2026-2027学年北师大版九年级数学上册月考检测卷（第1-2章）

2026-2027学年九年级数学上学期月考检测卷（第1-2章） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，） 1．一元二次方程的根的情况是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 2．下列命题中正确的是（     ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的四边形是菱形 3．如图，某校有一块靠墙（墙的长度不限）的空地．为加强劳动教育，增加学生实践机会，学校拟用总长为的篱笆，在空地内围出一块面积为的矩形菜地作为实践基地，设与墙平行的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，，点为的中点，连接，点为直线上一个动点，作射线，过点作，垂足为，连接，则的周长可能是（     ） A． B． C． D． 5．小冀与小豫一起写作业，在解同一道一元二次方程时，小冀在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是2和1；小豫在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是和．已知原方程的二次项系数为1，则（    ） A．原方程的一次项系数为3 B．原方程的常数项为 C．1是原方程的一个根 D．是原方程的一个根 6．如图，在正方形中，点P是上任意一点，，，垂足分别为点M，N，若，则（     ） A． B．5 C． D． 7．已知a、b满足，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2 8．如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转得到菱形，点E在上，与交于点P，则的长是（     ） A． B． C． D． 9．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 10．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点E、F，连结交于点，连结、．若，，下列四个结论中正确的是（） ①为等边三角形；②；③四边形是菱形；④． A．①② B．①②③ C．①③ D．①②③④ 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11．已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 12．如图，边长为2的正方形在平面直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，将正方形绕点按顺时针方向旋转，则点的对应点的坐标为_________． 13．某种植物的主干长出若干数目的支干，且每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，主干、支干和小分支的总数是43，问：每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，列方程得：_________． 14．如图，在矩形中，，E是上一点，连接，将沿着折叠后，点A的对应点刚好落在的中点处，是的中点，G是的中点，连接，求________． 15.若关于x的方程有三个不同的实数解，则k的个数为 ． 16．如图，为菱形的对角线上的一个定点，为边上的一个动点，的垂直平分线分别交，于点，，，连接．若长的最小值为，则的长为_____． 17．阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则 ． 18．如图，已知四边形是边长为6的正方形，为上一点，且，为线段上一动点，过点作于点，交线段于点．则下列结论中正确的有_______． ①．  ②若，则．  ③当时，．④若为线段上一动点，连接，则的最小值为． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-21题8分，22-24题每题10分，25-26题每题12分，） 19．解下列一元二次方程： (1)； (2)．(3)；(4)． 20．中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少盒，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？ 21．如图，矩形，，． (1)用直尺和圆规作一个符合条件的平行四边形，须满足：①点F落在边右侧；②；③与在同侧；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若平行四边形的面积是矩形面积的一半，且为等腰三角形，求的值． 22．综合与实践： 数学项目团队专门研究中国数学史，探究《周髀算经》中解一元二次方程的方法． 史料解读：《周髀算经》是中国现存最古老的天文学与数学著作，其中记载了一种利用矩形构造来解形如的方程的正数解的几何方法．方法如下： 先将方程转化为长为、宽为、面积为的长方形；再将四个全等长方形拼成一个大正方形，如右图所示，则大正方形的面积为，边长为，中间小正方形的面积为，从而可求得方程的正数解． (1)特殊验证：若按此方法解方程，则构造的大正方形面积为 ，方程的正数解为 ； (2)一般论证：请结合以上资料和图形，证明：关于的方程（，）的正数解为：； (3)迁移应用：已知用此方法解关于的方程（，）时，构造的大正方形面积为，小正方形的面积为，求的值． 23．如图1，在正方形中，点为线段的中点，连接，过点作交于点，且垂足为点． (1)求证：； (2)如图2，延长，过点作，交射线于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，求证：． 24.关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，(1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 25.在正方形中，点是直线上的动点（不与点、重合）．连接．线段绕点顺时针旋转得到线段．过点作，垂足为． (1)如图1，当点仅在线段上运动时： ①探究与的数量关系： ②连接，判断的形状，并说明理由． (2)如图2，连接．线段交射线于点．在运动过程中，点在线段上具有怎样的不变性？说明理由． 26．在平面直角坐标系中，为坐标原点，菱形的对角线在轴上，、两点分别在第一象限和第二象限，点坐标． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，为射线上一动点(不与点和点重合)，过点作轴交直线于点设线段的长度为，点的坐标为，求与的关系式（不要求写出的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，当点运动到线段的延长线上时，连接交轴于点，连接，，延长交于点，过作交轴于，的角平分线交轴于点，求点的坐标． 参考答案 一、选择题 1.B 解： 展开得 移项整理得 这里 ∴ ∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 2．A 解：A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合判定定理，正确. B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题未限定为平行四边形，错误. C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题不符合正方形判定条件，错误. D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题未限定为平行四边形，错误. 3．C 解：设与墙平行的一边长为x米，则与墙垂直的一边长为米， 根据题意，得． 4．C 解：四边形是矩形，， ∵点为的中点，，，，， ，，由三角形三边关系定理得到：， ，∴的周长，∴C符合题意． 5．C 解：设原一元二次方程为 ，题目已知二次项系数为． ∵ 小冀写错常数项，一次项系数 正确，且小冀得到的两根为 和 ， ∴ 小冀写的方程为 ，展开得 ，∴ 可得正确的一次项系数 ． ∵ 小豫写错一次项系数，常数项 正确，且小豫得到的两根为 和 ， ∴ 小豫写的方程为 ，展开得 ，∴ 可得正确的常数项 ． 因此原方程为 ，因式分解得 ，原方程的根为 ． 逐一判断选项：A.原方程一次项系数为 ，A 错误．B.原方程常数项为 ，B 错误． C. 是原方程的一个根，C 正确．D. 不是原方程的根，D 错误． 6．B 解：设正方形中、交于O， 四边形是正方形，，，，． ，，∴四边形是矩形．，． ，．，． ．．． 7．A 设，由，得， 化简得，解得，即． 8．A 解：如图，连接交于点O，∵四边形是菱形， ∴，， ∴，由勾股定理得， 由旋转的性质得，∴， ∵四边形是菱形，∴，∴，∴， 在中，，∴由勾股定理得，∴． 9．C 解：设方程的两根分别为，．由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ．∴代数式的最大值为4． 10．D 解：四边形是矩形，为中点， ，，∴， ∵∠COB=60∘，是等边三角形， ， ，， ∵，∴，，， 在和中，，， ，，， ，， ∵，，，∴， ∵，∴垂直平分， ∵矩形中三点共线，∴在的垂直平分线上，， 结合，可得是等边三角形，故①正确； 由①可得也是等边三角形，， ∴由四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，故③正确； 是等边三角形，，∵，， ∴垂直平分，即，∵∴， 在中，，， ，，即，故②正确； ∵，，∴，， ∵，，∴，，， ∵，∴∴，故④正确 综上，正确的结论是①②③④． 二、填空题 11． 解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且．解得．故答案为：． 12． 解：如图，连接并将绕点按顺时针方向旋转，B点对应点为D ∵正方形边长为2∴，， 过D点作轴于点E，∴，∴， ∴，∴点的对应点的坐标为． 13． 解：设每个支干长出个小分支，则主干长出的支干数目为， 故支干有个，小分支有个．根据题意，主干、支干和小分支的总数为43， 因此列方程得．故答案为：． 14． 15.4 解：方程，解得或． 因为方程有三个不同实数解，方程的根需满足以下情况之一：1. 有一个不等于或的实数根（）；2. 有两个相等的实数根，且该根不等于或（）；3. 有两个不等的实数根，其中一根为或，另一根不为或。据此解答即可． 当时，方程变为，解得， 此时方程有三个不同实数解，，． 当时，方程是一元二次方程． 若方程有两个相等的实数根，则，解得，此时方程的根为，与，不同，方程有三个不同实数解． 若方程有一个根为，代入得，解得，此时方程为，即，因式分解为，解得或，此时方程有三个不同实数解． 若方程有一个根为，代入得，解得，此时方程为，即，因式分解为，解得或，此时方程有三个不同实数解． 综上，的值有个．故答案为：． 16． 解： 17． 解：∵实数m，n满足， ∴m，是方程的实数根，解方程得， ∴分情况讨论：①若，则； ②若，则若，，，不合题意，舍去； 若，，，不合题意，舍去． 综上所述，．故答案为：． 18．①③ 解：如图，连接，作于， ∵四边形是正方形，∴，，， ∵，∴，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，故①正确； ∵，∴，∵，，， ∴，∴，∴， ∵不一定等于，∴不一定等边三角形，∴不一定等于，故②错误； 如图，连接，∵，∴点、、、四点共圆，∴， ∴，∴，故③正确； （另解：过点C作CT1,CT2分别垂直PE,PF，易证：,∴，∴，故③正确） 连接，，如图所示：∵在正方形中，，， 又∵，∴，∴，∴， ∵两点之间线段最短，∴当B、M、E三点共线时，最小，即最小， ∵，∴，∴， 即最小值为，故④错误；综上，正确的有①③． 三、解答题 19．（1）移项，得， 配方，得，即 ， 开平方，得， ∴； （2）提取公因式，得， 化简，得，即 ， ∴ 或 ， ∴． （3）解：， ， ， ， ， ，， ∴，； （4）解：， ， ， ，， ∴, ． 20．（1）解：设每次下降的百分率为， 根据题意可得：，解得，(舍去)， 答：每次下降的百分率为． （2）解：设每盒应涨价元，根据题意可得：， 展开化简得：，因式分解得：，解得，， ∵要尽快减少库存，∴， 答：每盒应涨价5元． 21．(1)解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：∵平行四边形面积是矩形面积的一半，∴垂直平分线段，， ，，是等边三角形；∴，∴． 当时，如图， 是等边三角形，，； 当时，如图，作交于点G， ∵，，； 当时，如图，作交于点M， 由，得，即， ，，，． 22．（1）解：∵，∴， ∴构造的大正方形面积为， ∴大正方形的边长为，∴； (2)证明：（，）， 由题意，构造的大正方形的面积为，边长为， ∴，∴， 即关于的方程（，）的正数解为：； （3）解：∵（，），∴， ∵构造的大正方形面积为，小正方形的面积为， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴． 23．(1)证明：∵在正方形中，∴， ∵点为线段的中点，∴， ∵，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴； (2)证明：∵，∴， ∵，∴， 由(1)知，又知，∴， 在和中，，∴，∴； (3)证明：如图3，连接， 由(1)知，∴， 由(2)知，，∴，，∴， 在和中，，∴，∴，， 又∵，∴， ∴是等腰直角三角形，∴． 24.（1）的根为，，，是“倍根方程”； 的根为，，，不是“倍根方程”；故答案为：①； （2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和， ，解得；经检验，符合题意，的值为18； （3）由得，， 是“倍根方程”，或，即或， 当时，；当时，；代数式的值为或． 25.(1)①∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴； ②是等腰直角三角形，理由如下： 如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形． (2)解：点是线段的中点．理由如下： 当点在线段上运动时，如图，过作交于， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即点是线段的中点； 当点在射线上运动时，如图 同理可得，即点是线段的中点； 26．（1）解：菱形的对角线在轴上，、两点关于轴对称， ，； （2）如图，当时，作于点，于点， 设与交于点，，，，即，， 轴，，，，，四边形是矩形， ，，， 在和中，，，， ； 当时，作于点，于点， 同理可得：，，， 综上所述，； （3）如图3，连接交于点，在上取一点，使得，连接，作于点，延长交轴于点，连接交于点， ，，， ，， ，平分， （角平分线的性质定理，可以用面积法则证明，见下面补充说明）， 设，则，，，， ，整理得：，解得：或（舍去）， ，，，设直线的解析式为：， 将，代入得：，解得：，直线的解析式为：， 直线的解析式为：，联立，解得：，， 设直线的解析式为：，将，代入得：，解得：， 直线的解析式为， ，的横坐标为，代入中，得：， ，，，， ，四边形是正方形，， ，，又，，， ，，，， ，平分，，，， 设直线的解析式为，将，代入得：，解得： 直线的解析式为令，则，． 补充说明，如图，平分，则， 理由：作于，交的延长线于， 平分，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $