第四章 数列 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版·选择性必修二·第四章 数列 题型精讲讲义 第四章 数列 题型精讲讲义（知识梳理+24考点例题+易错专练+分层作业 共99题）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册　第四章 数列　4.1数列的概念　4.2等差数列　4.3等比数列　4.4数学归纳法 含 12 个考点例题　/　共 99 题（变式 42 · 易错 7 · 作业 26）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．理解数列的概念与表示方法（列表、图象、通项公式、递推公式），知道数列是一种特殊的函数，会由前n项和Sn求通项an，并注意n＝1时单独检验。 2．掌握等差数列的定义、通项公式an＝a1＋(n－1)d与前n项和公式，理解等差中项与“下标和相等则两项和相等”的性质，会求等差数列前n项和的最大（小）值。 3．掌握等比数列的定义、通项公式an＝a1与前n项和公式（区分q＝1与q≠1），理解等比中项的符号问题，会用累加、累乘、构造新数列等方法由递推公式求通项。 4．掌握分组求和、裂项相消、错位相减、倒序相加四种求和方法，会建立等差、等比数列模型解决复利与增长率问题；理解数学归纳法的两个步骤并会证明等式、不等式与几何计数命题；（拓展）会用放缩法证明数列不等式。 学习重难点 重点：等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；由递推公式与Sn求通项；裂项相消与错位相减求和；数学归纳法的归纳递推。 难点：由Sn求an时漏掉n＝1的检验；等比数列求和忘记讨论q＝1；等比中项取值忽略同号条件；错位相减后项数与末项的符号；数学归纳法第二步没有用上归纳假设。 　目　录 知识梳理 3 知识点 01　数列的有关概念 3 知识点 02　数列的单调性、通项公式与递推公式 3 知识点 03　数列的前n项和与通项的关系 3 知识点 04　等差数列的定义与通项公式 4 知识点 05　等差数列的前n项和与常用性质 4 知识点 06　等比数列的定义与通项公式 5 知识点 07　等比数列的前n项和 5 知识点 08　数列求和的常用方法 5 知识点 09　数学归纳法 6 考点 1　数列的概念与通项公式 6 考点 2　由前n项和求通项 8 考点 3　由递推公式求通项（累加、累乘、构造） 9 考点 4　等差数列的基本量运算 11 考点 5　等差数列的性质 12 考点 6　等差数列前n项和的最值 13 考点 7　等比数列的基本量与性质 15 考点 8　等差与等比的交汇：三数问题与基本量 16 考点 9　数列求和（分组、裂项、错位相减、倒序相加） 17 考点 10　数列的实际应用（复利、增长率） 19 考点 11　数学归纳法 20 考点 12　数列与不等式的综合（拓展） 22 易错专练 24 课后作业（一）基础过关 25 课后作业（二）能力提升 27 课后作业（三）拓展探究 28 　课时核心导图 　知识梳理 知识点梳理　01　数列的有关概念 教材第3页：“一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。”第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示，第1项也叫做首项；数列简记为{an}。项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。 数列可以看作定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，an＝f(n) 数列的图象是坐标平面内一群孤立的点(n，an)，不能连成连续的曲线 小提示：数列强调“顺序”：1，2，3与3，2，1是两个不同的数列，而集合{1，2，3}与{3，2，1}相同。同一个数可以在数列中重复出现，集合的元素却不能重复。 知识点梳理　02　数列的单调性、通项公式与递推公式 教材第4页：“从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。特别地，各项都相等的数列叫做常数列。”如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式。教材第6页：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。 判断单调性的常用方法：作差an+1－an与0比较；各项同为正数时也可作商与1比较 求最大项：解不等式组an≥an-1且an≥an+1；求最小项把不等号反向 小提示：通项公式不一定存在，存在时也不一定唯一；只给出递推公式而不给首项，数列并不确定。用函数观点求最值时，最后一定要回到正整数n上取值。 知识点梳理　03　数列的前n项和与通项的关系 教材第7页：我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an。显然S1＝a1，而当n≥2时Sn-1＝a1＋a2＋…＋an-1，两式相减就得到由Sn求an的公式。 an＝S1（n＝1）；an＝Sn－Sn-1（n≥2） 求出n≥2时的表达式后，把n＝1代入检验：符合则合写成一个式子，不符合则分段写 小提示：题目给出Sn与an的混合关系式时，常用两种转化：一是再写一个“n换成n－1”的式子相减，消去S得到an的递推关系；二是把an换成Sn－Sn-1，先求Sn。 知识点梳理　04　等差数列的定义与通项公式 教材第13页：“一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。”由三个数a，A，b组成的等差数列中，A叫做a与b的等差中项，2A＝a＋b。教材第14页：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d。 推广形式：an＝am＋(n－m)d，所以d＝ an＝dn＋(a1－d)：d≠0时点(n，an)落在一条斜率为d的直线上 小提示：证明一个数列是等差数列，只能用定义（相邻两项的差是同一个常数），或说明每一项都是它前后两项的等差中项；“通项是n的一次式”只能作判断，不能代替证明。 知识点梳理　05　等差数列的前n项和与常用性质 教材第20页：等差数列{an}的前n项和公式Sn＝；把通项公式代入，又得Sn＝na1＋·d。教材第23页指出，当d≠0时Sn可以看成关于n的二次函数（常数项为0），其图象是抛物线上横坐标为正整数的一群孤立的点。 若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ap＋aq；特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap S2n-1＝(2n－1)an：奇数项和可以用中间项表示 Sn的最值：d＜0时找最后一个非负项，d＞0时找最后一个非正项；某一项恰好为0时最值在两个n处同时取到 小提示：性质“am＋an＝ap＋aq”要求等号两边的项数相同，不能写成a1＋a9＝a10。 知识点梳理　06　等比数列的定义与通项公式 教材第28页：“一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然q≠0）。”如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时＝ab。首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝a1。 推广形式：an＝am 若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；等比数列的各项都不为0 q＞0且q≠1时，点(n，an)落在指数型函数的图象上 小提示：只有同号的两个数才有等比中项，而且等比中项有两个，互为相反数；但在同一个等比数列里，奇数项彼此同号，偶数项彼此同号。 知识点梳理　07　等比数列的前n项和 教材第35页用错位相减推导：Sn－qSn＝a1－a1，因此当q≠1时，等比数列的前n项和公式为Sn＝，也可以写成Sn＝（q≠1）；当q＝1时，Sn＝na1。 公比q含字母或未知时，必须分q＝1与q≠1两种情况讨论 片段和：若Sm≠0，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，公比为 小提示：错位相减的“错位”是指乘公比后把指数相同的项上下对齐；相减之后中间是一个等比数列，要数清它的项数，再别忘了最后一项前面的负号。 知识点梳理　08　数列求和的常用方法 教材第42页：“前面，我们用巧妙的‘倒序相加法’和‘错位相减法’推导出了等差数列和等比数列的前n项和公式。”这两种思想可以迁移到一般数列。通项能拆成等差与等比两部分之和时分组求和；通项是分式且能拆成两项之差时裂项相消；通项是“等差×等比”时错位相减；首末等距的两项之和为定值时倒序相加。 ＝－；＝－ 裂项相消后，前面剩几项，后面就剩几项，而且位置对称 小提示：裂项时先检验：把拆开的两项通分，必须还原成原来的通项，常常要在前面补一个系数。 知识点梳理　09　数学归纳法 教材第46页：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n＝n0（n0∈N*）时命题成立；（2）（归纳递推）以“当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法。 两步缺一不可：第一步是递推的起点，第二步是递推的依据 第二步必须用上归纳假设；先看清由k到k＋1时式子增加（或减少）了哪些项 小提示：n0不一定是1，要看命题从哪个正整数开始成立。“观察—归纳—猜想—证明”中，猜想只是由前几项得到的推断，必须用数学归纳法证明之后才能作为结论。 【题型1】数列的概念与通项公式 由前几项写通项，是在“序号n”与“项an”之间找对应关系：先把符号、分子、分母、底数、指数拆开分别观察，再合起来写成一个式子。数列是特殊的函数，研究最大项、最小项时可以借用二次函数的图象，但自变量只能取正整数。 例1　写出下列数列的一个通项公式，并求出所写数列的第8项：（1），，，，…；（2）5，11，19，29，41，…。 【分析】（1）符号正负相间，分子是连续奇数，分母是2的正整数次幂，三部分分开找规律；（2）各项没有明显的倍数关系，先求相邻两项的差，差成等差数列，说明通项是n的二次式。 【解答】（1）符号：奇数项为负、偶数项为正，用表示。 分子依次是1，3，5，7，是连续的奇数，第n项的分子为2n－1；分母依次是2，4，8，16，第n项的分母为。 所以an＝·，a8＝＝。 （2）相邻两项的差依次为11－5＝6，19－11＝8，29－19＝10，41－29＝12，差是连续的偶数。 设an＝＋bn＋c，由a1＝1＋b＋c＝5，a2＝4＋2b＋c＝11，解得b＝3，c＝1。 检验：a3＝9＋9＋1＝19，a4＝16＋12＋1＝29，a5＝25＋15＋1＝41，都符合，所以an＝＋3n＋1。 a8＝64＋24＋1＝89。 【方法小结】观察法写通项的顺序是“先符号，再分子分母，最后看整体”；若各项相邻差构成等差数列，就设通项为n的二次式，用前两项定系数，再用后面的项检验。写出的通项只是“一个”，答案不唯一。 例2　数列{an}中，an＝－9n＋10（n∈N*）。（1）判断46是否为该数列的项，若是，指出它的项数；（2）求{an}的最小项；（3）数列从第几项到第几项的值小于0？ 【分析】判断某数是不是数列中的项，就是解关于n的方程，看是否有正整数解；最小项和负项个数都借助二次函数y＝－9x＋10的图象，但只能在正整数处取值。 【解答】（1）令－9n＋10＝46，得－9n－36＝0，即(n－12)(n＋3)＝0。 解得n＝12或n＝－3，因为n∈N*，所以n＝12，即46是这个数列的第12项。 （2）an＝－，二次函数的对称轴为n＝，而在4与5的正中间。 所以当n＝4或n＝5时an最小，a4＝16－36＋10＝－10，a5＝25－45＋10＝－10，最小项为a4＝a5＝－10。 （3）由对称性，an在n≤4时递减，在n≥5时递增。计算a1＝1－9＋10＝2＞0，a2＝4－18＋10＝－4＜0，a7＝49－63＋10＝－4＜0，a8＝64－72＋10＝2＞0。 所以从第2项到第7项的值都小于0，其余各项都是正数。 【方法小结】数列的最值与二次函数的最值不同：对称轴不是整数时，要比较离对称轴最近的两个正整数处的值；对称轴恰在两个整数的正中间时，两项相等，最小项有两个。 题型1　变式：由项写通项、周期数列与最大项 第1题练符号与平方的组合，第2题由通项反求项数，第3题辨析数列与函数的关系，第4题是由递推公式发现周期。 变式1　数列1，－4，9，－16，25，…的一个通项公式是（　　）。 A．an＝· B．an＝· C．an＝· D．an＝· 变式2　已知数列{an}的通项公式为an＝，则a8＝____________；是这个数列的第____________项。 变式3　下列关于数列的说法中，正确的是（　　）。 A．数列1，2，3与数列3，2，1是同一个数列 B．数列的图象是一条连续的曲线 C．一个数列的通项公式是唯一的 D．数列可以看作以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数 变式4　已知数列{an}满足a1＝3，an+1＝1－（n∈N*）。（1）写出a2，a3，a4，并指出{an}的周期；（2）求a2027及前100项的和S100。 【题型2】由前n项和求通项 an＝Sn－Sn-1只对n≥2成立，这是本题型的全部要害。凡是由Sn求an，最后一步都要把n＝1代回检验；已知的不是Sn而是“加权和”时，同样用“作差”消去前面的项。 例1　数列{an}的前n项之和Sn与n满足Sn＝＋4n＋3。（1）求an；（2）判断{an}能否构成等差数列；若不能，从第几项起各项构成等差数列？ 【分析】先用a1＝S1求首项，再用an＝Sn－Sn-1求n≥2时的表达式，最后检验n＝1是否适合。Sn里含有非零常数项，预示着首项要单独写。 【解答】（1）当n＝1时，a1＝S1＝1＋4＋3＝8。 当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝＋4n＋3)－＋4(n－1)＋3]＝2n＋3。 把n＝1代入2n＋3得5≠8，所以首项不适合这个式子。 故an＝8（n＝1），an＝2n＋3（n≥2）。 （2）a2＝7，a2－a1＝7－8＝－1，而当n≥2时an+1－an＝2，相邻两项的差不是同一个常数，所以{an}不是等差数列。 从第2项起，an+1－an＝2(n＋1)＋3－(2n＋3)＝2，所以从第2项起构成公差为2的等差数列。 【方法小结】由Sn求an固定三步：求a1，求n≥2时的an，检验合并。Sn＝＋Bn＋C中C≠0时，数列从第2项起才是等差数列。 例2　已知数列{an}满足a1＋2a2＋4a3＋…＋an＝4n（n∈N*），求a1及{an}的通项公式，并求a1a2a3a4的值。 【分析】左边不是Sn而是“带权的和”，但思路不变：把n换成n－1再写一个式子，两式相减，左边只剩下最后一项。 【解答】当n＝1时，a1＝4×1＝4。 当n≥2时，a1＋2a2＋…＋an-1＝4(n－1)。 与原式相减得an＝4n－4(n－1)＝4，所以an＝＝（n≥2）。 把n＝1代入得4，与a1＝4相符，所以an＝（n∈N*）。 a1a2a3a4＝×××＝＝＝4。 【方法小结】“前n项的某种和＝f(n)”的题型，一律“作差”：原式减去n换成n－1的式子，得到第n项的表达式，最后检验n＝1。 题型2　变式：由前n项和求项、由“和与项”的关系求通项 第1题直接作差求一项，第2题辨析常数项对“成等差数列”的影响，第3题给出Sn与an的混合关系，要先消去Sn。 变式1　若数列{an}的前n项和Sn＝－5n，则a4＝____________，{an}的通项公式为____________。 变式2　设数列{an}的前n项和Sn＝＋2n＋c（c为常数），下列说法中正确的是（　　）。 A．对任意常数c，{an}都是等差数列 B．当且仅当c＝0时，{an}是等差数列 C．当c＝1时，a1＝3 D．当c≠0时，{an}从第3项起才成等差数列 变式3　已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝3an＋1（n∈N*）。（1）求a1；（2）写出an，并计算a4。 【题型3】由递推公式求通项（累加、累乘、构造） 递推公式求通项有四把常用的钥匙：an+1－an＝f(n)用累加；＝f(n)用累乘；an+1＝pan＋q（p≠1）配成等比数列；分式型递推取倒数化成等差数列。先认形式，再选方法。 例1　已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝an＋（n∈N*），求{an}的通项公式，并判断{an}的单调性。 【分析】差an+1－an＝随n变化，适合累加；累加后右边是一串能裂项相消的分数。 【解答】由题意，an+1－an＝＝－。 当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an-1) ＝2＋(1－＋－＋…＋－＝2＋1－＝3－。 当n＝1时，3－＝2＝a1，也适合，所以an＝3－（n∈N*）。 又an+1－an＝＞0，所以{an}是递增数列。 【方法小结】累加法写出n－1个差式相加，首项单独加上；最后一定检验n＝1。当差式本身能裂项时，累加的和会“首尾相消”，只剩两头。 例2　已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an（n∈N*）。（1）求a2，a3；（2）求{an}的通项公式。 【分析】＝是关于n的分式，适合累乘：把n－1个比式相乘，分子分母会大量约去。 【解答】（1）a2＝a1＝3，a3＝a2＝6。 （2）由题意＝，当n≥2时， an＝a1···…·＝1××××…×。 分子是3，4，…，n＋1，分母是1，2，…，n－1，约分后分子剩下n与n＋1，分母剩下1与2，所以an＝。 当n＝1时，＝1＝a1，也适合，所以an＝（n∈N*）。 【方法小结】累乘法的关键是写清“约去后剩下哪几个因数”：分子分母错开几位，就各剩几个。和累加法一样，最后检验n＝1。 题型3　变式：构造等比、取倒数与累加累乘 第1题配常数构造等比数列，第2题取倒数得到等差数列，第3题是一道累加，第4题由Sn与an的关系导出累乘。 变式1　数列{an}的首项为7，从第2项起，每一项都等于前一项的2倍减去5，即an+1＝2an－5（n∈N*）。由此判断{an－5}是什么数列，进而求出an。 变式2　已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝（n∈N*），求{an}的通项公式。 变式3　已知数列{an}满足a1＝4，an+1＝an＋2n（n∈N*），则a10等于（　　）。 A．94 B．104 C．114 D．76 变式4　若数列{an}的首项为1，且对任意n∈N*，它的前n项之和都等于an，则an＝____________。 【题型4】等差数列的基本量运算 等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn中，只要知道其中三个，就能求出另外两个（知三求二）。绝大多数题的第一步都是把条件翻译成关于a1与d的方程组。 例1　在等差数列{an}中，a4＝10，a9＝－5。（1）求{an}的通项公式；（2）判断－56是否在这个数列中，若在，它排在第几位；（3）求前10项的和S10。 【分析】已知两项，先用推广式d＝求公差，再求首项；判断某数是否为项就是解方程看n是否为正整数。 【解答】（1）d＝＝＝－3，a1＝a4－3d＝10＋9＝19。 所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n。 （2）令22－3n＝－56，得3n＝78，n＝26，是正整数，所以－56是第26项。 （3）a10＝22－30＝－8，S10＝＝＝55。 【方法小结】推广式an＝am＋(n－m)d可以绕开首项直接求公差；求和时已知首末项用Sn＝最简便。 例2　等差数列{an}的前3项之和为21，前6项之和为24。（1）求an；（2）前多少项之和等于－11？ 【分析】两个和的条件分别用公式Sn＝na1＋·d翻译，得到关于a1与d的二元一次方程组。 【解答】（1）由S3＝3a1＋3d＝21得a1＋d＝7；由S6＝6a1＋15d＝24得2a1＋5d＝8。 把a1＝7－d代入2a1＋5d＝8，得14＋3d＝8，d＝－2，a1＝9，所以an＝9－2(n－1)＝11－2n。 （2）设前k项之和等于－11，则Sk＝9k＋×(－2)＝10k－。 令10k－＝－11，得－10k－11＝0，(k－11)(k＋1)＝0，因为k是正整数，所以k＝11，即前11项之和等于－11。 【方法小结】用和的条件列方程时，把Sn写成na1＋·d；解出含k的一元二次方程后，舍去不是正整数的根。 题型4　变式：等差中项、首项公差的求法与计数求和 第1题用推广式直接求项，第2题用等差中项列方程，第3题由三项成等差定参数，第4题把“余数相同的数”看成等差数列来计数与求和。 变式1　等差数列{an}中，a6比a2大12，且a2＝－1，则a10＝（　　）。 A．27 B．23 C．26 D．17 变式2　若m，6，成等差数列，则实数m＝____________。 变式3　已知一个等差数列的前三项依次为a－1，2a＋1，a＋7。（1）确定a，并写出an；（2）求这个数列的前20项和。 变式4　在1到200的整数中，被7除余3的数共有多少个？求这些数的和。 【题型5】等差数列的性质 下标和性质“m＋n＝p＋q ⇒ am＋an＝ap＋aq”与“S2n-1＝(2n－1)an”是等差数列运算提速的两件利器。用之前先核对：两边项数相同，下标之和相同。 例1　在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＋a11＝48。（1）求前12项的和S12；（2）若又知a6＝11，求{an}的通项公式。 【分析】2＋11＝5＋8＝1＋12＝13，四项可以两两配成下标和为13的一对，而S12正好需要a1＋a12。 【解答】（1）因为2＋11＝5＋8＝1＋12，所以a2＋a11＝a5＋a8＝a1＋a12。 由a2＋a5＋a8＋a11＝48得2(a1＋a12)＝48，a1＋a12＝24。 所以S12＝＝6×24＝144。 （2）a6＋a7＝a1＋a12＝24，又a6＝11，所以a7＝13，d＝a7－a6＝2。 a1＝a6－5d＝11－10＝1，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1。 【方法小结】见到若干项之和，先看下标能不能两两配成同一个和；求Sn时，只要凑出a1＋an或中间项即可，不必分别求a1与d。 例2　一个等差数列的项数为奇数，所有项的和为77，奇数项（第1，3，5，…项）之和比偶数项（第2，4，6，…项）之和大7，求该数列的项数与正中间的一项。 【分析】设项数为2m＋1，则奇数项有m＋1个，偶数项有m个，两组项的平均数都等于中间项am+1，所以奇数项之和与偶数项之和的差恰好是中间项。 【解答】设数列共有2m＋1项（m∈N*），则奇数项为a1，a3，…，a2m+1，共m＋1项；偶数项为a2，a4，…，a2m，共m项。 奇数项之和为＝(m＋1)am+1，偶数项之和为＝mam+1。 两者之差为(m＋1)am+1－mam+1＝am+1＝7，所以中间项为7。 所有项之和S2m+1＝(2m＋1)am+1＝7(2m＋1)＝77，解得2m＋1＝11，所以项数为11。 检验：奇数项之和为6×7＝42，偶数项之和为5×7＝35，42－35＝7，42＋35＝77，都符合题意。 【方法小结】项数为奇数的等差数列，奇数项和与偶数项和之比等于(m＋1)∶m，两者之差等于中间项，两者之和等于项数乘中间项。 题型5　变式：下标和性质与由等差数列构造新数列 第1题由S2n-1＝(2n－1)an反求中间项，第2题由两项互换的条件求一项，第3题证明由原数列构造出的新数列仍是等差数列。 变式1　已知等差数列{an}的前11项和为22，则a4＋a6＋a8＝（　　）。 A．6 B．12 C．2 D．4 变式2　等差数列{an}的第5项是8，第8项是5，那么它的第13项是____________。 变式3　把公差为d的等差数列{an}的项按顺序每两项一组相加，得到bn＝a2n-1＋a2n（n∈N*）。（1）{bn}是否仍为等差数列？若是，公差是多少；（2）若a1＝1，d＝3，求bn。 【题型6】等差数列前n项和的最值 求等差数列前n项和的最值有两条路：一是“邻项变号法”，找出正负项的分界；二是“函数法”，把Sn写成关于n的二次函数，找离对称轴最近的正整数。两条路结果必须一致。 例1　在等差数列{an}中，a3＝28，a8＝－2，前n项和为Sn。（1）求an；（2）用两种方法求Sn的最大值及此时n的值。 【分析】先由两项求出首项与公差；公差为负，数列递减，前面若干项为正、后面各项为负，把正项全部加上时和最大；也可以把Sn写成二次函数找对称轴。 【解答】（1）d＝＝＝－6，a1＝a3－2d＝28＋12＝40，所以an＝40－6(n－1)＝46－6n。 （2）方法一（邻项变号法）：由（1）知an＝46－6n。 令an≥0，得n≤，而在7与8之间，所以a7＝4＞0，a8＝－2＜0。 前7项都为正数，从第8项起都为负数，所以S7最大，S7＝＝154。 方法二（函数法）：Sn＝40n＋×(－6)＝＋43n，对称轴为n＝。 在7与8之间且更靠近7，所以n＝7时Sn最大，S7＝－147＋301＝154。 【方法小结】邻项变号法看“最后一个正项”，函数法看“离对称轴最近的正整数”；某项恰好为0时，前后两个n对应的和相等，都是最值。 例2　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a6＋a7＞0，a6＋a8＜0。（1）当n为何值时Sn最大？（2）Sn＞0时，n最大可以取多少？ 【分析】条件只给了两个不等式，要先把它们翻译成某些项的符号：a6＋a8＝2a7，从而确定正负项的分界，再用S2k与S2k-1的公式判断和的符号。 【解答】（1）由a6＋a8＝2a7＜0得a7＜0；又a6＋a7＞0，所以a6＞－a7＞0。 于是d＝a7－a6＜0，数列递减，前6项为正，从第7项起为负，所以n＝6时Sn最大。 （2）S12＝＝6(a6＋a7)＞0；S13＝＝13a7＜0。 又数列递减，n≥13时再加的都是负项，Sn＜S13＜0，所以使Sn＞0成立的n的最大值为12。 【方法小结】判断Sn的符号，偶数项用S2k＝k(ak＋ak+1)，奇数项用S2k-1＝(2k－1)ak，把“和”化成“一项”或“相邻两项之和”的符号。 题型6　变式：由条件判断最值位置与求公差范围 第1题由两项的平方相等找出等于0的项，第2题由通项直接找最大和，第3题由两个和的符号反求公差的范围。 变式1　已知等差数列{an}的公差d＜0，且|a3|＝|a11|，则前n项和Sn取最大值时n的值为（　　）。 A．6 B．7 C．6或7 D．8 变式2　若等差数列{an}的通项公式为an＝19－2n，则当n＝____________时，其前n项和取到最大值，最大值为____________。 变式3　设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a4＝10，S14＞0，S15＜0。（1）求公差d的取值范围；（2）S1，S2，…，S14中哪一个最大？说明理由。 【题型7】等比数列的基本量与性质 等比数列的基本量运算常用“两式相除”消去首项，性质运算常用“下标和相等则积相等”。所有运算都要记住两条底线：q≠0，各项都不为0；正项等比数列里开平方只取正值。 例1　在等比数列{an}中，a3＝20，a6＝160。（1）求{an}的通项公式；（2）求前n项和Sn；（3）640是这个数列的第几项？ 【分析】两项都用首项与公比表示，两式相除消去a1，得到，这是等比数列基本量运算的通法。 【解答】（1）由a3＝a1＝20，a6＝a1＝160，两式相除得＝8，所以q＝2。 a1＝＝5，所以an＝5×。 （2）Sn＝＝－1)。 （3）令5×＝640，得＝128＝，所以n＝8，即640是第8项。 【方法小结】“两式相除”适用于两项之比、两和之比；公比算出来后再回代求首项。判断某数是第几项，化成同底数幂比较指数。 例2　等比数列{an}的每一项都大于0，且a1a7＝64。（1）求a4及log2a1＋log2a2＋…＋log2a7的值；（2）若又知a2＋a6＝34，求公比q。 【分析】1＋7＝2×4，a1a7就是a4的平方；对数之和化成真数之积，再用下标和性质把七项之积化成a4的7次方。 【解答】（1）因为1＋7＝4＋4，所以a4·a4＝a1a7＝64，又a4＞0，所以a4＝8。 log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝log2(a1a2…a7)。 而a1a7＝a2a6＝a3a5＝a4·a4，所以a1a2…a7＝＝，所求的和为21。 （2）a2a6＝a4·a4＝64，又a2＋a6＝34，所以a2，a6是方程－34t＋64＝0的两个根， 解得a2＝2，a6＝32或a2＝32，a6＝2。 当a2＝2，a6＝32时＝16；当a2＝32，a6＝2时＝。又q＞0，所以q＝2或q＝。 【方法小结】正项等比数列求多项之积，先找“中间项”；已知两项之和与之积时，把它们看成一元二次方程的两个根，注意两种对应都要考虑。 题型7　变式：等比中项的符号、公比与和的计算、单调性 第1题提醒等比中项的符号要结合数列本身确定，第2题两式相除求公比，第3题分类讨论公比的正负，第4题判断等比数列的单调性。 变式1　已知4，a，b，c，成等比数列，则b＝（　　）。 A．1 B．－1 C．±1 D． 变式2　在等比数列{an}中，a1＋a2＝3，a4＋a5＝24，则a7＋a8＝____________。 变式3　等比数列{an}的前2项之和为4，前4项之和为20。（1）求公比q与首项a1；（2）求前6项之和S6。 变式4　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则下列条件中能使{an}为递增数列的是（　　）。 A．a1＞0，0＜q＜1 B．a1＜0，q＞1 C．a1＜0，0＜q＜1 D．a1＞0，q＜0 【题型8】等差与等比的交汇：三数问题与基本量 等差、等比混在一起时，先分清“谁是等差、谁是等比”，再各自设基本量：三个数成等差设为a－d，a，a＋d，成等比设为，a，aq。所有条件最终都落到基本量的方程上。 例1　三个数成等差数列，它们的和为18；如果把这三个数依次加上2，4，11，所得的三个数成等比数列，求原来的三个数。 【分析】三个数成等差且已知和，设为a－d，a，a＋d，和只含a；再用等比中项列出关于d的方程。 【解答】设这三个数为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝18，a＝6。 依次加上2，4，11后得8－d，10，17＋d，它们成等比数列，所以(8－d)(17＋d)＝。 展开得136－9d－＝100，即＋9d－36＝0，(d－3)(d＋12)＝0，d＝3或d＝－12。 当d＝3时，三个数为3，6，9，加后得5，10，20，公比为2； 当d＝－12时，三个数为18，6，－6，加后得20，10，5，公比为。 所以原来的三个数是3，6，9或18，6，－6。 【方法小结】对称设法能让“和”或“积”只含一个字母；解出后要回到等比条件检验，确认各项都不为0。 例2　已知{an}是公差为2的等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，a1＝b1＝1，a3＋b3＝14。（1）先由a3＋b3＝14求出{bn}的公比，再写出an与bn；（2）求{bn}的前n项和Tn；（3）说明{bn}的每一项都是{an}中的项，并指出bk是{an}的第几项。 【分析】{an}的首项与公差都已知，可以直接写出通项；{bn}只差公比q，用a3＋b3＝14列出关于q的方程。第（3）问把“bk是{an}中的项”翻译成“方程2n－1＝bk有正整数解n”。 【解答】（1）an＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以a3＝5。 设{bn}的公比为q（q＞0），则b3＝，由a3＋b3＝14得5＋＝14，＝9，又q＞0，所以q＝3，bn＝。 （2）Tn＝＝。 （3）令2n－1＝，得n＝。 因为是正奇数，＋1是正偶数，所以n＝是正整数，bk是{an}的第项；例如b4＝27是{an}的第14项。 【方法小结】等差、等比数列同时出现时，先分清各自的基本量，再用联系两者的条件列方程；判断一个数列的项是否在另一个数列中，就是看对应的方程有没有正整数解。 题型8　变式：既等差又等比、对数与等比的联系、两类数列的联合求和 第1题辨析既成等差又成等比的三个数，第2题由等比数列取对数得到等差数列，第3题分别求两个数列的通项与和。 变式1　若a，b，c既成等差数列又成等比数列，则（　　）。 A．公差不为0 B．a＝b＝c≠0 C．a＋c＝0 D．b＝0 变式2　已知{an}是各项均为正数的等比数列，公比q＝4，令bn＝log2an，则{bn}是公差为____________的等差数列。 变式3　已知等差数列{an}中a2＝5，a5＝14；等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a5＋2。（1）求an与bn；（2）求数列{an}的前n项和Sn与{bn}的前n项和Tn。 【题型9】数列求和（分组、裂项、错位相减、倒序相加） 求和方法由通项的结构决定：通项是“等差＋等比”就分组，是分式或根式之差就裂项，是“等差×等比”就错位相减，首尾配对和为定值就倒序相加。先看通项，再动笔。 例1　求下列各和：（1）Tn＝＋＋＋…＋；（2）＋＋…＋。 【分析】（1）分母是等差数列相邻两项的积，公差为3，恰好与分子3抵消，可以直接拆成两项之差；（2）分母有理化后每一项都是两个根式之差。 【解答】（1）＝－。 所以Tn＝－＋－＋…＋－＝－＝。 （2）＝－（分子分母同乘－）。 所以原式＝－1)＋－＋…＋－＝－1＝9。 【方法小结】裂项后先写出前两项和最后一项，看清哪些项相消、剩下哪些项。分母两因式之差不等于分子时，要在前面补系数。 例2　用错位相减法计算Tn＝2×2＋5×＋8×＋…＋(3n－1)·。 【分析】第n项(3n－1)·是等差数列的第n项3n－1与等比数列的第n项之积，用错位相减法：两边乘公比2，错开一位相减。 【解答】Tn＝2×2＋5×＋8×＋…＋(3n－1)·，① 2Tn＝2×＋5×＋…＋(3n－4)·＋(3n－1)·。② ①－②得－Tn＝4＋＋＋…＋－(3n－1)· ＝4＋－4)－(3n－1)·＝－8＋(4－3n)·。 所以Tn＝(3n－4)·＋8。 检验：n＝2时，T2＝4＋20＝24，而(6－4)×＋8＝24，相符。 【方法小结】错位相减四步：写和式、乘公比、错位相减、整理结果。相减后中间的等比数列有n－1项，最后一项前是减号；结果可用n＝1，2回代检验。 题型9　变式：分组求和、倒序相加、裂项与错位相减 第1题把通项拆成等比与等差两部分，第2题函数值首尾配对，第3题是平方差型裂项，第4题是公比为负数的错位相减。 变式1　数列＋2n－1}的前n项和为（　　）。 A．－1＋ B．＋＋n C．＋ D．＋ 变式2　已知f(x)＝，则＋＋…＋＝____________。 变式3　求和：Tn＝＋＋…＋。 变式4　求和：Tn＝1＋2×(－2)＋3×＋…＋n·。 【题型10】数列的实际应用（复利、增长率） 应用题的关键是建模：每期“加上同一个数”是等差模型，每期“乘同一个数”是等比模型。先写出第1期、第2期、第3期，看清规律与项数，再用公式；涉及幂的近似值时按题目给的参考数据计算。 例1　小张计划连续5年、每年1月1日往一个储蓄账户存入1万元，账户年利率3%，每年的利息自动转入本金（复利）。到第5年12月31日，账户中共有多少万元？（参考数据：≈1.1593，结果精确到0.01万元） 【分析】每一笔存款单独计算：第1年存的钱存了5年，第5年存的钱只存了1年，五笔本利和组成等比数列。 【解答】第1年1月1日存入的1万元到第5年12月31日的本利和为万元， 第2年存入的为万元，……，第5年存入的为1.03万元。 所以总本利和为S＝1.03＋＋…＋，这是首项为1.03、公比为1.03的等比数列前5项和。 S＝≈1.03×(1.1593－1)÷0.03＝5.4693≈5.47（万元）。 【方法小结】复利问题按“每一笔钱存了几期”逐笔计算，把各笔本利和排成等比数列；注意首项与项数，最后按题目要求取近似值。 例2　一家工厂2026年全年产值500万元，按规划此后每一年的产值都是前一年的1.1倍。（1）记2026年为第1年，用n表示第n年的产值an（万元）；（2）求2026年至2035年这10年的总产值；（3）从哪一年起，年产值首次超过1000万元？（参考数据：≈1.949，≈2.144，≈2.594） 【分析】每年乘同一个数1.1，是等比模型；2026年至2035年共10年；“首次超过”就是解指数不等式，求最小的正整数n。 【解答】（1）由题意{an}是首项为500、公比为1.1的等比数列，所以an＝500×。 （2）10年的总产值为S10＝≈5000×(2.594－1)＝7970（万元）。 （3）令500×＞1000，得＞2。 因为≈1.949＜2，≈2.144＞2，且随x增大而增大，所以n－1的最小值为8，n＝9。 第9年是2034年，所以从2034年起年产值首次超过1000万元。 【方法小结】增长率问题写成an＝a1，第几年与指数差1要特别小心；“首次超过”用参考数据夹逼出最小的n，再换算成年份。 题型10　变式：衰减、等差排布与两种增长的比较 第1题是等比衰减模型，第2题是等差排布求总数，第3题比较等差增长的投入与等比增长的收益。 变式1　某种放射性物质每年衰减10%（即每年剩余上一年的90%），至少经过（　　）年，剩余量不足原来的一半。（参考数据：≈0.531，≈0.478） A．5 B．6 C．7 D．8 变式2　某阶梯教室共有20排座位，第1排有18个座位，往后每一排都比前一排多2个座位，则该教室共有座位____________个。 变式3　某公司第1年投入研发资金100万元，以后每年的投入都比上一年多20万元；研发带来的收益第1年为20万元，以后每年都是上一年的1.5倍。（1）写出前n年的总投入In与总收益Rn（万元）；（2）分别比较第9年末、第10年末总收益与总投入的大小。（参考数据：≈38.44，≈57.67） 【题型11】数学归纳法 数学归纳法的书写格式是固定的：第一步验证起点，第二步写出归纳假设，再从n＝k＋1时的式子出发，想办法把n＝k时的式子“找出来”并用上假设，最后写结论。第二步没有用上归纳假设的证明不是数学归纳法。 例1　对任意正整数n，等式1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n＋2)＝都成立，试用数学归纳法加以证明。 【分析】从n＝k到n＝k＋1，左边只增加了一项(k＋1)(k＋3)，把它加到归纳假设的右边，再提取公因式k＋1整理成目标形式。 【解答】（1）当n＝1时，左边＝1×3＝3，右边＝＝3，等式成立。 （2）假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，即1×3＋2×4＋…＋k(k＋2)＝。 那么当n＝k＋1时，左边＝＋(k＋1)(k＋3)＝＝＝。 而右边＝＝，所以当n＝k＋1时等式也成立。 由（1）（2）可知，等式对任何n∈N*都成立。 【方法小结】证等式时，先写出n＝k＋1时要证的目标右边，再把“假设＋新增项”往目标上凑；提取公因式比整体展开更省事。 例2　已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an²－2(n－1)an＋2（n∈N*）。（1）求a2，a3，a4；（2）由此猜出an的表达式，再用数学归纳法给出证明。 【分析】递推式是二次的，无法用累加、累乘处理，先算出前几项归纳猜想，再用数学归纳法证明。 【解答】（1）a2＝－0×1＋2＝3，a3＝－2×1×3＋2＝5，a4＝－2×2×5＋2＝7。 （2）猜想an＝2n－1。下面用数学归纳法证明。 ①当n＝1时，a1＝1＝2×1－1，猜想成立。 ②假设当n＝k（k∈N*）时猜想成立，即ak＝2k－1。 那么ak+1＝ak²－2(k－1)ak＋2＝(2k－1)[(2k－1)－2(k－1)]＋2＝(2k－1)×1＋2＝2k＋1＝2(k＋1)－1， 即当n＝k＋1时猜想也成立。由①②可知，an＝2n－1对任何n∈N*都成立。 【方法小结】“归纳—猜想—证明”三步走：多算几项再猜，猜想的式子要与已算出的各项都吻合；证明时把ak＝2k－1代入递推式，先提取公因式再化简。 题型11　变式：增加的项数、乘上的因式、不等式与几何计数 第1题数清由k到k＋1增加的项数，第2题找出乘积要乘上的因式，第3题证明一个根式不等式（起点n0＝2），第4题证明圆内若干条弦分割圆面的块数公式。 变式1　用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＞1＋（n∈N*）时，由n＝k到n＝k＋1，不等式左边增加的项数是（　　）。 A． B．2× C．2×－1 D． 变式2　用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(3n)能被整除（n∈N*）”时，由n＝k到n＝k＋1，乘积(n＋1)(n＋2)…(3n)需要乘上的代数式为____________。 变式3　用数学归纳法证明：当n≥2（n∈N*）时，1＋＋＋…＋＜－1。 变式4　圆内画n条弦，其中任意两条弦都在圆内相交，任意三条弦都不经过圆内同一点。用数学归纳法证明：这n条弦把圆面分成块（n∈N*）。 【题型12】数列与不等式的综合（拓展） 本题型为拓展内容。数列不等式有两类：一类能先求出和再比较（裂项后的和有明显的上界）；另一类求不出和，要先把通项“放大”或“缩小”成可以求和的形式。放缩的尺度要恰好，放过头结论就证不出来。 例1　（拓展）已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝3an＋2（n∈N*）。（1）求{an}的通项公式；（2）证明：＋＋…＋＜。 【分析】（1）配成an+1＋1＝3(an＋1)；（2）求不出和，把分母缩小成2×，通项就放大成等比数列的项。 【解答】（1）由an+1＝3an＋2得an+1＋1＝3(an＋1)，又a1＋1＝3≠0， 所以{an＋1}是首项为3、公比为3的等比数列，an＋1＝，an＝－1。 （2）因为－1－2×＝－1≥0，所以－1≥2×，≤×。 所以＋…＋≤(1＋＋…＋＝×＝(1－＜。 【方法小结】放缩成等比数列时，保留首项不变、把后面的项放成同一公比，最后的和小于无限项的“极限值”；放缩的方向要与要证的不等号一致。 例2　（拓展）等差数列{an}的第2项为5，第5项为11，记其前n项和为Sn。（1）求Sn；（2）设Tn＝＋＋…＋，若Tn＜对一切n∈N*恒成立，求正整数m的最小值。 【分析】先求出Tn的表达式，再研究它随n变化的范围：恒成立问题要求不小于Tn的所有值。 【解答】（1）d＝＝2，a1＝3，an＝2n＋1，Sn＝＝＋2n。 （2）＝＝－，相消后前面剩两项、后面剩两项： Tn＝(1＋－－＝－＋。 Tn随n的增大而增大，且Tn＜；对任意小于的数，只要n足够大，Tn就能超过它。 所以Tn＜恒成立等价于≥，即m≥15，正整数m的最小值为15。 【方法小结】“Tn＜c恒成立”看Tn能取到的上限：Tn递增且无限接近但取不到，所以c可以等于；分母两因式相差2时要补系数，相消后首尾各剩两项。 题型12　变式：分段数列的单调性、恒成立与放缩证明 三道题都是拓展内容：第1题研究分段数列递增的条件，第2题由和的最小值定参数范围，第3题用裂项放缩证明不等式。 变式1　（拓展）已知数列{an}的通项公式为：当n≤5时an＝(4－a)n－6，当n＞5时an＝，若{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（　　）。 A．(1，4) B．(2，4) C．[2，4) D．(2，＋∞) 变式2　（拓展）已知数列{an}的通项公式为an＝，前n项和为Tn，若Tn＞λ对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是____________。 变式3　（拓展）证明：1＋＋＋…＋＜（n∈N*）。 　易错专练 下面七题分别踩在本章最容易丢分的七个地方：由Sn求an不检验首项、公比为字母时不讨论q＝1、等比中项不看符号、把Sn的最值点取成非整数、错位相减漏掉末项、数学归纳法第二步不用归纳假设、把下标和性质用到项数不等的两边。每题都给出一段真实的错解，先自己找出错在哪一步，再看错因与正解。 易错1　某同学求“前n项之和为－3n＋2”的数列{an}的通项，写出了an＝4n－5。这个结果对吗？写出正确的通项。 易错2　求和：1＋a＋＋…＋（a≠0）。 易错3　在等比数列{an}中，a4，a8是方程－10x＋4＝0的两个根，求a6。 易错4　某等差数列的前n项之和Sn＝，有同学说“Sn的最大值是”。指出他的错误，并求出Sn真正的最大值及此时n的值。 易错5　求和：Tn＝1＋2×3＋3×＋…＋n·。 易错6　有同学这样证明“1＋3＋＋…＋＝（n∈N*）”：①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；②假设当n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，左边＝1＋3＋…＋＝＝＝右边，等式也成立。这个证明对吗？如果不对，写出正确的第二步。 易错7　在等差数列{an}中，a1＝2，a2＋a8＝16，求a10。 　课后作业（一）基础过关 本组十二题与教材例题、练习难度相当。前五题只需把选项字母填在括号里；第6至9题把结果写在横线上，分数化成最简；最后三题要写出求首项、公差（公比）的完整过程。 1．观察4，7，12，19，28，…，下列式子中能作为这个数列通项的是（　　）。 A．an＝3n＋1 B．an＝＋n＋1 C．an＝＋n＋2 D．an＝＋3 2．首项为6的等差数列{an}中，a4＝－3，则a8＝（　　）。 A．－15 B．－18 C．－12 D．－6 3．等比数列3，9，27，…的前n项和为363，则n＝（　　）。 A．4 B．6 C．5 D．11 4．已知{an}为等差数列，且a4＋a10＝36，那么a7的值为（　　）。 A．9 B．18 C．36 D．72 5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋＝＋1)（n∈N*）时，由n＝k到n＝k＋1，等式左边应在n＝k时的基础上加上（　　）。 A． B．＋1 C．＋1) D．＋1)＋＋2)＋…＋ 6．等差数列－3，1，5，…的第15项是____________，401是它的第____________项。 7．已知等比数列{an}的公比q＞0，a2＝4，a4＝16，则前5项和S5＝____________。 8．等差数列{an}前9项的和为54，那么第2，5，8项的和a2＋a5＋a8＝____________。 9．计算和式的值：(1＋＋(2＋＋(3＋＋…＋(6＋＝____________。 10．已知a3＝2，S6＝27，其中Sn表示等差数列{an}的前n项和，求an与Sn。 11．等比数列{an}满足a1＋a3＝20，a2＋a4＝10。（1）求公比q和首项a1；（2）求使Sn＞31成立的n的最小值。 12．已知等差数列{an}中，a1＝2，a1＋a2＋a3＝12。（1）求an；（2）令bn＝an＋，求数列{bn}的前n项和Tn。 　课后作业（二）能力提升 这一组九题把本章的性质与方法放到更灵活的条件里使用：选择三题都有简捷的性质或特例解法，填空三题分别练公比、错位相减与由Sn求通项，解答三题要求写出构造新数列、分奇偶求和和建立模型的完整过程。 1．若{an}是等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（　　）。 A．{an＋1} B．{anan+1} C．{an＋an+1} D．{2an－1} 2．在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝42，a4＋a7＋a10＝24，则a6＋a9＋a12＝（　　）。 A．15 B．－12 C．6 D．42 3．数列{an}的首项为1，且任意相邻两项之积anan+1＝（n∈N*），那么第10项a10＝（　　）。 A．243 B．81 C．729 D．19683 4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则公比q＝____________。 5．1＋3×2＋5×＋7×＋…＋19×＝____________。 6．若数列{an}前n项的和恰为－1，则它各项平方的前n项和a1²＋a2²＋…＋an²＝____________。 7．已知数列{an}满足a1＝6，an＝6－（n≥2），令bn＝。（1）求证：{bn}的相邻两项之差为定值；（2）写出an。 8．等差数列{an}的第3项是5，前4项之和是16。（1）求an；（2）令cn＝·an，求数列{cn}的前2n项和T2n及前21项和T21。 9．某款应用软件上线第1个月新增用户5万人，此后每个月新增的用户数都是上个月新增用户数的1.5倍。（1）写出前n个月累计的用户数Sn（万人）；（2）累计用户数在第几个月首次达到100万人？（参考数据：≈7.59，≈11.39） 　课后作业（三）拓展探究 这一组五题都标为“拓展”，供学有余力的同学选做：一道由等比关系求参数范围的填空，四道解答分别涉及Sn与an的混合关系、数学归纳法证明不等式、二阶递推与数列最大项。做题时仍要写出完整的推理过程。 1．（拓展）已知实数a，b，c成等比数列，且a＋b＋c＝3，则b的取值范围是____________。 2．（拓展）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－（n∈N*）。（1）求证：当n≥2时，－是常数；（2）求an与Sn。 3．（拓展）用数学归纳法证明：当n≥2（n∈N*）时，＋＋…＋＞。 4．（拓展）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an+2＝5an+1－4an（n∈N*）。（1）令bn＝an+1－an，求bn；（2）求an及前n项和Sn。 5．（拓展）设cn＝（n∈N*）。（1）当n为何值时cn+1＞cn？（2）若cn≤λ对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最小值。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版·选择性必修二·第四章 数列 题型精讲讲义 第四章 数列 题型精讲讲义（知识梳理+24考点例题+易错专练+分层作业 共99题）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册　第四章 数列　4.1数列的概念　4.2等差数列　4.3等比数列　4.4数学归纳法 含 12 个考点例题　/　共 99 题（变式 42 · 易错 7 · 作业 26）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．理解数列的概念与表示方法（列表、图象、通项公式、递推公式），知道数列是一种特殊的函数，会由前n项和Sn求通项an，并注意n＝1时单独检验。 2．掌握等差数列的定义、通项公式an＝a1＋(n－1)d与前n项和公式，理解等差中项与“下标和相等则两项和相等”的性质，会求等差数列前n项和的最大（小）值。 3．掌握等比数列的定义、通项公式an＝a1与前n项和公式（区分q＝1与q≠1），理解等比中项的符号问题，会用累加、累乘、构造新数列等方法由递推公式求通项。 4．掌握分组求和、裂项相消、错位相减、倒序相加四种求和方法，会建立等差、等比数列模型解决复利与增长率问题；理解数学归纳法的两个步骤并会证明等式、不等式与几何计数命题；（拓展）会用放缩法证明数列不等式。 学习重难点 重点：等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；由递推公式与Sn求通项；裂项相消与错位相减求和；数学归纳法的归纳递推。 难点：由Sn求an时漏掉n＝1的检验；等比数列求和忘记讨论q＝1；等比中项取值忽略同号条件；错位相减后项数与末项的符号；数学归纳法第二步没有用上归纳假设。 　目　录 知识梳理 3 知识点 01　数列的有关概念 3 知识点 02　数列的单调性、通项公式与递推公式 3 知识点 03　数列的前n项和与通项的关系 3 知识点 04　等差数列的定义与通项公式 4 知识点 05　等差数列的前n项和与常用性质 4 知识点 06　等比数列的定义与通项公式 5 知识点 07　等比数列的前n项和 5 知识点 08　数列求和的常用方法 5 知识点 09　数学归纳法 6 考点 1　数列的概念与通项公式 6 考点 2　由前n项和求通项 8 考点 3　由递推公式求通项（累加、累乘、构造） 9 考点 4　等差数列的基本量运算 10 考点 5　等差数列的性质 11 考点 6　等差数列前n项和的最值 12 考点 7　等比数列的基本量与性质 14 考点 8　等差与等比的交汇：三数问题与基本量 15 考点 9　数列求和（分组、裂项、错位相减、倒序相加） 16 考点 10　数列的实际应用（复利、增长率） 17 考点 11　数学归纳法 19 考点 12　数列与不等式的综合（拓展） 20 易错专练 22 课后作业（一）基础过关 22 课后作业（二）能力提升 23 课后作业（三）拓展探究 24 参考答案与解析 25 　课时核心导图 　知识梳理 知识点梳理　01　数列的有关概念 教材第3页：“一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。”第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示，第1项也叫做首项；数列简记为{an}。项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。 数列可以看作定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，an＝f(n) 数列的图象是坐标平面内一群孤立的点(n，an)，不能连成连续的曲线 小提示：数列强调“顺序”：1，2，3与3，2，1是两个不同的数列，而集合{1，2，3}与{3，2，1}相同。同一个数可以在数列中重复出现，集合的元素却不能重复。 知识点梳理　02　数列的单调性、通项公式与递推公式 教材第4页：“从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。特别地，各项都相等的数列叫做常数列。”如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式。教材第6页：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。 判断单调性的常用方法：作差an+1－an与0比较；各项同为正数时也可作商与1比较 求最大项：解不等式组an≥an-1且an≥an+1；求最小项把不等号反向 小提示：通项公式不一定存在，存在时也不一定唯一；只给出递推公式而不给首项，数列并不确定。用函数观点求最值时，最后一定要回到正整数n上取值。 知识点梳理　03　数列的前n项和与通项的关系 教材第7页：我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an。显然S1＝a1，而当n≥2时Sn-1＝a1＋a2＋…＋an-1，两式相减就得到由Sn求an的公式。 an＝S1（n＝1）；an＝Sn－Sn-1（n≥2） 求出n≥2时的表达式后，把n＝1代入检验：符合则合写成一个式子，不符合则分段写 小提示：题目给出Sn与an的混合关系式时，常用两种转化：一是再写一个“n换成n－1”的式子相减，消去S得到an的递推关系；二是把an换成Sn－Sn-1，先求Sn。 知识点梳理　04　等差数列的定义与通项公式 教材第13页：“一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。”由三个数a，A，b组成的等差数列中，A叫做a与b的等差中项，2A＝a＋b。教材第14页：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d。 推广形式：an＝am＋(n－m)d，所以d＝ an＝dn＋(a1－d)：d≠0时点(n，an)落在一条斜率为d的直线上 小提示：证明一个数列是等差数列，只能用定义（相邻两项的差是同一个常数），或说明每一项都是它前后两项的等差中项；“通项是n的一次式”只能作判断，不能代替证明。 知识点梳理　05　等差数列的前n项和与常用性质 教材第20页：等差数列{an}的前n项和公式Sn＝；把通项公式代入，又得Sn＝na1＋·d。教材第23页指出，当d≠0时Sn可以看成关于n的二次函数（常数项为0），其图象是抛物线上横坐标为正整数的一群孤立的点。 若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ap＋aq；特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap S2n-1＝(2n－1)an：奇数项和可以用中间项表示 Sn的最值：d＜0时找最后一个非负项，d＞0时找最后一个非正项；某一项恰好为0时最值在两个n处同时取到 小提示：性质“am＋an＝ap＋aq”要求等号两边的项数相同，不能写成a1＋a9＝a10。 知识点梳理　06　等比数列的定义与通项公式 教材第28页：“一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然q≠0）。”如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时＝ab。首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝a1。 推广形式：an＝am 若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；等比数列的各项都不为0 q＞0且q≠1时，点(n，an)落在指数型函数的图象上 小提示：只有同号的两个数才有等比中项，而且等比中项有两个，互为相反数；但在同一个等比数列里，奇数项彼此同号，偶数项彼此同号。 知识点梳理　07　等比数列的前n项和 教材第35页用错位相减推导：Sn－qSn＝a1－a1，因此当q≠1时，等比数列的前n项和公式为Sn＝，也可以写成Sn＝（q≠1）；当q＝1时，Sn＝na1。 公比q含字母或未知时，必须分q＝1与q≠1两种情况讨论 片段和：若Sm≠0，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，公比为 小提示：错位相减的“错位”是指乘公比后把指数相同的项上下对齐；相减之后中间是一个等比数列，要数清它的项数，再别忘了最后一项前面的负号。 知识点梳理　08　数列求和的常用方法 教材第42页：“前面，我们用巧妙的‘倒序相加法’和‘错位相减法’推导出了等差数列和等比数列的前n项和公式。”这两种思想可以迁移到一般数列。通项能拆成等差与等比两部分之和时分组求和；通项是分式且能拆成两项之差时裂项相消；通项是“等差×等比”时错位相减；首末等距的两项之和为定值时倒序相加。 ＝－；＝－ 裂项相消后，前面剩几项，后面就剩几项，而且位置对称 小提示：裂项时先检验：把拆开的两项通分，必须还原成原来的通项，常常要在前面补一个系数。 知识点梳理　09　数学归纳法 教材第46页：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n＝n0（n0∈N*）时命题成立；（2）（归纳递推）以“当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法。 两步缺一不可：第一步是递推的起点，第二步是递推的依据 第二步必须用上归纳假设；先看清由k到k＋1时式子增加（或减少）了哪些项 小提示：n0不一定是1，要看命题从哪个正整数开始成立。“观察—归纳—猜想—证明”中，猜想只是由前几项得到的推断，必须用数学归纳法证明之后才能作为结论。 【题型1】数列的概念与通项公式 由前几项写通项，是在“序号n”与“项an”之间找对应关系：先把符号、分子、分母、底数、指数拆开分别观察，再合起来写成一个式子。数列是特殊的函数，研究最大项、最小项时可以借用二次函数的图象，但自变量只能取正整数。 例1　写出下列数列的一个通项公式，并求出所写数列的第8项：（1），，，，…；（2）5，11，19，29，41，…。 【分析】（1）符号正负相间，分子是连续奇数，分母是2的正整数次幂，三部分分开找规律；（2）各项没有明显的倍数关系，先求相邻两项的差，差成等差数列，说明通项是n的二次式。 【解答】（1）符号：奇数项为负、偶数项为正，用表示。 分子依次是1，3，5，7，是连续的奇数，第n项的分子为2n－1；分母依次是2，4，8，16，第n项的分母为。 所以an＝·，a8＝＝。 （2）相邻两项的差依次为11－5＝6，19－11＝8，29－19＝10，41－29＝12，差是连续的偶数。 设an＝＋bn＋c，由a1＝1＋b＋c＝5，a2＝4＋2b＋c＝11，解得b＝3，c＝1。 检验：a3＝9＋9＋1＝19，a4＝16＋12＋1＝29，a5＝25＋15＋1＝41，都符合，所以an＝＋3n＋1。 a8＝64＋24＋1＝89。 【方法小结】观察法写通项的顺序是“先符号，再分子分母，最后看整体”；若各项相邻差构成等差数列，就设通项为n的二次式，用前两项定系数，再用后面的项检验。写出的通项只是“一个”，答案不唯一。 例2　数列{an}中，an＝－9n＋10（n∈N*）。（1）判断46是否为该数列的项，若是，指出它的项数；（2）求{an}的最小项；（3）数列从第几项到第几项的值小于0？ 【分析】判断某数是不是数列中的项，就是解关于n的方程，看是否有正整数解；最小项和负项个数都借助二次函数y＝－9x＋10的图象，但只能在正整数处取值。 【解答】（1）令－9n＋10＝46，得－9n－36＝0，即(n－12)(n＋3)＝0。 解得n＝12或n＝－3，因为n∈N*，所以n＝12，即46是这个数列的第12项。 （2）an＝－，二次函数的对称轴为n＝，而在4与5的正中间。 所以当n＝4或n＝5时an最小，a4＝16－36＋10＝－10，a5＝25－45＋10＝－10，最小项为a4＝a5＝－10。 （3）由对称性，an在n≤4时递减，在n≥5时递增。计算a1＝1－9＋10＝2＞0，a2＝4－18＋10＝－4＜0，a7＝49－63＋10＝－4＜0，a8＝64－72＋10＝2＞0。 所以从第2项到第7项的值都小于0，其余各项都是正数。 【方法小结】数列的最值与二次函数的最值不同：对称轴不是整数时，要比较离对称轴最近的两个正整数处的值；对称轴恰在两个整数的正中间时，两项相等，最小项有两个。 题型1　变式：由项写通项、周期数列与最大项 第1题练符号与平方的组合，第2题由通项反求项数，第3题辨析数列与函数的关系，第4题是由递推公式发现周期。 变式1　数列1，－4，9，－16，25，…的一个通项公式是（　　）。 A．an＝· B．an＝· C．an＝· D．an＝· 变式2　已知数列{an}的通项公式为an＝，则a8＝____________；是这个数列的第____________项。 变式3　下列关于数列的说法中，正确的是（　　）。 A．数列1，2，3与数列3，2，1是同一个数列 B．数列的图象是一条连续的曲线 C．一个数列的通项公式是唯一的 D．数列可以看作以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数 变式4　已知数列{an}满足a1＝3，an+1＝1－（n∈N*）。（1）写出a2，a3，a4，并指出{an}的周期；（2）求a2027及前100项的和S100。 【题型2】由前n项和求通项 an＝Sn－Sn-1只对n≥2成立，这是本题型的全部要害。凡是由Sn求an，最后一步都要把n＝1代回检验；已知的不是Sn而是“加权和”时，同样用“作差”消去前面的项。 例1　数列{an}的前n项之和Sn与n满足Sn＝＋4n＋3。（1）求an；（2）判断{an}能否构成等差数列；若不能，从第几项起各项构成等差数列？ 【分析】先用a1＝S1求首项，再用an＝Sn－Sn-1求n≥2时的表达式，最后检验n＝1是否适合。Sn里含有非零常数项，预示着首项要单独写。 【解答】（1）当n＝1时，a1＝S1＝1＋4＋3＝8。 当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝＋4n＋3)－＋4(n－1)＋3]＝2n＋3。 把n＝1代入2n＋3得5≠8，所以首项不适合这个式子。 故an＝8（n＝1），an＝2n＋3（n≥2）。 （2）a2＝7，a2－a1＝7－8＝－1，而当n≥2时an+1－an＝2，相邻两项的差不是同一个常数，所以{an}不是等差数列。 从第2项起，an+1－an＝2(n＋1)＋3－(2n＋3)＝2，所以从第2项起构成公差为2的等差数列。 【方法小结】由Sn求an固定三步：求a1，求n≥2时的an，检验合并。Sn＝＋Bn＋C中C≠0时，数列从第2项起才是等差数列。 例2　已知数列{an}满足a1＋2a2＋4a3＋…＋an＝4n（n∈N*），求a1及{an}的通项公式，并求a1a2a3a4的值。 【分析】左边不是Sn而是“带权的和”，但思路不变：把n换成n－1再写一个式子，两式相减，左边只剩下最后一项。 【解答】当n＝1时，a1＝4×1＝4。 当n≥2时，a1＋2a2＋…＋an-1＝4(n－1)。 与原式相减得an＝4n－4(n－1)＝4，所以an＝＝（n≥2）。 把n＝1代入得4，与a1＝4相符，所以an＝（n∈N*）。 a1a2a3a4＝×××＝＝＝4。 【方法小结】“前n项的某种和＝f(n)”的题型，一律“作差”：原式减去n换成n－1的式子，得到第n项的表达式，最后检验n＝1。 题型2　变式：由前n项和求项、由“和与项”的关系求通项 第1题直接作差求一项，第2题辨析常数项对“成等差数列”的影响，第3题给出Sn与an的混合关系，要先消去Sn。 变式1　若数列{an}的前n项和Sn＝－5n，则a4＝____________，{an}的通项公式为____________。 变式2　设数列{an}的前n项和Sn＝＋2n＋c（c为常数），下列说法中正确的是（　　）。 A．对任意常数c，{an}都是等差数列 B．当且仅当c＝0时，{an}是等差数列 C．当c＝1时，a1＝3 D．当c≠0时，{an}从第3项起才成等差数列 变式3　已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝3an＋1（n∈N*）。（1）求a1；（2）写出an，并计算a4。 【题型3】由递推公式求通项（累加、累乘、构造） 递推公式求通项有四把常用的钥匙：an+1－an＝f(n)用累加；＝f(n)用累乘；an+1＝pan＋q（p≠1）配成等比数列；分式型递推取倒数化成等差数列。先认形式，再选方法。 例1　已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝an＋（n∈N*），求{an}的通项公式，并判断{an}的单调性。 【分析】差an+1－an＝随n变化，适合累加；累加后右边是一串能裂项相消的分数。 【解答】由题意，an+1－an＝＝－。 当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an-1) ＝2＋(1－＋－＋…＋－＝2＋1－＝3－。 当n＝1时，3－＝2＝a1，也适合，所以an＝3－（n∈N*）。 又an+1－an＝＞0，所以{an}是递增数列。 【方法小结】累加法写出n－1个差式相加，首项单独加上；最后一定检验n＝1。当差式本身能裂项时，累加的和会“首尾相消”，只剩两头。 例2　已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an（n∈N*）。（1）求a2，a3；（2）求{an}的通项公式。 【分析】＝是关于n的分式，适合累乘：把n－1个比式相乘，分子分母会大量约去。 【解答】（1）a2＝a1＝3，a3＝a2＝6。 （2）由题意＝，当n≥2时， an＝a1···…·＝1××××…×。 分子是3，4，…，n＋1，分母是1，2，…，n－1，约分后分子剩下n与n＋1，分母剩下1与2，所以an＝。 当n＝1时，＝1＝a1，也适合，所以an＝（n∈N*）。 【方法小结】累乘法的关键是写清“约去后剩下哪几个因数”：分子分母错开几位，就各剩几个。和累加法一样，最后检验n＝1。 题型3　变式：构造等比、取倒数与累加累乘 第1题配常数构造等比数列，第2题取倒数得到等差数列，第3题是一道累加，第4题由Sn与an的关系导出累乘。 变式1　数列{an}的首项为7，从第2项起，每一项都等于前一项的2倍减去5，即an+1＝2an－5（n∈N*）。由此判断{an－5}是什么数列，进而求出an。 变式2　已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝（n∈N*），求{an}的通项公式。 变式3　已知数列{an}满足a1＝4，an+1＝an＋2n（n∈N*），则a10等于（　　）。 A．94 B．104 C．114 D．76 变式4　若数列{an}的首项为1，且对任意n∈N*，它的前n项之和都等于an，则an＝____________。 【题型4】等差数列的基本量运算 等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn中，只要知道其中三个，就能求出另外两个（知三求二）。绝大多数题的第一步都是把条件翻译成关于a1与d的方程组。 例1　在等差数列{an}中，a4＝10，a9＝－5。（1）求{an}的通项公式；（2）判断－56是否在这个数列中，若在，它排在第几位；（3）求前10项的和S10。 【分析】已知两项，先用推广式d＝求公差，再求首项；判断某数是否为项就是解方程看n是否为正整数。 【解答】（1）d＝＝＝－3，a1＝a4－3d＝10＋9＝19。 所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n。 （2）令22－3n＝－56，得3n＝78，n＝26，是正整数，所以－56是第26项。 （3）a10＝22－30＝－8，S10＝＝＝55。 【方法小结】推广式an＝am＋(n－m)d可以绕开首项直接求公差；求和时已知首末项用Sn＝最简便。 例2　等差数列{an}的前3项之和为21，前6项之和为24。（1）求an；（2）前多少项之和等于－11？ 【分析】两个和的条件分别用公式Sn＝na1＋·d翻译，得到关于a1与d的二元一次方程组。 【解答】（1）由S3＝3a1＋3d＝21得a1＋d＝7；由S6＝6a1＋15d＝24得2a1＋5d＝8。 把a1＝7－d代入2a1＋5d＝8，得14＋3d＝8，d＝－2，a1＝9，所以an＝9－2(n－1)＝11－2n。 （2）设前k项之和等于－11，则Sk＝9k＋×(－2)＝10k－。 令10k－＝－11，得－10k－11＝0，(k－11)(k＋1)＝0，因为k是正整数，所以k＝11，即前11项之和等于－11。 【方法小结】用和的条件列方程时，把Sn写成na1＋·d；解出含k的一元二次方程后，舍去不是正整数的根。 题型4　变式：等差中项、首项公差的求法与计数求和 第1题用推广式直接求项，第2题用等差中项列方程，第3题由三项成等差定参数，第4题把“余数相同的数”看成等差数列来计数与求和。 变式1　等差数列{an}中，a6比a2大12，且a2＝－1，则a10＝（　　）。 A．27 B．23 C．26 D．17 变式2　若m，6，成等差数列，则实数m＝____________。 变式3　已知一个等差数列的前三项依次为a－1，2a＋1，a＋7。（1）确定a，并写出an；（2）求这个数列的前20项和。 变式4　在1到200的整数中，被7除余3的数共有多少个？求这些数的和。 【题型5】等差数列的性质 下标和性质“m＋n＝p＋q ⇒ am＋an＝ap＋aq”与“S2n-1＝(2n－1)an”是等差数列运算提速的两件利器。用之前先核对：两边项数相同，下标之和相同。 例1　在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＋a11＝48。（1）求前12项的和S12；（2）若又知a6＝11，求{an}的通项公式。 【分析】2＋11＝5＋8＝1＋12＝13，四项可以两两配成下标和为13的一对，而S12正好需要a1＋a12。 【解答】（1）因为2＋11＝5＋8＝1＋12，所以a2＋a11＝a5＋a8＝a1＋a12。 由a2＋a5＋a8＋a11＝48得2(a1＋a12)＝48，a1＋a12＝24。 所以S12＝＝6×24＝144。 （2）a6＋a7＝a1＋a12＝24，又a6＝11，所以a7＝13，d＝a7－a6＝2。 a1＝a6－5d＝11－10＝1，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1。 【方法小结】见到若干项之和，先看下标能不能两两配成同一个和；求Sn时，只要凑出a1＋an或中间项即可，不必分别求a1与d。 例2　一个等差数列的项数为奇数，所有项的和为77，奇数项（第1，3，5，…项）之和比偶数项（第2，4，6，…项）之和大7，求该数列的项数与正中间的一项。 【分析】设项数为2m＋1，则奇数项有m＋1个，偶数项有m个，两组项的平均数都等于中间项am+1，所以奇数项之和与偶数项之和的差恰好是中间项。 【解答】设数列共有2m＋1项（m∈N*），则奇数项为a1，a3，…，a2m+1，共m＋1项；偶数项为a2，a4，…，a2m，共m项。 奇数项之和为＝(m＋1)am+1，偶数项之和为＝mam+1。 两者之差为(m＋1)am+1－mam+1＝am+1＝7，所以中间项为7。 所有项之和S2m+1＝(2m＋1)am+1＝7(2m＋1)＝77，解得2m＋1＝11，所以项数为11。 检验：奇数项之和为6×7＝42，偶数项之和为5×7＝35，42－35＝7，42＋35＝77，都符合题意。 【方法小结】项数为奇数的等差数列，奇数项和与偶数项和之比等于(m＋1)∶m，两者之差等于中间项，两者之和等于项数乘中间项。 题型5　变式：下标和性质与由等差数列构造新数列 第1题由S2n-1＝(2n－1)an反求中间项，第2题由两项互换的条件求一项，第3题证明由原数列构造出的新数列仍是等差数列。 变式1　已知等差数列{an}的前11项和为22，则a4＋a6＋a8＝（　　）。 A．6 B．12 C．2 D．4 变式2　等差数列{an}的第5项是8，第8项是5，那么它的第13项是____________。 变式3　把公差为d的等差数列{an}的项按顺序每两项一组相加，得到bn＝a2n-1＋a2n（n∈N*）。（1）{bn}是否仍为等差数列？若是，公差是多少；（2）若a1＝1，d＝3，求bn。 【题型6】等差数列前n项和的最值 求等差数列前n项和的最值有两条路：一是“邻项变号法”，找出正负项的分界；二是“函数法”，把Sn写成关于n的二次函数，找离对称轴最近的正整数。两条路结果必须一致。 例1　在等差数列{an}中，a3＝28，a8＝－2，前n项和为Sn。（1）求an；（2）用两种方法求Sn的最大值及此时n的值。 【分析】先由两项求出首项与公差；公差为负，数列递减，前面若干项为正、后面各项为负，把正项全部加上时和最大；也可以把Sn写成二次函数找对称轴。 【解答】（1）d＝＝＝－6，a1＝a3－2d＝28＋12＝40，所以an＝40－6(n－1)＝46－6n。 （2）方法一（邻项变号法）：由（1）知an＝46－6n。 令an≥0，得n≤，而在7与8之间，所以a7＝4＞0，a8＝－2＜0。 前7项都为正数，从第8项起都为负数，所以S7最大，S7＝＝154。 方法二（函数法）：Sn＝40n＋×(－6)＝＋43n，对称轴为n＝。 在7与8之间且更靠近7，所以n＝7时Sn最大，S7＝－147＋301＝154。 【方法小结】邻项变号法看“最后一个正项”，函数法看“离对称轴最近的正整数”；某项恰好为0时，前后两个n对应的和相等，都是最值。 例2　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a6＋a7＞0，a6＋a8＜0。（1）当n为何值时Sn最大？（2）Sn＞0时，n最大可以取多少？ 【分析】条件只给了两个不等式，要先把它们翻译成某些项的符号：a6＋a8＝2a7，从而确定正负项的分界，再用S2k与S2k-1的公式判断和的符号。 【解答】（1）由a6＋a8＝2a7＜0得a7＜0；又a6＋a7＞0，所以a6＞－a7＞0。 于是d＝a7－a6＜0，数列递减，前6项为正，从第7项起为负，所以n＝6时Sn最大。 （2）S12＝＝6(a6＋a7)＞0；S13＝＝13a7＜0。 又数列递减，n≥13时再加的都是负项，Sn＜S13＜0，所以使Sn＞0成立的n的最大值为12。 【方法小结】判断Sn的符号，偶数项用S2k＝k(ak＋ak+1)，奇数项用S2k-1＝(2k－1)ak，把“和”化成“一项”或“相邻两项之和”的符号。 题型6　变式：由条件判断最值位置与求公差范围 第1题由两项的平方相等找出等于0的项，第2题由通项直接找最大和，第3题由两个和的符号反求公差的范围。 变式1　已知等差数列{an}的公差d＜0，且|a3|＝|a11|，则前n项和Sn取最大值时n的值为（　　）。 A．6 B．7 C．6或7 D．8 变式2　若等差数列{an}的通项公式为an＝19－2n，则当n＝____________时，其前n项和取到最大值，最大值为____________。 变式3　设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a4＝10，S14＞0，S15＜0。（1）求公差d的取值范围；（2）S1，S2，…，S14中哪一个最大？说明理由。 【题型7】等比数列的基本量与性质 等比数列的基本量运算常用“两式相除”消去首项，性质运算常用“下标和相等则积相等”。所有运算都要记住两条底线：q≠0，各项都不为0；正项等比数列里开平方只取正值。 例1　在等比数列{an}中，a3＝20，a6＝160。（1）求{an}的通项公式；（2）求前n项和Sn；（3）640是这个数列的第几项？ 【分析】两项都用首项与公比表示，两式相除消去a1，得到，这是等比数列基本量运算的通法。 【解答】（1）由a3＝a1＝20，a6＝a1＝160，两式相除得＝8，所以q＝2。 a1＝＝5，所以an＝5×。 （2）Sn＝＝－1)。 （3）令5×＝640，得＝128＝，所以n＝8，即640是第8项。 【方法小结】“两式相除”适用于两项之比、两和之比；公比算出来后再回代求首项。判断某数是第几项，化成同底数幂比较指数。 例2　等比数列{an}的每一项都大于0，且a1a7＝64。（1）求a4及log2a1＋log2a2＋…＋log2a7的值；（2）若又知a2＋a6＝34，求公比q。 【分析】1＋7＝2×4，a1a7就是a4的平方；对数之和化成真数之积，再用下标和性质把七项之积化成a4的7次方。 【解答】（1）因为1＋7＝4＋4，所以a4·a4＝a1a7＝64，又a4＞0，所以a4＝8。 log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝log2(a1a2…a7)。 而a1a7＝a2a6＝a3a5＝a4·a4，所以a1a2…a7＝＝，所求的和为21。 （2）a2a6＝a4·a4＝64，又a2＋a6＝34，所以a2，a6是方程－34t＋64＝0的两个根， 解得a2＝2，a6＝32或a2＝32，a6＝2。 当a2＝2，a6＝32时＝16；当a2＝32，a6＝2时＝。又q＞0，所以q＝2或q＝。 【方法小结】正项等比数列求多项之积，先找“中间项”；已知两项之和与之积时，把它们看成一元二次方程的两个根，注意两种对应都要考虑。 题型7　变式：等比中项的符号、公比与和的计算、单调性 第1题提醒等比中项的符号要结合数列本身确定，第2题两式相除求公比，第3题分类讨论公比的正负，第4题判断等比数列的单调性。 变式1　已知4，a，b，c，成等比数列，则b＝（　　）。 A．1 B．－1 C．±1 D． 变式2　在等比数列{an}中，a1＋a2＝3，a4＋a5＝24，则a7＋a8＝____________。 变式3　等比数列{an}的前2项之和为4，前4项之和为20。（1）求公比q与首项a1；（2）求前6项之和S6。 变式4　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则下列条件中能使{an}为递增数列的是（　　）。 A．a1＞0，0＜q＜1 B．a1＜0，q＞1 C．a1＜0，0＜q＜1 D．a1＞0，q＜0 【题型8】等差与等比的交汇：三数问题与基本量 等差、等比混在一起时，先分清“谁是等差、谁是等比”，再各自设基本量：三个数成等差设为a－d，a，a＋d，成等比设为，a，aq。所有条件最终都落到基本量的方程上。 例1　三个数成等差数列，它们的和为18；如果把这三个数依次加上2，4，11，所得的三个数成等比数列，求原来的三个数。 【分析】三个数成等差且已知和，设为a－d，a，a＋d，和只含a；再用等比中项列出关于d的方程。 【解答】设这三个数为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝18，a＝6。 依次加上2，4，11后得8－d，10，17＋d，它们成等比数列，所以(8－d)(17＋d)＝。 展开得136－9d－＝100，即＋9d－36＝0，(d－3)(d＋12)＝0，d＝3或d＝－12。 当d＝3时，三个数为3，6，9，加后得5，10，20，公比为2； 当d＝－12时，三个数为18，6，－6，加后得20，10，5，公比为。 所以原来的三个数是3，6，9或18，6，－6。 【方法小结】对称设法能让“和”或“积”只含一个字母；解出后要回到等比条件检验，确认各项都不为0。 例2　已知{an}是公差为2的等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，a1＝b1＝1，a3＋b3＝14。（1）先由a3＋b3＝14求出{bn}的公比，再写出an与bn；（2）求{bn}的前n项和Tn；（3）说明{bn}的每一项都是{an}中的项，并指出bk是{an}的第几项。 【分析】{an}的首项与公差都已知，可以直接写出通项；{bn}只差公比q，用a3＋b3＝14列出关于q的方程。第（3）问把“bk是{an}中的项”翻译成“方程2n－1＝bk有正整数解n”。 【解答】（1）an＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以a3＝5。 设{bn}的公比为q（q＞0），则b3＝，由a3＋b3＝14得5＋＝14，＝9，又q＞0，所以q＝3，bn＝。 （2）Tn＝＝。 （3）令2n－1＝，得n＝。 因为是正奇数，＋1是正偶数，所以n＝是正整数，bk是{an}的第项；例如b4＝27是{an}的第14项。 【方法小结】等差、等比数列同时出现时，先分清各自的基本量，再用联系两者的条件列方程；判断一个数列的项是否在另一个数列中，就是看对应的方程有没有正整数解。 题型8　变式：既等差又等比、对数与等比的联系、两类数列的联合求和 第1题辨析既成等差又成等比的三个数，第2题由等比数列取对数得到等差数列，第3题分别求两个数列的通项与和。 变式1　若a，b，c既成等差数列又成等比数列，则（　　）。 A．公差不为0 B．a＝b＝c≠0 C．a＋c＝0 D．b＝0 变式2　已知{an}是各项均为正数的等比数列，公比q＝4，令bn＝log2an，则{bn}是公差为____________的等差数列。 变式3　已知等差数列{an}中a2＝5，a5＝14；等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a5＋2。（1）求an与bn；（2）求数列{an}的前n项和Sn与{bn}的前n项和Tn。 【题型9】数列求和（分组、裂项、错位相减、倒序相加） 求和方法由通项的结构决定：通项是“等差＋等比”就分组，是分式或根式之差就裂项，是“等差×等比”就错位相减，首尾配对和为定值就倒序相加。先看通项，再动笔。 例1　求下列各和：（1）Tn＝＋＋＋…＋；（2）＋＋…＋。 【分析】（1）分母是等差数列相邻两项的积，公差为3，恰好与分子3抵消，可以直接拆成两项之差；（2）分母有理化后每一项都是两个根式之差。 【解答】（1）＝－。 所以Tn＝－＋－＋…＋－＝－＝。 （2）＝－（分子分母同乘－）。 所以原式＝－1)＋－＋…＋－＝－1＝9。 【方法小结】裂项后先写出前两项和最后一项，看清哪些项相消、剩下哪些项。分母两因式之差不等于分子时，要在前面补系数。 例2　用错位相减法计算Tn＝2×2＋5×＋8×＋…＋(3n－1)·。 【分析】第n项(3n－1)·是等差数列的第n项3n－1与等比数列的第n项之积，用错位相减法：两边乘公比2，错开一位相减。 【解答】Tn＝2×2＋5×＋8×＋…＋(3n－1)·，① 2Tn＝2×＋5×＋…＋(3n－4)·＋(3n－1)·。② ①－②得－Tn＝4＋＋＋…＋－(3n－1)· ＝4＋－4)－(3n－1)·＝－8＋(4－3n)·。 所以Tn＝(3n－4)·＋8。 检验：n＝2时，T2＝4＋20＝24，而(6－4)×＋8＝24，相符。 【方法小结】错位相减四步：写和式、乘公比、错位相减、整理结果。相减后中间的等比数列有n－1项，最后一项前是减号；结果可用n＝1，2回代检验。 题型9　变式：分组求和、倒序相加、裂项与错位相减 第1题把通项拆成等比与等差两部分，第2题函数值首尾配对，第3题是平方差型裂项，第4题是公比为负数的错位相减。 变式1　数列＋2n－1}的前n项和为（　　）。 A．－1＋ B．＋＋n C．＋ D．＋ 变式2　已知f(x)＝，则＋＋…＋＝____________。 变式3　求和：Tn＝＋＋…＋。 变式4　求和：Tn＝1＋2×(－2)＋3×＋…＋n·。 【题型10】数列的实际应用（复利、增长率） 应用题的关键是建模：每期“加上同一个数”是等差模型，每期“乘同一个数”是等比模型。先写出第1期、第2期、第3期，看清规律与项数，再用公式；涉及幂的近似值时按题目给的参考数据计算。 例1　小张计划连续5年、每年1月1日往一个储蓄账户存入1万元，账户年利率3%，每年的利息自动转入本金（复利）。到第5年12月31日，账户中共有多少万元？（参考数据：≈1.1593，结果精确到0.01万元） 【分析】每一笔存款单独计算：第1年存的钱存了5年，第5年存的钱只存了1年，五笔本利和组成等比数列。 【解答】第1年1月1日存入的1万元到第5年12月31日的本利和为万元， 第2年存入的为万元，……，第5年存入的为1.03万元。 所以总本利和为S＝1.03＋＋…＋，这是首项为1.03、公比为1.03的等比数列前5项和。 S＝≈1.03×(1.1593－1)÷0.03＝5.4693≈5.47（万元）。 【方法小结】复利问题按“每一笔钱存了几期”逐笔计算，把各笔本利和排成等比数列；注意首项与项数，最后按题目要求取近似值。 例2　一家工厂2026年全年产值500万元，按规划此后每一年的产值都是前一年的1.1倍。（1）记2026年为第1年，用n表示第n年的产值an（万元）；（2）求2026年至2035年这10年的总产值；（3）从哪一年起，年产值首次超过1000万元？（参考数据：≈1.949，≈2.144，≈2.594） 【分析】每年乘同一个数1.1，是等比模型；2026年至2035年共10年；“首次超过”就是解指数不等式，求最小的正整数n。 【解答】（1）由题意{an}是首项为500、公比为1.1的等比数列，所以an＝500×。 （2）10年的总产值为S10＝≈5000×(2.594－1)＝7970（万元）。 （3）令500×＞1000，得＞2。 因为≈1.949＜2，≈2.144＞2，且随x增大而增大，所以n－1的最小值为8，n＝9。 第9年是2034年，所以从2034年起年产值首次超过1000万元。 【方法小结】增长率问题写成an＝a1，第几年与指数差1要特别小心；“首次超过”用参考数据夹逼出最小的n，再换算成年份。 题型10　变式：衰减、等差排布与两种增长的比较 第1题是等比衰减模型，第2题是等差排布求总数，第3题比较等差增长的投入与等比增长的收益。 变式1　某种放射性物质每年衰减10%（即每年剩余上一年的90%），至少经过（　　）年，剩余量不足原来的一半。（参考数据：≈0.531，≈0.478） A．5 B．6 C．7 D．8 变式2　某阶梯教室共有20排座位，第1排有18个座位，往后每一排都比前一排多2个座位，则该教室共有座位____________个。 变式3　某公司第1年投入研发资金100万元，以后每年的投入都比上一年多20万元；研发带来的收益第1年为20万元，以后每年都是上一年的1.5倍。（1）写出前n年的总投入In与总收益Rn（万元）；（2）分别比较第9年末、第10年末总收益与总投入的大小。（参考数据：≈38.44，≈57.67） 【题型11】数学归纳法 数学归纳法的书写格式是固定的：第一步验证起点，第二步写出归纳假设，再从n＝k＋1时的式子出发，想办法把n＝k时的式子“找出来”并用上假设，最后写结论。第二步没有用上归纳假设的证明不是数学归纳法。 例1　对任意正整数n，等式1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n＋2)＝都成立，试用数学归纳法加以证明。 【分析】从n＝k到n＝k＋1，左边只增加了一项(k＋1)(k＋3)，把它加到归纳假设的右边，再提取公因式k＋1整理成目标形式。 【解答】（1）当n＝1时，左边＝1×3＝3，右边＝＝3，等式成立。 （2）假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，即1×3＋2×4＋…＋k(k＋2)＝。 那么当n＝k＋1时，左边＝＋(k＋1)(k＋3)＝＝＝。 而右边＝＝，所以当n＝k＋1时等式也成立。 由（1）（2）可知，等式对任何n∈N*都成立。 【方法小结】证等式时，先写出n＝k＋1时要证的目标右边，再把“假设＋新增项”往目标上凑；提取公因式比整体展开更省事。 例2　已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an²－2(n－1)an＋2（n∈N*）。（1）求a2，a3，a4；（2）由此猜出an的表达式，再用数学归纳法给出证明。 【分析】递推式是二次的，无法用累加、累乘处理，先算出前几项归纳猜想，再用数学归纳法证明。 【解答】（1）a2＝－0×1＋2＝3，a3＝－2×1×3＋2＝5，a4＝－2×2×5＋2＝7。 （2）猜想an＝2n－1。下面用数学归纳法证明。 ①当n＝1时，a1＝1＝2×1－1，猜想成立。 ②假设当n＝k（k∈N*）时猜想成立，即ak＝2k－1。 那么ak+1＝ak²－2(k－1)ak＋2＝(2k－1)[(2k－1)－2(k－1)]＋2＝(2k－1)×1＋2＝2k＋1＝2(k＋1)－1， 即当n＝k＋1时猜想也成立。由①②可知，an＝2n－1对任何n∈N*都成立。 【方法小结】“归纳—猜想—证明”三步走：多算几项再猜，猜想的式子要与已算出的各项都吻合；证明时把ak＝2k－1代入递推式，先提取公因式再化简。 题型11　变式：增加的项数、乘上的因式、不等式与几何计数 第1题数清由k到k＋1增加的项数，第2题找出乘积要乘上的因式，第3题证明一个根式不等式（起点n0＝2），第4题证明圆内若干条弦分割圆面的块数公式。 变式1　用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＞1＋（n∈N*）时，由n＝k到n＝k＋1，不等式左边增加的项数是（　　）。 A． B．2× C．2×－1 D． 变式2　用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(3n)能被整除（n∈N*）”时，由n＝k到n＝k＋1，乘积(n＋1)(n＋2)…(3n)需要乘上的代数式为____________。 变式3　用数学归纳法证明：当n≥2（n∈N*）时，1＋＋＋…＋＜－1。 变式4　圆内画n条弦，其中任意两条弦都在圆内相交，任意三条弦都不经过圆内同一点。用数学归纳法证明：这n条弦把圆面分成块（n∈N*）。 【题型12】数列与不等式的综合（拓展） 本题型为拓展内容。数列不等式有两类：一类能先求出和再比较（裂项后的和有明显的上界）；另一类求不出和，要先把通项“放大”或“缩小”成可以求和的形式。放缩的尺度要恰好，放过头结论就证不出来。 例1　（拓展）已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝3an＋2（n∈N*）。（1）求{an}的通项公式；（2）证明：＋＋…＋＜。 【分析】（1）配成an+1＋1＝3(an＋1)；（2）求不出和，把分母缩小成2×，通项就放大成等比数列的项。 【解答】（1）由an+1＝3an＋2得an+1＋1＝3(an＋1)，又a1＋1＝3≠0， 所以{an＋1}是首项为3、公比为3的等比数列，an＋1＝，an＝－1。 （2）因为－1－2×＝－1≥0，所以－1≥2×，≤×。 所以＋…＋≤(1＋＋…＋＝×＝(1－＜。 【方法小结】放缩成等比数列时，保留首项不变、把后面的项放成同一公比，最后的和小于无限项的“极限值”；放缩的方向要与要证的不等号一致。 例2　（拓展）等差数列{an}的第2项为5，第5项为11，记其前n项和为Sn。（1）求Sn；（2）设Tn＝＋＋…＋，若Tn＜对一切n∈N*恒成立，求正整数m的最小值。 【分析】先求出Tn的表达式，再研究它随n变化的范围：恒成立问题要求不小于Tn的所有值。 【解答】（1）d＝＝2，a1＝3，an＝2n＋1，Sn＝＝＋2n。 （2）＝＝－，相消后前面剩两项、后面剩两项： Tn＝(1＋－－＝－＋。 Tn随n的增大而增大，且Tn＜；对任意小于的数，只要n足够大，Tn就能超过它。 所以Tn＜恒成立等价于≥，即m≥15，正整数m的最小值为15。 【方法小结】“Tn＜c恒成立”看Tn能取到的上限：Tn递增且无限接近但取不到，所以c可以等于；分母两因式相差2时要补系数，相消后首尾各剩两项。 题型12　变式：分段数列的单调性、恒成立与放缩证明 三道题都是拓展内容：第1题研究分段数列递增的条件，第2题由和的最小值定参数范围，第3题用裂项放缩证明不等式。 变式1　（拓展）已知数列{an}的通项公式为：当n≤5时an＝(4－a)n－6，当n＞5时an＝，若{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（　　）。 A．(1，4) B．(2，4) C．[2，4) D．(2，＋∞) 变式2　（拓展）已知数列{an}的通项公式为an＝，前n项和为Tn，若Tn＞λ对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是____________。 变式3　（拓展）证明：1＋＋＋…＋＜（n∈N*）。 　易错专练 下面七题分别踩在本章最容易丢分的七个地方：由Sn求an不检验首项、公比为字母时不讨论q＝1、等比中项不看符号、把Sn的最值点取成非整数、错位相减漏掉末项、数学归纳法第二步不用归纳假设、把下标和性质用到项数不等的两边。每题都给出一段真实的错解，先自己找出错在哪一步，再看错因与正解。 易错1　某同学求“前n项之和为－3n＋2”的数列{an}的通项，写出了an＝4n－5。这个结果对吗？写出正确的通项。 易错2　求和：1＋a＋＋…＋（a≠0）。 易错3　在等比数列{an}中，a4，a8是方程－10x＋4＝0的两个根，求a6。 易错4　某等差数列的前n项之和Sn＝，有同学说“Sn的最大值是”。指出他的错误，并求出Sn真正的最大值及此时n的值。 易错5　求和：Tn＝1＋2×3＋3×＋…＋n·。 易错6　有同学这样证明“1＋3＋＋…＋＝（n∈N*）”：①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；②假设当n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，左边＝1＋3＋…＋＝＝＝右边，等式也成立。这个证明对吗？如果不对，写出正确的第二步。 易错7　在等差数列{an}中，a1＝2，a2＋a8＝16，求a10。 　课后作业（一）基础过关 本组十二题与教材例题、练习难度相当。前五题只需把选项字母填在括号里；第6至9题把结果写在横线上，分数化成最简；最后三题要写出求首项、公差（公比）的完整过程。 1．观察4，7，12，19，28，…，下列式子中能作为这个数列通项的是（　　）。 A．an＝3n＋1 B．an＝＋n＋1 C．an＝＋n＋2 D．an＝＋3 2．首项为6的等差数列{an}中，a4＝－3，则a8＝（　　）。 A．－15 B．－18 C．－12 D．－6 3．等比数列3，9，27，…的前n项和为363，则n＝（　　）。 A．4 B．6 C．5 D．11 4．已知{an}为等差数列，且a4＋a10＝36，那么a7的值为（　　）。 A．9 B．18 C．36 D．72 5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋＝＋1)（n∈N*）时，由n＝k到n＝k＋1，等式左边应在n＝k时的基础上加上（　　）。 A． B．＋1 C．＋1) D．＋1)＋＋2)＋…＋ 6．等差数列－3，1，5，…的第15项是____________，401是它的第____________项。 7．已知等比数列{an}的公比q＞0，a2＝4，a4＝16，则前5项和S5＝____________。 8．等差数列{an}前9项的和为54，那么第2，5，8项的和a2＋a5＋a8＝____________。 9．计算和式的值：(1＋＋(2＋＋(3＋＋…＋(6＋＝____________。 10．已知a3＝2，S6＝27，其中Sn表示等差数列{an}的前n项和，求an与Sn。 11．等比数列{an}满足a1＋a3＝20，a2＋a4＝10。（1）求公比q和首项a1；（2）求使Sn＞31成立的n的最小值。 12．已知等差数列{an}中，a1＝2，a1＋a2＋a3＝12。（1）求an；（2）令bn＝an＋，求数列{bn}的前n项和Tn。 　课后作业（二）能力提升 这一组九题把本章的性质与方法放到更灵活的条件里使用：选择三题都有简捷的性质或特例解法，填空三题分别练公比、错位相减与由Sn求通项，解答三题要求写出构造新数列、分奇偶求和和建立模型的完整过程。 1．若{an}是等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（　　）。 A．{an＋1} B．{anan+1} C．{an＋an+1} D．{2an－1} 2．在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝42，a4＋a7＋a10＝24，则a6＋a9＋a12＝（　　）。 A．15 B．－12 C．6 D．42 3．数列{an}的首项为1，且任意相邻两项之积anan+1＝（n∈N*），那么第10项a10＝（　　）。 A．243 B．81 C．729 D．19683 4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则公比q＝____________。 5．1＋3×2＋5×＋7×＋…＋19×＝____________。 6．若数列{an}前n项的和恰为－1，则它各项平方的前n项和a1²＋a2²＋…＋an²＝____________。 7．已知数列{an}满足a1＝6，an＝6－（n≥2），令bn＝。（1）求证：{bn}的相邻两项之差为定值；（2）写出an。 8．等差数列{an}的第3项是5，前4项之和是16。（1）求an；（2）令cn＝·an，求数列{cn}的前2n项和T2n及前21项和T21。 9．某款应用软件上线第1个月新增用户5万人，此后每个月新增的用户数都是上个月新增用户数的1.5倍。（1）写出前n个月累计的用户数Sn（万人）；（2）累计用户数在第几个月首次达到100万人？（参考数据：≈7.59，≈11.39） 　课后作业（三）拓展探究 这一组五题都标为“拓展”，供学有余力的同学选做：一道由等比关系求参数范围的填空，四道解答分别涉及Sn与an的混合关系、数学归纳法证明不等式、二阶递推与数列最大项。做题时仍要写出完整的推理过程。 1．（拓展）已知实数a，b，c成等比数列，且a＋b＋c＝3，则b的取值范围是____________。 2．（拓展）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－（n∈N*）。（1）求证：当n≥2时，－是常数；（2）求an与Sn。 3．（拓展）用数学归纳法证明：当n≥2（n∈N*）时，＋＋…＋＞。 4．（拓展）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an+2＝5an+1－4an（n∈N*）。（1）令bn＝an+1－an，求bn；（2）求an及前n项和Sn。 5．（拓展）设cn＝（n∈N*）。（1）当n为何值时cn+1＞cn？（2）若cn≤λ对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最小值。 　参考答案与解析 　题型1　变式：由项写通项、周期数列与最大项 变式1　【答案】B 【解析】各项的绝对值依次是1，4，9，16，25，即；第1项为正，符号正负相间，用表示。 所以an＝·，代入n＝2得－4，与第2项相符。 A项第1项为－1，符号全反；C、D两项把绝对值写成了，第1项的绝对值成了4。故选B。 变式2　【答案】2；16 【解析】a8＝＝＝2。 令＝，交叉相乘得15n＝12n＋48，解得n＝16，是正整数。 所以是这个数列的第16项。 变式3　【答案】D 【解析】数列中的数是按确定的顺序排列的，顺序不同就是不同的数列，A项错误。 数列的图象是一群孤立的点，B项错误；同一个数列可以有不同形式的通项公式，例如－1，1，－1，1，…既可以写成an＝，也可以分奇偶写成两段，C项错误。 D项正确，这正是用函数观点研究数列的依据。故选D。 变式4　【答案】（1）a2＝，a3＝，a4＝3，周期为3；（2）a2027＝，S100＝ 【解析】（1）a2＝1－＝，a3＝1－＝，a4＝1－＝3＝a1。 由递推公式，a4＝a1可推出a5＝a2，a6＝a3，…，所以数列以3为周期重复出现。 （2）2027＝3×675＋2，所以a2027＝a2＝。 一个周期内三项的和为3＋－＝。 100＝3×33＋1，所以S100＝33×＋a100＝＋a1＝＋3＝。 　题型2　变式：由前n项和求项、由“和与项”的关系求通项 变式1　【答案】9；an＝4n－7 【解析】a4＝S4－S3＝(32－20)－(18－15)＝12－3＝9。 当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝－5n－－5(n－1)]＝4n－7； 又a1＝S1＝2－5＝－3，把n＝1代入4n－7也得－3，所以an＝4n－7。 变式2　【答案】B 【解析】a1＝S1＝3＋c；当n≥2时an＝Sn－Sn-1＝2n＋1，从第2项起相邻两项的差都是2。 {an}是等差数列，当且仅当a2－a1＝5－(3＋c)＝2，即3＋c＝3，c＝0，所以B正确，A错误。 c＝1时a1＝4，C错误；c≠0时{an}从第2项起就成等差数列，D错误。故选B。 变式3　【答案】（1）a1＝1；（2）an＝，a4＝－27 【解析】（1）令n＝1，得4a1＝3a1＋1，所以a1＝1。 （2）当n≥2时，4Sn-1＝3an-1＋1，与4Sn＝3an＋1相减得4an＝3an－3an-1，即an＝－3an-1。 因为a1＝1≠0，所以各项都不为0，＝－3，{an}是首项为1、公比为－3的等比数列。 所以an＝，a4＝＝－27。 　题型3　变式：构造等比、取倒数与累加累乘 变式1　【答案】{an－5}是首项为2、公比为2的等比数列；an＝＋5 【解析】由an+1＝2an－5得an+1－5＝2an－10＝2(an－5)。 又a1－5＝2≠0，所以an－5≠0，＝2， {an－5}是首项为2、公比为2的等比数列。 所以an－5＝2×＝，an＝＋5。 变式2　【答案】an＝ 【解析】由a1＝1＞0及递推式可知各项都为正数。两边取倒数得＝＝＋。 所以－＝，以为第n项的数列是首项为1、公差为的等差数列。 于是＝1＋(n－1)×＝，所以an＝。 变式3　【答案】A 【解析】累加：an＝a1＋2×1＋2×2＋…＋2(n－1)＝4＋n(n－1)＝－n＋4（n≥2），n＝1时也适合。 所以a10＝100－10＋4＝94。 C项是把最后一个加数写成2n，多加了一项，得114；B项漏掉了－n，得104；D项少加了最后一项2×9。故选A。 变式4　【答案】 【解析】当n≥2时，Sn-1＝an-1，两式相减得an＝an－an-1。 整理得－1)an＝an-1，即＝。 累乘：an＝1××××…×＝＝，n＝1时也适合。 　题型4　变式：等差中项、首项公差的求法与计数求和 变式1　【答案】B 【解析】由a6－a2＝4d＝12得d＝3，于是a6＝a2＋12＝11。 a10＝a6＋4d＝11＋12＝23。也可用a2，a6，a10成等差数列：a10＝2a6－a2＝22＋1＝23。 D项是a8的值（11＋6），把a10误当成了a6后面第2项；A项由a6－a2误写成3d＝12得d＝4，算成11＋16＝27；C项把a10写成a2＋9d，算成－1＋27＝26。故选B。 变式2　【答案】3或－4 【解析】由等差中项得2×6＝m＋，即＋m－12＝0，(m－3)(m＋4)＝0。 所以m＝3或m＝－4。检验：m＝3时三数为3，6，9；m＝－4时三数为－4，6，16，都成等差数列。 变式3　【答案】（1）a＝2，an＝4n－3；（2）780 【解析】（1）由等差中项得2(2a＋1)＝(a－1)＋(a＋7)，即4a＋2＝2a＋6，解得a＝2。 前三项为1，5，9，公差为4，所以an＝1＋4(n－1)＝4n－3。 （2）a20＝80－3＝77，S20＝＝780。 变式4　【答案】共29个，和为2929 【解析】被7除余3的正整数可以写成7k＋3（k∈N），在1到200中最小的是3，它们组成首项为3、公差为7的等差数列，第n项为an＝7n－4。 令7n－4≤200，得n≤，而在29与30之间，所以n的最大值为29，最后一项a29＝203－4＝199。 这些数的和为＝29×101＝2929。 　题型5　变式：下标和性质与由等差数列构造新数列 变式1　【答案】A 【解析】S11＝＝11a6＝22，所以a6＝2。 因为4＋8＝2×6，所以a4＋a8＝2a6，a4＋a6＋a8＝3a6＝6。 C项只求出了a6，没有乘3；B项把a1＋a11误当成a6，由＝22得a6＝4，再乘3得12；D项误用a4＋a8＝a6，算成a6＋a6＝4。故选A。 变式2　【答案】0 【解析】d＝＝＝－1。 a13＝a8＋5d＝5－5＝0。 变式3　【答案】（1）是等差数列，公差为4d；（2）bn＝12n－7 【解析】（1）bn+1－bn＝[a2n+1＋a2n+2]－[a2n-1＋a2n]＝[a2n+1－a2n-1]＋[a2n+2－a2n]＝2d＋2d＝4d， 4d是常数，所以{bn}是公差为4d的等差数列。 （2）b1＝a1＋a2＝1＋4＝5，公差为4×3＝12，所以bn＝5＋12(n－1)＝12n－7。 　题型6　变式：由条件判断最值位置与求公差范围 变式1　【答案】C 【解析】因为d≠0，所以a3≠a11，由|a3|＝|a11|得a3＝－a11，即a3＋a11＝0。 3＋11＝2×7，所以2a7＝0，a7＝0。 又d＜0，前6项为正，a7＝0，从第8项起为负，所以S6＝S7且同为最大值，n＝6或7。故选C。 变式2　【答案】9；81 【解析】令19－2n≥0，得n≤，所以a9＝1＞0，a10＝－1＜0。 前9项为正，所以n＝9时和最大，S9＝＝81。 变式3　【答案】（1）＜d＜；（2）S7最大 【解析】（1）由a4＝10得a1＝10－3d。 S14＝14a1＋91d＝14(10－3d)＋91d＝140＋49d＞0，得d＞； S15＝15a1＋105d＝15(10－3d)＋105d＝150＋60d＜0，得d＜。 所以＜d＜。 （2）S14＝7(a7＋a8)＞0，S15＝15a8＜0，所以a8＜0，a7＞－a8＞0。 又d＜0，数列递减，前7项为正、从第8项起为负，所以S7最大。 　题型7　变式：等比中项的符号、公比与和的计算、单调性 变式1　【答案】A 【解析】由等比中项得＝4×＝1，所以b＝±1。 但b＝，＞0，所以b＞0，b＝1。 B项只取了负根，忽视了同一个等比数列中奇数项同号；C项求出＝1后没有舍去负值；D项把等比中项错用成等差中项，按算得。故选A。 变式2　【答案】192 【解析】＝＝＝8，所以q＝2。 a7＋a8＝(a1＋a2)＝3×64＝192。 变式3　【答案】（1）q＝2，a1＝或q＝－2，a1＝－4；（2）S6＝84 【解析】（1）S4－S2＝a3＋a4＝(a1＋a2)，所以20－4＝，＝4，q＝2或q＝－2。 当q＝2时，a1(1＋2)＝4，a1＝；当q＝－2时，a1(1－2)＝4，a1＝－4。 （2）a5＋a6＝(a1＋a2)＝4×16＝64，所以S6＝S4＋64＝84，两种情况结果相同。 变式4　【答案】C 【解析】an+1－an＝a1(q－1)。 C项中a1＜0，＞0，q－1＜0，三者之积为正，所以an+1＞an，数列递增。 A、B两项中乘积为负，数列递减；D项q＜0，各项正负相间，是摆动数列。故选C。 　题型8　变式：既等差又等比、对数与等比的联系、两类数列的联合求和 变式1　【答案】B 【解析】成等差得2b＝a＋c；成等比得＝ac且a，b，c都不为0。 于是＝4ac，即＝0，所以a＝c，进而b＝a，三数相等且不为0。 等比数列各项不为0，D项不可能；此时公差为0，A项错误；a＋c＝2a≠0，C项错误。故选B。 变式2　【答案】2 【解析】bn+1－bn＝log2an+1－log2an＝log2＝log24＝2， 是常数，所以{bn}是公差为2的等差数列。 变式3　【答案】（1）an＝3n－1，bn＝；（2）Sn＝，Tn＝－2 【解析】（1）d＝＝3，a1＝5－3＝2，所以an＝3n－1。 b1＝2，b4＝14＋2＝16，＝＝8，q＝2，所以bn＝2×＝。 （2）Sn＝＝；Tn＝＝－2。 　题型9　变式：分组求和、倒序相加、裂项与错位相减 变式1　【答案】C 【解析】分组：等比部分1＋3＋…＋＝＝； 等差部分1＋3＋…＋(2n－1)＝＝。 所以前n项和为＋。A项求等比部分时漏除以3－1；B项把等差部分的通项2n－1错当成2n，算成n(n＋1)＝＋n；D项把等比部分的项数多算了一项。故选C。 变式2　【答案】6 【解析】f(1－x)＝，分子分母同乘得＝。 所以f(x)＋f(1－x)＝＝1。 把所求的和记为M，倒序写出再相加，每一对的和都是1，共12对，所以2M＝12，M＝6。 变式3　【答案】Tn＝1－ 【解析】因为－＝2n＋1，所以第k项＝＝－。 Tn＝(1－＋－＋…＋－＝1－。 变式4　【答案】Tn＝ 【解析】Tn＝1＋2×(－2)＋3×＋…＋n·，① －2Tn＝1×(－2)＋2×＋…＋(n－1)·＋n·。② ①－②得3Tn＝1＋(－2)＋＋…＋－n·＝－n·。 所以Tn＝。 检验：n＝2时，T2＝1－4＝－3，而＝－3，相符。 　题型10　变式：衰减、等差排布与两种增长的比较 变式1　【答案】C 【解析】设原有量为1，经过n年剩余，要求＜0.5。 ≈0.531＞0.5，≈0.478＜0.5，且随n增大而减小，所以n的最小值为7。 B项6年时剩余约53.1%，还超过一半；D项把经过n年后的剩余量错写成，由＜0.5得n－1＝7，n＝8；A项按“每年减少原有量的10%”的等差模型计算，又把“不足一半”当成“不超过一半”，由1－0.1n≤0.5得n＝5。故选C。 变式2　【答案】740 【解析】各排座位数构成首项为18、公差为2的等差数列，共20项。 S20＝20×18＋×2＝360＋380＝740。 变式3　【答案】（1）In＝＋90n，Rn＝－1)；（2）第9年末总收益小于总投入，第10年末总收益大于总投入 【解析】（1）每年投入构成首项为100、公差为20的等差数列，In＝100n＋×20＝＋90n。 每年收益构成首项为20、公比为1.5的等比数列，Rn＝＝－1)。 （2）I9＝810＋810＝1620，R9≈40×(38.44－1)＝1497.6，所以R9＜I9。 I10＝1000＋900＝1900，R10≈40×(57.67－1)＝2266.8，所以R10＞I10。 　题型11　变式：增加的项数、乘上的因式、不等式与几何计数 变式1　【答案】B 【解析】n＝k时左边的最后一项是，n＝k＋1时左边的最后一项是。 增加的项是，，…，，项数为－＋1)＋1＝－＝2×。 A项把n＝k时左边的总项数当成了增加的项数；C项计数时漏了“＋1”，算成－＋1)＝2×－1，少数了一项；D项把n＝k＋1时左边的总项数当成了增加的项数。故选B。 变式2　【答案】3(3k＋1)(3k＋2) 【解析】n＝k时乘积为(k＋1)(k＋2)…(3k)；n＝k＋1时乘积为(k＋2)(k＋3)…(3k)(3k＋1)(3k＋2)(3k＋3)。 后者比前者少了因数k＋1，多了(3k＋1)(3k＋2)(3k＋3)，所以要乘上＝3(3k＋1)(3k＋2)。 这个式子含因数3，再结合归纳假设“(k＋1)(k＋2)…(3k)能被整除”，就得到n＝k＋1时的乘积能被整除。 变式3　【答案】证明见解析 【解析】（1）当n＝2时，左边＝1＋，右边＝－1，右边－左边＝＞0（因为＝18＞16），不等式成立。 （2）假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时不等式成立，即1＋＋…＋＜－1。 那么当n＝k＋1时，左边＜－1＋＝－1。 由基本不等式，＜k＋(k＋1)＝2k＋1（k≠k＋1，等号取不到）， 所以左边＜－1＝－1＝－1，即当n＝k＋1时不等式也成立。 由（1）（2）可知，不等式对任何n≥2的正整数n都成立。 变式4　【答案】证明见解析 【解析】（1）当n＝1时，一条弦把圆面分成2块，而＝2，命题成立。 （2）假设当n＝k（k∈N*）时命题成立，即k条弦把圆面分成块。 当n＝k＋1时，第k＋1条弦与前k条弦各有1个交点，共k个交点，且这些交点互不相同。 这k个点把第k＋1条弦分成k＋1段，每一段都把它所在的那一块一分为二，所以块数增加了k＋1。 于是块数为＋(k＋1)＝＝，即当n＝k＋1时命题也成立。 由（1）（2）可知，命题对任何n∈N*都成立。 　题型12　变式：分段数列的单调性、恒成立与放缩证明 变式1　【答案】B 【解析】前5项递增需4－a＞0，即a＜4；从第6项起递增需a＞1； 还要求a6＞a5，即＞5(4－a)－6＝14－5a，＋5a－14＞0，(a＋7)(a－2)＞0，结合a＞1得a＞2。 综上2＜a＜4。A项漏掉了a6＞a5这个衔接条件；C项把端点2也取进来，此时a6＝a5＝4，不是递增；D项漏掉了前5项递增所需的a＜4。故选B。 变式2　【答案】λ＜ 【解析】an＝＝－，所以Tn＝(1－＝。 an＞0，Tn随n的增大而增大，最小值为T1＝。 Tn＞λ恒成立等价于λ＜T1，所以λ＜。 变式3　【答案】证明见解析 【解析】当n＝1时，左边＝1＜，不等式成立。 当k≥2时，＞－1＝(2k－2)·2k＝4k(k－1)＞0，所以＜＝－。 所以当n≥2时，左边＜1＋[(1－＋－＋…＋－ ＝1＋(1－＜1＋＝。 综上，不等式对任何n∈N*都成立。 　易错专练 易错1　【答案】不对；an＝1（n＝1），an＝4n－5（n≥2） 【解析】错解示例：an＝Sn－Sn-1＝－3n＋2－－3(n－1)＋2]＝4n－5，所以an＝4n－5。 错因：an＝Sn－Sn-1只在n≥2时成立，错解没有单独求a1，也没有检验。 正解：当n＝1时，a1＝S1＝2－3＋2＝1；当n≥2时，an＝4n－5。 把n＝1代入4n－5得－1≠1，所以an＝1（n＝1），an＝4n－5（n≥2）。 易错2　【答案】当a＝1时，和为n；当a≠1时，和为 【解析】错解示例：这是首项为1、公比为a的等比数列的前n项和，所以和为。 错因：公式Sn＝要求q≠1，公比a是字母，可能等于1，此时分母为0，公式失效。 正解：当a＝1时，每一项都是1，共n项，和为n； 当a≠1时，和为。 易错3　【答案】a6＝2 【解析】错解示例：a6·a6＝a4a8＝4，所以a6＝±2。 错因：没有结合数列本身判断符号。a6与a4同为偶数项，符号相同。 正解：由根与系数的关系，a4＋a8＝10＞0，a4a8＝4＞0，所以a4＞0，a8＞0。 a6＝a4＞0，又a6·a6＝a4a8＝4，所以a6＝2。 易错4　【答案】n＝4或n＝5时，Sn取得最大值30 【解析】错解示例：Sn＝＋，所以当n＝时Sn最大，最大值为。 错因：Sn是数列的前n项和，n只能取正整数，不是正整数，取不到。 正解：对称轴n＝恰在4与5的正中间，所以S4＝S5且同为最大值。 S4＝＝30，S5＝＝30，所以n＝4或n＝5时，Sn取得最大值30。 也可以由an＝Sn－Sn-1（n≥2）求出an＝15－3n，a5＝0，前4项为正，加上a5和不变，从第6项起为负。 易错5　【答案】Tn＝ 【解析】错解示例：3Tn＝1×3＋2×＋…＋n·，两式相减得－2Tn＝1＋3＋＋…＋＝，所以Tn＝。 错因：错位相减后，3Tn的最后一项n·没有与Tn中的项对齐，应当单独减去，错解把它丢了。所得结果为负数，代入n＝1就能发现不对。 正解：Tn－3Tn＝1＋3＋＋…＋－n·＝－n·， 所以Tn＝－＝。检验：n＝2时，T2＝1＋6＝7，＝7。 易错6　【答案】不对；正确的第二步见解析 【解析】错解示例：即题中的第②步，它直接用等比数列求和公式算出了n＝k＋1时的左边。 错因：第二步没有用到归纳假设“1＋3＋…＋＝”，这不是数学归纳法；而且所用的求和公式正是要证明的结论。 正解：②假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，即1＋3＋…＋＝。 那么当n＝k＋1时，左边＝＋＝＝＝右边，等式也成立。 易错7　【答案】a10＝ 【解析】错解示例：因为2＋8＝10，所以a10＝a2＋a8＝16。 错因：性质am＋an＝ap＋aq要求两边项数相同，a2＋a8是两项之和，a10只有一项，不能相等。 正解：因为2＋8＝5＋5，所以2a5＝16，a5＝8，d＝＝＝。 所以a10＝a1＋9d＝2＋＝。 　课后作业（一）基础过关 1．【答案】D 【解析】逐项对照：n＝1，2，3，4时＋3分别为4，7，12，19，与数列一致，选D。 A项3n＋1在n＝3时为10≠12；B项＋n＋1在n＝1，2，3时恰为4，7，12，但n＝4时为21≠19；C项＋n＋2在n＝2时为8≠7。 【易错提醒】只验前两三项就下结论，会被B项这类“前几项相同”的式子骗过，至少多验一项。 2．【答案】A 【解析】d＝＝＝－3，a8＝a1＋7d＝6－21＝－15。 B项把a8算成a1＋8d；C项是a7的值；D项误用a8＝a4＋a4，把下标相加当成了项相加，得－6。故选A。 3．【答案】C 【解析】a1＝3，q＝3，Sn＝＝363， 所以－1＝242，＝243＝，n＝5，选C。 A项把求和公式里的错写成，由＝243得n＝4；B项错写成，由＝243得n＝6；D项把各项除以3后看成1，3，9，…，误套“1＋3＋5＋…＝”，由363÷3＝121＝得n＝11。 4．【答案】B 【解析】等差数列中若m＋n＝2k，则am＋an＝2ak。这里4＋10＝2×7，所以a4＋a10＝2a7＝36，a7＝18，选B。 C项把a4＋a10直接当成a7，漏了系数2；D项解2a7＝36时把“除以2”做成了“乘以2”，得72；A项求出a7＝18后又多除了一次2，得9。 5．【答案】D 【解析】n＝k时左边是从1加到，n＝k＋1时左边是从1加到。 所以要加上＋1，＋2，…，，共－＝项，不是只加一项。 A项只加了最后一项；B项只加了第一项；C项把n＝k＋1时的右边＋1)当成了增加的部分。故选D。 6．【答案】53；102 【解析】首项为－3，公差为1－(－3)＝4，an＝－3＋4(n－1)＝4n－7。 a15＝60－7＝53；令4n－7＝401，得n＝102。 7．【答案】62 【解析】＝＝＝4，又q＞0，所以q＝2，a1＝2。 S5＝＝62。 8．【答案】18 【解析】S9＝9a5＝54，所以a5＝6。 a2＋a8＝2a5，所以a2＋a5＋a8＝3a5＝18。 9．【答案】 【解析】分组：整数部分1＋2＋…＋6＝＝21； 分数部分＋＋…＋是首项为、公比为的等比数列前6项和，等于1－＝。 所以原式＝21＋＝。 10．【答案】an＝5n－13，Sn＝ 【解析】由a3＝a1＋2d＝2，S6＝6a1＋15d＝27， 得a1＝2－2d，代入2a1＋5d＝9得4－4d＋5d＝9，所以d＝5，a1＝－8。 an＝－8＋5(n－1)＝5n－13，Sn＝＝。 11．【答案】（1）q＝，a1＝16；（2）6 【解析】（1）q＝＝＝。 a1(1＋＝20，即a1×＝20，a1＝16。 （2）Sn＝＝32－。 令32－＞31，得＜1，即5－n＜0，n＞5，所以n的最小值为6。 12．【答案】（1）an＝2n；（2）Tn＝＋n＋－2 【解析】（1）a1＋a2＋a3＝3a2＝12，a2＝4，d＝a2－a1＝2，所以an＝2n。 （2）分组求和：Tn＝(2＋4＋…＋2n)＋(2＋＋…＋ ＝＋＝＋n＋－2。 　课后作业（二）能力提升 1．【答案】B 【解析】设公比为q，则＝＝，是非零常数，且各项都不为0，所以{anan+1}是公比为的等比数列，B正确。 取an＝，则{an＋1}依次为3，5，9，…，{2an－1}依次为3，7，15，…，都不是等比数列，A、D错误。 取公比q＝－1，则an＋an+1＝0，不能构成等比数列，C错误。故选B。 2．【答案】C 【解析】每一项的下标都增加2，这一项就增加2d，所以(a4＋a7＋a10)－(a2＋a5＋a8)＝6d＝24－42＝－18，d＝－3。 同理a6＋a9＋a12＝(a4＋a7＋a10)＋6d＝24－18＝6。 A项把相邻两组的下标差2当成了1，只加了3d，算成24＋3×(－3)＝15；B项多减了一次6d，算成24－18－18＝－12；D项把6d＝24－42的符号弄反，算成24＋18＝42。故选C。 3．【答案】A 【解析】由a1a2＝3得a2＝3。 又an+1an+2＝，与anan+1＝相除得＝3，所以偶数项构成公比为3的等比数列。 a10＝a2×＝243。B项少乘了一个3，算成3×＝81；C项多乘了一个3，算成3×＝729；D项是，误把a10当成。故选A。 4．【答案】或 【解析】若q＝1，则＝2≠，所以q≠1。 ＝＝1＋＝，所以＝，q＝或q＝。 检验：两个值都使S2＝a1(1＋q)≠0，都符合题意。 5．【答案】17411 【解析】记T＝1＋3×2＋5×＋…＋19×，则2T＝1×2＋3×＋…＋17×＋19×。 相减得－T＝1＋2(2＋＋…＋－19×＝1＋－2)－19×＝－17×－3， 所以T＝17×＋3＝17411。 6．【答案】 【解析】a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝－＝3×，n＝1时也适合，所以an＝3×。 于是an²＝9×，是首项为9、公比为16的等比数列，和为＝。 7．【答案】（1）证明见解析（差为）；（2）an＝3＋ 【解析】（1）当n≥2时，an－3＝3－＝， 所以bn＝＝＝＝＋bn-1。 即bn－bn-1＝，又b1＝＝，所以{bn}是首项为、公差为的等差数列。 （2）bn＝＋(n－1)×＝，所以an－3＝，an＝3＋。 8．【答案】（1）an＝2n－1；（2）T2n＝2n，T21＝－21 【解析】（1）由a1＋2d＝5，4a1＋6d＝16，解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1。 （2）把相邻两项配成一组：c2k-1＋c2k＝－a2k-1＋a2k＝d＝2， 所以T2n＝n×2＝2n。 T21＝T20＋c21＝20－a21＝20－41＝－21。 9．【答案】（1）Sn＝－1)；（2）第6个月 【解析】（1）每月新增用户数构成首项为5、公比为1.5的等比数列， Sn＝＝－1)。 （2）令－1)≥100，得≥11。 ≈7.59＜11，≈11.39＞11，且Sn随n增大而增大，所以累计用户数在第6个月首次达到100万人。 　课后作业（三）拓展探究 1．【答案】[－3，0)∪(0，1] 【解析】设公比为q，则a＝，c＝bq，b≠0，于是＋1＋q)＝3。 当q＞0时q＋≥2，1＋q＋≥3，得0＜b≤1；当q＜0时q＋≤－2，1＋q＋≤－1，得－3≤b＜0。 所以b的取值范围是[－3，0)∪(0，1]。 2．【答案】（1）证明见解析；（2）an＝(n＋1)·，Sn＝n· 【解析】（1）当n＝1时，a1＝2a1－8，所以a1＝8。 当n≥2时，Sn-1＝2an-1－，与原式相减得an＝2an－2an-1－＋，即an＝2an-1＋。 两边同除以得－＝2，又＝4， 所以以为第n项的数列是首项为4、公差为2的等差数列。 （2）＝4＋2(n－1)＝2n＋2，所以an＝(n＋1)·。 Sn＝2an－＝(n＋1)·－＝n·。 3．【答案】证明见解析 【解析】（1）当n＝2时，左边＝＋＋＋＝＞，不等式成立。 （2）假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时不等式成立，即＋＋…＋＞。 当n＝k＋1时，左边比n＝k时少了，多了，，三项， 所以左边＞＋＋＋－。 因为＝，所以＋＋－＝－＋－， 而3k＋1＜3k＋3，3k＋2＜3k＋3，两个括号都大于0，所以左边＞。 即当n＝k＋1时不等式也成立。由（1）（2）可知，不等式对任何n≥2的正整数n都成立。 4．【答案】（1）bn＝；（2）an＝，Sn＝ 【解析】（1）由an+2＝5an+1－4an得an+2－an+1＝4(an+1－an)， 即bn+1＝4bn，又b1＝a2－a1＝1≠0，所以{bn}是首项为1、公比为4的等比数列，bn＝。 （2）an+1－an＝，累加得当n≥2时an＝1＋(1＋4＋…＋＝1＋＝，n＝1时也适合。 Sn＝(1＋4＋…＋＋＝×＋＝。 检验：S2＝1＋2＝3，＝3，相符。 5．【答案】（1）n＝1或n＝2；（2） 【解析】（1）cn+1－cn＝－＝。 cn+1＞cn等价于－2n－1＜0，即1－＜n＜1＋，又n∈N*，所以n＝1或n＝2。 （2）由（1）知c1＜c2＜c3，且n≥3时cn+1＜cn，所以最大项为c3＝。 cn≤λ恒成立等价于λ≥，所以λ的最小值为。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $