集合、逻辑用语、不等式专项训试卷（提升）-2027届高三数学一轮复习

集合逻辑不等式章节测试卷（提高版） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若以点，，为元素构成的集合有个子集，则可以是 A． B． C． D． 1．B 【解析】集合 有 个子集，说明 恰有 个元素，即题中三个点恰有两个相同。 当 时，三点依次为 、、，互不相同， 有 个元素，不合题意； 当 时，三点依次为 、、，互不相同，不合题意； 当 时，三点也互不相同，不合题意； 当 时，，故 ，而 ， 此时 恰有 个元素，符合题意。故选 B。 2．已知向量，则“”是“向量共线”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．A 【解析】因为 ，且 ， 所以 ，。 当 时，，，此时 ，两向量共线，充分性成立； 若 、 共线，则 ，即 ，（）， 不一定是 （如 ），必要性不成立。故选 A。 3．已知，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．A 【解析】设 （），。 当 时 ，所以 在 上单调递增。 充分性：若 ，则 且 ，由单调递增得 ， 即 ，充分性成立。 必要性：取 ，，则 ，， 由 知 成立，但 不成立，必要性不成立。 所以 "" 是 "" 的充分不必要条件。 4．设，则下列不等式恒成立的是 A． B． C． D． 4．D 【解析】逐项验证，用反例排除前三项。 对于 A：取 ，，，，则 ，，此时 ，A 不恒成立； 对于 B：取 ，，，，则 ，，此时 ，B 不恒成立； 对于 C：取 ，，，，则 ，，此时 ，C 不恒成立； 对于 D：作差 。 由 得 ，，，，所以 ， 于是 ，即 对满足条件的一切实数恒成立。故选 D。 5．已知，，，则“ ”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．B 【解析】必要性：由 且 知幂函数 在 上递增，故 ， 再由 、 得 ；又 在 上递减，故 ，必要性成立。 充分性：取 ，，，则 成立， 但 ，即 不成立，故充分性不成立。 综上，应选 B。 6．某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为的矩形机器人表演区，为了保证观演效果，表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽的观演区，则表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是 A． B． C． D． 6．B 【解析】设表演区矩形的长、宽分别为 、（），则 。 左、右各留 米、前方留 米，所以整个矩形演区的长、宽分别为 、。 演区面积 。 由 得 ，代入得 。 由基本不等式，， 所以 。等号成立当且仅当 ，即 ，此时 ，符合题意。 所以演区面积的最小值是 平方米。 7．已知非零向量，满足，，．若，则的最小值为 A． B． C． D． 7．C 【解析】因为 ，且 ，， 所以 。 因为 ，由基本不等式得 ， 当且仅当 即 时取等号，故最小值为 。故选 C。 8．已知正数，，满足，则的最小值为 A． B． C． D． 8．C 【解析】由 ，结合 得 ，即 ，等号成立当且仅当 。 把它代入目标式，因 有 。 注意 ，约去 得 。 又 ，由基本不等式 ，所以 。 等号成立需同时满足 与 ；此时 ，解得 ，， 均为正数且满足全部条件，故等号可以取到。所以所求最小值为 。故选 C。 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知 ，，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 B． 的最大值为 C． 的最小值为 9 D． 的最小值为 9．ABCD 【解析】逐项用基本不等式，并检验等号成立条件。 对于 A：，由基本不等式 ， 当且仅当 时取等号，故 的最大值为 ，A 正确； 对于 B：， 由 A 知 ，所以 ，即 ， 当且仅当 时取等号，B 正确； 对于 C：， 展开得 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 结合 解得 ，，等号可以取到，C 正确； 对于 D：由 ， 当且仅当 时取等号，D 正确。 故选 ABCD。 10．已知关于的不等式的解集为，则 A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 10．AC 【解析】因为 的解集为 ，所以 ，且 、 是 的两根。 由韦达定理得 ，，即 ，。 对于 A：由解集为开区间知抛物线开口向下，，故 A 正确； 对于 B： 即 ，因 解得 ，与选项中的 不符，故 B 错误； 对于 C：，把 代入得 ，故 C 正确； 对于 D： 即 ，因 得 ，即 ， 解得 ，与选项不符，故 D 错误。故选 AC。 11．已知，，，则下列结论正确的是 A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 11．BC 【解析】由 ，， 得 。 对于 A：，即最大值为 ，而不是最小值，故 A 错误； 对于 B：由 得 ，当 时取等，故 B 正确； 对于 C：， 当且仅当 （此时 ，）时取等，故 C 正确； 对于 D：， 但取等需 ，即 ，与 矛盾，故最小值取不到 ，D 错误。故选 BC。 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知函数，若集合只含有3个元素，则实数的取值范围是________． 12． 【解析】， 由 得 ，故 或 （）， 即 或 （）。 当 时，把这些解从小到大排列为 ，，，，… 因为 只含 个元素，所以 、、 在 内而 ， 故 且 ，解得 ， 即实数 的取值范围是 。 13．对于集合的子集，将中的元素按从小到大排列为．若对所有的，的奇偶性与相同，则称为的交替子集．约定空集为交替子集．例如、、均为交替子集．记为的交替子集的个数，则_______． 13． 【解析】记 为 的交替子集的个数，约定空集也算，先建立递推关系。 设 是 的交替子集。若 ，则 就是 的交替子集，共有 个； 若 ， 必排在末位。记 ，截取前缀不改变原有元素的位次， 所以 一定是 的交替子集；反过来，对 的任一交替子集 ， 当 与 同奇偶时取 （此时 的位次为 ，与 同奇偶，符合要求）； 当 与 同奇偶时取 （此时 、 的位次分别是 、，均与自身同奇偶）。 两种情形按 的奇偶性恰好把 的交替子集分成两类，且各自唯一对应一个含 的交替子集， 所以含 的交替子集共有 个。 于是 ，这就是斐波那契型递推。 初始值： 的交替子集为 、，共 个； 的交替子集为 、、，共 个。 依次递推：，，，，，，，。 所以 。 14．设集合，函数同时满足条件：①当时，；当时，；②，；③，则________，所有符合题设的函数的个数是________． 14．； 【解析】第一空：因为当 时 ，取 得 ；又 ， 所以 。因为当 时 ，取 得 ，所以 。 由 知 ，所以 ；同理 ，所以 。 故 。 第二空：由 时 且 ，得 ，，； 由 时 ，得 ，，；且保持 。 又 ，据此按 的取值分类： 当 时 ，此时 只能是 ，而 可取 共 种，得 个； 当 时 ， 可取 共 种， 可取 种，得 个； 当 时 ， 可取 共 种， 可取 共 种，得 个； 当 时 ， 可取 种， 只能是 共 种，得 个。 由分类加法计数原理，符合题设的函数共有 个。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知命题p：函数的定义域为R；命题，不等式在上有解．（13分） (1)若q为真命题，求实数m的取值范围； (2)若p，q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 15．(1) ；(2) 【解析】(1) 当 时，，所以 。 记 ，问题化为：存在 使 ，即存在 使 。 这等价于 不超过 在 上的最大值。 函数 的图象开口向上、对称轴为 ， 在 上最大值在离对称轴较远的端点 处取得，为 。 所以若 为真命题，则 ，即 的取值范围是 。 (2) 若 为真命题，则 对一切实数 恒成立。 当 时，化为 ，恒成立； 当 时，需开口向上且判别式为负，即 且 ，解得 。 所以 为真命题等价于 。 若 、 有且仅有一个为真命题，分两种情形： 情形一， 真 假：需 且 ，得 ； 情形二， 假 真：需 或 ，且 ，得 。 综上，实数 的取值范围是 。 16．设全集为，集合，，.（15分） (1)求； (2)若是的子集，求实数的取值范围； (3)若集合的真子集有且仅有个，求实数的取值范围． 16．(1) 或 ；(2) 或 ；(3) 【解析】(1) 解 ：因式分解得 ，所以 ， 在实数集内取补集得 或 。 (2) 按集合 是否为空集讨论。 当 ，即 时，，空集是任何集合的子集，符合题意； 当 ，即 时，，它不是 的子集，舍去； 当 ，即 时， 非空，要使 是 的子集，需 且 ， 解得 且 ，即 。 综上，实数 的取值范围是 或 。 (3) 若 的真子集有且仅有 个，设其中元素个数为 ，则 ，解得 。 因为 ，而 或 ， 所以 ，它含 个元素时这三个整数只能是 、、。 于是 ，解得 ，即实数 的取值范围是 。 17．我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：（，）．（15分） (1)证明“三元不等式”：（，，）； (2)若关于的不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 17．(1) 证明见解析；(2) 【解析】(1) 由题设 均为正数，故 。 利用恒等式 。 右端三个平方项都非负，而 ，所以右端非负，即 ， 也就是 ，当且仅当 ，即 时取等号，命题得证。 (2) 令 ，则 ，，于是 。 这三个正数的乘积为 ，由三元均值不等式它们之和不小于 ， 即 ，等号成立当且仅当 ，即 ，，也就是 。 所以 的最小值为 ，它在 处取到。 不等式 对任意实数 恒成立，等价于左端的最小值不小于右端， 即 ，移项因式分解得 ，解得 。 所以实数 的取值范围是 。 18．已知函数 ．（17分） (1)若 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围； (2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围； (3)记(1)中 的取值集合为 ，(2)中 的取值集合为 ，求 ． 18．(1) ；(2) ；(3) 【解析】(1) 是开口向上的二次函数， 对任意实数 恒成立，当且仅当判别式 ． 由 ，得 ， 解得 ，所以 ． (2) 因为 ，所以 ，不等式 即 ， 两边同除以 得 ，即 ． 令 ，． 因为 在 上单调递增（）， 所以 的最小值为 ． 要使 对一切 恒成立，只需 ，即 ， 所以 ． (3) 由 (1) 得 ，由 (2) 得 ． 因为 ，所以 中元素全部满足 ，即 ， 因此 ． 19．已知集合 ，集合 ．（17分） (1)若 ，求实数 的取值范围； (2)若 ，求实数 的取值范围； (3)若 ，求实数 的取值范围． 19．(1) ；(2) 或 ；(3) 【解析】由 ，因式分解得 ， 解得 ，所以 ． 对 中的不等式配方：，即 ， 解得 ，所以 ． (1) 因为 ，所以 且 ， 解得 且 ，即 ． 检验端点：当 时 ，满足 ； 当 时 ，也满足 ， 所以实数 的取值范围是 ． (2) 因为 ，所以区间 应完全落在 的左侧或右侧： 当 在 左侧时，，解得 ； 当 在 右侧时，，解得 ． 所以实数 的取值范围是 或 ． (3) 因为 ，所以 的取值是 (2) 中范围的补集， 即 且 ，所以实数 的取值范围是 ． 检验：当 时 ，； 当 时 ，，均符合。 学科网（北京）股份有限公司 $ 集合逻辑不等式章节测试卷（提高版） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若以点，，为元素构成的集合有个子集，则可以是（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，则“”是“向量共线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 5．已知，，，则“ ”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为的矩形机器人表演区，为了保证观演效果，表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽的观演区，则表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．已知非零向量，满足，，．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知正数，，满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知 ，，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 B． 的最大值为 C． 的最小值为 9 D． 的最小值为 10．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 11．已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知函数，若集合只含有3个元素，则实数的取值范围是________．（　　） 13．对于集合的子集，将中的元素按从小到大排列为．若对所有的，的奇偶性与相同，则称为的交替子集．约定空集为交替子集．例如、、均为交替子集．记为的交替子集的个数，则_______．（　　） 14．设集合，函数同时满足条件：①当时，；当时，；②，；③，则________，所有符合题设的函数的个数是________．（　　） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知命题p：函数的定义域为R；命题，不等式在上有解．（13分） (1)若q为真命题，求实数m的取值范围； (2)若p，q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 16．设全集为，集合，，.（15分） (1)求； (2)若是的子集，求实数的取值范围； (3)若集合的真子集有且仅有个，求实数的取值范围． 17．我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：（，）．（15分） (1)证明“三元不等式”：（，，）； (2)若关于的不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 18．已知函数 ．（17分） (1)若 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围； (2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围； (3)记(1)中 的取值集合为 ，(2)中 的取值集合为 ，求 ． 19．已知集合 ，集合 ．（17分） (1)若 ，求实数 的取值范围； (2)若 ，求实数 的取值范围； (3)若 ，求实数 的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $