专题2 三角函数及解三角形 第1讲 三角函数的图象和性质-【名师带你过关】2027年数学高中总复习专题复习

三角函数及解三角形 第1讲　三角函数的图象和性质 1.三角函数的图象与性质是高考的重点考查内容,常与三角恒等变换交汇命题,综合考查学生对三角函数知识的理解和运用能力.主要以选择题、填空题的形式出现,偶尔也会在解答题中作为其中的一问进行考查.题目会更加注重对学生数学思维能力和运算求解能力的考查,也会出现一些与实际生活相关的三角函数应用问题,考查学生将实际问题转化为数学问题并解决的能力. 2.整体难度为中等或偏下,属于高考中的基础得分点. 1.(2024·天津)已知函数f=sin3的最小正周期为π.则f在的最小值是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.- B.- C.0 D. 2.(2024·全国新Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 3.(2024·全国新Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax,当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a= (　　) A.-1 B. C.1 D.2 4.(2023·全国甲卷文)函数y=f的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到,则y=f的图象与直线y=x-的交点个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2023·全国乙卷理)已知函数f=sin在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f的图象的两条相邻对称轴,则f= (　　) A.- B.- C. D. 6.(2023·天津)已知函数y=f的图象关于直线x=2对称,且f的一个周期为4,则f的解析式可以是 (　　) A.sin B.cos C.sin D.cos 7.(2022·全国甲卷理)设函数f(x)=sin在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 考点一　三角函数的定义、诱导公式及基本关系 1.各象限角的三角函数的符号 一全正,二正弦,三正切,四余弦. 2.同角关系: sin2α+cos 2α=1,=tan α. 3.诱导公式: 在 +α,k∈Z 的诱导公式中 “奇变偶不变,符号看象限”. 例1　(1)(2024·辽宁模拟)已知tan α=,则= (　　) A.-1 B.1 C.-3 D.3 (2)(2024·沧州一模)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,且终边上一点的坐标为(-2,-1),则cos+sin(π-2α)= (　　) A. B.- C. D.- (3)(2024·泰安四模)已知sin=且<α<π,则tan α= (　　) A.- B.- C. D.3 1.利用诱导公式化简求值时, 首先将任意角的三角函数化为锐角三角函数,步骤为去负、脱周、化锐,特别注意函数名称和符号的正确确定. 2.应用公式时注意方程思想的应用 对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子,利用=1±2sin αcos α, 可以知一求二. 3.关于 sin α,cos α 的齐次式,往往转化为关于 tan α 的式子求解. 提醒: 利用同角三角函数的平方关系时, 开方需特别注意符号的判断. 考点二　 三角函数的图象与解析式 三角函数图象的变换 (1)先平移后伸缩 步骤 1: 画出 y=sin x 的图象; 步骤 2:向左 (右) 平移 个单位长度得到 y=sin(x+φ)的图象; 步骤 3: 横坐标变为原来的 得到 y=sin 的图象; 步骤 4: 纵坐标变为原来的A倍得到 y= Asin 的图象,(2)先伸缩后平移 步骤 1: 画出 y=sin x 的图象; 步骤 2: 横坐标变为原来的 得到 y=sin ωx的图象; 步骤 3: 向左 (右) 平移 个单位长度得到 y= sin 的图象; 步骤 4: 纵坐标变为原来的A倍得到 y= Asin 的图象.例2　(1)(2024·保定三模)把函数f(x)=cos的图象向右平移φ个单位长度,再把横坐标压缩到原来的,纵坐标不变,得到图象关于原点对称的函数g(x),则 (　　) A.g(x)=sin 2x B.为g(x)的一个对称中心 C.g(φ)=1 D.x=为g(x)的一条对称轴 (2)(2024·芜湖模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式是 (　　) A.f(x)=2sin B.f(x)=2sin 2x C.f(x)=-2sin D.f(x)=-2sin 2x (3)(2024·东湖区校级三模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若g(x)在区间[0,t]上的值域为[-,2],则t的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 1. 解析式 y=Asin+B 的确定方法 (1)A,B 由最值确定,即A=,B=. (2)ω 由函数周期确定,相邻两对称轴(或两对称中心)之间的距离为 ,对称轴与相邻对称中心之间的距离为 . (3)φ 由图象上的特殊点确定,可通过五点作图中的五个特殊点直接确定. 2.三角函数图象平移问题处理策略 (1)看平移要求:首先需要明确题目要求是由哪个函数平移得到哪个函数, 这是判断移动方向的关键. (2)看移动方向:移动的方向一般记为 “正向左,负向右”,看 y=Asin 中 φ 的正负和它的平移要求. (3)看移动单位:由 y=Asin ωx 的图象变换得到 y=Asin 的图象时,平移量为,而不是 φ . 提醒: 正切函数图象的对称中心的坐标是 . 考点三　三角函数的性质及其应用 函数 y=Asin 的性质 (1)奇偶性: φ=kπ时,函数 y=Asin(ωx+ 为奇函数; φ=kπ+ 时,函数 y=Asin 为偶函数. (2)三角函数的周期性: f=Asin 和f =Acos 的最小正周期为 ;y=Atan 的最小正周期为 . (3)单调性:单调递增区间为 ; 单调递减区间为 . (4)对称轴:对称轴方程为x=+-; 对称中心坐标为 . 例3　(1)(2024·迎江区校级三模)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)两个相邻的零点为,,距离y轴最近的对称轴为x=-,则f= (　　) A. B. C. D. (2)(多选)(2024·蜀山区校级模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在[0,2π]上有且仅有5个零点,则 (　　) A.f(x)在(0,2π)上有且仅有3个极大值点 B.f(x)在(0,2π)上有且仅有2个极小值点 C.当φ=时,ω的取值范围是 D.当φ=时,f(x)的图象可能关于直线x=对称 (3)(2024·鹤壁模拟)若偶函数f(x)=|cos(ωx+φ)|+|sin(ωx+φ)|的最小正周期为,则(　　) A.ω=2 B.φ的值是唯一的 C.f(x)的最大值为 D.f(x)图象的一条对称轴为x= (4)(2024·秦皇岛二模)已知函数f(x)=sin ωx+acos ωx(ω>0)图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为,且f(0)+f=2,则函数f(x)在下列区间单调递增的是 (　　) A. B. C. D. 1. 求解函数 y=Asin 的性质问题的三种意识 (1)转化意识:利用三角恒等变换将所求函数转化为 f=Asin 的形式. (2)整体意识:类比 y=sin x 的性质,只需将 y =Asin 中的 “ωx+φ” 看成 y=sin x 中的“x”,采用整体代入求解. ①令 ωx+φ=kπ+ ,可求得对称轴方程; ②令 ωx+φ=kπ ,可求得对称中心的横坐标; ③将 ωx+φ 看作整体,可求得 y=Asin(ωx+ 的单调区间,注意 ω 的符号. (3)讨论意识:当 A 为参数时,求最值应分情况讨论 A>0,A<0 . 提醒: 求 y=Asin 的单调区间时,要注意 ω,A 的符号,当 ω<0 时,应先利用诱导公式将 x 的系数转化为正数后再求解; 在书写单调区间需加 2kπ 时,不要忘掉 k∈Z ,所求区间一般为闭区间. 如求函数 f=2sin 的单调递减区间,应将函数化为 f=-2sin ,转化为求函数 y=sin 的单调递增区间. 2.求三角函数值域 (最值) 的类型及方法 三角函数类型 求值域 (最值) 方法 y=asin x+bcos x +c 先化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域 (最值) y=asin2x+bsin x +c 可先设 sin x=t,化为关于t的二次函数, 再求值域 (最值) y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c 可先设 t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数,再求值域 (最值) y=asin 2x+bsin x 求导,利用导数解决 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二　三角函数及解三角形 第1讲　三角函数的图象和性质 真题感悟 1.A　解析：f=sin 3=sin=-sin 3ωx，由T==π 得ω=， 即f=-sin 2x，当x∈时，2x∈，画出f=-sin 2x图象，如图， 由图可知，f=-sin 2x在上单调递减，所以，当x=时，f=-sin =-. 故选A. 2.C　解析：因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π ，函数y=2sin的最小正周期为T=， 所以在x∈上函数y=2sin有三个周期的图象， 在平面直角坐标系中结合五点法画出两函数的图象，如图： 由图可知，两函数的图象有6个交点.故选C. 3.D　解析：解法一：令f（x）=g，即a（x+1）2-1=cos x+2ax，可得ax2+a-1=cos x. 令F=ax2+a-1，G=cos x， 原题意等价于当x∈（-1，1）时，曲线y=F（x）与y=G（x）恰有一个交点， 注意到F，G均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得F=G，即a-1=1，解得a=2. 若a=2，令F=G，可得2x2+1-cos x=0. 因为x∈，则2x2≥0，1-cos x≥0，当且仅当x=0时，等号成立. 可得2x2+1-cos x≥0，当且仅当x=0时，等号成立， 则方程2x2+1-cos x=0有且仅有一个实根0，即曲线y=F（x）与y=G（x）恰有一个交点， 所以a=2符合题意.综上所述，a=2. 解法二：令h=f（x）-g=ax2+a-1-cos x，x∈，原题意等价于h有且仅有一个零点， 因为h=a+a-1-cos=ax2+a-1-cos x=h，则h为偶函数， 根据偶函数的对称性可知h的零点只能为0，即h=a-2=0，解得a=2. 若a=2，则h=2x2+1-cos x，x∈. 又因为2x2≥0，1-cos x≥0当且仅当x=0时，等号成立，可得h≥0，当且仅当x=0时，等号成立. 即h有且仅有一个零点0，所以a=2符合题意.故选D. 4.C　解析：因为y=cos向左平移个单位长度所得函数为y=cos=cos=-sin 2x，所以f=-sin 2x，而y=x-显然过与两点， 作出f与y=x-的部分大致图象如下， 考虑2x=-，2x=，2x=，即x=-，x=，x=处f与y=x-的大小关系， 当x=-时，f=-sin =-1，y=×-=-<-1； 当x=时，f=-sin =1，y=×-=<1； 当x=时，f=-sin =1，y=×-=>1. 所以由图可知，f与y=x-的交点个数为3.故选C. 5.D　解析：因为f（x）=sin（ωx+φ）在区间单调递增， 所以=-=，且ω>0，则T=π，ω==2. 当x=时，f取得最小值，则2·+φ=2kπ -，k∈Z， 则φ=2kπ -，k∈Z，不妨取k=0，则f=sin ， 则f=sin =.故选D. 6.B　解析：A选项中T==4，B选项中T==4， C选项中T==8，D选项中T==8， 排除选项CD； 对于A选项，当x=2时，函数值sin=0，故是函数的一个对称中心，排除选项A； 对于B选项，当x=2时，函数值cos=-1，故x=2是函数的一条对称轴，故选B. 7.C　解析：依题意可得ω>0，因为x∈，所以ωx+∈， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又y=sin x，x∈的图象如下所示： 则<ωπ +≤3π ，解得<ω≤，即ω∈. 故选C. 重难攻坚 例1　（1）D　解析：（1）由于 tan α=， 故 == =3. 故选D. （2）B　解析：∵α 终边上一点的坐标为（-2， - 1）， ∴sin α==-，cos α==-. ∴cos 2α=2cos2α-1=2×-1=， sin 2α=2sin αcos α=2××=. ∴sin 3α=sin（2α+α）=sin 2αcos α+cos 2αsin α =×+×=-. ∴cos+sin=sin 3α+sin 2α =×+=- . 故选B. （3）B　解析：sin=，则 cos α=-，<α<π，则 α=，故 tan α=tan=- . 故选B. 例2　（1）D　解析：把函数 f=cos 的图象向右平移 φ 个单位长度，得y=cos=cos，再把横坐标压缩到原来的，纵坐标不变，得 y=cos，即 g=cos， 由函数g图象关于原点对称，得-2φ+=kπ +，k∈Z，得φ=--，k∈Z，由 0<φ<，当 k=-1 时，得 φ=，则 g =sin 4x，故A错误；因为g=1，故B错误， D正确；g=sin =sin =-，故C错误.故选D. （2）A　解析：由题意，得A=2，T=4=2π ， ω=1，故 f=2sin， 由五点作图可知， +φ=0，即 φ=-，所以 f=2sin . 故选A. （3）C　解析：设 f的最小正周期为 T，由题图可知 A=2，T=+=， 所以 T=π ，则 ω=2，故 f=2sin， 又 f的图象过点 ，所以 2×+φ=+2kπ，k∈Z，所以 φ=-+2kπ，k∈Z， 又 <π ，所以 φ=-，则 f=2sin ， 则 g=f=2sin - =2sin. 当 x∈ 时， 2x-∈， 当 2x-=- 或 . 即 x=0 或 x= 时，g=-， 当 2x-=，即 x= 时， g=2，所以 t 的取值范围为 . 故选C. 例3　（1）A　解析：由题意，知 T=2=， 又 T=，所以 ω=3.又距离 y 轴最近的对称轴为 x=-， 所以 -×3+φ=0，解得 φ=，所以 f= cos， 所以 f=cos= . 故选A. （2）ACD　解析：x∈，可得 ωx+φ∈， φ∈，在区间上有且仅有 5 个零点，所以 5π ≤2πω+φ<6π ，在此区间上有 3 个极大值点，可能有 2 个，有可能有 3 个极小值点，故A正确，B不一定正确； C中，当 φ= 时， 5π ≤2πω+<6π ， 解得≤ω<. 即ω的取值范围是 ，故C正确； D中，因为 ω+=+kπ，k∈Z， 解得 ω=+2k，k∈Z.当 k=1 时， ω= 满足要求.故D正确. （3）D　解析：偶函数 f=|cos|+∣ sin | 的最小正周期为 . 因为周期只与 ω 有关，因此只需考虑 f= + 的情况. 若对任意 x∈R，都有 f=f， 即 f=+ = +=+ ， 所以 =，所以 ω=1，故A错误； 因为 f为偶函数，所以 f=f. 因为 f=+， f=+， 所以 φ=k·. 又 <，所以φ=0 或 φ=±，故B错误； f== ≤， 当=1时取得最大值，故C错误； 容易知道 φ=0 或 φ=± 时， f= +=+cos=f， 所以f的图象关于直线 x=对称. 故D正确. 故选D. （4）B　解析：由题意可知，函数 f 的最小正周期为 =，可得T=π =，可得 ω=2， 则 f=sin 2x+acos 2x，所以 f=a， f=+acos=-a， 故 f+f=+a=2，解得 a=1. 所以 f=sin 2x+cos 2x=2sin . 当 x∈ 时，所以 -<2x+<， 而 ⊆，k∈Z， 故函数 f 在区间 上不单调，故A错误； 当 x∈ 时，可得 -<2x+< -. 而当 k=-2 时，⊆， 故函数f 在区间 上单调递增， 故B正确； 当x∈ 时，可得<2x+<. 因为⊆，k∈Z. 故函数f 在区间 上不单调，故C错误； 当 x∈ 时，可得 <2x+<， 而当 k=3 时，⊆，函数f在区间 上单调递减，故D错误. 故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $