2.7有理数的混合运算 同步讲义 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

第2章 2.7 有理数的混合运算 内 容 导 航 题型1 有理数的混合运算 题型2 计算器—基础知识 题型3 计算器—有理数 考 点 演 练 题型1 有理数的混合运算 解｜题｜知｜识 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 【典例1】一根钢管长15米，截去全长的，根据算式15所求的问题是（　　） A．截去多少米 B．剩下多少米 C．截去的比剩下的多多少米 D．剩下的比截去的多多少米 【答案】B 【解答】解：算式15所求的问题是剩下多少米， 故选：B． 【变式1】日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10．那么，二进制中的110101表示的是十进制中的（　　） A．25 B．23 C．55 D．53 【答案】D 【解答】解：110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×2+1×1＝53． ∴二进制中的数110101表示的是十进制中的53． 故选：D． 【变式2】定义新运算：，例如：﹣2⊗4＝（﹣2）2﹣4＝0，2⊗3＝﹣2+3＝1．若，则x的值为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解答】解：根据新定义运算法则列出方程可得： ∴①当x≤0时，则有， 解得； ②当x＞0时，， 解得， 综上所述，x的值是或． 故选：D． 【变式3】对于有理数a、b两个数．若定义a◎b． 例如，a＝1，b＝2，则a◎b＝1◎2．回答下面问题： （1）（﹣9）◎（﹣10）的运算结果为　﹣10　 ． （2）设1◎，m◎（﹣2）＝n，n◎（）＝p，p◎3＝q，则q的值为　﹣2　 ． （3）若在这些数中，任意选取两个数进行“◎”运算，则所有运算结果中最大的值是　　 ． 【答案】（1）﹣10； （2）﹣2； （3）． 【解答】解：（1）原式 ＝﹣10， 故答案为：﹣10； （2）当a≥b时，a◎b， 当a＜b时，a◎b， 那么a◎b， ∵， ∴1◎， 即， ∵， ∴◎（﹣2）＝﹣2， 即n＝﹣2， ∵﹣2， ∴（﹣2）◎（）＝﹣2， 即p＝﹣2， ∵﹣2＜3， ∴（﹣2）◎3＝﹣2， 即q＝﹣2， 故答案为：﹣2； （3）由题意得，这些数中最大的两个数分别为和，且◎， 当选取的两个数其中一个小于时，则这两个数进行“◎”运算的值一定小于， ∴所有运算结果中最大的值是， 故答案为：． 题型2 计算器—基础知识 解｜题｜知｜识 （1）计算器的面板是由键盘和显示器组成． （2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键． （3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用． （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE． （7）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：MRC、M﹣、M+、MU．键入数字后，按M+将数字读入内存，此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M﹣则把该数字从内存中删除，或者按二次MRC． 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 【典例1】用课本中介绍的计算器计算，按键顺序如下，则计算器最后显示的结果应为（　　） A．8 B．4.4 C．18.8 D．36.8 【答案】C 【解答】解：根据如图所示的按键顺序， 输出结果应为， 故选：C． 【变式1】使用计算器时，在储存另一个数前，需要按MC （选填“M+”、“MR”或“MC”）键把已知的数清除掉． 【答案】MC． 【解答】解：根据计算器使用规则，需要按MC键把已知的数清除掉． 故答案为：MC． 【变式2】有一电脑数学游戏：每按一次A键，屏幕上的数字加上3；每按一次B键，屏幕上的数字乘（﹣2）；每按一次C键，屏幕上的数字除以4．已知屏幕上的初始数字为﹣1．例如：若按键顺序为A→B，则屏幕上显示的数字为﹣4． （1）若连按两次按键（A，B，C键不重复按）后，屏幕上显示的数字最大，则按键顺序为 B→A ； （2）若按键顺序为A→B→C→A→B→C…，依照这样的按键规律，按了2023次后，屏幕上显示的数字是 　2　 ． 【答案】B→A，2． 【解答】解：（1）屏幕上的初始数字为﹣1， 连按两次按键（A，B，C键不重复按）后，屏幕上显示的数字最大，则先按B健为： ﹣1×（﹣2）＝2， 再按A键可得：2+3＝5； （2）按A键：﹣1+3＝2， B：2×（﹣2）＝﹣4， C：﹣4÷4＝﹣1， A：﹣1+3＝2，⋅⋅⋅⋅⋅⋅， ∴每按键3次循环， ∵2023÷3＝674⋅⋅⋅1， ∴按了2023次后，屏幕上显示的数字是2； 故答案为：B→A，2． 【变式3】嘉淇设计了一个小程序：程序界面分为A，B两区，每按一次按键，A区就会自动加上2a2，同时B区就会自动乘以2，且A，B两区均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是8ab和a2+ab（如图1），按一次按键后，A，B两区分别显示8ab+2a2和2a2+2ab（如图2）． （1）从初始状态按2次按键后，A区显示的结果是 　8ab+4a2 ；B区显示的结果是 　4a2+4ab ； （2）从初始状态按3次按键后，张老师让同学们计算“当a＝﹣2，b＝5时，A区代数式与B区代数式的差的值”．嘉淇说，只需要知道a的值就可以求出这个差的值．你认为他的说法有道理吗？请说明理由． 【答案】（1）8ab+4a2；4a2+4ab； （2）嘉淇的说法有道理，理由见解析． 【解答】解：（1）A：8ab+2a2+2a2＝8ab+4a2； B：2[2（a2+ab）]＝4a2+4ab； 故答案为：8ab+4a2；4a2+4ab； （2）嘉淇的说法有道理，理由如下： 8ab+6a2﹣（8a2+8ab） ＝8ab+6a2﹣8a2﹣8ab ＝﹣2a2， ∵化简后只含有字母a， ∴只需要知道a的值就可以求出这个差的值． 题型3 计算器—有理数 解｜题｜知｜识 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：　　 （1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．　　 （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算． （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　 （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 【典例1】有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程如下：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2，则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若按随意顺序输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果为k，若k的最大值为2025，那么k的最小值是（　　） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 【答案】C 【解答】解：不妨设a＞b＞2， ∵输入的三个数为a，b，2， ∴第一次输入后显示的结果为：|a﹣b|或|a﹣2|或|b﹣2|， 第二次输入后显示的结果为： k1＝||a﹣b|﹣2|＝|a﹣b﹣2|或k2＝||a﹣2|﹣b|＝|a﹣b﹣2|或k3＝||b﹣2|﹣a|＝|b﹣a﹣2|， ∵k的最大值为2025， ∵b﹣a＜0， ∴k3最大， ∴k＝|b﹣a﹣2|＝2025， ∴b﹣a＝﹣2023或2027， ∵a＞b， ∴b﹣a＝﹣2023， ∴a﹣b＝2023， ∴k1＝k1＝||a﹣b|﹣2|＝|a﹣b﹣2|＝2021， ∴k的最小值是2021， 故选：C． 【变式1】嘉嘉想用计算器计算567×39的结果，但计算器的按键9坏掉了，则下列算式的运算结果和567×39不相等的是（　　） A．567×3×13 B．567×40﹣40 C．567×40﹣567 D．567×38+567 【答案】B 【解答】解：A、根据乘法结合律可得：567×39＝567×3×13，本选项运算结果和567×39相等； B、根据乘法分配律可得：567×40﹣40＝40×（567﹣1）＝40×566，本选项运算结果和567×39不相等； C、根据乘法分配律可得：567×40﹣567＝567×（40﹣1）＝567×39，本选项运算结果和567×39相等； D、根据乘法分配律可得：567×38+567＝567×（38+1）＝567×39，本选项运算结果和567×39相等． 故选：B． 【变式2】小慧用计算器计算735÷15，她误操作输入了735÷5．若想得到正确结果，则小慧接下来应输入（　　） A．×3 B．÷3 C．×10 D．÷10 【答案】B 【解答】解：∵735÷15＝735÷（5×3）＝735÷5÷3， ∴若想得到正确结果，则小慧接下来应输入÷3． 故选：B． 【变式3】在某种特制的计算器中有一个按键，它代表运算． 例如： 上述操作即是求的值，运算结果为1． 回答下面的问题： （1）小敏的输入顺序为﹣6，，﹣8，，运算结果是 　﹣8　 ； （2）小杰的输入顺序为1，，，，，﹣2，，，，，，3，，运算结果是 　﹣2　 ； （3）若在，，，，，，，，0，，，，，，，，这些数中，任意选取两个作为a、b的值，进行运算，则所有的运算结果中最大的值是 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意，分析运算可得其计算的是a，b中的最小值， 故答案为：（1）根据题意有结果为﹣6与﹣8中的较小的数，即﹣8． （2）根据题意由运算的结果为，﹣2，﹣2，﹣2；运算结果是﹣2． （3）找这一列数中，绝对值相差最小，且最大的两个数即，；按运算法则计算可得结果是． 过 关 验 收 1. 在下列说法中，不正确的是（　　） A．若|x|＝|﹣10|，则x＝±10；若|﹣x|＝|﹣10|，则±10 B．若m是有理数，则m+|m|不可能是负数 C．若x+y＝0（y≠0），则 D．已知a、b、c均为非零有理数，若a+b+c＜0，则的值为4或﹣4 【答案】D 【解答】解：绝对值与有理数的性质逐项分析判断如下： A：|x|＝|﹣10|＝10，∴x＝±10；同理，|﹣x|＝10，∴x＝±10，故A正确，不符合题意； B：m+|﹣m|＝m+|m|，当m≥0时为2m≥0，当m＜0时为0，故不可能为负数，B正确，不符合题意； C：由x+y＝0且y≠0，得x＝﹣y，∴|x|＝|y|，∴，故C正确，不符合题意； D：设 （每个值为±1），（值为±1）． 当a+b+c＜0时： 若两正一负，则s＝1，t＝﹣1，s+t＝0； 若一正两负，则s＝﹣1，t＝1，s+t＝0； 若三负，则s＝﹣3，t＝﹣1，s+t＝﹣4． ∴该式子的值可能为0或﹣4，故D不正确，符合题意． 故选：D． 2. 如果一对有理数a、b使等式a﹣b＝ab+1成立，那么这对有理数a、b叫做“幻生有理数对”，记为（a，b）．根据上述定义，下列四对有理数中不是“幻生有理数对”的是（　　） A．（1，0） B．（2，） C．（5，） D．（﹣2，3） 【答案】C 【解答】解：1﹣0＝1，1×0+1＝1，则A不符合题意； 2，21，则B不符合题意； 5，51，则C符合题意； ﹣2﹣3＝﹣5，﹣2×3+1＝﹣5，则D不符合题意； 故选：C． 3. 如图是一个计算程序，若输入a的值为﹣1，则输出的结果b为（　　） A．﹣5 B．﹣6 C．5 D．6 【答案】A 【解答】解：把a＝﹣1代入得： [（﹣1）2﹣（﹣2）]×（﹣3）+4 ＝（1+2）×（﹣3）+4 ＝3×（﹣3）+4 ＝﹣9+4 ＝﹣5， 故选：A． 4. 你听说过二进制吗？它的进位规则是“满二进一”．所以二进制数用“0”和“1”两个数字来表示，图中分别表示出了十进制数“1”“2”“3”的二进制数，那么十进制数“4”用二进制数表示应该为（　　） 二进制数 十进制数 1 2 3 4 A．100 B．101 C．110 D．111 【答案】A 【解答】解：观察十进制数“1”“2”“3”用二进制数表示方法如下： 由题意可知，十进制数“1”用二进制数表示为1， 十进制数“2”用二进制数表示为10， 十进制数“3”用二进制数表示为11， 则根据二进制的进位规则是“满二进一”可知，十进制数“4”用二进制数表示为100， 故选：A． 5. 2025年4月19日上午7：30，全球首个人形机器人半程马拉松在北京亦庄鸣枪开跑．由北京人形机器人创新中心研发的“天工Ultra”最先冲线完赛，以2时40分42秒的成绩夺得全球首个人形机器人半程马拉松比赛的冠军．机器人“天工Ultra”到达终点的时间为　10　 时　10　 分　42　 秒，它的最高速度比机器人“夸父”的最高速度快约　71　 %（百分号前保留整数）． 机器人：天工Ultra 身高：180cm 体重：55kg 最高速度12km/时 机器人：夸父 身高：166cm 体重：55kg 最高速度7km/时 【答案】10，10，42，71． 【解答】解：∵上午7：30开始比赛，北京人形机器人创新中心研发的“天工Ultra”最先冲线完赛，以2时40分42秒的成绩夺得全球首个人形机器人半程马拉松比赛的冠军， ∴7+2＝9时，30分+40分＝70分＝1时10分， ∴到达终点的时间为10时10分42秒， “天工Ultra”的最高速度比机器人“夸父”的最高速度快约． 故答案为：10，10，42，71． 6. 定义新运算“*”：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，若x*3＝24，则x的值为　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，x*3＝24， ∴x*3 ＝（x+3）2﹣（x﹣3）2 ＝x2+9+6x﹣（x2+9﹣6x） ＝x2+9+6x﹣x2﹣9+6x ＝12x， ∵x*3＝24， ∴12x＝24， 解得x＝2． 故答案为：2． 7. 篮球比赛中，3分线外投中一球记3分，3分线内投中一球记2分．在一场比赛中，李皓共投中10个球，得24分．李皓在这场比赛中投中了　4　 个3分球． 【答案】4． 【解答】解：假设李皓在这场比赛投中的10个球全是2分球，则总得分为：10×2＝20（分），比实际得分少：24﹣20＝4（分）， ∵每个3分球被当作2分球会少算：3﹣2＝1（分）， ∴投中3分球的个数为：4÷1＝4（个）， 故答案为：4． 8. 如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x＝﹣2，则最后输出的结果是 　﹣14　 ． 【答案】﹣14 【解答】解：把x＝﹣2代入得：（﹣2）×3﹣（﹣1）＝﹣6+1＝﹣5， 继续将x＝﹣5代入得：（﹣5）×3﹣（﹣1）＝﹣15+1＝﹣14＜﹣5， 故答案为：﹣14． 9. 现在有三个仓库A1、A2、A3，分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂B1、B2、B3，每个加工厂都需要10吨原材料．从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如表所示（单位：元/吨）： B1 B2 B3 A1（7t） 1 2 6 A2（12t） 0 4 2 A3（11t） 3 1 5 现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料， （1）如果从A3运10吨到B1、运1吨到B2，从A1运7吨到B2，那么从A2需要运 　2　 吨到B2； （2）考虑各种方案，运费最低为 　40　 元． 【答案】2；40． 【解答】解：（1）如果从A3运10吨到B1、运1吨到B2，从A1运7吨到B2，那么从A2需要运10﹣（1+7）＝2吨到B2， 故答案为：2； （2）解：运费如下： B1 B2 B3 A1（7t） 1 2 6 A2（12t） 0 4 2 A3（11t） 3 1 5 运输方案一： B1 B2 B3 A1（7t） 7 A2（12t） 10 2 A3（11t） 3 8 运费为：14+4+3+40＝61； 运输方案二： B1 B2 B3 A1（7t） 7 A2（12t） 2 10 A3（11t） 3 8 运费为：7+8+20+9+8＝52； 运输方案三： B1 B2 B3 A1（7t） 7 A2（12t） 3 0 9 A3（11t） 0 10 1 运费为：7+18+10+5＝40． 故答案为：40． 10. 上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称ICME﹣14），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进仿数字3745．我们常用的数是十进制数，如4657＝4×103+6×102+5×101+7×1，在电子计算机中用的二进制，如二进制中110＝1×22+1×21+0×1等于十进制的数6、八进制数字3745换算成十进制是 　2021　 ． 【答案】2021． 【解答】解：3745＝3×83+7×82+4×81+5×80 ＝1536+448+32+5 ＝2021． 所以八进制数字3745换算成十进制是2021． 故答案为：2021． 11. 用“⊗”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝a﹣b2．例如4⊗1＝4﹣12＝3，那么（﹣3）⊗2＝　﹣7　 ． 【答案】﹣7 【解答】解：（﹣3）⊗2＝﹣3﹣22＝﹣7． 故答案为：﹣7． 12. 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去2，同时B区就会自动加上22，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣11，如图． 如，第一次按键后，A，B两区分别显示： （1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果； （2）从初始状态按几次后，A，B两区的计算结果相等． 【答案】（1）21；﹣3；（2）6． 【解答】解：（1）A区显示的结果为：25﹣2﹣2＝21； B区显示的结果为：﹣11+4+4＝﹣3； （2）设从初始状态按n次后，A，B 两区的计算结果相等， 由题意得：25﹣2n＝﹣11+4n， ∴n＝6． ∴按6次． 13. 若用我们数学课本上采用的科学计算器按顺序输入：表示的计算式正确的是（　　） A．﹣42 B．（﹣4）2 C．﹣42 D．（﹣4）2﹣5×6 【答案】A 【解答】解：根据按键顺序得：﹣42， 故选：A． 14. 用计算器求﹣53，按键的顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据计算器的应用， 故选：A． 15. 与下面科学计算器的按键顺序： 对应的计算任务是（　　） A．0.6124 B．0.6124 C．0.6×5÷6+412 D．0.6412 【答案】B 【解答】解：与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是0.6124， 故选：B． 16. 计算器上有一个倒数键，能求出输入的不为零的数的倒数（注：有时需先按或键，才能实现此功能，下面不再说明）．例如，输入2，按下键，则得0.5．现在计算器上输入某数，再依下列顺序按键：，在显示屏上的结果是﹣0.75，则原来输入的某数是　5　 ． 【答案】5 【解答】解：设原来输入的数为a， 根据题意，得：1＝﹣0.75， 解得：a＝5， 经检验：a＝5是分式方程的解， ∴原来输入的某数是5， 故答案为：5． 17. 在计算器上，按照如图的程序进行操作： 表中的x与y分别是输入的4个数及相应的计算结果 x ﹣2 0 1 3 y ﹣5 1 4 10 上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应分别是　+　 、　1　 ． 【答案】+；1 【解答】解：由题意可得， （﹣2）×3+1＝﹣5， 0×3+1＝1， 1×3+1＝4， 3×3+1＝10， 故答案为：+，1． 18. 用计算器计算（保留3个有效数字）：（3.91﹣1.45）2÷（﹣5.62）+49.34≈　48.3　 ． 【答案】48.3 【解答】解：（3.91﹣1.45）2÷（﹣5.62）+49.34 ＝2.462÷（﹣5.62）+49.34 ＝﹣6.0516÷5.62+49.34 ≈﹣1.077+49.34 ＝48.263 ≈48.3． 故本题答案为48.3（保留3个有效数字）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 2.7 有理数的混合运算 内 容 导 航 题型1 有理数的混合运算 题型2 计算器—基础知识 题型3 计算器—有理数 考 点 演 练 题型1 有理数的混合运算 解｜题｜知｜识 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 【典例1】一根钢管长15米，截去全长的，根据算式15所求的问题是（　　） A．截去多少米 B．剩下多少米 C．截去的比剩下的多多少米 D．剩下的比截去的多多少米 【变式1】日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10．那么，二进制中的110101表示的是十进制中的（　　） A．25 B．23 C．55 D．53 【变式2】定义新运算：，例如：﹣2⊗4＝（﹣2）2﹣4＝0，2⊗3＝﹣2+3＝1．若，则x的值为（　　） A． B．或 C． D．或 【变式3】对于有理数a、b两个数．若定义a◎b． 例如，a＝1，b＝2，则a◎b＝1◎2．回答下面问题： （1）（﹣9）◎（﹣10）的运算结果为　 　 ． （2）设1◎，m◎（﹣2）＝n，n◎（）＝p，p◎3＝q，则q的值为　 　 ． （3）若在这些数中，任意选取两个数进行“◎”运算，则所有运算结果中最大的值是 　 ． 题型2 计算器—基础知识 解｜题｜知｜识 （1）计算器的面板是由键盘和显示器组成． （2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键． （3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用． （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE． （7）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：MRC、M﹣、M+、MU．键入数字后，按M+将数字读入内存，此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M﹣则把该数字从内存中删除，或者按二次MRC． 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 【典例1】用课本中介绍的计算器计算，按键顺序如下，则计算器最后显示的结果应为（　　） A．8 B．4.4 C．18.8 D．36.8 【变式1】使用计算器时，在储存另一个数前，需要按MC （选填“M+”、“MR”或“MC”）键把已知的数清除掉． 【变式2】有一电脑数学游戏：每按一次A键，屏幕上的数字加上3；每按一次B键，屏幕上的数字乘（﹣2）；每按一次C键，屏幕上的数字除以4．已知屏幕上的初始数字为﹣1．例如：若按键顺序为A→B，则屏幕上显示的数字为﹣4． （1）若连按两次按键（A，B，C键不重复按）后，屏幕上显示的数字最大，则按键顺序为 B→A ； （2）若按键顺序为A→B→C→A→B→C…，依照这样的按键规律，按了2023次后，屏幕上显示的数字是 　 　 ． 【变式3】嘉淇设计了一个小程序：程序界面分为A，B两区，每按一次按键，A区就会自动加上2a2，同时B区就会自动乘以2，且A，B两区均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是8ab和a2+ab（如图1），按一次按键后，A，B两区分别显示8ab+2a2和2a2+2ab（如图2）． （1）从初始状态按2次按键后，A区显示的结果是 　 ；B区显示的结果是 　 ； （2）从初始状态按3次按键后，张老师让同学们计算“当a＝﹣2，b＝5时，A区代数式与B区代数式的差的值”．嘉淇说，只需要知道a的值就可以求出这个差的值．你认为他的说法有道理吗？请说明理由． 题型3 计算器—有理数 解｜题｜知｜识 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：　　 （1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．　　 （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算． （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　 （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 【典例1】有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程如下：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2，则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若按随意顺序输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果为k，若k的最大值为2025，那么k的最小值是（　　） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 【变式1】嘉嘉想用计算器计算567×39的结果，但计算器的按键9坏掉了，则下列算式的运算结果和567×39不相等的是（　　） A．567×3×13 B．567×40﹣40 C．567×40﹣567 D．567×38+567 【变式2】小慧用计算器计算735÷15，她误操作输入了735÷5．若想得到正确结果，则小慧接下来应输入（　　） A．×3 B．÷3 C．×10 D．÷10 【变式3】在某种特制的计算器中有一个按键，它代表运算． 例如： 上述操作即是求的值，运算结果为1． 回答下面的问题： （1）小敏的输入顺序为﹣6，，﹣8，，运算结果是 　 ； （2）小杰的输入顺序为1，，，，，﹣2，，，，，，3，，运算结果是 　 　 ； （3）若在，，，，，，，，0，，，，，，，，这些数中，任意选取两个作为a、b的值，进行运算，则所有的运算结果中最大的值是 　　 ． 过 关 验 收 1. 在下列说法中，不正确的是（　　） A．若|x|＝|﹣10|，则x＝±10；若|﹣x|＝|﹣10|，则±10 B．若m是有理数，则m+|m|不可能是负数 C．若x+y＝0（y≠0），则 D．已知a、b、c均为非零有理数，若a+b+c＜0，则的值为4或﹣4 2. 如果一对有理数a、b使等式a﹣b＝ab+1成立，那么这对有理数a、b叫做“幻生有理数对”，记为（a，b）．根据上述定义，下列四对有理数中不是“幻生有理数对”的是（　　） A．（1，0） B．（2，） C．（5，） D．（﹣2，3） 3. 如图是一个计算程序，若输入a的值为﹣1，则输出的结果b为（　　） A．﹣5 B．﹣6 C．5 D．6 4. 你听说过二进制吗？它的进位规则是“满二进一”．所以二进制数用“0”和“1”两个数字来表示，图中分别表示出了十进制数“1”“2”“3”的二进制数，那么十进制数“4”用二进制数表示应该为（　　） 二进制数 十进制数 1 2 3 4 A．100 B．101 C．110 D．111 5. 2025年4月19日上午7：30，全球首个人形机器人半程马拉松在北京亦庄鸣枪开跑．由北京人形机器人创新中心研发的“天工Ultra”最先冲线完赛，以2时40分42秒的成绩夺得全球首个人形机器人半程马拉松比赛的冠军．机器人“天工Ultra”到达终点的时间 为　 　 时　 　 分　 秒，它的最高速度比机器人“夸父”的最高速度快约　 　 %（百分号前保留整数）． 机器人：天工Ultra 身高：180cm 体重：55kg 最高速度12km/时 机器人：夸父 身高：166cm 体重：55kg 最高速度7km/时 6. 定义新运算“*”：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，若x*3＝24，则x的值为　 　 ． 7. 篮球比赛中，3分线外投中一球记3分，3分线内投中一球记2分．在一场比赛中，李皓共投中10个球，得24分．李皓在这场比赛中投中了　 　 个3分球． 8. 如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x＝﹣2，则最后输出的结果是 　 　 ． 9. 现在有三个仓库A1、A2、A3，分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂B1、B2、B3，每个加工厂都需要10吨原材料．从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如表所示（单位：元/吨）： B1 B2 B3 A1（7t） 1 2 6 A2（12t） 0 4 2 A3（11t） 3 1 5 现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料， （1）如果从A3运10吨到B1、运1吨到B2，从A1运7吨到B2，那么从A2需要运 　 　 吨到B2； （2）考虑各种方案，运费最低为 　 　 元． 10. 上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称ICME﹣14），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进仿数字3745．我们常用的数是十进制数，如4657＝4×103+6×102+5×101+7×1，在电子计算机中用的二进制，如二进制中110＝1×22+1×21+0×1等于十进制的数6、八进制数字3745换算成十进制是 　 　 ． 11. 用“⊗”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝a﹣b2．例如4⊗1＝4﹣12＝3，那么（﹣3）⊗2＝　 　 ． 12. 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去2，同时B区就会自动加上22，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣11，如图． 如，第一次按键后，A，B两区分别显示： （1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果； （2）从初始状态按几次后，A，B两区的计算结果相等． 13. 若用我们数学课本上采用的科学计算器按顺序输入：表示的计算式正确的是（　　） A．﹣42 B．（﹣4）2 C．﹣42 D．（﹣4）2﹣5×6 14. 用计算器求﹣53，按键的顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 15. 与下面科学计算器的按键顺序： 对应的计算任务是（　　） A．0.6124 B．0.6124 C．0.6×5÷6+412 D．0.6412 16. 计算器上有一个倒数键，能求出输入的不为零的数的倒数（注：有时需先按或键，才能实现此功能，下面不再说明）．例如，输入2，按下键，则得0.5．现在计算器上输入某数，再依下列顺序按键：，在显示屏上的结果是﹣0.75，则原来输入的某数是　 　 ． 17. 在计算器上，按照如图的程序进行操作： 表中的x与y分别是输入的4个数及相应的计算结果 x ﹣2 0 1 3 y ﹣5 1 4 10 上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应分别是　 　 、　 　 ． 18. 用计算器计算（保留3个有效数字）：（3.91﹣1.45）2÷（﹣5.62）+49.34≈　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $