰撞反弹后减速为0时，运动员刚好与足球相遇，x有最大值；足球减速为0所用的时间 此过程中足球运动的路程为 运动员达最大速度的时间 解得 所以运动员先做匀加速直线运动然后做匀速直线运动 设运动员整个过程运动的位移大小为x人，则 设足球刚开始与门柱的距离的最大值为xm2，根据运动员与足球的位移关系有 解得 所以足球刚开始与门柱的距离x满足：。 （4）当足球与门柱碰撞反弹后与运动员相遇时两者刚好达共速，x有最大值，设相遇时足球运动的时间为t，此时运动员已达最大速度，共速时： 解得，说明运动员已达最大速度 此过程运动员的总位移 此过程足球的总路程：或 设足球刚开始时与门柱的距离的最大值为xm3，根据运动员与足球的位移关系有 解得 所以足球刚开始与门柱的距离x满足。 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·河南·阶段检测）追尾是公路上发生最为频繁的交通事故，保持安全车距是预防追尾事故最基本也是最重要的方法。如图所示，水平公路上甲、乙两车（均可看作质点）在同一车道上同向行驶，t=0时刻，甲车在乙车前方L0（未知）处做匀减速直线运动，甲车的初速度大小v1=20m/s，加速度大小a1=2m/s2，同时乙车由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小a2=3m/s2。为了避免相撞，乙车加速t1=6s后开始以大小为a3的加速度做匀减速直线运动。 (1)乙车加速过程中，求甲车的位移大小； (2)乙车加速过程中，若两车的最大距离为xm=54m，求t=0时刻甲与乙的距离L0； (3)在（2）的条件下，为了避免两车相撞，求a3的最小值。 【答案】(1)84m (2)14m (3)2.7m/s2 【详解】（1）根据位移时间关系可知 （2）当两车速度相等时，两车间的距离最大，即 解得， 最大距离为 解得 （3）为了避免两车相撞，当乙车速度减为零时，恰好追上，则有 解得 变式2．（25-26高一上·陕西·阶段检测）如图所示，在一条平直的公路上，甲车和乙车在同向相邻车道上行驶。甲车以的速度接近乙车，乙车以的速度行驶。某时，乙车司机发现自己车道前方存在交通事故并立即开始刹车减速，甲车司机注意到乙车的刹车灯亮起后也立即刹车。已知在乙车开始刹车时，乙车在甲车前方处。甲车刹车的加速度大小为，忽略甲车司机的反应时间，甲车司机刹车后看到前方事故车人员已撤离到安全区域并判断前方状况对自己车道没有大的影响。为了确保安全，甲车以刹车后的速度匀速向前行驶，乙车刹车的加速度大小为，两车都可看成质点，且两车并排行驶时即视为相遇。问： (1)两车速度相等时，甲在前还是乙在前？此时两车的距离是多少？ (2)从乙车刹车时开始计时，甲车追上乙车的时间； (3)乙车刚好停下时两车的距离是多少？ 【答案】(1)甲在前； (2) (3) 【详解】（1）设经过时间两车速度相等，则有 解得， 两车速度相等时，两车的位移大小分别为， 因 故此时甲在前，此时两车的距离是 （2）从乙车刹车时开始计时，甲车追上乙车的时间设为，则有 解得（不符合题意，舍去） （3）设乙车匀减速至停下用时，则 解得 乙车刚好停下时两车的距离 变式3．（25-26高一上·河南·阶段检测）某智能物流仓库中，两个物流机器人需要协同完成一项任务。在某次调试过程中，机器人A携带包裹，以的速度做匀速直线运动驶向目标区域。当A经过点时，在点正后方处的静止的机器人B接收到指令，立刻以的加速度做匀加速直线运动启动追赶，达到最大速度后匀速直线运动，当二者距离减小至时，B以的加速度做匀减速直线运动，同时，A以的加速度匀减速直线运动。 (1)求B达到最大速度时，A、B间的距离； (2)通过计算分析B能否追上A？若能追上，求出B从开始减速到追上A的时间；若不能追上，求出A、B间的最终距离。 【答案】(1)20m (2)不能追上，最终距离2m 【详解】（1）机器人B达到最大速度经历的时间为 此时机器人A运动的位移为 B运动的位移为 所以A、B间的距离为 （2）设从A、B开始减速时起，经过时间二者速度相等，则 解得 此过程中二者运动的位移为 ， 由于，则B不能追上A， 则A、B从减速开始到停止的位移分别为 所以A、B间的最终距离为 考点三 匀速物体追变速物体问题 【知识点解析】 追者做匀速直线运动，被追者做匀变速直线运动，分为匀速追匀加速、匀速追匀减速两种场景。 一、匀速追匀加速直线运动 · 模型特征：追者速度恒定，被追者初速度较小、持续加速（如从静止启动的车辆）。 · 核心结论 9. 不一定能追上； 9. 共速时刻，两车距离最小：共速前追者速度大于被追者，距离持续缩小；共速后被追者速度超过追者，距离持续增大。 9. 共速时位移差 初始间距：能追上；共速时位移差 初始间距：永远追不上。 二、匀速追匀减速直线运动 · 模型特征：被追者做匀减速运动（如前方刹车的车辆），追者匀速靠近。 · 核心结论 9. 必然能追上：被追者速度持续减小，最终停下，追者匀速必然会靠近； 9. 分两种情况：被追者停下之前追上，或被追者停下之后追上。 · 解题步骤 ① 先算被追者的停车时间 和停车总位移 ； ② 计算 内追者的位移 ； ③ 若 ：被追者停下后才追上，总时间 ； ④ 若 ：被追者停下前就追上，列位移方程 求解。 三、解题思路 1. 明确匀速追者的速度、变速被追者的初速度与加速度，确定初始间距； 1. 匀速追匀加速场景：先求共速时间，判断能否追上，再求解追上时间； 1. 匀速追匀减速场景：先算被追者停车临界，分段判断追上的阶段，对应列方程求解。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·甘肃白银·期中）汽车前方有一自行车正以的速度匀速前进，汽车以的速度追赶自行车，若两车在同一条公路不同车道上作同方向的直线运动，求： (1)经多长时间，两车第一次相遇； (2)若汽车追上自行车后立即刹车，汽车刹车过程中的加速度大小为，则再经多长时间两车第二次相遇。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，设经过时间，两车第一次相遇，则有 解得 （2）根据题意可知，汽车刹车停止的时间为 汽车行驶的距离为 此段时间，自行车行驶的距离为 可知，汽车停止前，自行车不能追上汽车，设汽车停止后，自行车还需时间追上汽车，则有 则有 例2．（25-26高一上·甘肃白银·阶段检测）甲车以的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以的速度与甲车平行同向做匀速直线运动，甲车从经过乙车旁边开始以的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求： （1）乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离； （2）乙车追上甲车所用的时间。 【答案】（1）36m（2）25s 【详解】（1）当甲乙速度相等时两车距离最远，设经过的时间为t，则根据运动学公式有 解得 此时两车的最大距离为 （2）甲车运动停止时的位移为 所用时间为 此时乙的位移为 说明此时乙还没有追上甲，则乙车追上甲车所用的时间为 例3．（25-26高一上·辽宁大连·期末）甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速直线运动。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，甲在接力区前处作了标记，并以的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度为。求： (1)此次练习中乙在接棒前的加速度a的大小 (2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离 (3)若计划在接力区末端完成交接棒，甲应在距离接力区前多远做好标记（甲保持原速度，乙一直匀加速直线运动，且速度达到与甲相同时恰好完成交接棒） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设交接棒位置距接力区前端的距离为。甲从标记处到交接棒位置的距离为，甲匀速运动，所用时间 乙从接力区前端起跑，做匀加速直线运动，速度达到时所用时间 乙的位移 将代入，得 整理得 （2）由(1)知交接棒位置距接力区前端 接力区总长，故乙离接力区末端的距离 （3）若在接力区末端完成交接棒，则交接棒位置距接力区前端为。乙从起跑到速度达到的位移 解得乙的加速度 乙加速到所用时间 甲从标记处到接力区末端的距离为，甲匀速运动，所用时间 由得 故甲应在距离接力区前处做好标记。 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·云南昭通·期中）如图所示，甲、乙两辆自动驾驶测试车，在测试场不同车道上沿同一方向做匀速直线运动，甲车在乙车前，甲车的速度大小，乙车的速度大小。当甲、乙两车相距时，甲车因前方突发情况紧急刹车直到停止，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小为。两车均可看作质点，从甲车刹车时开始计时，求： (1)甲车从开始刹车到最终停止，前进的位移大小； (2)乙车追上甲车之前，两者在运动方向上的最远距离； (3)乙车追上甲车所用时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）据速度位移公式有 解得 （2）当两车速度相等时，两者的距离最大，则有 甲的位移为 乙的位移为 两者在运动方向上的最远距离为 解得 （3）甲车停止时间为 在时间内，乙车的位移为 此时有，乙车还没追上甲车，则还需要时间 所以乙车追上甲车所用时间为 变式2．（25-26高一上·辽宁本溪·阶段检测）在体育摄影中有一种拍摄方法叫“追拍法”。“追拍法”属于慢速快门拍摄法的一种，要求相机跟着动体相应地动，将动体作为实影主体来表现动感。甲、乙两小车载着相机在不同车道上沿同一方向直线行驶。甲车在前，乙车在后，两车均可看作质点，甲车的速度大小，乙车的速度大小，当甲、乙两车沿着车道行驶方向相距时，甲车做加速度大小的匀减速直线运动，从制动开始计时，求： (1)乙车追上甲车之前，两车在运动方向上相距的最大距离； (2)从甲车开始减速到两车并排所用的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）两车速度相等时，两车在运动方向上相距的距离最大，设经过时间两者速度相等，根据匀变速直线运动速度与时间的关系，得 解得 在时间内甲车位移为 乙车位移为 乙车追上甲车之前，两者在运动方向上的最远距离 （2）设经过时间甲车停下来，根据匀变速直线运动速度与时间的关系可得 在时间内，甲车的位移 乙车的位移为 说明甲车速度减小到零时，甲、乙两车还相距，到两车并排乙车再运动的时间为 所以从甲车开始减速到两车并排所用时间 变式3．（25-26高一上·湖北武汉·期末）5G自动驾驶是基于5G通信技术实现网联式全域感知、协同决策与智慧云控，相当于有了“千里眼”的感知能力，同时，5G网络超低延时的特性，让“汽车大脑”可以实时接收指令，极大提高了汽车运行的安全性。如图所示：A、B两辆5G自动驾驶测试车，在同一平直公路上向右匀速直线运动，B车在A车前，A车的速度大小为10m/s，B车的速度大小为20m/s。当A、B两车相距时，B车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度a大小为，从此时开始计时，求： (1)A车追上B车之前，两者相距的最远距离； (2)A车追上B车所用的时间t。 【答案】(1)45m (2)12s 【详解】（1）A车追上B车之前，两车相距最远时速度大小相等，设经过的时间为，根据速度时间公式，有 解得 过程中A运动的位移为 B车运动的位移为 所以两者相距的最远距离为 （2）B车减速到0时，所用的时间为，有 此时B车运动的位移为 在时间内A车运动的位移为 此时A车还没有追上B车，所以接下来A车会继续做匀速运动，直到追上B车为止，还需要的时间为 解得 所以A车追上B车所用的时间为 2 学科网（北京）股份有限公司 $变速物体追匀速物体问题、变速物体追变速物体问题、匀速物体追变速物体问题讲义 变速物体追匀速物体问题、变速物体追变速物体问题、匀速物体追变速物体问题讲义 考点目录 变速物体追匀速物体问题 变速物体追变速物体问题 匀速物体追变速物体问题 考点一 变速物体追匀速物体问题 【知识点解析】 追者做匀变速直线运动，被追者做匀速直线运动，分为匀加速追匀速、匀减速追匀速两种典型场景。 一、 匀加速直线运动追匀速 · 模型特征：追者加速度恒定、速度持续增大，被追者速度大小方向不变。 · 核心结论 0. 必然能追上：追者速度最终会超过被追者，位移差持续缩小直至为 0； 0. 共速时刻，两车距离最大：共速前追者速度小于被追者，距离越拉越大；共速后追者速度大于被追者，距离开始缩小。 · 核心公式 追上条件： 最大距离时刻： 最大距离： 二、匀减速直线运动追匀速 · 模型特征：追者做匀减速运动（如刹车车辆），速度持续减小，被追者匀速。 · 核心结论 0. 不一定能追上，共速是判断临界； 0. 共速时位移差 初始间距：追不上，此时两车距离最小，之后距离会越来越大； 0. 共速时位移差 初始间距：能追上，追上时追者速度仍大于等于被追者速度。 · 解题关键：必须先验证追上时间是否小于追者的停车时间 ，避免算出反向运动的无效解。 三、解题思路 1. 明确两物体的初速度、加速度，规定正方向，确定初始间距 ； 1. 计算共速时刻，判断此时距离是最大值还是最小值，初步判断能否追上； 1. 能追上则联立位移方程求解追上时间，验证时间是否小于追者的停车时间； 1. 追不上则计算最小距离。 两物体均做匀变速直线运动，速度、加速度均可能不同，需结合加速度大小判断速度变化趋势，同时需警惕两车中途停下的边界情况。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）一辆违章车从一辆警车旁以30m/s匀速驶过，警察延迟1s后发动汽车以8m/s2加速度匀加速追赶，此警车的最大速度为40m/s，求： (1)警车开动后多久可以追上违章车； (2)警车追上违章车之前，两者之间的最大距离； (3)如果警车达到最大速度后改为匀减速，使警车在速度与违章车等速时正好追上，求减速的加速度大小。 例2．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）公共汽车从车站开出，以的速度沿平直公路行驶，3s后一辆摩托车从同一车站开出，匀加速追赶公共汽车，加速度为，求： (1)摩托车出发后，经多长时间追上汽车？此时两车离出发点多远？ (2)摩托车追上汽车前，两者间最大距离是多少？ 例3．（25-26高一上·广西南宁·开学考试）机器狗已经发展到了应用阶段，人们开始享受科技带来的效率和成果。某科技小组在测试中，将甲、乙两机器狗放在平直的路面上，测试距离为。甲、乙同时同地开始测试，甲以的速度匀速行进，乙由静止开始以的加速度匀加速直线运动，乙能达到的最大速度是，之后保持最大速度匀速运动。在测试距离内，求： (1)乙加速阶段行进的距离； (2)试判断乙能否超过甲，若乙能超过甲，乙到达终点时，与甲的距离多大？若乙不能超过甲，甲到达终点时，乙还需多长时间到达终点。 (3)甲、乙相距的最远距离多大。 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·湖南长沙·期末）在湘超联赛永州夺得冠军后的庆祝游行中，游行花车从永州体育场出发，以的速度沿平直公路匀速驶向游行目的地，经过停靠在路边上的赛事摄影摩托车时，摄影摩托车开始准备启动，后由静止开始做匀加速直线运动去追赶，以便提前布置拍摄机位，摩托车的加速度为，求： (1)摩托车启动后，经过多少时间摩托车追上游行花车？ (2)追上游行花车前，两者相距的最大距离是多少？ 变式2．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）一小汽车从静止开始以的加速度行驶，前方处有一自行车以的速度匀速行驶。求： (1)小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？ (2)小汽车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？ 变式3．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）甲骑车在等红绿灯，红绿灯结束瞬间，乙骑车以14.4km/h的速度匀速从甲的身边经过。从乙经过甲旁开始，1s后甲以0.5m/s2的加速度匀加速直线行驶追赶乙。已知甲能达到的最大速度为18km/h，两车均可视为质点，求： (1)从乙经过甲旁开始，到甲追上乙前，甲、乙之间的最大距离； (2)从乙经过甲旁开始，到甲刚追上乙的整个过程中，所经过的时间。 考点二 变速物体追变速物体问题 【知识点解析】 设追者初速度 、加速度 ，被追者初速度 、加速度 ，初始间距 。 一、匀加速追匀加速 · 若 ：追者速度增长更快，最终一定能追上；共速时刻距离最大。 · 若 ：被追者速度增长更快，共速时刻距离最小；共速时未追上则永远追不上。 · 若 ：相对速度恒定，距离保持不变，永远追不上（初始有间距时）。 二、匀减速追匀减速 · 需同时考虑两车的停车时间，先判断共速时刻是否在两车都运动的时间段内； · 若共速时两车均未停下，按共速临界判断；若有车先停下，需分段计算位移后再比较。 三、匀加速追匀减速 / 匀减速追匀加速 · 匀加速追匀减速：一定能追上，共速时刻距离最大。 · 匀减速追匀加速：不一定能追上，共速时刻距离最小；共速时未追上则永远追不上。 四、解题思路 1. 分别明确两车的初速度、加速度、运动方向，确定初始间距； 1. 令 ，计算共速时间 ； 1. 验证 是否在两车的运动时间内（未停车），若有车中途停下则分段计算； 1. 计算共速时的位移差，与初始间距比较，判断能否追上、距离极值； 1. 能追上则列位移方程求解追上时间，停车边界内无解则分段计算停车后的追及。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·安徽宣城·阶段检测）羚羊从静止开始奔跑，以大小的加速度做匀加速直线运动，经过距离能加速到最大速度，并能维持很长时间。猎豹从静止开始奔跑，经过的距离能加速到最大速度，以后只能维持这个速度，然后做加速度大小为的匀减速直线运动。假定羚羊和猎豹均沿同一直线向相同方向运动，求： (1)羚羊的最大速度； (2)猎豹做匀加速时的加速度大小； (3)若猎豹与羚羊距离时开始攻击，羚羊在猎豹攻击后经反应才开始奔跑，请通过运算说明猎豹能否追上羚羊。 例2．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期中）一辆电动车和一辆货车分别在两条水平平行的车道上同时从静止启动，电动车在货车后方处。电动车起步快，做加速度的匀加速直线运动，但最大速度为；货车起步较慢，做加速度的匀加速直线运动．但最大速度可达；两车各自达到最大速度后均保持匀速直线行驶。忽略车身长度，两车并排时视为相遇。 (1)求两车从启动到第一次相遇经历的时间。 (2)若货车在达到最大速度时立即开始以大小为的加速度匀减速直线行驶，电动车仍按原规律运动，两车全程恰好相遇两次，求的大小。 例3．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）如图，运动员和足球静止在距离球门门柱x处，某时刻运动员将足球以初速度v0=20m/s向球门门柱方向水平踢出，足球以大小为a=5m/s2的加速度做匀减速直线运动，同时运动员以同样大小的加速度跑出做匀加速直线运动。足球与门柱碰撞后速度大小不变，方向反向，碰后足球继续做加速度大小不变的匀减速直线运动。运动员运动过程能达到的最大速度为vm=5m/s，达最大速度后一直做匀速直线运动。运动员和足球可视为质点，忽略足球与门柱碰撞的时间。 (1)要使足球能够碰撞门柱，求足球刚开始与门柱的距离x的最大值； (2)若足球刚开始与门柱的距离为25m，当足球速度减为0时，求运动员运动的位移大小； (3)若踢出足球的同时，运动员也向球门门柱方向运动，要使足球速度减为0之前运动员能够接住足球，求足球刚开始与门柱的距离x的范围； (4)若踢出足球的同时，运动员向背离球门门柱方向运动，要使足球能够与运动员相遇，求足球刚开始与门柱的距离x的范围。 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·河南·阶段检测）追尾是公路上发生最为频繁的交通事故，保持安全车距是预防追尾事故最基本也是最重要的方法。如图所示，水平公路上甲、乙两车（均可看作质点）在同一车道上同向行驶，t=0时刻，甲车在乙车前方L0（未知）处做匀减速直线运动，甲车的初速度大小v1=20m/s，加速度大小a1=2m/s2，同时乙车由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小a2=3m/s2。为了避免相撞，乙车加速t1=6s后开始以大小为a3的加速度做匀减速直线运动。 (1)乙车加速过程中，求甲车的位移大小； (2)乙车加速过程中，若两车的最大距离为xm=54m，求t=0时刻甲与乙的距离L0； (3)在（2）的条件下，为了避免两车相撞，求a3的最小值。 变式2．（25-26高一上·陕西·阶段检测）如图所示，在一条平直的公路上，甲车和乙车在同向相邻车道上行驶。甲车以的速度接近乙车，乙车以的速度行驶。某时，乙车司机发现自己车道前方存在交通事故并立即开始刹车减速，甲车司机注意到乙车的刹车灯亮起后也立即刹车。已知在乙车开始刹车时，乙车在甲车前方处。甲车刹车的加速度大小为，忽略甲车司机的反应时间，甲车司机刹车后看到前方事故车人员已撤离到安全区域并判断前方状况对自己车道没有大的影响。为了确保安全，甲车以刹车后的速度匀速向前行驶，乙车刹车的加速度大小为，两车都可看成质点，且两车并排行驶时即视为相遇。问： (1)两车速度相等时，甲在前还是乙在前？此时两车的距离是多少？ (2)从乙车刹车时开始计时，甲车追上乙车的时间； (3)乙车刚好停下时两车的距离是多少？ 变式3．（25-26高一上·河南·阶段检测）某智能物流仓库中，两个物流机器人需要协同完成一项任务。在某次调试过程中，机器人A携带包裹，以的速度做匀速直线运动驶向目标区域。当A经过点时，在点正后方处的静止的机器人B接收到指令，立刻以的加速度做匀加速直线运动启动追赶，达到最大速度后匀速直线运动，当二者距离减小至时，B以的加速度做匀减速直线运动，同时，A以的加速度匀减速直线运动。 (1)求B达到最大速度时，A、B间的距离； (2)通过计算分析B能否追上A？若能追上，求出B从开始减速到追上A的时间；若不能追上，求出A、B间的最终距离。 考点三 匀速物体追变速物体问题 【知识点解析】 追者做匀速直线运动，被追者做匀变速直线运动，分为匀速追匀加速、匀速追匀减速两种场景。 一、匀速追匀加速直线运动 · 模型特征：追者速度恒定，被追者初速度较小、持续加速（如从静止启动的车辆）。 · 核心结论 9. 不一定能追上； 9. 共速时刻，两车距离最小：共速前追者速度大于被追者，距离持续缩小；共速后被追者速度超过追者，距离持续增大。 9. 共速时位移差 初始间距：能追上；共速时位移差 初始间距：永远追不上。 二、匀速追匀减速直线运动 · 模型特征：被追者做匀减速运动（如前方刹车的车辆），追者匀速靠近。 · 核心结论 9. 必然能追上：被追者速度持续减小，最终停下，追者匀速必然会靠近； 9. 分两种情况：被追者停下之前追上，或被追者停下之后追上。 · 解题步骤 ① 先算被追者的停车时间 和停车总位移 ； ② 计算 内追者的位移 ； ③ 若 ：被追者停下后才追上，总时间 ； ④ 若 ：被追者停下前就追上，列位移方程 求解。 三、解题思路 1. 明确匀速追者的速度、变速被追者的初速度与加速度，确定初始间距； 1. 匀速追匀加速场景：先求共速时间，判断能否追上，再求解追上时间； 1. 匀速追匀减速场景：先算被追者停车临界，分段判断追上的阶段，对应列方程求解。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·甘肃白银·期中）汽车前方有一自行车正以的速度匀速前进，汽车以的速度追赶自行车，若两车在同一条公路不同车道上作同方向的直线运动，求： (1)经多长时间，两车第一次相遇； (2)若汽车追上自行车后立即刹车，汽车刹车过程中的加速度大小为，则再经多长时间两车第二次相遇。 例2．（25-26高一上·甘肃白银·阶段检测）甲车以的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以的速度与甲车平行同向做匀速直线运动，甲车从经过乙车旁边开始以的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求： （1）乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离； （2）乙车追上甲车所用的时间。 例3．（25-26高一上·辽宁大连·期末）甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速直线运动。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，甲在接力区前处作了标记，并以的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度为。求： (1)此次练习中乙在接棒前的加速度a的大小 (2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离 (3)若计划在接力区末端完成交接棒，甲应在距离接力区前多远做好标记（甲保持原速度，乙一直匀加速直线运动，且速度达到与甲相同时恰好完成交接棒） 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·云南昭通·期中）如图所示，甲、乙两辆自动驾驶测试车，在测试场不同车道上沿同一方向做匀速直线运动，甲车在乙车前，甲车的速度大小，乙车的速度大小。当甲、乙两车相距时，甲车因前方突发情况紧急刹车直到停止，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小为。两车均可看作质点，从甲车刹车时开始计时，求： (1)甲车从开始刹车到最终停止，前进的位移大小； (2)乙车追上甲车之前，两者在运动方向上的最远距离； (3)乙车追上甲车所用时间。 变式2．（25-26高一上·辽宁本溪·阶段检测）在体育摄影中有一种拍摄方法叫“追拍法”。“追拍法”属于慢速快门拍摄法的一种，要求相机跟着动体相应地动，将动体作为实影主体来表现动感。甲、乙两小车载着相机在不同车道上沿同一方向直线行驶。甲车在前，乙车在后，两车均可看作质点，甲车的速度大小，乙车的速度大小，当甲、乙两车沿着车道行驶方向相距时，甲车做加速度大小的匀减速直线运动，从制动开始计时，求： (1)乙车追上甲车之前，两车在运动方向上相距的最大距离； (2)从甲车开始减速到两车并排所用的时间。 变式3．（25-26高一上·湖北武汉·期末）5G自动驾驶是基于5G通信技术实现网联式全域感知、协同决策与智慧云控，相当于有了“千里眼”的感知能力，同时，5G网络超低延时的特性，让“汽车大脑”可以实时接收指令，极大提高了汽车运行的安全性。如图所示：A、B两辆5G自动驾驶测试车，在同一平直公路上向右匀速直线运动，B车在A车前，A车的速度大小为10m/s，B车的速度大小为20m/s。当A、B两车相距时，B车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度a大小为，从此时开始计时，求： (1)A车追上B车之前，两者相距的最远距离； (2)A车追上B车所用的时间t。 2 学科网（北京）股份有限公司 $