黑龙江哈尔滨市第九中学校2026-2027学年高三上学期9月阶段性考试数学试卷

哈九中2024级高三9月阶段性考试 数学试卷 (时间120分钟，满分150分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求 1已知1是虚数单位，若复数2=，5 则z的虚部为() 4+3i A B. c.3 2.函数f(x)=lg(x2+3x+2),则函数f(x-1)的定义域为() A.（-2,-1) B.（-l,0)C.(-0,-2)U(-1,+0）D.(-0,-1)U(0,+0） 3.已知向量a,五，c满足ab=-2,且d=1,则a.2b+a)的值为() A.-3 B.-2 C.-1 D.0 4.正项等差数列{an}的公差为d,己知a1=4,且4,43-2，a三项成等比数列，则d=() A.-1 B.3 C.1 D.-3 5.将f(x)=2sin(2x+p)(0<p<)图象向左移严个单位长度，得到函数g()的图象，若g(x)是偶函数， 6 A.5 B.-V5 C.-1 D.1 6.索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体.小明同学为了估算索菲亚教堂 的高度（即CD线段长），在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB,高为(153-15)m,在它们之间的地面上 的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为 30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为() A.30m B.20m 30° C.303 m D.203 m 50 7.已知等比数列{a}的公比为9，其前n项积为Tn,且满足a>1,ao6·a0m>1, 02026-1 <0,则() 02027-1 A.9<0B.a225·a2027-1<0C.T26是数列{Tn}中的最小项D.若Tn<1,则n的最小值为4053 第1页，共8页 8.若函数f(x)=e+xnx-ax的最小值为-l,则a=() A.1 B.e C.e+1 D.e-1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的有() A.设a,b∈R,则“a=0”是“ab=0”的充分不必要条件 B.若p:3neN,n2>2",则P:n∈N,n2≤2" C.若2<a<5,3<b<10,则-8<a-b<2 D.当x>1时，x+】的最小值是2 x-1 10.已知平面向量ā，6满足d==2,且ab=0.设实数1∈(0,1)，m=(1-)ā+b,万=a+(1-)b,则 () A.m+n=a+b B.Im月nl C.m,n的夹角为钝角 D.m·n的最大值为2 1l.已知an1+an=4n+2,记数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的有（) A.对任意neN',an+2-an=4 B.S20=240 C.若a=1,则S21=461 D.当数列{an}是等差数列时，S,=90 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设平面向量a=(sin0,),b=(cos0,V5),且a/b,则tan0= an 2 an为偶数 13.已知数列{an}满足a1=1,a1= ,则a2027= 3an+l,an为奇数 14.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,点D是边AB上靠近B的三等分点.若b=2, ∠ADC=60°，则a的最大值为 第2页，共8页 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.如图，正三棱柱ABC-A,B,C,中，E为AC中点. (1)求证：AB,/I平面BEC: (2)若BB,=BA=2,点F在棱CC,上，且CF=2FC,求直线BF与平面BEC所成角的正弦值. A B 16.己知数列{an}满足an=4am-1+3n≥2，n∈N),且a1=3. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若bn=nan,求{bn}的前n项和Tn. 17.把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数1，-1，i,一i(i为虚数单位)的正四面体玩具连续抛掷两次，第 一次出现底面朝下的复数记为a,第二次出现底面朝下的复数记为b. (1)计算i+2+3+.…+2027的值： (2)用A表示“ab=-1”这一事件，求事件A的概率P(A): (3)设复数ab的实部为5，求5的分布列及数学期望. 第3页，共8页 18.已知f(x)=2sim(ox+p)(其中o>0,lo<匹)，函数y=f(x)相邻的极小值点和极大值点分别为-T和 3 2红.直线1为函数y=)在y轴右侧与y轴距离最近的对称轴，且分别交函数y=f(:)的图象和x轴于M,N两 点，点P为线段MN上一动点. (1)求函数y=f(x)的表达式，并写出其增区间： (2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(A)=1,且a=V3,求b2+c2的取值范围： (3)设∠NOP=0,记L=MP+2OP,请写出L关于0的函数表达式，并求L的最小值. M 19.牛顿在《流数法》一书中，利用迭代思想给出了一种求高次代数方程近似解的方法：牛顿法具体步骤如下：设 r是函数y=f(x)的一个零点，任意选取x作为r的初始近似值，曲线y=f(x)在点(x,f(x)处的切线为l,设 I与x轴交点的横坐标为x,并称x为r的1次近似值：曲线y=f(x)在点(x,∫(x)处的切线为2，设l2与x轴 交点的横坐标为x2,并称x,为r的2次近似值.一般地，曲线y=f(x)在点(xn,f(xn)(n∈N)处的切线为 1n+1,记n+1与x轴交点的横坐标为x+1,并称x+1为r的n+1次近似值不断重复以上操作，在一定精确度下，就 可取xn为方程f(x)=0的近似解，称数列{xn}为函数f(x)的牛顿数列， (1)若f(x)=x3+x2+x-1的零点为，x。=0,请用牛顿法求r的2次近似值： (2)设函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)的两个零点分别为p,q(p<q),数列{xn}为函数f(x)的牛顿数列且 x>g.已知数列{a,}满足a.=,二卫(neN),4=e. xn-9 (i)求an1和an的关系n∈N):(i)证明：a,+a,+…+a,>2”+n-1. 第4页，共8页 答案 1-8 DDAB ACDC 9、ABC10、ABD 11、ACD 12、 3 13、4 14、5+1 15、(1)连B.C交BC,于O,连OE,O为BC中点，E为AC中点，.OE11AB,2分 而AB,文平面CEB,OEc平面C,EB，,.AB/平面CEB3分 (2) 1yAd中点D. A C 心正：楼i得DWAA.有L年雨ABC B 上AAB(烤电4.E为中点有BE1EC 以E为原点.EBCD所随卉轴，，Z种4字奶忧 …1分 、B6=9A=2.CF=2FC .Eo,0).B.0,0JC1(0,l,2).F(0.l.苦) 则罪万，h卡)驻(5.，).武=(02) 2分 设平BEC,6的法向壳为元=必y) 元正0 T}乃x=。令x=0 $22=0 J-2 记0 2e1 .平南E%-1浅时量=1o-2, 2分 设直线BF与平BECF所成高 」2+ 5a=lose流树=|=后 JB压 证r 3 T重线bF5种BEG,所荔南酚正绒为 3分 16、(1)因为an=4an-1+3(n≥2)， 所以an+1=4(an-1+1),(n≥2)，而a1+1=4+0 2分 所以数列{a+1}为以a1+1=4为首项，4为公比的等比数列， 2分 所以am+1=4n,所以an=4n-1: 2分 (2)由(1)可知bn=n·an=n·4”-n, 设数列{cn}的通项公式为cn=n·4”,前n项和为Cn, 数列{dn}的通项公式为dn=n,前n项和为Dn, 第5页，共8页 则Cn=1·4+2·42+.+n·4m, 所以4Cm=142+2.43+.+n·4+1, 2分 则-3Cn=4+42+43+…十4-n:4n+1=4-49-n4n+,2分 1-4 所以Cn=+3m-141, 9 2分 又Dn=+, 2 2分 所以Tn=Cn-Dn=3n-1D4*1+4-na+ 1分 9 17、（1)i+2+i3+.…+i2027=i+2+i3=-1 3分 (2)所有的基本事件个数有4×4=16（个)，2分 4包含的基本事件有山、化-)小、小、--共4个，所以P()6县了 2分 (3)由题意可知，随机变量5的可能取值为-1、0、1,2分 5=-1所包含的基本事件有：（-1,1)、(1，-1)、(i,)、（-i,-),共4个， 5=0所包含的基本事件有：(（1，)、(6，)、（-1，)、(i,-1)、(1,-)、（-i,)、（-l,-)、（-i,1),共8个， 5=1所包含的基本事件有：(1，)、（-1，-)、(，-)、(-，)，共4个， 所以.P=-名Prg=o叭-名PG=名 3分 5的分布列为 5 -1 0 1 分 4 2 1分 所以E(5)=-4+0x+x}-0. 2 4 2分 18、(1)设，f(x)=2sin(ox+p)的最小正周期为T=2红 0 则由题可，子修-（非，而号-石解得和=1,1分 则f(x)=2sin(x+p): 在x-号x处取得银大值，行+p=子+2ae0,9=名2e刀， 又因为侧<受故无=0p=名则f()=2sin6e-爱1分 第6页，共8页 令-受+2a5名经+2akez, 2 解得x子+2a+2a]ce2, 即y-国的格区间为[+2a2Z) 2分 (2)解：因为f(4)=2sm4-=1,因为A∈(0，π，所以A= 6 3 1分 又因为a=√5，所以由余弦定理a2=b2+c2-2 becos A, 即3=b2+c2-bc,即b2+c2=3+bc. 1分 而b2+c2≥2bc,当且仅当b=c时取等号， 所以bc≤3，即b2+C2≤6,2分 又因为b2+c2=3+bc>3,所以3<b2+c2≤6，即B2+C2(3,6.2分 2 (3)由愿可知，x=π为y轴右侧最接近y轴的极大值点，而正弦型函数的极值点同时也是其对称轴， 因此易知N2,0),故ON=2,则OP=,2。,PN=2an9. 3 3cos0 f学=2s写-原-2mg2,M=2,p=-N=2- -tan 0 因此L=P-20P2-径m0 4n。=2+2m.2-sin0 3c0s0 3 cose 3分 设∠MON=a, tana -2.3反 =ON2π元，： <tana=3<1, 3 a << 3 6 4 …1分 3 设g(0=2-sin cos0 ,0∈[0，]， g'0=-cos0-cos0-(2-sin0X-sin0_2sin0-1 cos20 cos20 当0e[0,时，2sin0-1<0,cos20>0,即g(0)<0,因此g(0在0，上单调递减； 6 当0e(区，m]时，2sin0-1>0,cos20>0,即g(0>0,因此g(0)在（匹，a]上单调递增， 1 因此g(0在0=元时取到最小值，g(0)m=g(= 6 6V 2=5, 2分 故1的最小值L-2+否5-2+2。 3九 1分 第7页，共8页 19、(1)因为f(x)=x3+x2+x-1,所以f'(x)=3x2+2x+1,所以f'(0)=1. 因为x0=0,f(0)=-1,所以1：y-（-1)=1×(x-0),2分 即y=x-1,令y=0,得x=1 又f()=2,"(0=6,所以：y-2=6×(x-),2分 即y=6x-4,令y=0,得x=3 2 1分 (2)(i)因为f(x)=2x+b,所以ln1:y-(x7+bxn+c=(2xn+b)(x-xn) 令y=0,得x1= x号-c 2xm+b’ 2分 x好-c 所以a-1hP.￡-e-2p5p购 X+1-9x-c 2x,+69 号-c-29gπ。-9b 因为p+q=-bp9=c, 所以an+1= 2p匹，+pp+9）X-2p匹+peX卫=02. x-pq-2qx+q(p+q)x:-2qx+qx-q (ii)证明：由(i)知a>0,所以an>0,则lnan=lna=2lnan 因为lna,=lne=1≠0，所以数列{lnan}是以1为首项，2为公比的等比数列， 则nan=1×2m-1=2”,即an=e2. 2分 设g(x)=e-x-1(x>0),则g(x)=e-1>0, 所以g(x)在(0，+o)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0,即e-x-1>0, 所以e>x+1,2分 又2-1>0，则a,=e2>21+1,1分 所以a+a++a,>2°+2+…+21+n_1-2 2+n=2"+n-1, 1-2 所以a十a2+…+an>2”+n-1成立2分 第8页，共8页