共点力平衡 力学工具 讲义 -2027届高考物理二轮复习

共点力平衡 姓名： 班级： 核心目标：理解共点力平衡是力学工具，能用共点力平衡条件解决共点力平衡问题。 工具一：合成法 学习目标：利用二力平衡的特点，通过合成法解决多力平衡的问题。 【落实：平衡状态判断，合力为零，任意两力合力与第三力等大反向。】 1、（2026·陕晋青宁卷）我国科研人员利用仿生机器鱼研究湖泊生态，当仿生机器鱼在湖中匀速直线下潜时，它受到水的合力方向是(  ) A.斜向下 B.竖直向下 C.斜向上 D.竖直向上 【落实：三力平衡，合成法，地面对物体作用力方向。】 2、（2025·福建卷）山崖上有一个风动石，无风时地面对风动石的作用力是F1，当受到一个水平风力时，风动石依然静止，地面对风动石的作用力是F2，以下说法正确的是 （      ）  A.F2大于F1 B.F1大于F2 C.F1等于F2 D.大小关系与风力大小有关 【落实：合成法，绳长与夹角关系，临界拉力。】 3、（人教版必修第一册课本原题）如图，用一根轻质细绳将一幅重力为10N的画框对称悬挂在墙壁上，画框上两个挂钉间的距离为 0.5m 。已知细绳能承受的最大拉力为10N，要使细绳不会被拉断，细绳最短要多长? 【落实：对称性，合成法。】 4、（2025·重庆卷）现代生产生活中常用无人机运送物品，如图所示，无人机携带质量为m的匀质钢管在无风的空中悬停，轻绳M端和N端系住钢管，轻绳中点O通过缆绳与无人机连接。MO、NO与竖直方向的夹角均为60°，钢管水平。则MO的弹力大小为(重力加速度为g)(　) A.2mg B.mg C.mg D.mg 【落实：平衡条件推论，撤去一力，其余力合力与撤去力等大反向。】 5、（人教版必修第一册课本原题）如图，物体在五个共点力的作用下保持平衡。如果撤去力，而保持其余四个力不变，请在图上画出这四个力的合力的大小和方向。 工具二：正交分解法——多力平衡 学习目标：能用共点力平衡的条件：F合=0 (或F合x=0，F合y=0)，解决问题。 【落实：正交分解，手对绳作用力方向，扁担对肩膀作用力。】 1、（2026·贵州卷）如图，农民伯伯挑玉米时用双手分别抓住轻绳的O、O'点处，某时刻绳OA、O'B与竖直方向的夹角均为45°，手对绳的作用力分别垂直于OA、O'B，所有作用力在同一竖直平面内，此时人和物均处于平衡状态。已知每筐玉米质量为m，重力加速度大小为g，忽略筐和扁担质量，则此时扁担对肩膀的作用力大小为(  ) A. B. C. D. 【落实：正交分解，两种方法对比（合成法 vs 正交分解）。】 2、（人教版必修一第5节例题）生活中常用一根水平绳拉着悬吊重物的绳索来改变或固定悬吊物的位置。如图，悬吊重物的细绳，其O点被一水平绳BO牵引，使悬绳AO段和竖直方向成θ角。若悬吊物所受的重力为G，则悬绳AO和水平绳BO所受的拉力各等于多少？ 【落实：正交分解，几何角找法，挡板支持力。】 3、（2024·河北卷）如图，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0 N，g取10 m/s2，挡板对球体支持力的大小为 （      ）  A.N B.1.0 N C.N D.2.0 N 【落实：正交分解，整体法，发动机动力合成。】 4、（2024·湖北卷）如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为Ff，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为 （      ）  A.Ff B.Ff C.2Ff D.3Ff 工具三：整体法与隔离法——系统平衡 学习目标：能依据所要研究问题灵活选取研究对象。 【落实：整体看外力，隔离看内力】 1、（人教版必修一第三章复习与提高B组第6题）用三根细线a、b、c将重力均为G的两个小球1和2连接并悬挂，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线c水平。 (1)求细线a、c分别对小球1和2的拉力大小。 (2)求细线b对小球2的拉力大小。 【落实：灵活选取研究对象，建立联系。】 2、（2022·海南卷）我国的石桥世界闻名，如图，某桥由六块形状完全相同的石块组成，其中石块1、6固定，2、5质量相同为m，3、4质量相同为，不计石块间的摩擦，则为（　　） 【落实：整体法求a，隔离法求b，配重滑轮。】 3、（2024·浙江卷）如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为，细线c、d平行且与水平成（不计摩擦)，则细线a、b的拉力分别为(　　) A.， B.， C.， D.， 【落实：整体法与隔离法应用。】 4、（人教版必修第一册课本原题）木块A、 B分别重50N和60 N，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.25，夹在A、B之间的轻弹簧被压缩了2cm ，弹簧的劲度系数为400 N/m，系统置于水平地面上静止不动。现用1N的水平拉力F作用在木块B上，如图所示，求力F作用后木块A、B所受摩擦力的大小。 【落实：空间平衡，三维分解，对称性，整体求弹簧弹力。】 5、（2026·山东卷）如图所示，由光滑刚性杆组成的正四面体框架放置在水平面上，三条棱上各套有一个质量为m的小球。三个小球通过相同的轻质弹簧连接，静止时恰好处于同一水平面。已知弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为k，重力加速度大小为g，则每根弹簧的伸长量为(  ) A. B. C. D. 【落实：整体法，四斜杆对称，摩擦力与支持力。】 6、（2022·6月浙江卷）如图所示，一轻质晒衣架静置于水平地面上，水平横杆与四根相同的斜杆垂直，两斜杆夹角θ＝60°.一重为G的物体悬挂在横杆中点，则每根斜杆受到地面的 （      ）  A.作用力为G B.作用力为G C.摩擦力为G D.摩擦力为G 【落实：整体法，四条腿对称，压力分配。】 7、（2023·江苏卷）如图所示，“嫦娥五号”探测器静止在月球平坦表面处。已知探测器质量为m，四条腿与竖直方向的夹角均为θ，月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的。每条腿对月球表面压力的大小为（      ）  A. B. C. D. 工具四：解析法 图解法——动态平衡 学习目标：能用解析法和图解法解决动态平衡问题，并做出必要判断。 【落实：解析法。】 1、（2026·湖南卷）如图，某同学将两个相同的球形氦气球用等长的轻绳系在一起，拉着绳使气球随人一起做水平匀速运动。运动过程中，球心始终在绳的延长线上且球心连线水平，两绳所构成的平面与水平面的夹角为θ(θ<90°)，两球间的弹力为F。气球受到空气阻力的大小与相对空气的速率成正比，空气始终相对于地面静止，忽略气球形状的变化。该同学沿原方向运动速度缓慢增大，下列说法正确的是(  ) A.增大 B.减小 C.增大 D.减小 【落实：解析法分析，图解法验证】 2、（人教版必修第一册课本原题）如图，两人用同样大小的力共提一桶水，两人手臂间的夹角是大些省力，还是小些省力? 请通过推导得出你的结论。 【落实：解析推理。】 3、（2023·海南卷）如图所示，工人利用滑轮组将重物缓慢提起，下列说法正确的是(　　) A.工人受到的重力和支持力是一对平衡力 B.工人对绳的拉力和绳对工人的拉力是一对作用力与反作用力 C.重物缓慢拉起过程，绳子拉力变小 D.重物缓慢拉起过程，绳子拉力不变 【落实：图解法，正弦定理在平衡问题中的应用】 4、（2022·河北卷）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中 （      ）  A.圆柱体对木板的压力逐渐增大 B.圆柱体对木板的压力先增大后减小 C.两根细绳上的拉力均先增大后减小 D.两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 【落实：用图解法进行判断】 5、（2026·1月浙江卷）如图所示，一盏重为G的艺术灯用细绳悬挂，左右两侧细绳与水平方向夹角分别为45°和60°，细绳拉力分别为和。A和B是左侧细绳两端点，C和D分别是天花板和灯上的点，CD与AB平行，则 （      ）  A.大于 B.和都小于G C.用细绳连接C和B后撤去AB绳，可使灯位置不变 D.用细绳连接C和D后撤去AB绳，可使灯位置不变 【落实：用图解法进行判断】 6、（2025·福建卷）两个点电荷Q1与Q2固定于竖直平面上，在P点放置一试探电荷，该试探电荷恰好处于静止状态，PQ1与Q1Q2夹角为30°，PQ1⊥PQ2，则Q1与Q2的电荷量之比为       ，在PQ1连线上是否存在其他点能让同一试探电荷维持平衡状态             (选填“存在”或“不存在”)。 【落实：解析法分析解决问题】 7、（2026·云南卷）如图所示，两挂钩可沿固定水平横梁滑动到任意位置后锁定。一挎包质量为m，其轻质包带长度约为4d，a、b为包与包带的连接点，相距为d。将挎包悬挂在两挂钩上，两挂钩相距为x时，锁定挂钩。挎包静止时，a、b在同一水平直线上，包带的张力大小为FT，重力加速度为g，不计包带与挂钩之间的摩擦及两挂钩尺寸。能正确反映随x变化的图像是(  ) A. B. C. D. 工具五：临界与极值——恰好条件 学习目标：能识别临界问题，通过找临界条件解决问题。 【落实：通过三角函数辅助角找极值。】 1、（2026·四川卷）如图所示，球心为O、半径为R的半球体固定于水平地面，质量为m的杂技演员依靠双手支撑竖直倒立在球面上。双手对球面压力的作用点的连线是与地面平行、圆心为O'的小圆的直径，压力大小均为N且不超过mg(g为重力加速度大小)。手与球面间动摩擦因数为，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等。设OO'长为h，则(  ) A.h=时，演员保持平衡状态，N大小可能为mg B.h=时，演员可以通过增大N往上移动 C.h<R时，演员不可能保持平衡状态 D.演员要保持平衡状态，N的最小值为mg 【落实：用平衡条件找极值】 2、（2024·山东卷）如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于 （      ）  A. B. C. D. 【落实：临界条件，绳断瞬间，合力与分力关系。】 3、（人教版必修第一册课本原题）如图， 物体所受重力为40N， 用细绳OC悬于O点，绳OC所能承受的最大拉力为50N。 现用细绳AB绑住绳OC的A点，再用缓慢增大的水平力牵引A点，当OA段刚被拉断时， 绳AB的拉力为多少? 【落实：临界条件，三力平衡，F方向范围。】 4、（人教版必修第一册课本原题）一根细线系着一个小球，细线上端固定在横梁上。给小球施加力F，小球平衡后细线跟竖直方向的夹角为θ，如图所示。现改变F的方向，但仍然要使小球在图中位置保持平衡，即保持θ不变，问：F可能的方向有哪些?请在图中标明F方向的范围，并简述理由。以上F的大小可以任意调节。 【落实：临界条件，匀速下滑求μ，匀速上推求F。】 5、（人教版必修第一册课本原题）如图，重力为G的木块，恰好能沿倾角为θ的斜面匀速下滑，那么要将木块沿斜面匀速向上推，必须加多大的水平推力F? 【落实：临界条件，支持力为零，拉力F最大值。】 6、（2025·河北卷）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为 （      ）  A.G B.G C.G D.G 工具六：场力迁移——电场、磁场、复合场中的平衡 学习目标：应用共点力平衡条件，解决问题。 【落实：弹簧弹力+重力+支持力，重力场中的平衡】 1、（2026·湖北卷）如图所示，半径为R的光滑圆环固定在竖直平面内，原长为2R的轻质弹簧一端固定在圆环上与圆心O等高的位置，另一端连接一个套在圆环上质量为m的小球，平衡时弹簧与水平方向的夹角为30°。弹簧在弹性限度内，重力加速度大小为g，弹簧的劲度系数为(  ) A. B. C. D. 【落实：库仑力+重力+绳拉力+杆力，剪断瞬间加速度，电场中的平衡。】 2、（2025·湖南卷）如图，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为60°，两球连线与轻绳的夹角为30°，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是 （      ）  A.A球静止时，轻绳上拉力为2mg B.A球静止时，A球与B球间的库仑力为2mg C.若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球加速度大小为g D.若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小 【落实：安培力+重力+绳拉力，磁场中的平衡】 3、（2022·湖南卷）如图(a)，直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO′上，其所在区域存在方向垂直指向OO′的磁场，与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图(b)所示．导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ.下列说法正确的是  A.当导线静止在图(a)右侧位置时，导线中电流方向由N指向M B.电流I增大，静止后，导线对悬线的拉力不变 C.tan θ与电流I成正比 D.sin θ与电流I成正比 【落实：洛伦兹力+电场力平衡，复合场中的平衡，电磁流量计。】 4、（2025·北京卷，12）电磁流量计可以测量导电液体的流量Q——单位时间内流过管道横截面的液体体积。如图所示，内壁光滑的薄圆管由非磁性导电材料制成，空间有垂直管道轴线向里的匀强磁场，磁感应强度为B。液体充满管道并以速度v沿轴线方向向左流动，圆管壁上的M、N两点连线为直径，且垂直于磁场方向，M、N两点的电势差为U0。下列说法错误的是 （      ）  A.N点电势比M点高 B.U0正比于流量Q C.在流量Q一定时，管道半径越小，U0越小 D.若直径MN与磁场方向不垂直，测得的流量Q偏小 【落实：洛伦兹力+电场力平衡，复合场中的平衡，磁流体发电机。】 5、（2024·湖北卷）磁流体发电机的原理如图所示，MN和PQ是两平行金属极板，匀强磁场垂直于纸面向里。等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子)从左侧以某一速度平行于极板喷入磁场，极板间便产生电压。下列说法正确的是 （      ）  A.极板MN是发电机的正极 B.仅增大两极板间的距离，极板间的电压减小 C.仅增大等离子体的喷入速率，极板间的电压增大 D.仅增大喷入等离子体的正、负带电粒子数密度，极板间的电压增大 【落实：重力场、电场、磁场复合场平衡。】 6、（2025·福建卷）空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场与水平向右的匀强电场，匀强磁场的磁感应强度的大小为B，电场强度的大小为E，一带电体在复合场中恰能沿着MN做匀速直线运动，MN与水平方向成45°，NP水平向右。带电体的带电荷量为q，速度为v，质量为m，重力加速度为g，当带电体到N时，撤去磁场，一段时间后带电体经过P点，则 （      ）  A.电场强度的大小为E＝ B.磁感应强度的大小为B＝ C.N、P两点的电势差为U＝ D.带电体从N→P时距离NP的最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $ 共点力平衡 姓名： 班级： 核心目标：理解共点力平衡是力学工具，能用共点力平衡条件解决共点力平衡问题。 工具一：合成法 学习目标：利用二力平衡的特点，通过合成法解决多力平衡的问题。 【落实：平衡状态判断，合力为零，任意两力合力与第三力等大反向。】 1、（2026·陕晋青宁卷）我国科研人员利用仿生机器鱼研究湖泊生态，当仿生机器鱼在湖中匀速直线下潜时，它受到水的合力方向是(  ) A.斜向下 B.竖直向下 C.斜向上 D.竖直向上 【答案】D 【解析】仿生机器鱼做匀速直线运动，处于平衡状态，所受合外力为0。机器鱼受竖直向下的重力G，以及水的作用力F(包含浮力、水的阻力等)。根据平衡条件有G+F=0，即F=-G，可得仿生机器鱼受到水的合力与重力等大、反向，即水的合力方向竖直向上。故选D。 【落实：三力平衡，合成法，地面对物体作用力方向。】 2、（2025·福建卷）山崖上有一个风动石，无风时地面对风动石的作用力是F1，当受到一个水平风力时，风动石依然静止，地面对风动石的作用力是F2，以下说法正确的是 （      ）  A.F2大于F1 B.F1大于F2 C.F1等于F2 D.大小关系与风力大小有关 【答案】A 【解析】无风时，地面对风动石的作用力方向竖直向上，与重力平衡，大小为F1＝mg，当受到一个水平风力时，地面对风动石的作用力F2与竖直向下的重力及水平方向的风力F三力平衡，根据平衡条件可知，地面对风动石的作用力大小为F2＝，故F2大于F1。故选A。 【落实：合成法，绳长与夹角关系，临界拉力。】 3、（人教版必修第一册课本原题）如图，用一根轻质细绳将一幅重力为10N的画框对称悬挂在墙壁上，画框上两个挂钉间的距离为 0.5m 。已知细绳能承受的最大拉力为10N，要使细绳不会被拉断，细绳最短要多长? 【答案】最小长度为 【解析】对画框受力分析，如图所示， 画框受重力 G、两个大小相等的细绳拉力 F 的作用处于平衡状态， 当时，对应细绳不被拉断的最小长度。 两细绳拉力的合力，所以两绳之间的夹角为， 绳子的最小长度为 【落实：对称性，合成法。】 4、（2025·重庆卷）现代生产生活中常用无人机运送物品，如图所示，无人机携带质量为m的匀质钢管在无风的空中悬停，轻绳M端和N端系住钢管，轻绳中点O通过缆绳与无人机连接。MO、NO与竖直方向的夹角均为60°，钢管水平。则MO的弹力大小为(重力加速度为g)(　) A.2mg B.mg C.mg D.mg 【答案】B 【解析】以钢管为研究对象，设轻绳的拉力大小为FT，根据对称性可知两边绳子拉力大小相等，根据平衡条件有2FTcos 60°＝mg，可得FT＝mg，故选B。 【落实：平衡条件推论，撤去一力，其余力合力与撤去力等大反向。】 5、（人教版必修第一册课本原题）如图，物体在五个共点力的作用下保持平衡。如果撤去力，而保持其余四个力不变，请在图上画出这四个力的合力的大小和方向。 【答案】物体在五个力作用下保持平衡，它们的合力为零。其中任意四个力的合力一定与第五个力大小相等、方向相反。依题意，除以外的四个力的合力与力大小相等、方向相反。撤去，其余四个力不变，它们的合力大小等于方向与相反。如图所示。 工具二：正交分解法——多力平衡 学习目标：能用共点力平衡的条件：F合=0 (或F合x=0，F合y=0)，解决问题。 【落实：正交分解，手对绳作用力方向，扁担对肩膀作用力。】 1、（2026·贵州卷）如图，农民伯伯挑玉米时用双手分别抓住轻绳的O、O'点处，某时刻绳OA、O'B与竖直方向的夹角均为45°，手对绳的作用力分别垂直于OA、O'B，所有作用力在同一竖直平面内，此时人和物均处于平衡状态。已知每筐玉米质量为m，重力加速度大小为g，忽略筐和扁担质量，则此时扁担对肩膀的作用力大小为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】人和物组成的系统处于平衡状态，对O点受力分析：竖直向下的玉米重力mg、OA绳的拉力FT、手垂直OA的作用力F。根据平衡条件，沿绳方向，有FT=mgcos 45°；对A点根据力的分解可得OA绳的拉力FT对扁担向下的分力为F1=FTcos 45°；竖直方向，根据平衡条件可得肩膀对扁担的作用力大小为FN'=2F1，联立解得FN'=mg，由牛顿第三定律得，扁担对肩膀的作用力大小FN=FN'=mg，故选B。 【落实：正交分解，两种方法对比（合成法 vs 正交分解）。】 2、（人教版必修一第5节例题）生活中常用一根水平绳拉着悬吊重物的绳索来改变或固定悬吊物的位置。如图，悬吊重物的细绳，其O点被一水平绳BO牵引，使悬绳AO段和竖直方向成θ角。若悬吊物所受的重力为G，则悬绳AO和水平绳BO所受的拉力各等于多少？ 方法1　用两个力的合力和第三个力平衡的方法； 解得： 方法2　用正交分解的方法求解。 解得： 【落实：正交分解，几何角找法，挡板支持力。】 3、（2024·河北卷）如图，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0 N，g取10 m/s2，挡板对球体支持力的大小为 （      ）  A.N B.1.0 N C.N D.2.0 N 【答案】A 【解析】对小球受力分析如图所示 由几何关系可得力F与力FN与竖直方向的夹角均为30°，因此将力F和FN正交分解可得 FN sin 30°＝F sin 30°，FN cos 30°＋F cos 30°＋FT＝mg 解得F＝FN＝，故选A。 【落实：正交分解，整体法，发动机动力合成。】 4、（2024·湖北卷）如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为Ff，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为 （      ）  A.Ff B.Ff C.2Ff D.3Ff 【答案】B 【解析】根据题意对S受力分析如图甲 正交分解可知2FTcos 30°＝Ff 所以有FT＝Ff 　 对P受力分析如图乙 则有(FT sin 30°)2＋(Ff＋FT cos 30°)2＝F2 解得F＝，故选B。 工具三：整体法与隔离法——系统平衡 学习目标：能依据所要研究问题灵活选取研究对象。 【落实：整体看外力，隔离看内力】 1、（人教版必修一第三章复习与提高B组第6题）用三根细线a、b、c将重力均为G的两个小球1和2连接并悬挂，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线c水平。 (1)求细线a、c分别对小球1和2的拉力大小。 (2)求细线b对小球2的拉力大小。 【答案】（1）（2） 【解析】(1)将两小球看成一个整体，其受力情况如图甲所示， 则， (2) 对小球2进行受力分析，如图乙所示， 则 【落实：灵活选取研究对象，建立联系。】 2、（2022·海南卷）我国的石桥世界闻名，如图，某桥由六块形状完全相同的石块组成，其中石块1、6固定，2、5质量相同为m，3、4质量相同为，不计石块间的摩擦，则为（　　） A. B. C.1 D.2 【答案】D 【解析】六块形状完全相同的石块围成半圆对应的圆心角为，每块石块对应的圆心角为，对第块石块受力分析如图 结合力的合成可知 对第2块和第三块石块整体受力分析如图 ，解得 【落实：整体法求a，隔离法求b，配重滑轮。】 3、（2024·浙江卷）如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为，细线c、d平行且与水平成（不计摩擦)，则细线a、b的拉力分别为(　　) A.， B.， C.， D.， 【答案】D 【解析】由题意可知细线c对A的拉力和细线d对B的拉力大小相等、方向相反，对A、B整体分析可知细线a的拉力大小为，设细线b与水平方向夹角为α，对A、B分析分别有，，解得，故选D。 【落实：整体法与隔离法应用。】 4、（人教版必修第一册课本原题）木块A、 B分别重50N和60 N，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.25，夹在A、B之间的轻弹簧被压缩了2cm ，弹簧的劲度系数为400 N/m，系统置于水平地面上静止不动。现用1N的水平拉力F作用在木块B上，如图所示，求力F作用后木块A、B所受摩擦力的大小。 【答案】 【解析】由胡克定律可得弹簧的弹力8N， 将的水平拉力作用在木块B上， 所以木块B静止不动，B受到的摩擦力 由于施加拉力F后，B 静止不动，弹簧弹力不变，故木块A静止不动， A受到的摩擦力 【落实：空间平衡，三维分解，对称性，整体求弹簧弹力。】 5、（2026·山东卷）如图所示，由光滑刚性杆组成的正四面体框架放置在水平面上，三条棱上各套有一个质量为m的小球。三个小球通过相同的轻质弹簧连接，静止时恰好处于同一水平面。已知弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为k，重力加速度大小为g，则每根弹簧的伸长量为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意可知，每根弹簧的伸长量相等，设每根弹簧的伸长量为，套有小球的光滑刚性杆与水平面的夹角为θ，结合正四面体的特点，由几何关系可得sin θ=，cos θ=；设两根弹簧对小球的弹力的合力为F，根据力的合成可得F=2kΔxcos 30°，对其中一个小球受力分析，如图所示 沿杆方向上，由平衡条件，有mg sin θ=F cos θ，联立解得每根弹簧的伸长量为 = ，故选B。 【落实：整体法，四斜杆对称，摩擦力与支持力。】 6、（2022·6月浙江卷）如图所示，一轻质晒衣架静置于水平地面上，水平横杆与四根相同的斜杆垂直，两斜杆夹角θ＝60°.一重为G的物体悬挂在横杆中点，则每根斜杆受到地面的 （      ）  A.作用力为G B.作用力为G C.摩擦力为G D.摩擦力为G 【答案】B 【解析】设斜杆的弹力大小为F，以水平横杆和物体为整体，在竖直方向上根据受力平衡可得4Fcos 30°＝G，解得F＝G，以其中一斜杆为研究对象，其受力如图所示，可知每根斜杆受到地面的作用力应与F平衡，即大小为G，每根斜杆受到地面的摩擦力大小为Ff＝Fsin30°＝G，B正确，A、C、D错误． 【落实：整体法，四条腿对称，压力分配。】 7、（2023·江苏卷）如图所示，“嫦娥五号”探测器静止在月球平坦表面处。已知探测器质量为m，四条腿与竖直方向的夹角均为θ，月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的。每条腿对月球表面压力的大小为（      ）  A. B. C. D. 【答案】D 【解析】对“嫦娥五号”探测器受力分析有FN＝mg月，则对一条腿有FN1＝mg月＝，根据牛顿第三定律可知每条腿对月球表面的压力大小为，故选D。 工具四：解析法 图解法——动态平衡 学习目标：能用解析法和图解法解决动态平衡问题，并做出必要判断。 【落实：解析法。】 1、（2026·湖南卷）如图，某同学将两个相同的球形氦气球用等长的轻绳系在一起，拉着绳使气球随人一起做水平匀速运动。运动过程中，球心始终在绳的延长线上且球心连线水平，两绳所构成的平面与水平面的夹角为θ(θ<90°)，两球间的弹力为F。气球受到空气阻力的大小与相对空气的速率成正比，空气始终相对于地面静止，忽略气球形状的变化。该同学沿原方向运动速度缓慢增大，下列说法正确的是(  ) A.增大 B.减小 C.增大 D.减小 【答案】BC 【解析】根据题意，设每根绳子的拉力为FT， 两根绳子之间的夹角为2α， 每个气球受到空气阻力f=k v，浮力为F浮， 对两气球整体受力分析，由平衡条件， 竖直方向上有2F浮=2G+2FTcosα·sin θ， 水平方向上有2kv=2FTcosα·cos θ， 整理可得tan θ= ，FT= ， 运动速度缓慢增大，tan θ减小，则θ减小，FT增大，故A错误，B正确； 对单个气球受力分析，由平衡条件有FT sin α=F，由于α不变，FT增大，则F增大，故C正确，D错误。 【落实：解析法分析，图解法验证】 2、（人教版必修第一册课本原题）如图，两人用同样大小的力共提一桶水，两人手臂间的夹角是大些省力，还是小些省力? 请通过推导得出你的结论。 【答案】θ越小，越小，即两人手臂间的夹角小些省力 【解析】根据题意，画出水桶的受力示意图如图所示，的合力与水桶的重力G大小相等、方向相反，则， 故可知θ越小，越小， 即两人手臂间的夹角小些省力。 【落实：解析推理。】 3、（2023·海南卷）如图所示，工人利用滑轮组将重物缓慢提起，下列说法正确的是(　　) A.工人受到的重力和支持力是一对平衡力 B.工人对绳的拉力和绳对工人的拉力是一对作用力与反作用力 C.重物缓慢拉起过程，绳子拉力变小 D.重物缓慢拉起过程，绳子拉力不变 【答案】B 【解析】工人受到三个力，绳的拉力，地面支持力和重力，是三力平衡，故A错误；人对绳和绳对人的拉力是一对作用力与反作用力，B正确；重物拉起过程，两绳的张角变大，拉力变大，C、D错误。 【落实：图解法，正弦定理在平衡问题中的应用】 4、（2022·河北卷）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中 （      ）  A.圆柱体对木板的压力逐渐增大 B.圆柱体对木板的压力先增大后减小 C.两根细绳上的拉力均先增大后减小 D.两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 【答案】B 【解析】设两绳子对圆柱体拉力的合力大小为FT，木板对圆柱体的支持力大小为FN，绳子与木板间的夹角不变，α也不变，从右向左看如图所示， 在矢量三角形中，根据正弦定理有 ＝＝， 在木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，α不变，γ从90°逐渐减小到0， 又γ＋β＋α＝180°， 且α<90°， 可知90°<γ＋β<180°， 则0<β<180° 可知β从锐角逐渐增大到钝角， 根据＝＝， 由于sin γ不断减小，可知FT逐渐减小，sin β先增大后减小，可知FN先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小，设两绳子之间的夹角为2θ，绳子拉力大小为FT′，则2FT′cos θ＝FT， 可得FT′＝， θ不变，FT逐渐减小，可知绳子拉力不断减小，故B正确，A、C、D错误． 【落实：用图解法进行判断】 5、（2026·1月浙江卷）如图所示，一盏重为G的艺术灯用细绳悬挂，左右两侧细绳与水平方向夹角分别为45°和60°，细绳拉力分别为和。A和B是左侧细绳两端点，C和D分别是天花板和灯上的点，CD与AB平行，则 （      ）  A.大于 B.和都小于G C.用细绳连接C和B后撤去AB绳，可使灯位置不变 D.用细绳连接C和D后撤去AB绳，可使灯位置不变 【答案】B 【解析】对艺术灯受力分析，如图所示 将、和三力平移后，构成矢量三角形，如图 根据三角形的边角关系可知，A错误，B正确；用细绳连接C和B后撤去AB绳或用细绳连接C和D后撤去AB绳，如图所示 根据三力汇交原理，若艺术灯位置保持不变，则三力不能交汇一点，三力无法平衡，故艺术灯的位置必须改变，CD错误。故选B。 【落实：用图解法进行判断】 6、（2025·福建卷）两个点电荷Q1与Q2固定于竖直平面上，在P点放置一试探电荷，该试探电荷恰好处于静止状态，PQ1与Q1Q2夹角为30°，PQ1⊥PQ2，则Q1与Q2的电荷量之比为       ，在PQ1连线上是否存在其他点能让同一试探电荷维持平衡状态             (选填“存在”或“不存在”)。 【答案】∶1； 不存在 【解析】设PQ2＝r，则PQ1＝r，对试探电荷进行受力分析，试探电荷处于平衡状态，可得＝tan30°，其中F1＝，F2＝，解得Q1∶Q2＝∶1；若在PQ1连线上存在其它点能让同一试探电荷维持平衡状态， 根据平衡条件可知试探电荷受到的重力和两点电荷对其的库仑力组成一个封闭的三角形，此时点电荷Q1对试探电荷的库仑力F1变大，根据三角形法则可知此时点电荷Q2对试探电荷的库仑力必然增大，由于此时试探电荷与点电荷Q2间的距离在增大，库仑力在减小，与假设矛盾，故假设不成立，即在PQ1连线上不存在其他点能让同一试探电荷维持平衡状态。 【落实：解析法分析解决问题】 7、（2026·云南卷）如图所示，两挂钩可沿固定水平横梁滑动到任意位置后锁定。一挎包质量为m，其轻质包带长度约为4d，a、b为包与包带的连接点，相距为d。将挎包悬挂在两挂钩上，两挂钩相距为x时，锁定挂钩。挎包静止时，a、b在同一水平直线上，包带的张力大小为FT，重力加速度为g，不计包带与挂钩之间的摩擦及两挂钩尺寸。能正确反映随x变化的图像是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设包带与竖直方向的夹角为θ。对挎包受力分析，竖直方向，由平衡条件有2FTcos θ=mg；根据几何关系可知单侧包带长度为l==2d-，单侧包带水平投影长度为Δx=，则sinθ==，故张力与重力的比值为==；代入特殊点x=0时，≈0.52，x=d时，=0.5，x=2d时，=≈0.58，故选D。 工具五：临界与极值——恰好条件 学习目标：能识别临界问题，通过找临界条件解决问题。 【落实：通过三角函数辅助角找极值。】 1、（2026·四川卷）如图所示，球心为O、半径为R的半球体固定于水平地面，质量为m的杂技演员依靠双手支撑竖直倒立在球面上。双手对球面压力的作用点的连线是与地面平行、圆心为O'的小圆的直径，压力大小均为N且不超过mg(g为重力加速度大小)。手与球面间动摩擦因数为，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等。设OO'长为h，则(  ) A.h=时，演员保持平衡状态，N大小可能为mg B.h=时，演员可以通过增大N往上移动 C.h<R时，演员不可能保持平衡状态 D.演员要保持平衡状态，N的最小值为mg 【答案】AD 【解析】设球心O到单侧手的作用点连线与竖直轴OO'的夹角为θ， 由几何关系得cos θ=，sin θ=，演员受力平衡，水平分量抵消，竖直方向，根据平衡条件有2(N cos θ+f sin θ)=mg，静摩擦力满足f≤f max=μ N；当静摩擦力取最大值时，联立可得双手对球面压力的表达式为N=；当h=时，代入数据解得压力的最小值N min =；由于N≤mg，可知N的范围为≤N≤mg，N大小可能为mg，A正确；根据题目分析可知h=时，演员可以处于平衡状态，在保持平衡状态的前提下，当N增大时，静摩擦力变小，合力始终不变，能否上移与N无关，B错误；根据双手对球面的压力的表达式N=结合题意N≤mg，可知当N=mg时，解得h≈0.28R<R，C错误；演员要保持平衡状态，根据N=结合三角函数辅助角公式可得双手对球面的压力为N=，可得N的最小值为N=mg，D正确。 【落实：用平衡条件找极值】 2、（2024·山东卷）如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于 （      ）  A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意可知机器人“天工”可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，对“天工”分析有mgsin 30°≤μmgcos 30° 可得μ≥tan 30°＝。故选B。 【落实：临界条件，绳断瞬间，合力与分力关系。】 3、（人教版必修第一册课本原题）如图， 物体所受重力为40N， 用细绳OC悬于O点，绳OC所能承受的最大拉力为50N。 现用细绳AB绑住绳OC的A点，再用缓慢增大的水平力牵引A点，当OA段刚被拉断时， 绳AB的拉力为多少? 【答案】 【解析】OA段被拉断瞬间，A 点的受力如图所示，由题可知 则绳AB的拉力为 【落实：临界条件，三力平衡，F方向范围。】 4、（人教版必修第一册课本原题）一根细线系着一个小球，细线上端固定在横梁上。给小球施加力F，小球平衡后细线跟竖直方向的夹角为θ，如图所示。现改变F的方向，但仍然要使小球在图中位置保持平衡，即保持θ不变，问：F可能的方向有哪些?请在图中标明F方向的范围，并简述理由。以上F的大小可以任意调节。 【答案】见解析 【解析】若三个共点力平衡，则三个力不能处于任意一条直线的同一侧，已知重力G和细线拉力T的方向，可知力F可能的方向范围为之间，如图所示。 【落实：临界条件，匀速下滑求μ，匀速上推求F。】 5、（人教版必修第一册课本原题）如图，重力为G的木块，恰好能沿倾角为θ的斜面匀速下滑，那么要将木块沿斜面匀速向上推，必须加多大的水平推力F? 【答案】 【解析】未施加水平推力F时，木块沿斜面匀速下滑，其受力情况如图所示： 沿斜面方向有：，垂直斜面方向有：，且有， 对木块施加水平推力 F后，木块沿斜面匀速向上运动，其受力情况如图所示： 沿斜面方向有，垂直斜面方向有， 且有，联立各式解得。 【落实：临界条件，支持力为零，拉力F最大值。】 6、（2025·河北卷）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为 （      ）  A.G B.G C.G D.G 【答案】B 【解析】对小球进行受力分析可知当凹槽底部对小球支持力为零时，此时拉力F最大，根据平衡条件有2Fmcos 45°＝G，解得Fm＝G，故选B。 工具六：场力迁移——电场、磁场、复合场中的平衡 学习目标：应用共点力平衡条件，解决问题。 【落实：弹簧弹力+重力+支持力，重力场中的平衡】 1、（2026·湖北卷）如图所示，半径为R的光滑圆环固定在竖直平面内，原长为2R的轻质弹簧一端固定在圆环上与圆心O等高的位置，另一端连接一个套在圆环上质量为m的小球，平衡时弹簧与水平方向的夹角为30°。弹簧在弹性限度内，重力加速度大小为g，弹簧的劲度系数为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设此时弹簧的长度为L，由几何关系，有=，解得弹簧的长度为L=R，此时弹簧被压缩，且弹簧的压缩量为Δx=L0-L=R；对小球受力分析，如图所示 弹簧弹力与重力合力与FN等大反向，根据几何关系知，kΔx= mg，解得弹簧的劲度系数为k=，故选C。 【落实：库仑力+重力+绳拉力+杆力，剪断瞬间加速度，电场中的平衡。】 2、（2025·湖南卷）如图，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为60°，两球连线与轻绳的夹角为30°，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是 （      ）  A.A球静止时，轻绳上拉力为2mg B.A球静止时，A球与B球间的库仑力为2mg C.若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球加速度大小为g D.若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小 【答案】C 【解析】A球静止时，对A球受力分析，如图所示，根据力的平衡条件得F库＝FTcos 30°＋mgcos 30°，FTsin 30°＝mgsin 30°，解得FT＝mg，F库＝mg，A、B错误； 剪断轻绳的瞬间，绳子拉力消失，小球A所受库仑力与重力均不变，则小球A所受合力大小为mg，由牛顿第二定律得剪断瞬间小球A的加速度大小为g，C正确；由于剪断轻绳前后瞬间，B球受力不变且状态不变，因此轻绳剪断瞬间轻杆对B球的作用力不变，D错误。 【落实：安培力+重力+绳拉力，磁场中的平衡】 3、（2022·湖南卷）如图(a)，直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO′上，其所在区域存在方向垂直指向OO′的磁场，与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图(b)所示．导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ.下列说法正确的是  A.当导线静止在图(a)右侧位置时，导线中电流方向由N指向M B.电流I增大，静止后，导线对悬线的拉力不变 C.tan θ与电流I成正比 D.sin θ与电流I成正比 【答案】D 【解析】当导线静止在题图(a)右侧位置时，对导线受力分析如图所示， 可知要让安培力为图示方向，则导线中电流方向应由M指向N，A错误；由于与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，有 sin θ＝，FT＝ mgcos θ， 则可看出sin θ与电流I成正比，当I增大时θ增大，则cos θ减小，静止后，导线对悬线的拉力FT减小，B、C错误，D正确． 【落实：洛伦兹力+电场力平衡，复合场中的平衡，电磁流量计。】 4、（2025·北京卷，12）电磁流量计可以测量导电液体的流量Q——单位时间内流过管道横截面的液体体积。如图所示，内壁光滑的薄圆管由非磁性导电材料制成，空间有垂直管道轴线向里的匀强磁场，磁感应强度为B。液体充满管道并以速度v沿轴线方向向左流动，圆管壁上的M、N两点连线为直径，且垂直于磁场方向，M、N两点的电势差为U0。下列说法错误的是 （      ）  A.N点电势比M点高 B.U0正比于流量Q C.在流量Q一定时，管道半径越小，U0越小 D.若直径MN与磁场方向不垂直，测得的流量Q偏小 【答案】C 【解析】根据左手定则可知液体中正离子向下偏转，负离子向上偏转，故N点电势比M点高，故A正确；设管道半径为r，稳定时，离子受到的洛伦兹力与电场力平衡，有q＝Bqv，同时有Q＝Sv＝πr2v，联立可得U0＝，故U0正比于流量Q，流量Q一定时，管道半径越小，U0越大，故B正确，C错误；若直径MN与磁场方向不垂直，则Q＝，此时测得的流量Q偏小，故D正确。 【落实：洛伦兹力+电场力平衡，复合场中的平衡，磁流体发电机。】 5、（2024·湖北卷）磁流体发电机的原理如图所示，MN和PQ是两平行金属极板，匀强磁场垂直于纸面向里。等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子)从左侧以某一速度平行于极板喷入磁场，极板间便产生电压。下列说法正确的是 （      ）  A.极板MN是发电机的正极 B.仅增大两极板间的距离，极板间的电压减小 C.仅增大等离子体的喷入速率，极板间的电压增大 D.仅增大喷入等离子体的正、负带电粒子数密度，极板间的电压增大 【答案】AC 【解析】带正电的粒子受到的洛伦兹力向上，带负电的粒子受到的洛伦兹力向下，极板MN带正电为发电机正极，A正确； 粒子受到的洛伦兹力和静电力相互平衡时，此时令极板间距为d，则qvB＝q，可得U＝Bdv，因此增大极板间距d，U变大，增大等离子体的喷入速率v，U变大，U大小和粒子数密度无关，B、D错误，C正确。 【落实：重力场、电场、磁场复合场平衡。】 6、（2025·福建卷）空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场与水平向右的匀强电场，匀强磁场的磁感应强度的大小为B，电场强度的大小为E，一带电体在复合场中恰能沿着MN做匀速直线运动，MN与水平方向成45°，NP水平向右。带电体的带电荷量为q，速度为v，质量为m，重力加速度为g，当带电体到N时，撤去磁场，一段时间后带电体经过P点，则 （      ）  A.电场强度的大小为E＝ B.磁感应强度的大小为B＝ C.N、P两点的电势差为U＝ D.带电体从N→P时距离NP的最大值为 【答案】BC 【解析】带电体在复合场中能沿着MN做匀速直线运动，可知带电体受力情况如图甲所示。 由平衡条件可知mg＝qE，qvB＝mg，解得电场强度的大小为E＝，磁感应强度的大小为B＝，故A错误，B正确；带电体到达N点撤去磁场后，带电体所受合力方向与运动方向垂直，做类平抛运动，如图乙所示， 加速度a＝g，带电体到达P点时，位移偏转角为45°，故在P点，速度偏转角的正切值tan θ＝2tan 45°＝2，则vy＝vxtan θ＝2v，所以带电体在P点的速度vP＝v，从N到P过程，由动能定理有qU＝mmv2，解得N、P两点间的电势差U＝，故C正确；将带电体在N点的速度沿水平方向和竖直方向进行分解，可知带电体在竖直方向做竖直上抛运动，且vNy＝vsin45°＝v，故带电体能向上运动的最大距离h＝，故D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $