专题2.3 一元二次方程的根与系数的关系 培优讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题2.3 一元二次方程的根与系数的关系 知识点 1：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1.定理内容：若一元二次方程 ，当 时有两个实数根 、，则 ，。   2.简化形式：当二次项系数 ，方程为 ，则 ，。   3.使用前提：①必须是一元二次方程，；②方程要有实数根，即 ；③方程要先化为一般形式再确定 。 知识点 2：两根常见代数式恒等变形 1.核心思想：把所求代数式转化为只含有 、 的式子，实现整体代入，不需要求出方程的根。 代数式变形 转化结果 知识点 3：由根的符号判断系数特征 1.两根同正：   2. 两根同负：   3. 两根异号：只需满足 ，此时必然 。 知识点 4：由根逆向构造一元二次方程 1.构造方法：已知两个根为 、，则对应的一元二次方程可以写成 。   2.拓展：方程两边同乘非零常数 ，得到 ，仍然满足这两个根。 【基础必考题型】 【题型 1】直接利用韦达定理求两根和与积 1. 核心知识点   韦达定理公式；一元二次方程一般形式； 的识别，包含符号。 2. 解题方法技巧   ①先把方程整理为 ；   ②确认 、、，注意符号；   ③代入 ， 计算。 【例题1】.（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（     ） A．5 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】无需解方程，利用根与系数的关系直接计算两根之和. 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得，． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：一元二次方程中，，， 可得． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）已知关于的方程的两个不相等的实数根分别是，那么的值是___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到关于、的等式，结合两个根不相等的条件排除不符合的解，即可得到结果． 【详解】解：∵方程的两个不相等的实数根分别是，， ∴， 由得， ∴或， 当时，代入得，此时原方程为，两根相等，不符合题意，舍去； 当时，代入，得，解得，此时原方程的判别式，符合有两个不相等实数根的条件， ∴． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·北京东城·开学考试）设，是方程的两实数根，则____________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入所求式子计算即可． 【详解】解：，是方程的两实数根 根据根与系数的关系可得，， ∴ ． 【题型 2】已知一根求另一根与参数 1. 核心知识点   方程根的定义；韦达定理；一元二次方程的条件 。 2. 解题方法技巧   ①方法一：将已知根代入原方程，先求出参数，再解方程求另一根；   ②方法二：利用两根之和或者两根之积，直接求另一根，再回代求参数；   ③求出参数后，可检验判别式，确认方程有实数根。 【例题2】.（25-26九年级上·辽宁大连·期末）若关于x的方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据根与系数的关系，两根之积等于常数项除以二次项系数，代入已知根即可求解另一个根． 【详解】解：设另一个根为，由根与系数的关系得， 其中，，，代入得：， 即， 解得：． 故答案为：． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根是______． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程根与系数的关系，已知一个根，通过两根之积求另一个根即可． 【详解】解：设另一个根为，根据根与系数的关系，有， 解得． 故答案为4． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）若关于x的方程的一个根是，则另一个根为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设另一个根为，根据根与系数的关系得到，求解即可，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：设另一个根为，由题意可得： ， 解得：， 故答案为：． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）若方程的一个根是2，则方程的另一个根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，方程的一个根为2，设另一根为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵方程的一个根为2，设另一根为， ∴， 解得：， 即方程的另一个根为． 故选：D 【题型 3】基础对称代数式求值 1. 核心知识点   完全平方公式；两根代数式变形；整体代入思想。 2. 解题方法技巧   ①先求出 、；   ②把目标代数式变形为和与积的组合形式；   ③整体代入求值，不单独求 、。 【例题3】.（2026·河北石家庄·二模）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．-3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∵， ∴将代入得． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）已知，分别是关于的方程的两个根，且满足，则的值为______． 【答案】12 【分析】根据韦达定理： ， ，用含的式子表示出一元二次方程两根之和、两根之积，再代入中，即可求出的值．注意：求出值后，需要代回到一元二次方程中检验是否大于，只有当时值才满足条件． 【详解】解：∵，分别是关于的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴一元二次方程为： ， 检验判别式： ， ∴方程有两个实根， 值符合题意． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·江苏·单元测试）已知，是关于x的方程的两个根，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)3； (2)． 【分析】（1）根据根与系数的关系可得，，将所求代数式进行通分，再代入计算即可； （2）利用 ，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，， 即： ； （2）解： ． 【题型 4】判断根的正负情况 1. 核心知识点   判别式；两根之和、两根之积的符号；根的分布基础判断。 2. 解题方法技巧   ①两根异号，只看 的符号；   ②两根同号，要同时看和、积的符号，并且保证 ；   ③结合题意区分 “两个实数根”“两个不相等实数根” 条件。 【例题4】.（2024·宁夏银川·二模）一元二次方程根的情况是（　　） A．有两个相等的实根 B．有两个正根 C．有两个负根 D．有一个正根，一个负根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解的情况与判别式之间的关系．若，则一元二次方程有两个不等的实数根；若，则一元二次方程有两个相等的实数根；若，则一元二次方程没有实数根；注意：先把原方程化为一般形式． 先表示出，判断其正负性，再根据一元二次方程根的判别式与一元二次方程解的情况的关系，判断其根的情况． 【详解】解： ， 方程一定有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为、， 根据根与系数的关系得：， 方程的两实数根一定异号，即方程有一个正根，一个负根． 故选：D． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）关于的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（    ） A．两个正根 B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大 C．两个负根 D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小 【答案】D 【分析】此题考查了根与系数的关系，绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 方程整理为一般形式，设两根分别为，，利用根与系数的关系表示出与，逐项判断即可． 【详解】解：设方程两根设为，， 方程整理得：， ∴由根与系数的关系得：，， 则一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小． 故选：D． 【变式题4-2】.（2025·河北唐山·二模）关于的一元二次方程存在两实数根，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．和一定异号 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程跟的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据题意得出，进而根据根的判别式的意义判断A，B选项，根据根与系数的关系式得出，进而判断C选项，根据，，得出，，进而求得的值，即可判断D选项，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程存在两实数根， ∴ A． 若，则，∴，故该选项正确，不符合题意；     B． 若，则，∴，故该选项正确，不符合题意；     C． ∵，当，和异号，当时，和同号，故该选项不正确，符合题意；     D． ∵，若，则 ∴，则 ∵ ∴，故该选项正确，不符合题意；     故选：C． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有一个正根，一个负根 C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3 【答案】D 【详解】一元二次方程化简，得． ，， ， 即． ， 该方程有两个正根，且有一根大于3． 【培优高频题型】 【题型 5】结合判别式求参数的值 1. 核心知识点   韦达定理；根的判别式 ；参数的取舍。 2. 解题方法技巧   ①利用韦达定理列出关于参数的方程，解出参数候选值；   ②必须代入判别式检验，舍去使得 的解；   ③若二次项系数含有参数，还要保证 。 【例题5】.（2026九年级上·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，结合，即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：方程的两个实数根为，， ，， ， ， ， 解得． 【变式题5-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1) 即恒成立 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）通过根的判别式的恒正性证明方程有两个不相等的实数根； （2）由根与系数关系得到的含的代数式，代入求解的值． 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系： ，， ， ， ， 解得． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·北京海淀·阶段检测）已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长， 且矩形的对角线长为，求的值． 【答案】(1)证明：在方程中， ，，， ∴ ． ∵， ∴，即， ∴该方程总有两个实数根． (2)的值为． 【分析】（1）由根的判别式得，即可得证； （2）由勾股定理得，由根与系数关系得，，即可求解． 【详解】（1）证明略． （2）解： ，是一个矩形两邻边的长， ， ， 由根与系数关系得，， ，， 解得，（舍去），， 故的值为． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，若m取最大正整数值，设是该方程的两根，求的值． 【答案】(1)的取值范围是且； (2)所求代数式的值为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可求解； （2）根据（1）中m的取值范围确定m的值，代入一元二次方程，利用根与系数的关系得到、的值，对算式变形后代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得：， 又∵， ∴， ∴m的取值范围为：且； （2）解：∵， ∴m的最大正整数值为2， 当时，一元二次方程为， ∴，， ∴原式 ． 【题型 6】降次法处理高次代数式 1. 核心知识点   方程根的定义；降次思想；韦达定理整体代入。 2. 解题方法技巧   ①若 是方程的根，则 ，利用该式把高次项降为一次；   ②降次化简代数式，再结合 、 整体计算；   ③尽量不解出根的具体数值，减少复杂计算。 【例题6】.（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）古希腊在研究黄金分割时得到方程，已知m，n是方程的两个根，则代数式________． 【答案】4 【分析】利用方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系计算结果． 【详解】解：是方程的根， ，即， ，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得， 原式． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·江苏镇江·期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 【答案】42 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及利用因式分解求代数式的值．根据一元二次方程的根与系数的关系，得，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】∵， ∴， ∴，， 则 ． 故答案为：42． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·全国·课后作业）若是方程的两个实数根，则代数式的值为__． 【答案】4046 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握相关性质是解题的关键． 根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，将变形为，再代入得到，即可求解． 【详解】解：整理得：， ∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：4046． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）已知是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系计算求值． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，， ，， ． 【压轴素养题型】 【题型 7】已知两根条件求参数范围 1. 核心知识点   不等式组；判别式；根的符号分布；分类讨论思想。 2. 解题方法技巧   ①根据题意列出不等式组：包含 、两根和、两根积的不等关系；   ②解不等式组，取公共解集；   ③注意区分 “有实数根”“有两个不相等实数根” 条件。 【例题7】.（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）设是方程的两根，且，则常数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合的条件列方程求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式题7-1】.（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则______． 【答案】 【分析】设两根满足倍数关系，利用一元二次方程根与系数的关系求出两根，进而计算的值，再验证判别式符合有两个实数根的条件． 【详解】解：∵方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍， ∴设方程的两个根分别为和， 对于一元二次方程，由根与系数的关系可知，两根之和为，两根之积为， ，解得， 方程的两个根为和， ， 验证得此时判别式，方程有两个实数根，符合题意． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）设是方程的两个根，且，求常数的值． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根与系数关系得到，进而求得，代入方程中求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴，解得， 将代入中，则， 解得． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟知一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，解之即可得到答案； （2）根据根与系数的关系可得，，再由题意可得，据此求出，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意． ∴． 【题型 8】逆向构造一元二次方程 1. 核心知识点   韦达定理逆用；由根还原方程；整体换元构造。 2. 解题方法技巧   ①已知两根，套用 ；   ②遇到两个同结构方程，识别两个数是某新方程的两根；   ③注意方程可以同乘非零常数，答案形式不唯一。 【例题8】.（26-27九年级上·湖北·阶段检测）阅读材料： 已知，，且，求的值． 解：由及，可知，． 又， 可变形为． 所以与是方程的两个不相等的实数根． 则， 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：，，且．求：的值． 【答案】 【分析】由题意可知：可以将方程化简为的形式，然后根据根与系数的关系可解得：的值；也可将方程化简为的形式，再根据根与系数的关系可解得的值． 【详解】 解：解法一：由知， ， ， 由得， 根据与的特征， 是方程的两个不相等的实数根， ． 解法二：由得， 根据与的特征，且， 与是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·福建福州·开学考试）有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)；1 (2) (3)3 【分析】（1）根据根与系数关系，，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （3）将a、b看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到c的最大值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根，， ∴，． （2）解：∵，且实数m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； ∴原式的值为． （3）解：∵，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∵，且，即， 不等式两边同乘得：， ∴，即， ∴c的最大值为3． 【变式题8-2】.（24-25九年级上·四川眉山·期末）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若是方程的两根，则______，______； (2)已知满足，，求的值； (3)已知满足，，求正整数的最小值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（）根据题意解答即可； （）分和两种情况解答即可； （）由已知可，，可得为一元二次方程的两个根，进而由解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：，； （2）解：∵满足，， 当时，原式； 当时，可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； 综上，的值为或； （3）解：∵，， ∴，， ∴为一元二次方程的两个根， ∵，且， ∴， ∴， ∴正整数的最小值为． 【变式题8-3】.（24-25九年级上·贵州遵义·期末）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，．请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________； (2)若，是方程的两根，求，的值； (3)已知两个不同的实数，满足，，求的值． 【答案】(1)   (2)， (3)的值为 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，根据，，进行解答，即可． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，，进行解答，即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，，进行解答，即可； （3）根据一元二次方程根与系数的关系，，可得，，再通分，可得，进行解答，即可 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，， ∴，是方程的两根，；； 故答案为：；． （2）解：∵，是方程的两根 ∴， ∴，． （3）解：∵两个不同的实数，满足，， ∴，，，可看作方程的两根， ∴，， ∴， 即的值为． 易错点 1、使用根与系数关系，忽略前提条件：、，直接套公式，得到无效参数解。 2、记错两根之和符号，把 错记成 。 3、方程没有化为一般形式，直接取用 ，造成符号错误。 4、求参数只解方程，不检验判别式，保留使方程没有实数根的参数。 5、两根同正、同负判断时，只看和与积，漏掉 的条件。 6、降次求值类题目，强行求根，出现复杂根式计算，增加计算错误。 重点 1、掌握韦达定理的内容以及使用的三个前提条件，熟练识别 。 2、熟练掌握常见两根代数式变形，会使用整体代入法求代数式的值。 3、会已知一根求另一根和参数，会逆向由根构造一元二次方程。 4、结合判别式，会解决含参数求值、求取值范围类基础题型。 5、能够根据两根的和、积，简单判断实数根的正负分布。 难点 1、降次思想：利用方程根对高次代数式进行降次化简，整体代入求值。 2、含参综合题：多个约束条件，参数求出后结合 、 做取舍。 3、几何综合、新定义、同构换元类探究题，完成条件翻译、模型识别与代数推理。 4、根的分布问题，准确建立不等式组，处理多条件同时成立。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 2．若方程的两个实数根为，，且，则k的值为（     ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， 当时，， ∴方程有2个相等的实数根，满足题意． 3．若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将第二个方程变形为关于的一元二次方程，与第一个方程形式一致，结合根与系数的关系求解，即可解答． 【详解】解：∵时，，与题设矛盾， ∴， 将两边除以， 整理得， ∵，且， 即， ∴，是方程的两个不等实根， ∴，即． 二、填空题 4．已知是方程的一个根，则方程的另一个根是______． 【答案】 【分析】设方程另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系，由两根之积建立等式求解． 【详解】解：设方程的另一个根为，已知一个根， ， 整理得， 解得． 5．已知方程的两根分别为，，则的值是______． 【答案】 【分析】由一元二次方程根与系数关系，方程的两个实数根和系数有如下关系：，代入题中方程的对应系数得，．将所求代数式展开，整体代入计算即可． 【详解】解：方程的两根分别为， ，， ． 6．已知a，b，4分别是一个等腰三角形三边的长，且a，b是关于x的一元二次方程的两个根，则______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：一是腰长为，即或；二是，即腰长为，底边为，分别计算的值并验证三角形是否成立即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴根据根与系数的关系得， 分两种情况计算： 当为腰长，即或时， 将代入方程得：， 解得， 此时方程为，解得另一个根为， 三角形三边长为，符合三角形三边关系，满足题意； 当，即为腰长时， 此时方程有两个相等的实数根，判别式， 解得， 此时方程为，解得， 三角形三边长为，符合三角形三边关系，满足题意； 综上，的值为或． 三、解答题 7．已知方程的两个根为，，求下列式子的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再将所求代数式变形为含，的形式，代入数值计算即可． 【详解】（1）解：∵方程的两个根为，， ∴， 由根与系数的关系得：， ∴； （2）解：结合（1），可得． 8．若、是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】或 【分析】首先判断出m无论取何值，原方程均有两个不相等的实数根，然后求出，，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴m无论取何值，原方程均有两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或． 9．已知是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)若菱形的周长为，与交于，与的长分别是关于的方程的两根．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据一元二次方程有实数根求出的取值范围，再利用根与系数的关系写出两根之和两根之积；把展开变形，代入两根和与两根积，得到关于的方程，解方程后结合的范围取舍． （2）由菱形周长得到边长，利用菱形对角线互相垂直，根据勾股定理得到；结合完全平方公式变形，代入，，列方程求出，再根据取值范围以及线段长度大于0进行取舍． 【详解】（1）解：方程有两个实数根， ， ， 由根与系数的关系得，， ， ， ， ， ， ，， ， ， （2）解：菱形周长为， 菱形边长， 菱形对角线互相垂直平分， ， ， 、是方程的两根 ，， ， ， ， ， ， ， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 一元二次方程的根与系数的关系 知识点 1：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1.定理内容：若一元二次方程 ，当 时有两个实数根 、，则 ，。   2.简化形式：当二次项系数 ，方程为 ，则 ，。   3.使用前提：①必须是一元二次方程，；②方程要有实数根，即 ；③方程要先化为一般形式再确定 。 知识点 2：两根常见代数式恒等变形 1.核心思想：把所求代数式转化为只含有 、 的式子，实现整体代入，不需要求出方程的根。 代数式变形 转化结果 知识点 3：由根的符号判断系数特征 1.两根同正：   2. 两根同负：   3. 两根异号：只需满足 ，此时必然 。 知识点 4：由根逆向构造一元二次方程 1.构造方法：已知两个根为 、，则对应的一元二次方程可以写成 。   2.拓展：方程两边同乘非零常数 ，得到 ，仍然满足这两个根。 【基础必考题型】 【题型 1】直接利用韦达定理求两根和与积 1. 核心知识点   韦达定理公式；一元二次方程一般形式； 的识别，包含符号。 2. 解题方法技巧   ①先把方程整理为 ；   ②确认 、、，注意符号；   ③代入 ， 计算。 【例题1】.（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（     ） A．5 B． C．8 D． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）已知关于的方程的两个不相等的实数根分别是，那么的值是___________． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·北京东城·开学考试）设，是方程的两实数根，则____________． 【题型 2】已知一根求另一根与参数 1. 核心知识点   方程根的定义；韦达定理；一元二次方程的条件 。 2. 解题方法技巧   ①方法一：将已知根代入原方程，先求出参数，再解方程求另一根；   ②方法二：利用两根之和或者两根之积，直接求另一根，再回代求参数；   ③求出参数后，可检验判别式，确认方程有实数根。 【例题2】.（25-26九年级上·辽宁大连·期末）若关于x的方程的一个根为，则另一个根为________． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根是______． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）若关于x的方程的一个根是，则另一个根为_____． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）若方程的一个根是2，则方程的另一个根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【题型 3】基础对称代数式求值 1. 核心知识点   完全平方公式；两根代数式变形；整体代入思想。 2. 解题方法技巧   ①先求出 、；   ②把目标代数式变形为和与积的组合形式；   ③整体代入求值，不单独求 、。 【例题3】.（2026·河北石家庄·二模）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．-3 B．1 C． D． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）已知，分别是关于的方程的两个根，且满足，则的值为______． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·江苏·单元测试）已知，是关于x的方程的两个根，求下列各式的值． (1)； (2)． 【题型 4】判断根的正负情况 1. 核心知识点   判别式；两根之和、两根之积的符号；根的分布基础判断。 2. 解题方法技巧   ①两根异号，只看 的符号；   ②两根同号，要同时看和、积的符号，并且保证 ；   ③结合题意区分 “两个实数根”“两个不相等实数根” 条件。 【例题4】.（2024·宁夏银川·二模）一元二次方程根的情况是（　　） A．有两个相等的实根 B．有两个正根 C．有两个负根 D．有一个正根，一个负根 【变式题4-1】.（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）关于的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（    ） A．两个正根 B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大 C．两个负根 D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小 【变式题4-2】.（2025·河北唐山·二模）关于的一元二次方程存在两实数根，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．和一定异号 D．若，则 【变式题4-3】.（25-26九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有一个正根，一个负根 C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3 【培优高频题型】 【题型 5】结合判别式求参数的值 1. 核心知识点   韦达定理；根的判别式 ；参数的取舍。 2. 解题方法技巧   ①利用韦达定理列出关于参数的方程，解出参数候选值；   ②必须代入判别式检验，舍去使得 的解；   ③若二次项系数含有参数，还要保证 。 【例题5】.（2026九年级上·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 【变式题5-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·北京海淀·阶段检测）已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长， 且矩形的对角线长为，求的值． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，若m取最大正整数值，设是该方程的两根，求的值． 【题型 6】降次法处理高次代数式 1. 核心知识点   方程根的定义；降次思想；韦达定理整体代入。 2. 解题方法技巧   ①若 是方程的根，则 ，利用该式把高次项降为一次；   ②降次化简代数式，再结合 、 整体计算；   ③尽量不解出根的具体数值，减少复杂计算。 【例题6】.（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）古希腊在研究黄金分割时得到方程，已知m，n是方程的两个根，则代数式________． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·江苏镇江·期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·全国·课后作业）若是方程的两个实数根，则代数式的值为__． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）已知是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【压轴素养题型】 【题型 7】已知两根条件求参数范围 1. 核心知识点   不等式组；判别式；根的符号分布；分类讨论思想。 2. 解题方法技巧   ①根据题意列出不等式组：包含 、两根和、两根积的不等关系；   ②解不等式组，取公共解集；   ③注意区分 “有实数根”“有两个不相等实数根” 条件。 【例题7】.（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）设是方程的两根，且，则常数的值为（     ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则______． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）设是方程的两个根，且，求常数的值． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【题型 8】逆向构造一元二次方程 1. 核心知识点   韦达定理逆用；由根还原方程；整体换元构造。 2. 解题方法技巧   ①已知两根，套用 ；   ②遇到两个同结构方程，识别两个数是某新方程的两根；   ③注意方程可以同乘非零常数，答案形式不唯一。 【例题8】.（26-27九年级上·湖北·阶段检测）阅读材料： 已知，，且，求的值． 解：由及，可知，． 又， 可变形为． 所以与是方程的两个不相等的实数根． 则， 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：，，且．求：的值． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·福建福州·开学考试）有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【变式题8-2】.（24-25九年级上·四川眉山·期末）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若是方程的两根，则______，______； (2)已知满足，，求的值； (3)已知满足，，求正整数的最小值． 【变式题8-3】.（24-25九年级上·贵州遵义·期末）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，．请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________； (2)若，是方程的两根，求，的值； (3)已知两个不同的实数，满足，，求的值． 易错点 1、使用根与系数关系，忽略前提条件：、，直接套公式，得到无效参数解。 2、记错两根之和符号，把 错记成 。 3、方程没有化为一般形式，直接取用 ，造成符号错误。 4、求参数只解方程，不检验判别式，保留使方程没有实数根的参数。 5、两根同正、同负判断时，只看和与积，漏掉 的条件。 6、降次求值类题目，强行求根，出现复杂根式计算，增加计算错误。 重点 1、掌握韦达定理的内容以及使用的三个前提条件，熟练识别 。 2、熟练掌握常见两根代数式变形，会使用整体代入法求代数式的值。 3、会已知一根求另一根和参数，会逆向由根构造一元二次方程。 4、结合判别式，会解决含参数求值、求取值范围类基础题型。 5、能够根据两根的和、积，简单判断实数根的正负分布。 难点 1、降次思想：利用方程根对高次代数式进行降次化简，整体代入求值。 2、含参综合题：多个约束条件，参数求出后结合 、 做取舍。 3、几何综合、新定义、同构换元类探究题，完成条件翻译、模型识别与代数推理。 4、根的分布问题，准确建立不等式组，处理多条件同时成立。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 2．若方程的两个实数根为，，且，则k的值为（     ） A．1 B．2 C． D．4 3．若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知是方程的一个根，则方程的另一个根是______． 5．已知方程的两根分别为，，则的值是______． 6．已知a，b，4分别是一个等腰三角形三边的长，且a，b是关于x的一元二次方程的两个根，则______． 三、解答题 7．已知方程的两个根为，，求下列式子的值： (1)； (2) 8．若、是方程的两个实数根，且，求m的值． 9．已知是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)若菱形的周长为，与交于，与的长分别是关于的方程的两根．求的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $